天津市寧河區(qū)2024屆高三年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

天津市寧河區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

參考公式：

圓柱的體積公式V=S七其中s表示圓柱的底面面積，耳表示圓柱的高.

V=-Sh

圓錐的體積公式3,其中s表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高.

第I卷

一、選擇題

1設(shè)集合A={—3,—2,7,0/},B={-1,0,1}C={x|-2<x<0}；則=

()

A.{-1}B.{-2,-1)C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,0,1}

【答案】D

【解析】由已知AcC={-2,—1},

則(AcC)u5={—2,—1,0,1}.

故選：D.

2.設(shè)a,Z?eR,貝『七>b>?！笔翘枺ǚ剑ǎ?/p>

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

?？蓡?，故充分性滿足;

【解析】由a>6>

由J_<；不一定得到。>〃>0,比如a=—13=—2,故必要性不滿足，

ab

所以“a>b>0"是的充分不必要條件.故選:A.

ab

3.2023年7月28日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會（簡稱大運(yùn)會）在四川成都開幕，這

是繼2001北京大運(yùn)會，2011深圳大運(yùn)會之后，中國第三次舉辦夏季大運(yùn)會；在成都大運(yùn)

會中，中國代表團(tuán)取得了驕人的成績.為向大學(xué)生普及大運(yùn)會的相關(guān)知識，某高校進(jìn)行“大

運(yùn)會知識競賽”，并隨機(jī)從中抽取了200名學(xué)生的成績（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績均在

[50,100]內(nèi),將其分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并

整理得到如下的頻率分布直方圖，則在被抽取的學(xué)生中，成績落在區(qū)間［80,90）內(nèi)的人數(shù)

為（）

A.20B.40C.60D.80

【答案】C

【解析】由頻率分布直方圖可得

(0.005+a+0.04+0.015+0.01)x10=1,解得a=0.03,

所以成績落在區(qū)間［80,90）內(nèi)的人數(shù)為200x0.03x10=60.故選：C.

4.設(shè)a=23，Z?=Qj,c=log050.3,則a,dc的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】因?yàn)镼=245,b=2一°3,易知函數(shù)y=2*是增函數(shù),

又—0.5<—0.3<0,所以。<Z?<2°=1,

又易知y=logo.5X是減函數(shù)，所以C=k）go50.3>log（）50.5=1,得到a<6<c,

故選：B.

Y（7171?

5.函數(shù)/（%）二——在區(qū)間-不彳上的圖象大致是（）

cosx<22J

【答案】D

【解析】因?yàn)?(上盒，1-封］,〃-+嬴占=-念=

7C71

所以/(%)=-----，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)A和B錯誤,

COSX252

又/(O)=O,x^|(x<|),/(x)f+8,所以選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確,

故選：D.

6.如圖，在直角梯形ABC。中，ADLDC,AD//BC,BC=4,AD=2,

CD=3,以所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何

94兀

A.——B.24兀C.3071D.——

33

【答案】C

【解析】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐的組合體，如圖所示:

其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于CD=3

圓柱的高等于6C=4,圓錐的高等于8C-A￡>=2,

底面圓的面積為兀x3?=9兀，

圓錐的體積為』x9兀義2=6兀，圓柱的體積為9兀義4=36兀，

3

所以所得幾何體的體積為36兀-6兀=30兀.

故選：C.

7.已知數(shù)列｛4｝滿足：1°8工區(qū)，+1=108[4+1（"€川），若%=3,則％=（）

22

A.48B.24C.16D.12

【答案】A

[解析]由log,q+i=l°gJ,"〃+1得logl〃〃+1-l°g,為=1,

2222

所以數(shù)列l(wèi)og1?！楣顬?的等差數(shù)列，

、2,

所以log[?5=log[q+4=log13,

222

所以log』q=log13—4=log13—log1《=logA48,

222E5

所以。1=48.

故選：A.

