數(shù)列中的新定義綜合-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第02講數(shù)列中的新定義綜合

（8類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

.考情探究?

新高考改革后，數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在考試中占據(jù)了重要的地位。數(shù)列的考查不僅限

于傳統(tǒng)的等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，還涉及到了一些新的定義和概念。這些新定義通常要求考生具

備較強(qiáng)的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維。

在新定義數(shù)列的考題中，有以下幾種情況：

1.新定義的數(shù)列類(lèi)型：例如，斐波那契數(shù)列的變種、遞推數(shù)列、分段定義的數(shù)列等。這些數(shù)列的定義

和性質(zhì)可能與傳統(tǒng)數(shù)列有所不同，需要考生仔細(xì)閱讀題目，準(zhǔn)確理解新定義。

2.數(shù)列性質(zhì)的探究：考生可能需要探究新定義數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、特殊項(xiàng)的性質(zhì)等。這要求

考生能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等數(shù)學(xué)工具。

3.數(shù)列與函數(shù)、不等式等其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用：新定義數(shù)列的題目往往與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，

考查考生的綜合運(yùn)用能力。例如，數(shù)列與函數(shù)的圖像、數(shù)列與不等式的解法等。

4.實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模：新高考數(shù)學(xué)注重考查學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，因此，數(shù)列問(wèn)題可能會(huì)與實(shí)際問(wèn)

題相結(jié)合，要求考生建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

為了應(yīng)對(duì)新定義數(shù)列的考題，考生需要：

?熟悉并掌握高中數(shù)學(xué)數(shù)列的基本概念和性質(zhì)。

?增強(qiáng)閱讀理解能力，準(zhǔn)確把握新定義數(shù)列的特點(diǎn)。

?培養(yǎng)邏輯推理和創(chuàng)新思維，能夠獨(dú)立探究數(shù)列的性質(zhì)。

?加強(qiáng)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

?注重實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

總之，新高考數(shù)學(xué)數(shù)列部分的考查更加注重考生的綜合能力，考生需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注重基礎(chǔ)知識(shí)

的積累，同時(shí)加強(qiáng)思維訓(xùn)練和實(shí)際應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

?考點(diǎn)梳理?

1

考點(diǎn)1斐波那契數(shù)列

考點(diǎn)一、斐波那契數(shù)列

典例引領(lǐng)

1.（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù):

1,1,2,3,5,8,…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)

所組成的數(shù)列｛%｝稱(chēng)為"斐波那契數(shù)列"，則即+《+藥+…+為。24是斐波那契數(shù)列中的第項(xiàng).

“2024

【答案】2025

【分析】根據(jù)“斐波那契數(shù)列"的遞推關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】依題意有：%+2=4+1+為

一。2024。2025=。2024(。2024+“2023)=〃2024-1~42023(“202342022

“2024+02023+“2022(“2022+“2021)="2024+“2023+“202242+42%

=a；024+^2023+a2022-----F,

而［、］%+%++…+/024.4202442025_〃

所以：------------------------------a2025，

的024。2024

故答案為：2025.

2.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）（多選）數(shù)歹U優(yōu)｝:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...稱(chēng)為斐波那契數(shù)歹U，

又稱(chēng)黃金分割該數(shù)列，從第三項(xiàng)開(kāi)始，各項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和，即工+2=￡M+￡（〃eN*）,則下列選

項(xiàng)正確的是（）

A.片o=55

B.片+瑪+區(qū)+月+……+%=&

C.......+6024=工205

F2+F4+F6+FS+

D.斤+怎+號(hào)+冗2+……+F；=FJFZ

【答案】ABD

2

【分析】根據(jù)遞推公式進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】由已知%=21+34=55,A正確；

&=-&+4+2??="3+居i+…+￡+月=工3+與i+…+￡+/，B正確;

/2025=月024+-^2023=^2024+^*2022+工021=',,=￡（）24+^*2022+.,"K+￡=g024+尸2022+且+鳥(niǎo)+月，C錯(cuò)；

￡￡「￡（￡+FQ=琉+Fn_xFn=琮+FZ（FQ+工_2）=F；+%+Fn_1Fn_2=-=F^+F^+.-+F^+F3F2

=￡2+己|+~+或+月（耳+耳）=￡2+己|+~+呼+1+月￡=￡2+己|+―+號(hào)+琢+開(kāi)，口正確，

故選：ABD.

3.（23-24高三上?河北廊坊?期末）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1,1,2,3,5,

8,該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即?！?2=%+i+a,（"eN*）,故此數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)歹U,

又稱(chēng)為"兔子數(shù)列”,其通項(xiàng)公式為?！?￡—J］-設(shè)”是不等式

1082［（1+指）"-（1一行）［＞〃+6的正整數(shù)解，貝U"的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算將log?［（1+逐）"-（1-⑹"］＞〃+6變形化簡(jiǎn)得到|后2/sY―f1_＞26,結(jié)合0“的

表達(dá)式可得片＞、-,結(jié)合&=21,%=34,即可求出答案.

