雙曲線方程及其性質(zhì)-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第05講雙曲線方程及其性質(zhì)

（6類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無

由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列

2024年新II卷，第19題,17分求直線與雙曲線的交點坐標(biāo)

向量夾角的坐標(biāo)表示

利用定義解決雙曲線中集點三角形問題

2023年新I卷，第16題,5分無

求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍

直線的點斜式方程及辨析

2023年新II卷，第21題,12分根據(jù)°、6、C求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線中的定直線問題

求雙曲線中三角形（四邊形）的

2022年新I卷，第21題,12分求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程面積問題

根據(jù)韋達定理求參數(shù)

求雙曲線中的弦長

由中點弦坐標(biāo)或中點弦方程、

2022年新H卷,第21題,12分根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程

斜率求參數(shù)

根據(jù)韋達定理求參數(shù)

雙曲線中的軌跡方程

2021年新I卷，第21題,12分求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線中的定值問題

由雙曲線的離心率求參數(shù)的取

2021年新n卷,第13題,5分根據(jù)a,b,c齊次式關(guān)系求漸近線方程

值范圍

二元二次方程表示的曲線與圓

判斷方程是否表示雙曲線

2020年新I卷，第9題,5分的關(guān)系

判斷方程是否表示橢圓

二元二次方程表示的曲線與圓

判斷方程是否表示雙曲線

2020年新n卷,第10題,5分的關(guān)系

判斷方程是否表示橢圓

1

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分

【備考策略】1.熟練掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，會基本量的求解

2.熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并會相關(guān)計算

3.能熟練計算雙曲線的離心率

4.會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會雙曲線方程簡單的實際應(yīng)用

5.會求雙曲線中的相關(guān)最值

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，常常考查標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、基本量的計算及離心率的求解,

需重點強化訓(xùn)練

考點梳理

考點3雙曲線的幾何性質(zhì)

核心考點考點4雙曲線的離心率

考點5雙曲線中的最值問題

考點6雙曲線的簡單應(yīng)用

知識講解

1.雙曲線的定義

平面上一動點/(x,田到兩定點片(-c,0),F2(G0制勺距離的差的絕對值

為定值2a(且小于閨聞=2c用點的軌跡叫做雙曲線

這兩個定點與名叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離閨閭叫做雙曲線的焦距

2.數(shù)學(xué)表達式:

2

^MF\-\MF^=2a<閨閭=2c

3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點在X軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程

標(biāo)準(zhǔn)方程為：5―2=1(?>0,6>0)

a6~

4.雙曲線中。，b,C的基本關(guān)系

5.雙曲線的幾何性質(zhì)

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

\ri

圖形B

|z\IB2?

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程二-'=1(a>0,6>0)4-二=1(a〉O,b〉O)

abab

x<一。或x>ay<一?；騳>a

范圍

y^RxwR

4(一。,0),A2(a,0)4(0,-a),A2(0,a)

頂點坐標(biāo)

B1(O「b),B2(09b)B](-b,0),生(九。)

實軸4闋=24實軸長，|4。|=|4。|=。實半軸長

3

虛軸1^1=26虛軸長，用。|=忸2。|=6虛半軸長

焦點月(-c,0),6(c,0)片(0,—C),&(0,c)

焦距國闖=2c焦距,\Fp\=\F2O\=c半焦距

對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為（0,0）

漸近線方程y=+-xy=+-x

ab

C/-

e--(e>1)

a

離心率

aaa\aJ\

離心率對雙曲線的影e越大，雙曲線開口越闊

響e越小，雙曲線開口越窄

6,離心率與漸近線夾角的關(guān)系

1

e-------

cosa

7.通徑：

（同橢圓）

72

通徑長：==—匕，

72

半通徑長：|九閭=|八圜=忸闖=,聞=幺

8.雙曲線的焦點到漸近線的距離為b

考點一、雙曲線的定義及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

L（2024?河北邢臺二模）若點尸是雙曲線C：上一點，耳，）分別為C的左、右焦點，則"陷|=8"

是尸閶=16"的（）

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.充分不必要條件

【答案】D

【分析】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.

