山東省青島市2023-2024學(xué)年高二年級上冊期末水平檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.己知直線/的一個方向向量為A'=。'?),則直線/的傾斜角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)直線/的傾斜角為由題意得tan，=3,可得傾斜角.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為9,0°<6?<180°>

由直線/的一個方向向量為初=。,6)，得tan，=￥=石，

則。=60°.

故選：C.

2.已知向量方=(1,1,0),^=(-1,2,2),且7M+55與2N—B互相垂直，則實數(shù)2等于()

33737

A.-B.一或一C.?；?D.0或一

55555

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)濟(jì)B的坐標(biāo)分別求出7G+5B與的坐標(biāo)表示，由7N+5B與24—B互相垂直，得

7萬+5B與2G—B的數(shù)量積為零即可求解.

【詳解】7a+5^=7(1,1,0)+5(-1,2,2)=(2,7+52,10),

2a-^=2(1,1,0)-(-1,2,2)=(3,2-A,-2),

由7M+5B與2M—B互相垂直，

<(7a+5K)-(2a-^)=2x3+(7+52)x(2-2)+10x(-2)=0,

3

解得2=0或=

故選：C.

22

3.已知雙曲線C：土—1=1的焦距為6,則雙曲線。的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()

5b2

A.V3B.2C.4D.同

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得，c=3,由5+^=9,解得匕=2,可得h,求出漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離

公式計算即可得到.

【詳解】由題意可得，c=3,焦點(diǎn)為(—3,0),(3,0),

則5+/=9,解得〃=2,又。=百

則雙曲線的漸近線方程為y=±冬5%,

-5

6A/5

r=2

則焦點(diǎn)到漸近線的距離為

故選：B.

4.正四面體A3CD各棱長均為四，E,F,G分別是的中點(diǎn)，則屈()

忘

AB.V2C.1D-I

2

【答案】D

【解析】

【分析】用說,C5,通表示出G反赤，再求數(shù)量積.

【詳解】因為E,F,G分別是的中點(diǎn)，四面體A3CD是正四面體，且棱長J2,

所以云.加=(祀+包+通)，夙=(—工瓦+瓦+工通)」囪

2222

=--W-CA+-CA+-ABCA

424

=--xV2xV2cos60°+—x(V2)2+—X5/2XV2COS120°=—.

4242

故選：D.

22

5.點(diǎn)尸在橢圓c：3+（=1上，F(xiàn)（O,1）,點(diǎn)尸到直線y=4的距離為d,貝U()

A.|P同與d無關(guān)B.\PF\=d

c-|^|=（

D.\PF\=2d

【答案】C

【解析】

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（加,〃），（-2<n<2）,

因為動點(diǎn)尸在橢圓三+二=1上，則〃，=3—”,

344

因為點(diǎn)尸到直線y=4的距離為d,所以4—〃=d,

又萬（0,1）,

所以I尸同=—1）2

故選：C.

6.過三點(diǎn)4（1,2）,B（3,2）,C（l,—6）的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|肱仙=（）

A.6B.273C.713D.2岳

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)圓的方程為￡+）?+以+砂+尸=0,代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出。，E，F(xiàn),則圓的方程可得，令

x=0,即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓的方程為/+/+6+4+歹=0（。2+石2—4歹>0）,

l+4+D+2E+R=0

貝|]<9+4+3D+2E+F=0,

1+36+D-6E+F=0

.,.D=Y,E=4,F=—9,

?，?爐+）2一4％+--9=0,

令％=0,可得/+--9=0,

.=-4土J16+36--4±2如=2+歷,

\MN\=\yi-y2\=2^13.

故選：D.