【詳解】因?yàn)閘ogj（l+b）"_（1一石）"］＞”+6,

所以唾2［（1+6）'-（1一⑹1一心6,二.log2［（l+5"-”析［一1鳴2"＞6,

由斐波那契數(shù)歹U可知。8=21,%=34,貝IJd＜、,0；＞、，

所以〃的最小值為9,

故選：D.

即時(shí)檢測(cè)

3

1.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))我們把由0和1組成的數(shù)列稱(chēng)為0-1數(shù)列，0-1數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)

域有著廣泛應(yīng)用，把斐波那契數(shù)列｛月｝(片=g=1,工+2=月+工+1)中的奇數(shù)換成0,偶數(shù)換成1可得到

0-1數(shù)列5?｝,若數(shù)列5｝的前"項(xiàng)和為S“，且&=100,則左的值可能是()

A.100B.201C.302D.399

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出｛斯｝的前若干項(xiàng)，找出規(guī)律，從而逐一檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得解.

【詳解】因?yàn)?=月=1,F“HFw

所以用=2,瑪=3,居=5,用=8,居=13,用=21,&=34,…，

所以數(shù)列｛即｝的前若干項(xiàng)為：

=。2=°，。3=L。4=°,%=°，。6=1,%=°，。8=°，。9=1，…，

貝I」％+出+%=%+〃5+〃6=%+〃8+〃9='"=^f

所以?xún)?=33x1+0=33,邑01=67乂1=67,

5302=100x1+0x2=100,5399=133x1=133.

故選：C.

2.(24-25高二上?山東青島?階段練習(xí))在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列｛4｝定義為：4=1,a2=l,an+2^an+an+l,

斐波納契數(shù)列有種看起來(lái)很神奇的巧合，如根據(jù)?！?2=?！?%+1可得?！?%+2-%+1，所以

aa

%+%+...+%=(%-°2)+(°4.%)+…+(%+2_4"+1)=n+2-%=n+2~>類(lèi)比這一方法，可得

a；+星+…a；。=()

A.714B.1870C.4895D.4896

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分析可得。用=。“+2-?！保M(jìn)而變形可得。3=““+2%+「?！?4，據(jù)此可得

a；+W+…0].=a；+(。2。3—。2%)+(。304—0203)+...+-°9%0)，計(jì)算可彳導(dǎo)

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列｛0“｝滿(mǎn)足。.=%+2-。7，即。用=2+2-。“，

兩邊同乘以an+1,可得a3=an+2an+l-an+ian,

貝！Ja；+4/2+…a；。=a：+(a2a3—a。1)+(a3a4—a。%)+

...+—°9%0)=1—的%+%o“ii=1—1+55x89=4895.

故選：C.

3.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))(多選)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一

列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,....該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等

于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，若用尸("W^N*)表示斐波那契

數(shù)列的第〃項(xiàng)，則數(shù)歹此尸(")｝滿(mǎn)足：F(1)=F(2)=1,尸(”+2)=尸(〃+1)+尸⑺.則下列說(shuō)法正確的是()

A.尸(10)=34

4

B.3F(n)=F(n-2)+F(n+2)(n>3)

C.F(l)+F(2)+---+F(2023)=F^025)-1

D.[/⑴7+[/2)丁+…+田2O2'T=風(fēng)2023.R2029

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)題意求出斐波那契數(shù)列的前10項(xiàng)進(jìn)行判斷，對(duì)于B,當(dāng)"23時(shí)，

尸(〃一1)+尸(〃-2)=尸⑺，F(xiàn)(n+l)=F(n)+F(n-l),尸(〃+2)=尸(〃+1)+尸⑺，三式相加判斷，對(duì)于C,

根據(jù)尸(〃+2)=尸(〃+1)+尸(〃)，對(duì)〃依次取1,2,......,2023,得到2023個(gè)式子相加進(jìn)行判斷，對(duì)于D,

由尸("+2)=/(〃+1)+尸⑺，[F(n+1)]2=F(n+1)F(M+2)-F(H)F(H+1),對(duì)〃依次取1,2.........2022,

然后相加進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于A,由題意可知斐波那契數(shù)列的前10項(xiàng)為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

所以尸(10)=55,所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,當(dāng)“23時(shí)，F(xiàn)(n-1)+F(n-2)=F(?),/(〃+1)=尸⑺+尸,戶(hù)(〃+2)=尸(〃+1)+尸(〃),

所以三式相加得尸(〃-1)+F(/?-2)+F(n+l)+F(w+2)=F(?)+尸(〃)+F(?-l)+F(n+1)+F(n),

所以3尸(〃)=尸(〃-2)+尸(〃+2乂〃23),所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)閿?shù)列但⑺｝滿(mǎn)足：尸⑴=網(wǎng)2)=1,尸(〃+2)=尸(〃+1)+/⑺，