4

【詳解】a=4,Z7=3,c=V42+32=5-

當(dāng)點尸在左支時，|咫|的最小值為c-a=l,

當(dāng)點尸在右支時，|尸團的最小值為a+c=9,

因為|尸￡|=8,則點P在雙曲線的左支上，

由雙曲線的定義|時|-|尸用=幽|-8=2=8,解得|尸閭=16；

當(dāng)|尸閭=16,點尸在左支時，|尸周=8；在右支時，|尸國=24；推不出|尸國=8；

故為充分不必要條件，

故選：D.

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知雙曲線的左、右焦點分別為片、6,過耳的直線交雙曲線左支于45兩點，且

M卻=5,若雙曲線的實軸長為8,那么4/3&的周長是()

A.5B.16C.21D.26

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的定義分析求解.

【詳解】由題意可知：|/居|一卜周=忸十-忸周=8,即M閶=8+|，匐愿|=8+|明,

所以△居居的周長卜周+|8段+|/8|=(8+N月|)+(8+慚；?悌卜16+2械卜26.

故選：D.

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))若動點P(x,y)滿足方程J(X+2)2+R-J(X-2)2+R=3,則動點P的軌跡

方程為()

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線定義得到點尸的軌跡方程是以4(-2,0)與8(2,0)為焦點的雙曲線，得到答案.

【詳解】由題意得點P(x,y)到點4(—2,0)與點8(2,0)的距離之差的絕對值為3,且4>3,

故動點P的軌跡方程是以4(-2,0)與8(2,0)為焦點的雙曲線，

故2。=3,。=2,

5

所以〃=3萬=c1—a1=4——=—,

244

22

__匕-

所以雙曲線的方程為回一7一1.

44

故選：A.

■即_時__檢__測___

1.(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測)設(shè)片，片是雙曲線C:工-片=1的左，右焦點，過耳的直線與y軸和C的右

48

支分別交于點尸，Q,若△尸。耳是正三角形，貝修尸￡1=()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及等邊三角形的性質(zhì)計算可得.

【詳解】對于雙曲線C:工一片=1,則0=2,

48

根據(jù)雙曲線定義有IQKITQGH2a=4,

又|。耳1=1尸耳|+|尸0|,\QF2\=\PQ\,故用1=4.

故選：B

22

2.(23-24高三下?山東青島,階段練習(xí))雙曲線1-匕=1(°＞0)的兩個焦點分別是片與鳥，焦距為8;M是

a12

雙曲線上的一點，且W01=5,則W/卜.

【答案】9

【分析】根據(jù)焦距及雙曲線。,仇c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線定義，即可求得答案.

【詳解】由題意得：焦距2c=8=c=4,在雙曲線中有/=,2一〃=16-12=4,

因為。＞0,解得。=2,

由雙曲線的定義：||咋|-|"閭|=2.=4,眼匐=5,

解得|炳|=1或|吟|=9,

由圖可知|孫|+|上啊＞2c=8,可知|崢|=1被舍去，

所以|摩卜9.

故答案為：9.

6

3.（23-24高二上?四川涼山?期末）已知點M（2,0）,#（-2,0）,動點尸滿足條件忸叫-|P時=2，則動點尸的

軌跡方程為（）

22

A.；_,2=I（X2b）B.?_,2=1卜（_6）

C.x2-^-=l（x＞l）D.x2-^-=l（x＜-l）

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷動點尸的軌跡形狀，利用待定系數(shù)法即可求得軌跡方程.

【詳解】因為"（2,0）,N（-2,0）,所以|M2V|=4,動點尸滿足歸叫-|尸叫=2＜,

由雙曲線的定義可知，動點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的左支，

22_________

設(shè)雙曲線方程為、一4=1（?！?/＞0）,則有。=2,Q=l,b=J02一"2=石,

ab

2

所以動點尸的軌跡方程為--0=1卜＜-1）.

故選：D.

考點二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

典例引領(lǐng)

V2V2

1.（2024高三下?全國?專題練習(xí)）雙曲線方程為環(huán)工+。=1,則左的取值范圍是（）

A.k＞5B.2＜k＜5C.-2＜k＜2D.—2＜左＜2或左＞5

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式，結(jié)合不等式的解法，分類討論，即可求解.

22

【詳解】由方程Q+占=1表示雙曲線，可得（陽-2乂5-月＜0,

當(dāng)壯0時，可得（斤-2）（"5）＞0,解得0V左＜2或后＞5；

當(dāng)左＜0時，可得（4+2）（左一5）＜0,解得一2＜發(fā)＜0,

綜上可得，實數(shù)左的取值范圍為（-2,2）U（5,舟）.