22

8.己知雙曲線三—1=1（4>0/〉0）的一條漸近線過點(diǎn)（2,0）,且雙曲線的一個焦點(diǎn)

在拋物線丁=4氐的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）

2222

A.二-匕=1B.土-匕=1

4224

22

c.2L=1D.---/=1

22

【答案】D

【解析】因?yàn)殡p曲線[―1=1（?！?/>0）的漸近線方程為y=±：x,所以J5=絲,

ac?a

得到a=4ib，

又拋物線丁=4島的準(zhǔn)線方程為x=—百，所以,=百，又=3,

得到/=1,/=2,

所以雙曲線的方程為二-y2=i,

2-

故選：D.

9.己知函數(shù)/（對=而（3+0（。＞0,儂＜弓的圖象關(guān)于》=—^|對稱，它的最小正周期

為兀，關(guān)于該函數(shù)有下面四個說法：

①〃龍）的圖象過點(diǎn)］|,o］

5兀］］兀

②/（九）在區(qū)間—上單調(diào)遞減；

③當(dāng)0,y時(shí)，/（X）的取值范圍為；

④把函數(shù)丁=5皿2%的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動4個單位長度，可得到了（尤）的圖

6

象.以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

27c

【解析】/（尤）的最小正周期為兀，所以——=兀，得（y=2,

3

由"%）關(guān)于％=—5對稱，貝”=±1,

JlJTZjr

所以---v(p——vkji,kGZ,解得(p------Fkn,kGZ,

623

又M<]，所以e=q，

所以/(x)=sin[2x_g],

對于①：/lTtrsin^_ir0,①錯誤；

對于②：由”4元4坐得工＜2%-二〈型，函數(shù)y=sinx在當(dāng)上單調(diào)遞減，所以

1212232122」

5兀]]兀

/(X)在區(qū)間—上單調(diào)遞減，②正確；

JTjrjr2冗JT27c

對于③：由得——函數(shù)y=sinx在一§,3-上的值域?yàn)?/p>

-與,1,所以了(力的取值范圍為-與,1,③錯誤；

兀

對于④，把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動一個單位長度得

6

y=sin2(xq]=sin(2x-g],④正確；

故選：B.

第II卷

二、填空題

4+2i

10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)---=.

1-1

【答案】l+3i

4+2i_(4+2i)(l+i)_4+6i+2i?_2+6i

【解析】=l+3i.

1-i-(l-i)(l+i)-——-2

故答案為：l+3i

11.在的展開式中，尤6的系數(shù)是

【答案】60

【解析】因?yàn)?展開式的通項(xiàng)公式為

7

Tr+1=晨(/產(chǎn)(—)，?=(_2)'C"Z(O<r<6,reN),

X

所以/的系數(shù)為(—2)2仁=4x15=60,

故答案為：60.

12.過點(diǎn)(1,2)且傾斜角為:的直線和圓(x+2y+(y—3)2=10相交于A,B兩點(diǎn),則

------------

【答案】2拒

71

【解析】因?yàn)閠an—=1,所以直線方程為y-2=x—1,即y=x+l,

4

|-2+1-3|

圓心(—2,3)到直線y=x+1的距離為d=2后,

A/1+T

故阿=2J10-才=2日,

故答案為：2后

13.甲和乙兩個箱子中各裝有大小質(zhì)地完全相同的10個球，其中甲箱中有5個紅球、2個白

球和3個黑球，乙箱中有4個紅球、3個白球和3個黑球.若從甲箱中不放回地依次隨機(jī)取

出2個球，則兩次都取到紅球的概率為；若先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱;

再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的球是紅球的概率為.

29

【答案】?至

【解析】因?yàn)閺募紫渲胁环呕氐匾来坞S機(jī)取出2個球，共有A；0=90種取法，

又兩次都取到紅球，共有A；=20種取法，由古典概率公式知，兩次都取到紅球的概率為

尸厘二，

909

記事件4：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是紅球，記事件4：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是白

球，

記事件4：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是黑球，記事件8：從乙箱中取出的球是紅球，

113544

則尸尸〒尸記,

(4)=5,(4)=(4)=P(B\A1)=-,P(B\A2)=-,P(B\A3)=-,

乙JA.J.A.A.J.A.A.