所以/(3)="2)+尸(1),F(4)=F(3)+F(2),F(5)=F(4)+F(3),….,

廠(2023)=尸(2022)+尸(2021),"2024)=尸(2023)+/(2022),尸(2025)=/(2024)+/(2023),

以上2023個(gè)等式相加得尸(2025)=F(2)+尸⑴+尸(2)+尸(3)+…+廠(2022)+尸(2023),

因?yàn)?2)=1,所以尸⑴+尸(2)+…+尸(2023)=*2025)-1,所以C正確，

對(duì)于D,因?yàn)槭?網(wǎng)2)=1,尸(〃+2)=尸(〃+1)+尸⑺,

2

所以[尸⑴了=尸(1)尸⑵，[F(2)]=F(2)F(3)-F(1)JF(2),

[廠(3)了=F(3)F(4)-F(2)F(3),[F(4)]2=F(4)F(5)-F(3)F(4),

...../

[F(2022)]2=/(2022)尸(2023)-尸(2021*(2022)

[F(2023)]2"(2023*(2024)-尸(2022*(2023),

所以[尸⑴了+[尸(2)了+…+[尸0023@023)F@024),所以D正確，

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解斐波那契數(shù)列中項(xiàng)之間的關(guān)系，

充分利用廠(力+2)=尸(〃+1)+尸⑺分析判斷，考查推理能力和理解能力，屬于較難題.

考點(diǎn)二、差數(shù)列及階差數(shù)列

5

中典例引領(lǐng)

1.（23-24高二上?云南昆明?期末）數(shù)學(xué)家楊輝在其專(zhuān)著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出

了一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見(jiàn)的高階等差數(shù)列，如數(shù)列2,4,7,11,16從第

二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列2,3,4,5是等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列2,4,7,11,16為二階等

差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列｛4｝，其前六項(xiàng)分別為1，3,6,10,15,21,則空■的最小值為-

【答案】1

【分析】先得出遞推公式，并用疊加法求出通項(xiàng)公式，再用基本不等式求最小值.

【詳解】數(shù)列｛%｝的前六項(xiàng)分別為1,3,6,10,15,21,

依題知。2一。1=2,%一。2=3,。4一。3=4,L,an-an_x=?（?>2）,

疊力口可得：a〃-〃]=2+3H--FH=----------------｛n>2）,

2

n

整理得an=；"（幾>2）,

當(dāng)〃=1,滿(mǎn)足氏二.,

2,

所以%=一,

2

n+Z2_

所以?！?i1"+、112L1-

n+1n+12n+12H+12\22

當(dāng)且僅當(dāng)空1=工時(shí)，即”=收一1,時(shí)等號(hào)成立，

又〃eN*,所以等號(hào)取不到，所以最小值在”=1時(shí)取得，

當(dāng)力=1時(shí)，3=1,所以最小值為1.

故答案為：1

2.（23-24高三下?重慶?階段練習(xí)）定義：滿(mǎn)足jS=q（q為常數(shù)，?eN,）的數(shù)列｛4｝稱(chēng)為二階等

an+lan

比數(shù)列，q為二階公比.已知二階等比數(shù)列I?！埃亩A公比為行嗎=1,。2=拒，則使得。">2024成立的最

小正整數(shù)〃為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得出=（也廣，利用累乘法求得％的表達(dá)式，解數(shù)列不等式，即可求得答案.

an-\

【詳解】由題意知二階等比數(shù)列I%｝的二階公比為&,%=1,出=也，則”=拒，

6

1"，…，生3,

故工2'r，a=

%ax

將以上各式累乘得：小=（碼"、（行廠??…揚(yáng)=（3=2—

故=2號(hào)2，令2千>2024，由于21°=1024,2"=2048,

故僅］)”>10,即(〃-1)〃>40,

又（〃-3的值隨”的增大而增大，且（77）x7=42,（87）x8=56,

、匕rI(〃T)〃21

三"=7日寸'24=22=210xV2<210x2=2024'

；14

當(dāng)”=8時(shí),24_2>2024,

故n的最小值為8,

故選：B

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）給定數(shù)列｛%｝,稱(chēng)｛%-*｝為｛%｝的差數(shù)列（或一階差數(shù)列），稱(chēng)數(shù)列｛%-%｝

的差數(shù)列為｛??）的二階差數(shù)列

（1）求｛2"｝的二階差數(shù)列;

⑵用含m的式子表示｛2'｝的m階差數(shù)列,并求其前八項(xiàng)和.

【答案】⑴5｝

(2){2〃-“}2〃+1一加—21一加

【分析】（1）根據(jù)差數(shù)列的定義，依次求出數(shù)列｛2"｝的一階差數(shù)列和二階差數(shù)列即得;

（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，猜想｛2"｝的冽階差數(shù)列為｛2'力｝,接著運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；再根據(jù)等比數(shù)列

的前〃項(xiàng)和公式求解即得.

【詳解】（1）由差數(shù)列的定義，數(shù)列｛2"｝的一階差數(shù)列為｛2"-2i｝=｛2"7｝

數(shù)列｛2"｝的二階差數(shù)列為｛21｝的一階差數(shù)列，即｛2"-l-21'-2｝=｛21-2｝

故數(shù)列｛2"｝的二階差數(shù)列為｛2"2｝.