故選：D.

2.（2023高三上?湖北孝感?專題練習(xí)）過點（2,2）且與橢圓9/+3/=27有相同焦點的雙曲線方程為（）

2222

Ax2y2]?J%,cx2y2]DJx

68682424

【答案】D

【分析】求出橢圓的焦點可得雙曲線的焦點，結(jié)合雙曲線經(jīng)過點（2,2）,可求得雙曲線方程.

7

【詳解】由9X2+3/=27,得力+；=1,所以焦點在y軸上，且c=

22______1

設(shè)雙曲線的方程為4-斗=1(。>0,6>0),所以。,從一‘解得儲=2,〃=4,

abJ?入2_(

所以雙曲線的方程為《-父=1.

故選：D.

3.(22-23高二下?甘肅武威?開學(xué)考試)求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(l)a=4,經(jīng)過點/jl,生Fj；

⑵焦點y軸上，且過點(3,-4五)，

【答案】⑴《-《=1;

169

【分析】(1)根據(jù)雙曲線焦點在x軸和y軸上進行討論即可求解；

⑵可設(shè)雙曲線方程為小2-為2=1(/3>0),代入兩個點的坐標(biāo)即可求解.

22

【詳解】(1)當(dāng)雙曲線焦點在X軸上時，設(shè)雙曲線方程為?-彳=1(〃>0,6>0),

22

將。=4代入，^--4=1

16b2

又點/在雙曲線上,

...有士-黑=1,由此得〃<0,不合題意，舍去.

22

當(dāng)雙曲線焦點在了軸上時，設(shè)雙曲線方程為J-、=l(a>0,6>0),

把點A坐標(biāo)代入，得獴-\=1,解得/=9.

22

故所求雙曲線方程為乙-二=1.

169

(2)設(shè)雙曲線方程為//-為2=1(/3>0),將已知點坐標(biāo)代入,

8

94—325=1

得,-258=1'解得/"O'八一』

116

22

，所求方程為匕-乙=1.

169

即時檢測

{________________________________

22

1.（23-24高三上?河北張家口?開學(xué)考試）"左＞2"是"三----匕=1表示雙曲線”的（）.

k+\k-2

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)方程表示雙曲線以及充分、必要條件等知識確定正確答案.

22

【詳解】當(dāng)（左+2）（"2）＞0,即左＜-2或左＞2時，———匚=1表示雙曲線，

上+2左一2

22

所以〃人〉2〃是〃」———=1表示雙曲線〃的充分不必要條件.

左+2k-2

故選：B

2.（2024?遼寧?二模）已知雙曲線C：二”彳片。）的焦點為。坳，則。的方程為（）

A.x2-y2=1B./-x2=1C.x2-y2^2D.y2-x2=2

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程計算即可.

【詳解】因為雙曲線C的焦點為（0,±2）在縱軸上，所以4＜0,

22

且雙曲線C方程二一二=1滿足（一2）+（-4）=22,

-2-2

故;1=一2,貝IC的方程為產(chǎn)一犬=2.

故選：D.

3.（2022高三?全國?專題練習(xí)）已知某雙曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點網(wǎng)3,277）,。卜60，7），求該雙曲

線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】小_匚=1

2575

［分析］不知道焦點的位置,可設(shè)雙曲線的一般式方程mx2+ny2=l（mn＜0），這樣可避開討論，使問題輕松獲

解.

【詳解】設(shè)所求雙曲線的方程為必2+即2=1（皿＜0）

9

1

m=-----,

由所求雙曲線經(jīng)過點尸（3,2⑺，0卜6近，7），得;75

解得

1

n=——,

25

故所求雙曲線的為片-二=1

2575

考點三、雙曲線的幾何性質(zhì)

?典例引領(lǐng)

1.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）以夕=±3工為漸近線的雙曲線可以是（）

A.---y2=lB.x2-^-=l

3-9

22

C.--X2=1D.=1

39

【答案】B

【分析】利用漸近線的求法，直接求出各個選項的漸近線方程，即可求解.

【詳解】對于選項A,由：-/=1得漸近線方程為了=±等》，所以選項A錯誤,

對于選項B,由--卷=1得漸近線方程為〉=±3工，所以選項B正確，

2

對于選項C,由-=1得漸近線方程為y=±氐，所以選項C錯誤，

丫21

對于選項D,由1得漸近線方程為片土,所以選項D錯誤，

故選：B.