7.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2）,五五數(shù)之剩

三（除以5余3）,七七數(shù)之剩二（除以7余2）,問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：已知正整數(shù)?滿足三

三數(shù)之剩二，將符合條件的所有正整數(shù)?按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛4｝,記數(shù)列｛4｝的前

n項和為S“,則S”+4+7的最小值為（）

n

1719

A.—B.--C.10D.11

22

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可分析出數(shù)列｛4｝是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前〃項和公式化簡

S"+""+7,結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可知最小值.

n

【詳解】解：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項為2,公差為3的等差數(shù)列

所以4=2+3(“_l)=3“_l,S“==2^21

3n2+n

+3n—1+7

所以+4+77

2=-n-\-----1——

nn2n

由對勾函數(shù)性質(zhì)可得:

函數(shù)7'(x)=3x+N+°在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，又“為正整數(shù),

22x

所以3+4+7最小值為上,

n2222

故選：B

8.已知拋物線C:/=4x與過焦點(diǎn)產(chǎn)的一條直線相交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)產(chǎn)且垂直于弦A5的直線交拋物

線的準(zhǔn)線/于點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是()

A.準(zhǔn)線/的方程是i=-2B.以AB為直徑的圓與了軸相切

\AB\

C.七U的最小值為2D.AABM的面積最小值為2

\MF\

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線方程，結(jié)合準(zhǔn)線定義即可判斷A；當(dāng)直線A3斜率不存在時，計算可得此時以A3為直

徑的圓不與〉軸相切，即可判斷B；對于CD：分直線A3斜率存在以及不存在兩種情況分別討論，即可求

解.

【詳解】對于A：由拋物線的方程可知其焦點(diǎn)為(1,0),故準(zhǔn)線/的方程為：x=-l,故A錯誤.

對于B：當(dāng)直線A3的斜率不存在時，即A3直線方程：x=l，易得|A@=2p=4,

則以A5為直徑的圓半徑為2,此時不與J軸相切，故B錯誤.

_,,,,\AB\

對于C：①當(dāng)直線A3的斜率不存在時，易得|A@=2p=4,|加刊=2,.?.扁=2；

②當(dāng)直線A3的斜率存在時，設(shè)直線A3的方程為丁=左（％—1）（左W0）,4（石,%），6（尤2，%），

,y=,(x—l),得42尤2_2優(yōu)2+2)%+/=0,

由

y=4xv7

得A=16H2+l)>0,石+“2(；：2),X1x2=l,

.?』烈|=門|玉—耳=門4里二―4x1=1〃

易知直線百加的方程為y=-4（》一1）,由|1,、，得

k'y=--（x-1）Ik

\AB\

綜上所得，際的最小值為2,故C正確?

對于D：當(dāng)直線A5的斜率不存在時，易得|A@=2p=4,|MF|=2,

所以S.ABE=JA4MH=4；

當(dāng)直線A5的斜率存在時，S,

故當(dāng)Jrf°時，

S.BE取得最小值，且此時最小值為4,故D錯誤.

故選：C.

x

二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，連續(xù)10天測得該地92.5(92.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，單位：Mg/n?)

的日均值，依次為35,26,17,23,33,56,41,31,30,33,貝U()

A.這組數(shù)據(jù)的極差為39B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為33

C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為31或33D.這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為33

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)極差的概念通過計算即可判斷A；對這組數(shù)據(jù)重新排序，再根據(jù)眾數(shù)的概念計算即可判斷B；

對這組數(shù)據(jù)重新排序，再根據(jù)中位數(shù)的概念計算即可判斷C；求出這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)即可判斷D.

【詳解】對于A,極差為56—17=39,故A正確；

對于B,這組數(shù)據(jù)從小到大依次是：17,23,26,30,31,33,33,35,41,56,

所以眾數(shù)為33,故B正確；

對于C,這組數(shù)據(jù)從小到大依次是：17,23,26,30,31,33,33,35,41,56,

31+33

所以中位數(shù)為2——=32,故C錯誤；

2

33+33

對于D,因為10x60%=6,所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為-------=33,故D正確.

2

故選：ABD

10.下列有關(guān)直線與圓的結(jié)論正確的是()

A.方程Ax-y+3左+1=0表示的直線必過點(diǎn)(-3,1)

B.過點(diǎn)(2,5)且在x,y軸上的截距相等的直線方程為x+y-7=0

C.圓G：(x—iy+y2=i和圓。2：/+丁—4x—4y+4=0的公共弦所在的直線方程為x+2y—2=0

D.若圓(％—1)?+丁=4上恰有3個點(diǎn)到直線y=x+人的距離等于1，則。=—1土J5

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,將直線方程化為％(x+3)=y-1即可判斷；對于B,當(dāng)截距為0時即可判斷；對于C,由

圓的方程可得圓C1與圓相交，再將兩圓的方程作差即可判斷；對于D,由題意可得圓心(1,0)到直線

y=x+b的距離等于1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷.