（2）通過(guò)找規(guī)律得，｛2"｝的加階差數(shù)列為｛2"—"｝,下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明:

①當(dāng)加=1時(shí)，顯然成立；機(jī)=2時(shí)，由（1）得結(jié)論也成立.

②假設(shè)該結(jié)論對(duì)m=k（k>3）時(shí)成立，嘗試證明其對(duì)加=左+1時(shí)也成立.

由差數(shù)列的定義，｛2"｝的上+1階差數(shù)列即｛2"｝的左階差數(shù)列的一階差數(shù)列，即

{2〃一左2〃一左—1}—{2〃一左-1}—{2〃_"+i)}

故該結(jié)論對(duì)加=左+1時(shí)也成立，證畢.

故｛2"｝的加階差數(shù)列為｛21"｝.該數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

故其前〃項(xiàng)和為5“=%尸"）=2二7）=2〃1+1—m

\-q1-2

7

故｛2"｝的加階差數(shù)列為｛2n-m｝,其前n項(xiàng)和為S*=.

即時(shí)檢測(cè)

I________L__________

1.(2024?四川自貢?一模)南末數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛

積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高

次差成等差數(shù)列.對(duì)這類(lèi)高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱(chēng)為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)

分別為3,7,13,23,39,63,97,則該數(shù)列的第8項(xiàng)()

A.131B.139C.141D.143

【答案】D

【分析】根據(jù)"高階等差數(shù)列"的定義求得第8項(xiàng).

[詳解]Q]=3,%=7,%=13,%=23,%=39,6=63,%=97,

—42—%—4,Z72=Q3—aZ~6,63=一=]0,

b4=a5-a4=16,&=4一％=24,d=%-R=34,

設(shè)。1=b?-b]=2,Q=—“2=4'。3="—4=6,。4=4-a=8,。5=~^5=1。，

所以C用-的=2,所以｛g｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，

所以。6=2+5x2=12,即4=12,&=12+^6=12+34=46,

所以=心—%=46,%=%+46=97+46=143.

故選：D

2.(2024?四川南充?三模)對(duì)于數(shù)列｛對(duì)｝,規(guī)定A%為數(shù)列｛%｝的一階差分，其中Aa“=%+「a"("eN*),

AA

規(guī)定屋氏為數(shù)列｛。J的左階差分，其中Aa?=A^?+1-(〃eN).若％="("詈…,則=()

A.7B.9C.11D.13

【答案】D

【分析】由數(shù)列的新定義計(jì)算即可.

【詳解】由=+可得

由屋氏=4*%,川-屋eN")可得"&=Aa7-Aa6,

2

所以A(76=Aa7—Atz6=49-36=13,

故選：D.

3.(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛%｝,稱(chēng)｛△*｝為數(shù)列｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中

A??=-%("eN)對(duì)正整數(shù)M左22),稱(chēng)｛△),,｝為數(shù)列｛%｝的左階差分?jǐn)?shù)列，其中

8

A%“”已知數(shù)列｛叫的首項(xiàng)q=1,且為｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，=:（〃2-"+2）,｛當(dāng)｝為數(shù)列也｝的一階差分?jǐn)?shù)列，對(duì)V〃eN*,是否都有￡>C=a“成立？并說(shuō)明理

2z=i

由；（其中C：為組合數(shù)）

,、產(chǎn)"If-xn1?一"

⑶對(duì)于（2）中的數(shù)列｛玉｝,令%L+，其中;</<2.證明：\>,<2"-22.

22,=1

【答案】（I）?！?-??

⑵成立，理由見(jiàn)解析；

⑶證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）由二階差分?jǐn)?shù)列的定義可得利"+1-%-2"=管%,將篦4=公%7%,可得%-2%=2",

構(gòu)造等差數(shù)列即可求解；

（2）由一階差分?jǐn)?shù)列的定義可得當(dāng)="+「4=",要證￡x,C=a”成立，即證C：+2C；+…2一,

1=1

根據(jù)二項(xiàng)式定理即可證明；

（3）作差可得〃+廠"<2"+2一"，故為匕=；火（小尸）<；火僅+2],根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可證明.

z=i2z=i2z=i

【詳解】（1）因?yàn)??！?為｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列，所以-2〃=儲(chǔ)見(jiàn)，

將A2a“…+]-Aa”,代入得"-2"=Aa”+「Aa”，整理得Aa“-an=2",即。用-2a,=2",

所以工勺=g.故數(shù)列[會(huì):是首項(xiàng)為（，公差為（的等差數(shù)列,

因此，.=；+（〃-*,即％=-2一

（2）因?yàn)椋?｝為數(shù)列｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列，所以斗=&「a=〃,

故SxC=%成立，即為C：+2C；+…+〃C；,=n.2、①

Z=1

當(dāng)力=1時(shí)，①式成立；

當(dāng)〃22時(shí)，因?yàn)?"一=〃?（1+1）”—=n-（C"+Ch+???+C：：]）,且“C：」=kC：,

所以①成立，故對(duì)都有成立.