22

2.（2024?廣西柳州?模擬預(yù)測）雙曲線土一匕=1的一個頂點到漸近線的距離為（

416

A.V5B.4C.手D.2^3

【答案】C

【分析】求出頂點坐標(biāo)和漸近線方程，然后利用點到直線的距離公式求解.

【詳解】由雙曲線的方程知兩頂點4（-2,0）,4（2,0）,

漸近線方程為了=±2尤=±2尤，

a

1446

d=

由對稱性，不妨求4到直線y=2x的距離，=I2,2~-

V2+（T）

故選：C.

10

22

3.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）雙曲線比―------J=1的實軸長為4,貝lja=________.

Q+Q+22Q+3

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，確定雙曲線的焦點位置，再列式計算即得.

【詳解】顯然a2+a+2>0恒成立，則雙曲線E的焦點在x軸上，

[+d!+2=2^

于是《，所以。=1.

[2（1+3>0

故答案為：1

4.（2024?湖南益陽?模擬預(yù)測）己知雙曲線又一二=1（機>0,〃>0）與橢圓片+片=1有相同的焦點，則±+工

mn43mn

的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】首先得到橢圓的焦點坐標(biāo)，依題意可得加+〃=1（m>0,〃>0）,利用乘"1"法及基本不等式計算可得.

【詳解】橢圓]+：=1的焦點為（±1,0）,

依題意可得加+〃=1（冽〉0,〃>0）,

所以&+1/±+」（加+44+乜4R2、回三5=9，

mnn）mn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)擔(dān)="，即〃=工，機=:時取等號，

mn33

故二4十，1的最小值為9.

mn

故選：D

5.（2022?福建三明?模擬預(yù)測）已知雙曲線6：/+廣=1（7"0）與。2：—-/=2共焦點，則G的漸近線方

m

程為（）.

A.x+y=0B.y[2x+y-0C.x±V3y=0D.V3x+y=0

【答案】D

【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計算即可.

22

【詳解】易知。2：--/=2=5-三=1，其焦點坐標(biāo)為（±2,0）,

2______

對于雙曲線G：f+匕=1（相力0），可得加<0,其焦點坐標(biāo)為（土J匚藐,o）,

故1一加=4n加=一3,

此時G:-=1,則其漸近線方程為43x+y=0.

故選：D

11

6.（2024?貴州?模擬預(yù)測）我們把離心率為回L的雙曲線稱為〃黃金雙曲線〃.已知〃黃金雙曲

2

22

線”C：七年=1（6>0）,則C的虛軸長為.

【答案】4

【分析】根據(jù)條件及離心率的定義，得到好口，即可求解.

\2V5-22

【詳解】因為e=￡=、1+與=J1+—叵口，即1+—叵，解得6=2,所以C的虛軸長

a\a1\275-222M24

為4,

故答案為：4.

即時檢測

I___________________

1.（24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試）過點尸（2,3）的等軸雙曲線的方程為.

22

【答案】匕-土=1

55

【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程，代入點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】因為雙曲線為等軸雙曲線，

所以設(shè)雙曲線方程為X2-/=4,幾/0,

將點P（2,3）代入得4-9=2,解得力=一5,

22

所以雙曲線方程為匕-土=1,

55

故答案為：^-―=1

55

2.（2024?安徽合肥?一模）雙曲線C:/-《=1的焦距為4,則C的漸近線方程為（）

b2

A.y=±V15xB.y=±百x

cr.y=+±-而----xn□-y=4+——百x

153

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線方程以及焦距可得b=可得漸近線方程.

【詳解】由焦距為4可得2c=4,即c=2,又。=1,

所以02=1+/=4,可得/=3,即6=6；

則C的漸近線方程為y=+-x=土瓜.

故選：B

12

3.（23-24高三上?河南瀑河?期末）已知雙曲線=i（加＞o）的一條漸近線方程為必+島=0,則C

的焦距為.

【答案】迪

3

【分析】求出漸近線方程y=±J/x,對照得到方程，求出%=3,從而求出焦距.