【詳解】對于A,方程西一y+3左+1=0可化為上(x+3)=y—1,

直線過定點(diǎn)（—3,1）,故A正確；

對于B,當(dāng)截距為。時，直線方程為y=[x,故B錯誤；

對于C,圓C2的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（尤—2）2+（y—2『=4,圓心為G（2,2）,

半徑為2,圓C1的圓心為G（1,O）,半徑為1，

因為2-1<|弓。2|=逐<2+1，所以圓Ci與圓相交.

圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程得必+V-2x=0,

與圓。2的一般方程作差，可得2x+4y—4=0,即x+2y—2=0,

所以圓G與圓。2的公共弦所在的直線方程為％+2y—2=0,故C正確;

對于D,若圓（x—I）?+丁=4上恰有3個點(diǎn)到直線y=x+b的距離等于1,

則圓心（1,0）到直線y=x+匕的距離等于1,

11+^1「

即%4=1,解得6=—1±0,故D正確.

故選：ACD

11.在等比數(shù)列｛4｝中，4=1,%=27,則（）

A.｛%%｝的公比為9B.（log3a?+1｝的前20項和為210

D.￡4+.）=2（卡—1）

C.｛&｝的前20項積為32°°

k=l

【答案】AB

【解析】

【分析】對A,根據(jù)等比數(shù)列的基本量關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷即可；對B,由A可得log34+i=〃,

再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解即可；對C,根據(jù)a“=3"T求解即可；對D,代入a〃=3"T求解即可.

【詳解】對A,設(shè)等比數(shù)列明的公比為心則:427,得"3,

所以為=,所以a“am=3'i?3"=32"-1,

2n+l

%+。+

所以2

4%

所以數(shù)列｛a,,4+1｝的公比為9,故A正確；

對B,因為log3a?+1=n,所以｛log3a“+1｝的前20項和為

]+2+…+20=20*（1+20）=2]。,故B正確；

2

對C%的前20項積為3°x31x…x319=3"°,故C錯誤；

n-1n-1

對D,因為a“+an+1=37+3"=3（l+3）=4x3,

所以｛4+a〃+]｝的前幾項和為4（[：）=2（3"—1），故D錯誤.

故選：AB

12.已知雙曲線C：12—y2=4,點(diǎn)M為雙曲線右支上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作兩條漸近線的垂線，垂

足分別為A,8兩點(diǎn)，則（）

A.雙曲線的離心率為2

B.存在點(diǎn)使得四邊形Q4MB為正方形

C.四邊形Q4MB的面積為2

D.四邊形Q4MB的周長最小值為2夜

【答案】BC

【解析】

【分析】由雙曲線的離心率公式可判斷A；當(dāng)M為雙曲線右頂點(diǎn)時，四邊形。4MB為正方形，從而可判斷

B；設(shè)河（后,%）,則焉-尤=4,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得|舷4卜|兒倒=2,從而可判斷C；利用基

本不等式求出卸的最小值，從而可判斷D.

【詳解】A選項，由題意得1=尸=4,故c?二4+川=8,故0=￡=述=后，A錯誤；

a2

B選項，由雙曲線C的方程可得漸近線方程為y=±x,兩漸近線夾角為直角，

由對稱性可知，若四邊形Q4MB為正方形，則M到兩條漸近線的距離相等，

所以當(dāng)/為雙曲線右頂點(diǎn)時，四邊形Q4MB為正方形，故B正確；

C選項，設(shè)"（如兄），則焉—弁=4,

因為漸近線方程為y=±x,

所以,\MB\=,

11V211V2

2

所以4HM=I/2，"='

則四邊形Q4MB的面積為|M4HMeI=2,故C正確；

D選項，由C選項及基本不等式得+之2而酈珂=?,

當(dāng)且僅當(dāng)|A例=|八叫=及時等號成立，

所IU|M4|+|MB|的最小值為2夜.

四邊形Q4MB的周長為+夜，故D錯誤.

故選：BC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.一排有8個座位，如果每個座位只能坐1人，現(xiàn)安排四人就座，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有

種（用數(shù)字作答）.