Z=1

fn_Lf-n1

（3）”==,因?yàn)槭?lt;2,所以⑵）">"<2",

22

故（2"+2-"）-化+1）=焉匕―"九2。"-1]>0,即/+廠“<2"+2-"，

所以

9

?，三￡（，+尸）＜[1（2,+2-）

'~22-1.1

i=l4i=l4i=l1-----

2

=（2"_1）+311_￡]=2"_；（1+2一"）＜2"_，2-7^=2"_24.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求

數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.

考點(diǎn)三、平方數(shù)列與類(lèi)平方數(shù)列

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)）若數(shù)列匕,｝滿(mǎn)足g+i=c；則稱(chēng)匕,｝為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列｛。"｝

是"平方遞推數(shù)列"，且％>0,。產(chǎn)1，則（）

A.｛Igaj是等差數(shù)列B.｛1g%+「1g%｝是等差數(shù)列

C.｛。/.｝是"平方遞推數(shù)列"D.｛。用+%｝是"平方遞推數(shù)列"

【答案】C

【分析】對(duì)于AB,由題意得見(jiàn)+[=d，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義分析判斷即可，對(duì)于CD,由平方遞推數(shù)列

的定義分析判斷.

【詳解】對(duì)于AB,因?yàn)椋?｝是"平方遞推數(shù)列〃，所以。用=。\

又%>0,所以4>0,則3%+1-炫?！?電也=坨％,（榜%+2-也4+1）-（也%+|-場(chǎng)?！埃?恒?！?[-榜。“=唬％,

an

所以｛lg%｝,｛lg0用-1g%｝不是等差數(shù)列，所以AB不正確.

對(duì)于C,因?yàn)?+2%+1=片+~：=（%+1%）2，所以是"平方遞推數(shù)列"，所以C正確.

對(duì)于D,因?yàn)?。?2+?！?1=4+1+4工（。用+。"）2>

所以｛。用+%｝不是"平方遞推數(shù)列"，D不正確.

故選：C

1.（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知數(shù)列｛須｝滿(mǎn)足：①qeZ；②VieN*,三"，%+1=甘,左eN*,

則稱(chēng)數(shù)列｛冊(cè)｝為"類(lèi)平方數(shù)列"，若數(shù)列｛0｝滿(mǎn)足：①數(shù)列｛0｝不是“類(lèi)平方數(shù)列"；②將數(shù)列｛0｝中的項(xiàng)調(diào)整

一定的順序后可使得新數(shù)列成為"類(lèi)平方數(shù)列"，則稱(chēng)數(shù)列｛“｝為"變換類(lèi)平方數(shù)列”，則（）

A.已知數(shù)列a,="（lV〃V7,"eN*）,則數(shù)列｛a“｝為“類(lèi)平方數(shù)列"

10

B.已知數(shù)列｛%｝為：3,5,6,11,則數(shù)列｛斯｝為"變換類(lèi)平方數(shù)列"

4a1

C.已知數(shù)列｛an｝的前力頂和為；/+=/+；〃，則數(shù)列｛冊(cè)｝為"類(lèi)平方數(shù)列"

326

WJT

D.已知％=sinT，〃=1,2,3,4.則數(shù)列｛an｝為"變換類(lèi)平方數(shù)列”

【答案】CD

【分析】利用"類(lèi)平方數(shù)列"的定義判斷AC；利用"變換類(lèi)平方數(shù)列”的定義判斷BD.

【詳解】對(duì)于A,MN*,K7,a,+i=2i,當(dāng)月2時(shí)，2z?不是正整數(shù)的平方，數(shù)列｛冊(cè)｝不為"類(lèi)平方數(shù)列”,

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,zGN*,Z<4,當(dāng)q=ll時(shí),ai+i=\\+ie｛12,13,14,15｝,

即無(wú)論11為數(shù)列的第幾項(xiàng)，11+1都不可能為正整數(shù)的平方，數(shù)列｛冊(cè)｝不為"變換類(lèi)平方數(shù)列〃，B錯(cuò)誤；

312

對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，an=—[n-(H-1)]H—[n-(w-1)]J[n-(n-1]=4n-n,

326

43i

而%=—I---1—=3滿(mǎn)足上式，則%=4/—〃，當(dāng)〃時(shí)，ci+z=4z2=(2z)2,

326i

數(shù)列｛七｝為''類(lèi)平方數(shù)列〃，C正確；

對(duì)于D,數(shù)列｛4｝的4項(xiàng)依次為-1,0,(M,將此數(shù)列調(diào)整為0,-1,1,0時(shí),

有0+1=-1+2=匕1+3=0+4=22,因此數(shù)列｛冊(cè)｝為〃變換類(lèi)平方數(shù)列〃，D正確.