【詳解】由題意得C:加x2-j?=1（加＞0）的漸近線方程為丁=±而，

故至=而，解得優(yōu)=3,

故答案為：迪

3

22

4.（24-25高三上?山東泰安?開學(xué)考試）若雙曲線1r一]=1（°＞0/＞0）的一個焦點廠（5,0）,一條漸近線方

程為＞=:工，貝！JQ+6=.

4

【答案】7

【分析】由條件列出關(guān)于。，仇。的方程，解方程可得。力的值，由此可得結(jié)論.

22L.

【詳解】雙曲線十*1的漸近線方程為尸土夕，

22

又J-、3為Y雙曲V線[-4=1的一條漸近線，

4a2b2

所以"I，

a4

22

設(shè)雙曲線二-斗=1的半焦距為C,因為尸（5,0）為其一個焦點，

ab

所以。=5,又

所以。=4/=3,

所以a+Z?=7.

故答案為：7.

2222

5.（2024.河南新鄉(xiāng).模擬預(yù)測）（多選）已知。＞0,6＞0,則雙曲線G*-方=1與G：,方=4有相同的

（）

A.焦點B.焦距C.離心率D.漸近線

【答案】CD

【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)逐一判斷即可；

【詳解】對于選項A、B：設(shè)c=易知。的左、右焦點坐標(biāo)分別為（-C,。）和（G。），

13

22

而C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為帚-京=1,故其左、右焦點坐標(biāo)分別為（-2c,0）和（2c,0）,

顯然G和G的焦點和焦距均不相同，故A,B錯誤;

對于選項C、D：。和G的離心率均為上，漸近線方程均為了=±2工，故C,D正確.

aa

故選：CD.

考點四、雙曲線的離心率

典例引領(lǐng)

1.（2023?北京?高考真題）已知雙曲線C的焦點為（-2,0）和（2,0）,離心率為血，則C的方程為.

【答案】--^-1

22

【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線。的實半軸、虛半軸長，再寫出。的方程作答.

【詳解】令雙曲線。的實半軸、虛半軸長分別為。力，顯然雙曲線。的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦

足巨。二2,

由雙曲線c的離心率為血，得￡=血，解得.=&，則6=7?^=也，

a

22

所以雙曲線C的方程為二-匕=1.

22

故答案為：《-廿=1

22

2.（2024?上海?高考真題）三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲

線的離心率為.

【答案】3

【分析】利用雙曲線的定義求解即可.

【詳解】由雙曲線的定義，2c=6,2?=7-5=2,

則e，=3.

a

故答案為：3

3.（2024?全國?高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為（0,4）,（0,-4）,點（-6,4）在該雙曲線上，則該雙曲

線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.72

【答案】C

【分析】由焦點坐標(biāo)可得焦距2c,結(jié)合雙曲線定義計算可得2a,即可得離心率.

14

【詳解】由題意,設(shè)耳（0,-4）、舄（0,4）、尸（-6,4）,

貝I］寓閭=2c=8，|尸用=、62+（4+4）2=10,|%=后+（4-4）2=6,

則2a=|尸周一|尸聞=10_6=4,則e=^=§=2.

2a4

故選：C.

227

4.（2022?浙江?高考真題）已知雙曲線斗-方=l（a>0,6>0）的左焦點為凡過尸且斜率為名的直線交雙曲

線于點/（國,乂），交雙曲線的漸近線于點2（%，%）且再<0<%.若|所|=3|E4|,則雙曲線的離心率

是

【答案】乎

【分析】聯(lián)立直線和漸近線4：y=2x方程，可求出點B,再根據(jù)|E8|=3|E4|可求得點A,最后根據(jù)點

a

A在雙曲線上，即可解出離心率.

【詳解】過尸且斜率為3的直線43：了=鄉(xiāng)（X+C）,漸近線=

4a4。a

b、

y=^（zx+c）

4a,得8cbe,由四=3以，得"奇卷，

聯(lián)立,

033^

y=-x

a

而點A在雙曲線上，于是言一佇］=1,解得:>3所以離心率-苧

81a281/〃

故答案為：巫

5.（2022?全國,高考真題）雙曲線C的兩個焦點為G,乙，以C的實軸為直徑的圓記為。，過久作。的切線

3

與。交于N兩點,且005/4%工=不，則。的離心率為（）

3rV13

AB.一?

-T22

【答案】AC

【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在x軸，設(shè)過片作圓。的切線切點為G,利用正弦定理結(jié)合三角變換、

雙曲線的定義得到26=3?；騛=26,即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.