所以p(B)=P(BA+%+%)=P(叫)+P(BA2)+P(BA2)

1514349

=PCBIA)P(A)+P(8i4)P(4)+尸(814)%4)=5義行+?西+歷義IT至

29

故答案為：—;—

922

14.在平行四邊形ABCD中，ZABC=6Q°,E是CD的中點(diǎn)，AF=2FE>若設(shè)

；若VADE的面積為走，則

BA=a,BC=^,則前可用2，加表示為.

2

BF\的最小值為.

2—2_4A/3

【答案】一—b

33亍

【解析】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算法則,

__.______________2__.__.2__.__21?___2

可得而=麗+羽=麗+_荏=麗+—(而+瓦)=￡k+—(B_—a)=-a+-b,

3__________3_______________3233

=n,因?yàn)閂AD石的面積為——,可得工〃」!加311160°=避^，即》?n=4,

設(shè)=

2222

又由|而『=(1a+/了=+b+2a-b)=^(m2+n2+2mncos60°)

4,,416

=—(m2+n2+mn)>—(2mn+mri)=—,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，等號成立,

所以\BF\最小值為手.

故答案為：|^|^；￥

x+x,x<0/、/、/、

15.已知定義在R上的函數(shù)"%)=<11,若函數(shù)g(x)=/(x)—Q(x+。恰

ln(x+l),x>0

有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】(一8,-1)。｛0｝。1±1

【解析】數(shù)形結(jié)合，由直線y=a(x+l)與曲線y=f(x)的位置關(guān)系可得當(dāng)

恰有兩個零點(diǎn).

9

16.在AABC中，角A,3,C所對的邊分別為a,4C,已知》=4,c=5,cosC=一.

16

(1)求sin8的值;

(2)求a的值;

(3)求sin123-f的值.

解:(1)根據(jù)。為三角形的內(nèi)角可得sinC=—cos?C=迎

16

根據(jù)正弦定理＜竺=三；得.?bsinC4xl^77；

sinBsinCsin5=---------=——以=—

c54

^2＞2_24+16-259

(2)根據(jù)余弦定理cosC=33—-

2ab8a16

解得。=6,(負(fù)值舍去)；

(3)因?yàn)榉剑糲,所以3為銳角，

_______O

所以cosB-Vl-sin2B--,

4

所以sin2B=2sinBcosB=2義x—=，

448

971

cos2B—cosB—sinB----------——

16168

所以sin(28—37711V33萬-G

=sinIBcos--cos2Bsin—------x-------x—=-------------

33828216

17.如圖，AB〃CD且CD=2A5,ADA.CD,EGHADaAD=2EG,FGHCDQ

FG=CD,0G，平面ABCD,AD=CD^DG=2,M為棱尸G的中點(diǎn).

(1)求證：BF〃平面CEM；

(2)求直線3E與平面CEM所成角的正弦值；

(3)求平面班加■與平面C￡M夾角的余弦值.

(1)證明：由OGL平面ABC。，AD±CD,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則6（2,1,0）1（0,2,2）,。（0,2,0）,石（1,0,2）,4（0,1,2）,

所以麗=（—2,1,2）,。=（1,一2,2）,兩'=（（）,—1,2）,

設(shè)面CEM的法向量為n=（蒼y,z）,

CEn=x-2y+2z=0,、

則_.,取z=l可得為=（2,2,1）,

CM-n=-y+2z=0

1UU1L

止匕時(shí)〃?班'=-4+2+2=。，

所以1_L而，又BFQ面CEM,

所以8廠〃平面CEM；

(2)解：設(shè)直線座與平面CEM所成角為6?,BE=(-1,-1,2),

,八\n-BE\1-2-2+21正

所以sin0=〔1I1=/=/=――,

同.阿V4+4+1xV1+1+49

即直線成與平面CEM所成角的正弦值為且；

9

(3)解：設(shè)面班M的法向量為沆=(a,4c),BE=(-1,-1,2),W=(-2,0,2),

BE-m=-a-b+2c=0/、

則—.,取a=l可得沅=(1,1,1),

BM-m=-2a+2c=0

設(shè)平面跳M與平面CEM夾角為。，

cr.,,八In-ml2+2+1573

所以COS0=.7=—『---=——.

|n|-|m|73x39

即平面BEM與平面CEM夾角的余弦值史.