故選：CD

考點(diǎn)四、數(shù)列的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.(2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè))我們規(guī)定：若數(shù)列優(yōu)｝為遞增數(shù)列且也為遞增數(shù)列，則優(yōu)｝為"X-數(shù)

列”.

⑴已知：U"心―，數(shù)列｛叫，也｝在｝中其中只有一個(gè)一列，它是一請(qǐng)從另

外兩個(gè)數(shù)列中任選一個(gè)證明其不是X-數(shù)列.

(2)已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿(mǎn)足：向-％)=4+%，%=1，I為｛an｝的前〃項(xiàng)和，試求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)并判斷數(shù)列

是否為X-數(shù)列并證之.

⑶已知數(shù)列｛霰｝、｛%｝均為X-數(shù)列，且4>0,々>0,求證：數(shù)列也也為X-數(shù)列.

【答案】⑴,“｝,證明見(jiàn)解析

⑵氏=2〃-1,[2]不是X-數(shù)列，證明見(jiàn)解析

⑶證明見(jiàn)解析

11

【分析】（1）利用基函數(shù)的單調(diào)性可得｛c,J與I?1都是遞增數(shù)列；利用特殊項(xiàng)的大小比較可得｛冊(cè)｝與｛"J

均不是X-數(shù)列；

（2）由已知等式變形裂項(xiàng)可得=工-——,再由累加法可求通項(xiàng)鰻=2-工，進(jìn)而可得。

n+1nnn+1nn

利用等差數(shù)列求和公式可得S?,由2=1可證明［e4不是X-數(shù)列；

nInJ

（3）由"X-數(shù)列〃的定義可得馬當(dāng)>”>0,組■>%>0,結(jié)合不等式的性質(zhì)與放縮法得:用,

n+\nn+\n（幾+1）n

由此分別證明c,<C"+i與99-寶>0即可得證.

n+1n

【詳解】（1）空格處填｛g｝.

3

一371

原因如下：因?yàn)閯t￡=后，

n

31.

由幕函數(shù)>=/與>=/在r［0,+8）上都是增函數(shù)，由“eN*,

故數(shù)列｛g｝與都是遞增數(shù)列，則｛c?｝為"X-數(shù)列

若選｛a“｝,下面證明｛冊(cè)｝不是X-數(shù)列.

證明：由%=[T]，則%3%一3_9.

一T~2JT~2~8

故?〉今，所以&不是遞增數(shù)列.

12［〃J

故｛%｝不是X-數(shù)列；

若選國(guó)力，下面證明｛“｝不是X-數(shù)列.

,log32log3421og32

證明：由"T°g2",則匕=Jq_=J=J屈

222'442x22

所以，｝，不是遞增數(shù)列.

故｛%｝不是X-數(shù)列.

（2）由〃（4+「％）=%+%=%+1可得〃4+1=（〃+1）%+1,

所以_----n__------=-------

n+1n+n〃+1

設(shè)‘〃=’，則仇_a=1_；，"一%=；一；，…，bn

n223n-1n

11n-1

累力口得6=1—7+7一彳~1-2--1----7

223n-\nnn

12

又4=?=1,故”=%=2」="

1nnn

所以〃〃二2幾一1.由an+x—an=2(W+1)-1-(2H-1)=2,

故｛冊(cè)｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

所以5=叱”八則

即數(shù)列，:，是遞增數(shù)列，但，*，不是遞增數(shù)列，故，*，不是X-數(shù)列.

(3)數(shù)列｛%｝、｛%｝均為X—數(shù)列，且％>0,(>0,

由題意可得?！?gt;q>0，bn>bx>Q,

且也>幺>0,二〉%>0,

〃+1n〃+1n

a3?bma-b

由不等式的性質(zhì)可得，黃卡>ur，又％=。也>°，

〃％0+1

則g<<c”+>所以｛%｝為遞增數(shù)歹U,

("+1)2

且有十〃的+1

5+1)2

C

mil?+1g_(〃+l)c，，+iC"、(〃+l)c，，+incn+l

則ur丁司廣工‘耳?"^

故也是遞增數(shù)列，故｛，“｝為X-數(shù)列.

即時(shí)檢測(cè)

|L__________

1.(24-25高三上?河南?開(kāi)學(xué)考試)若數(shù)列｛?！埃南噜弮身?xiàng)或幾項(xiàng)之間的關(guān)系由函數(shù)/'(x)確定，則稱(chēng)/(無(wú))為

｛%｝的遞歸函數(shù).設(shè)｛%｝的遞歸函數(shù)為/(x)=-/+x.

(1)若0<%<1,??+1=/(??)(“eN*),證明：｛4｝為遞減數(shù)列；

(2)若。"+i=/(a“)+5%+片，且％=g,｛0｝的前"項(xiàng)和記為S..