15

【詳解】［方法一］:幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在不軸，設(shè)過耳作圓。的切線切點為B,

3

所以O(shè)B，F(xiàn)］N,因為cos/耳明=《>0,所以N在雙曲線的左支,

II34

|OB|=a,\OFX\=c,|FJB|=b,設(shè)/FiNF?=a,由即cosa=y,貝!Jsina=1

35

|NA|=-tz,|NF2|=-a

|陶-|NFj=2a

—a——ci—2b|=2。,

2(2

2b=a,e=—

2

選A

3

若M、N在雙曲線的兩支，因為cos/片NB=M>0,所以N在雙曲線的右支,

所以|OB|=a,\OF^=c,|F|B|=b,設(shè)組NF『a,

334

由cos/片N/^=一,即cosa=—,貝ijsina二一，

35

|NA|=-a,|NF2|=-a

公用一村囚=20

16

—a+2b—ci—2a,

22

所以26=3a,即2=3,

a2

所以雙曲線的離心率e=￡=、!工=史

a\a22

選C

［方法二］:答案回代法

A選項e=

2

特值雙曲線

2

+/=1,..耳卜6(),25)，

過耳且與圓相切的一條直線為y=2(x+6b

???兩交點都在左支,，N^-|V5,-|>/5^

.?.公以=5,N耳|=1,怛禹|=2石，

3

則cosN片穹

C選項。=史

2

22

特值雙曲線\-七=1,.?.耳(-Vn,o)，B(JT5,o),

過耳且與圓相切的一條直線為y=：(x+M),

???兩交點在左右兩支，N在右支，.一［［屈,

.'.|NF21=5,^|=9,^1=241,

3

則cosN4叫=-,

［方法三］:

依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在無軸，設(shè)過片作圓。的切線切點為G,

若分別在左右支，

3

因為OG_LN耳，且cos/4Ng=)>0,所以N在雙曲線的右支，

又|OG|=a,\OF］=c,\GF^b,

設(shè)［

/FNF2=a,ZF2FXN=0,

17

在△叱?中，有辱二上^工，

sinpsin[a+p)sina

故"=-—即.(〃.口"——

sm(a+夕)-sm/7smasin(cr+/>)-sin/;sma

sinacos尸+cosasin0-sin0sina

工3.ab.4

而cosa=—,sinpn=—,cospn=—,故sina二一，

5cc5

代入整理得到26=3a,即=3,

a2

若W,N均在左支上,

sin〃一sin(a+〃)sinesin-sinacoscosasin(3sina

代入cost/=3，sin,sina=—,整理得到：、

故選：AC.

22

6.(2024?廣東江蘇?高考真題)設(shè)雙曲線C:2-「=l(a>0/>0)的左右焦點分別為耳耳，過耳作平行于

ab

y軸的直線交C于4,8兩點，若手/1=13,1/切=10,則C的離心率為.

18

3

【答案】5

【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出|/月|,結(jié)合雙曲線第一定義求出H用，即可得到瓦。的值,

從而求出離心率.

22

【詳解】由題可知4民工三點橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將X=c代入三一看=1

ab

得y=士”,即，一c,---故.=^—=10,|/修=d=5,

又周一卜刃=2?,得|四|=|/閶+2a=2a+5=13,解得。=4,代入2=5得==20,

a

「63

故/=/+〃=36,,即c=6,所以e=—=—=—.

a42

22

1.（2024?河南周口?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:彳=1（〃>0,6>0）的焦距與其虛軸長之比為3：2,則C的

ab

離心率為（）

A.V5B.31C.—D.—

552

【答案】C

【分析】設(shè)。=3加（加>0）,由已知可得。=后，進而可求離心率.

【詳解】由題意可知，2c:2b=3:2,貝1」。:6=3:2,設(shè)。=3加（冽〉0）,則6=2加，

所以〃=yjc23—b2=，故C的禺心率為e=—=±6.

a5

故選：C.

2

2.（2024,四川成都?模擬預(yù)測）雙曲線。:r土-/=1（加〉0）的一條漸近線為瓜+吵=0,則其離心率為（）.

m

A2A/3A/6RA/102A/6

3333

19

【答案】A

【分析】根據(jù)漸近線方程解得加=3,再由離心率公式求解即可.

【詳解】解：因為雙曲線C