【答案】720

【解析】

【分析】將問題看成可看成4個坐著人的座位和4個空座位排隊，先將4個坐著人的座位全排，然后結(jié)合插

空法可得.

【詳解】解：可看成4個坐著人的座位和4個空座位排隊，

先安排4個坐著人的座位，共有A：種坐法，產(chǎn)生5個空，

然后安排空座位到空中，相鄰的兩個空座位捆在一起，看作一個元素，有C；種坐法，

然后再從剩余的4個空中選擇兩個將空座位安上，

因為空座位相同，所以只需要選出兩個空位即可，有C：種坐法,

所以共有A：xC；xC；=720種坐法.

故答案為：720.

14.已知拋物線。準(zhǔn)線與圓M:(x-l)2+(y+l)2=4相切，請寫出一個拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】x2=-4y(V=—4%犬=12y，V=4x，V=—12x任意一個均可以)

【解析】

【分析】解題時寫出切線方程，再求出拋物線方程即可.

【詳解】與圓M：(x—1)2+(y+1)?=4相切且與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線有y=l,y=—3,x=—l,x=3,

對應(yīng)的拋物線方程有：%2=-4y,x2-12y,y2-4x,y2--12x

故答案為：Y=—4y=_今,必=12y，V=4x，V=_i2x任意一個均可以)

15.已知〃(入0，兒)是圓C:(x—ly+V=1上任意一點(diǎn)，則&的取值范圍為________.

%+1

「41

【答案】0,j

【解析】

7%+1/Xyn+1

【分析】設(shè)左，變形可得上(％+1)—%—1=0,利用4r的幾何意義轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系

X()十1Xn十L

即可求解.

【詳解】設(shè)左=變形可得左(％+1)—%—1=0，

入0+1

yn+1/、

則4r的幾何意義為直線Mx+l)—y—1=0的斜率，

夕(和兀)是圓C：(x—1)2+/=1上任意一點(diǎn)，圓心(1,0),半徑為1，

\2k-]\4

則1f——LW1,解得04左V—,

y+14

即工n：的取值范圍為0,-.

x0+lL3j

4

故答案為：0,j.

16.己知數(shù)列｛4｝的通項公式=2〃+1,記么為｛4｝在區(qū)間［m+2,2"'+2)(切eN*)內(nèi)項的個數(shù)，則

d=；使得不等式粼+i-粼>1048成立的m的最小值為.

【答案】①.6②.12

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得m+2<2〃+1<2"'+2，對加分奇偶數(shù)討論計算”的值；由題設(shè)得不等式

2"1-1>1048，再按m為奇數(shù)和偶數(shù)，求出m的最小值.

A77+11

【詳解】依題意，令m+2V2〃+l<2"'+2,得——<n<2m-1+-,

22

當(dāng)，”為奇數(shù)時，m+1可以被2整除，于是以=2'7一絲±1+1=2"T—二+」，

222

yyi+2yyi

當(dāng)加為偶數(shù)時，加+1不能被2整除，則勾=2"T———+l=2m-1--,

所以包=2'-2=6；

mm

當(dāng)冽為奇數(shù)時，加+1為偶數(shù)，bm+l-bm=2-^-^2-'-y+^=2^'-1>1048,

即2"i>1049，而吸°<1049<2"，則"7—1211,即心12,又相為奇數(shù)，則機(jī)的最小值為13,

m1

當(dāng)冽為偶數(shù)時，加+1為奇數(shù)，bm+l-bm=2+-^=2?->1048,

而2"<1048<2”，則加一1211,即心12,因此加的最小值為12,

所以機(jī)的最小值為12.

故答案為：6；12

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由條件建立不等式，再按〃z是奇數(shù)、偶數(shù)分類求解是解決本題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.己知點(diǎn)4(—2,1),8(2,4),。(2』)中恰有兩個點(diǎn)在拋物線￡:X2=2加(°>0)上.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)N(%2，%)在E上，且4,證明：直線肱V過定點(diǎn).

【答案】(1)%2=4〉；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線E也關(guān)于y軸對稱，將點(diǎn)4（-2,1）代入拋物線方程即可求解；

（2）設(shè)直線肱V的方程為、=依+機(jī)，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理可得m=1,即可求定點(diǎn)坐標(biāo).