①求加

②我們稱(chēng)g(x)=[x]為取整函數(shù)，亦稱(chēng)高斯函數(shù)，它表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[L2]=1,[-1.3]=-2.若

2024

求2g(4).

z=lS-+1Z=1

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)①y-1；@10120

13

【分析】⑴根據(jù)定義得出(0」)，再根據(jù)--?！?乜＜0即可證明；

ns

(2)根據(jù)等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的求和公式即可求解①；結(jié)合①得出,當(dāng)〃=1時(shí),

cq

7]=六=5,所以*]=5；當(dāng)”22時(shí)，由放縮得出北＜5+：=5.6,結(jié)合7；27；=5得出g([)=⑵]=5進(jìn)

2—15

而求解.

【詳解】(1)證明：若0〈尤＜1,顯然/(無(wú))=x(l-x)e(O,l).

又所以的€(0,1),%e(O,l),L,an+l=/(a?)e(O,l),

所以

因?yàn)?(x)=-x2+x,g+i=/(%),所以。用=-%+。”，

=-。；＜。，所以%＞4+1，所以｛%｝是遞減數(shù)列.

(2)①由題息得a”+i=-a”+?！?5^“+a*=&“，

又所以?！?0,所以曝=6,

a

3n

所以｛%｝是以g為首項(xiàng)，6為公比的等比數(shù)列，

則4(IT)：?！?1.

-：------------：———-

當(dāng)〃=1時(shí)，7]=-^-=5,所以[*=5；

<5+3-+^---+—

所以當(dāng)“22時(shí)，?；=E2.6/-I_1

3

所以當(dāng)〃N2時(shí)，/<5+—=5.6,

又°工，＞0,所以=

所以V/eN*,5<Tn<5.6,所以g（7；）=/]=5,

所以2g（Z"024x5=1012。.

2024S6a

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解\＞(為時(shí)，關(guān)鍵是求出7,的取值范圍，根據(jù)不等式放縮得出:；＜9^=1

z=i2-6—12-66

是解題關(guān)鍵.

14

2.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知｛%｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，對(duì)于上eN*,定義集合

紇=｛/eN*|at<k\,設(shè)bk為集合Bk中的元素個(gè)數(shù)，特別規(guī)定：若星=0時(shí)，4=0.

⑴若5=2",寫(xiě)出白，&及瓦的值;

⑵若數(shù)列｛b?｝是等差數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)集合S=｛s[s=〃+a””eN"｝,T=\t\f=n+bn,n&N,j,求證：SUT=N*且ScT=0.

【答案】⑴4=0,4=0,狐=3；

(2)?！?〃；

⑶證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列｛%｝的定義，分別求出4，兒,狐；

(2)假設(shè)q="與2,an+l-an>2,均與數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列矛盾，進(jìn)而得到數(shù)列｛an｝是以1為首項(xiàng)，1為公

差的等差數(shù)列，進(jìn)而得到與=〃；

(3)根據(jù)定義得到數(shù)列｛"+“｝是遞增數(shù)列；用反證法證明ScT=0,假設(shè)存在正整數(shù)peSfK,若

則推出0e7,與假設(shè)矛盾，所以ScT=0；SUTqN*,所以要證SU7=N*,只需證N*aSUT，qeN*

且4eS,能推出所以qeSUT,所以N*qSUT,所以結(jié)論成立.

【詳解】(1)因?yàn)?。?2"22,所以4=0,b2=0,

由2"<3得，"=1,所以4=1,

由2"<10得，"=1,2,3,所以g=3；

(2)由題可知生之1,所以4=0,即4=0,

若q=〃?>2,則52=0,紇+i=｛1｝,

所以“=0，耙+1=1，與仍“｝是等差數(shù)列矛盾，所以％=1，

設(shè)力=%+「%(〃?N*),因?yàn)椋麅?cè)｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以d,eN*,

假設(shè)存在左eN*使得M云2,設(shè)。*=t,由?！?1-a”N2得4屆言,+2,

由9=，V，+L<f+2WaM得b,<k,bM=bk+2=k,與也｝是等差數(shù)列矛盾,

所以對(duì)任意〃eN*都有4,=1,

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，%=1+(〃-1)=〃；

(3)因?yàn)閷?duì)于〃eN*,BnG3?+1,所以“M"+1，所以〃+dW〃+6,+i<〃+l+b“+i，即數(shù)列｛〃+，｝是遞增數(shù)列，

先證明ScT=0,

假設(shè)ScT片0,設(shè)正整數(shù)pesnr,

由于peS,故存在正整數(shù)使得尸=，+q,所以q=p-i,

因?yàn)椋麅?cè)｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以—+

所以4T=，T,bp_M=i,

所以(P")+%=(p_，)+(I)=pT，(p_'+l)+%+i=(0-i+l)+i=p+l,

15

又因?yàn)閿?shù)列｛〃+，｝是遞增數(shù)列，所以PET,與假設(shè)矛盾，

所以ScT=0；

再證明SUT=N*,

由題可知SUr=N*,所以要證SUT=N*,只需證N*=SU7，設(shè)qeN*且qeS,

因?yàn)閿?shù)列｛〃+%｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以存在正整數(shù)九使得+

令J=min[/k<j+盯｝,

若4=1則4<1+%，即所以所以4=0,所以q+%=q+0=qeT,

1

若4>1，貝JOoT）+?7o-i<4<Jo+”，所以<4-4+1W%所以（4-J。+1）+b2=（4-J。+1）+0。-1）=4,

因?yàn)槲開(kāi)，0+1）+4底+茂7,所以"7,所以qeSUT,

所以N*qSU7;

綜上所述，SUT=N*且ScT=0.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義問(wèn)題解題策略

首先，明確新定義的特點(diǎn)；其次，根據(jù)定義中的步驟對(duì)具體題目進(jìn)行運(yùn)算；最后得到結(jié)論.