9

18.記S,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，｛〃｝是等比數(shù)列，且滿足%=5,$3=9,

4=%+1,=S4.

(1)求｛4｝和｛d｝通項(xiàng)公式;

4，”為奇數(shù)

(2)對任意的正整數(shù)〃，設(shè)G,求數(shù)列｛&｝的前2〃項(xiàng)和Q；

包,“為偶數(shù)

(3)求數(shù)列｛(-1)"anb,^的前〃項(xiàng)和Mn(neN*).

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛2｝的公比為4,

%=q+2d=5ax：1

S3=3q+3d=9d2

則,,，解得<

U=q+142’

bxq=4q+6dq2

所以4=2〃—l,2=2"；

2n-l,"為奇數(shù)

(2)由(1)得c“=<

2",〃為偶數(shù)

4"=(4+/+…+。2"-1)+02+64+…+°2”)

〃(1+4〃-3)+4-4""=崢-1)+「

21-4

(3)由(1)得(―1)匕(2a—112"=(2〃一11(一2)”,

2

則Mn=lx(-2)+3x(-2)+…+(2〃-1)x(-2)\

所以-2M“=1X(-2)2+3X(-2)3+...+(2n-3)x(-2)"+(2n-l)x(-2)"+，

兩式相減得

n+1

3Mn=lx(-2)+2[(-2)2+(-2)3+...+(_2)〔—(2“-1)x(-2)

=-2+2X±±^-(2H-1)X(-2F

=1（?！等恕?）的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為3,離心率為日,

19.已知橢圓二+y

a

\AB\=2.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)N在圓/+產(chǎn)=62上，直線

BM,的斜率分別為左，k2,且左2=3左，求證：

⑴BN工MN；

（ii）直線MN過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）解：由題知，,77壽=2,又a2=〃+c2,解得"=312=1,

a3

所以橢圓的方程為工+丫2=1.

3-

⑵證明：(i)由⑴知3(0,1),設(shè)直線B/0:y=%x+l,直線BN:y=3%x+l,

y=G+l6k

由＜x2,，消y得到（1+3片）f+6左科=0,得到x“=—-zyr,

-----1-y=11+3（

I3,

661—366kl1—3（、

y=----^+1=----所以用（-----------------L）,

M2

1+3片1+3左：1+3左；1+3^

y=3lcx+l,,6k,

由＜]+，消y得到（1+96）必+6左x=0,得到/=—市

186，1—96

%=一西+1=*，所以M—a'/）,

（一仁）（）

所以麗?麗二36k；6-12k；-186

（1+9片）（1+3%；）*1+99；+（1+9月）（1+3好）*1+9左；

——216號+216#_0

一（1+9片）2（1+3后）一

故BN工MN,

1—9千1一36

1+9片—1+3片1

（ii）由⑴知k=

MN6kl6kl3^

-----------1----------

1+9片1+3r

1一3左216k1

所以直線MN的方程為y—1一^r=——（x+iUr）,整理得到y(tǒng)=一7》一1,

1+363k11+363kl

所以直線MN過定點(diǎn)，定點(diǎn)為(0,-1).

20.已知函數(shù)/'（%）=111%+搭％2,awR.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=〃x）在。，/⑴）處的切線方程；

（2）求/（x）的單調(diào)區(qū)間;

（3）設(shè)石,々（0＜玉＜9）是函數(shù)g（x）=/（x）-依的兩個極值點(diǎn),證明：g（xj—g