考點(diǎn)五、數(shù)列的凹凸性

典例引領(lǐng)

1.（2024?安徽池州?模擬預(yù)測(cè)）定義：若對(duì)V左€z,左22,%_+。川《2%,恒成立，則稱(chēng)數(shù)列｛%｝為"上凸數(shù)列

（1）若%=77=I,判斷｛%｝是否為"上凸數(shù)列"，如果是，給出證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若｛%｝為"上凸數(shù)列"，則當(dāng)〃zN"+2?,〃eN"）時(shí)，%+a“4%__1+0“+1.

（i）若數(shù)列S,為｛%｝的前〃項(xiàng)和，證明：S?>1（^+^,,）；

（ii）對(duì)于任意正整數(shù)序列網(wǎng)產(chǎn)2戶(hù)3,…,x”…,X,（〃為常數(shù)且“22,〃eN*）,若gj3-l丘j/x廠，-1恒

成立，求彳的最小值.

【答案】（1）是，證明見(jiàn)解析

（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）?-1

【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)〃x）=J（x+l）2-1-GT,XZ1,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性結(jié)合"上凸數(shù)列"定義判定

即可；

（2）（i）利用"上凸數(shù)列"定義及倒序相加法證明即可；令冊(cè);后二I，利用條件及數(shù)列求和適當(dāng)放縮計(jì)

算即可.

【詳解】（1）｛%｝是"上凸數(shù)列"，理由如下：

16

222

因?yàn)??！?n—1,a研]—an=y1｛n+1)—1-Vz?—1,

令/(X)=J(X+1)-1—J幺-1,X>1,

f

川If(x\=X+1___X_J(x+l)3(j―]卜#3(X+2)

、J(x+1)2-1Vx2-1^/(x+1)2-1-A/X2-1

當(dāng)時(shí)，(x+1)3(x-1)-/(%+2)=-2x-1<0,

所以J(x+1)3(X_])<Jx，(x+2),

所以/'(x)<0J(x)在區(qū)間[l,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(幾)>/(〃+1),4n+\~an>an+2~an+\>

所以a,鉉+a,M2%,

所以｛%｝是"上凸數(shù)列

(2)(i)證明：因?yàn)椋?｝是"上凸數(shù)列"，由題意可得對(duì)任意l<7Y〃(ieN*),

%+an_M>%+an_i+2>%+a?_;+3-->a2+an_x>ax+a?

所以2s,=(%+a“)+(%+a,i)+—+(a?_i+%)％+a),

所以

(ii)解：令a“=J/-1，

由(1)可得當(dāng)a〃=J71I時(shí)，｛%｝是"上凸數(shù)列"，

由題意可知，當(dāng)機(jī)2〃+2(加,〃eN*)時(shí)，am+an<am_x+an+i.

因?yàn)椤闖尤;-1=Jx；_1+yjx；_]+展_]+--F店-1，

i=l

即-1=｛X；-1+Jx；-]+《X；-]H--

當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=%=…=X"T時(shí)等號(hào)成立,

所以X21.

綜上所述，4的最小值為〃-L

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即0唧(

1.(24-25高三上?安徽亳州?開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝,對(duì)于任意的“eN*,都有見(jiàn)+。用＞2。用，則稱(chēng)數(shù)列

｛見(jiàn)｝為“凹數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列?！?2”是否為"凹數(shù)列"，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵已知等差數(shù)列｛2｝,首項(xiàng)為4,公差為d,且為"凹數(shù)列"，求d的取值范圍；

⑶證明：數(shù)列死,｝為"凹數(shù)歹！J"的充要條件是"對(duì)于任意的無(wú)，加,”?N*,當(dāng)人＜能＜”時(shí)，有上?＜仁人”.

m-kn—m

【答案】(1)數(shù)列｛2"｝是"凹數(shù)列"，理由見(jiàn)解析

(2)(-?,4)

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】⑴計(jì)算出。"+?！?2＞2。用，故滿(mǎn)足"凹數(shù)列"的定義；

(2)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到6,=4+("-1)d,由題意得上+&＞2x%對(duì)任意”22,〃eN*恒成立，

n-\n+1n

化簡(jiǎn)得到d＜4,得到答案；

(3)先證明出必要性，放縮得到上%故上?＜乙+「匕＜^^』，再證明充分性，取

n-m