【小問1詳解】

因為點(diǎn)4（-2,1）,。（2,1）關(guān)于y軸對稱，拋物線E也關(guān)于>軸對稱，

所以點(diǎn)4（—2,1）,C（2,l）在E上，

將點(diǎn)4（—2,1）代入拋物線￡:犬=20（。>0）得，4=2/7,即p=2,

所以拋物線E的方程為：好=4〉；

【小問2詳解】

由題意可知，直線的斜率一定存在，則設(shè)直線肱V的方程為>=丘+優(yōu)，

由《2消〉得：X2-4Ax-4m=0?

孑=4y

由韋達(dá)定理得=-4m=—4=>〃z=1,

所以直線腦V:y="+1,顯然恒過定點(diǎn)（0,1）.

18.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，q=2,aa+i=S〃+2.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

13

（2）設(shè)2=,記數(shù)列也｝的前幾項和為I,,證明

log2a?-log2a?+2

【答案】（1）%=2"

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）依題意可得4+i=2?！ǎ纯傻玫剑?｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列｛4｝

的通項公式；

71

（2）由（1）可得勿=1--V,利用裂項相消法求和，即可證明.

nyn+2）

【小問1詳解】

由a”+]=S*+2,

當(dāng)時，則為=S,T+2,

aa

可得n+\~n~S“—S"_i=an,則an+l=2an；

當(dāng)〃=1時，則a2=S]+2=q+2=4,可得出=2al；

綜上所述：可得4+1=24嗎=1,可知｛&｝是首項為2,公比為2等比數(shù)列,

所以｛4｝的通項公式為4=2".

【小問2詳解】

1_J_=11_J_

b

由（1）可知:n=+2

iog2r-iog2r〃(〃+2)2\nn+2

133

所以，<-.

〃+l4V2(〃++l'n+I2)4

19.已知點(diǎn)A（—1,0）,8（2,0）,動點(diǎn)M滿足21M4|=|Affi|.

（1）求動點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）一條光線從點(diǎn)C（2,l）射出，經(jīng)無軸反射與動點(diǎn)”的軌跡交于E，尸兩點(diǎn)，其中|￡刊=2百，求反

射光線所在直線的方程.

【答案】(1)(x+2)?+y2=4

（2）8x+15y-l=0.

【解析】

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)〃（X，y）,由21M得方程，化簡整理即可;

（2）求出圓心到直線/的距離d，對直線的斜率存在討論即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)M（x,y）,由21M4|=|又同得2而亍17=而二斤17,

化簡得，動點(diǎn)M的軌跡方程為：（x+2）?+y2=4；

【小問2詳解】

光線從點(diǎn)C（2,l）射出，經(jīng)x軸反射與動點(diǎn)M的軌跡交于E，尸兩點(diǎn),

故入射光線的斜率不為0,故反射光線的斜率不為0,

當(dāng)入射光線的斜率不存在時，此時反射光線方程為x=2,

此時直線與（%+2）2+丁2=4無交點(diǎn)，不合要求，舍去，

當(dāng)入射光線的斜率存在時，點(diǎn)。（2,1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C'（2,—1）

由題意知反射光線所在的直線經(jīng)過點(diǎn)C'（2,-1）,其斜率也一定存在，

設(shè)其方程為白+1=左（％-2）,即為質(zhì)-y-2Z-1=0,

設(shè)圓心到反射直線的距離設(shè)為d,則屋（竺）=1,

\-2k-2k-\\_|4k+1|Q

所以d=解得上=0（舍去）或左=一二.

J/+1

所以反射光線所在直線的方程為8x+15y-1=0.

20.如圖，在四棱錐尸一ABC。中，PC±^?ABCD,底面ABC。是直角梯形，ABLAD,AB//CD,AB=

2AD=2CD=2,E是尸8的中點(diǎn).

“、、—

DC

（1）求證：平面EAC_L平面PBC；

（2）二面角尸一AC—E的余弦值為逅，求直線與平面EAC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析;

(2)”

3

【解析】

【分析】(1)直角梯形中證明AC工BC,然后由線面垂直得PC從而可得線面ACJ_平面尸5C,

然后可證得面面垂直；

(2)以CB,C4,CP為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)PC=/(/>0),由向量法求二面角得/值,

再用向量法求線面角.

【小問1詳解】

由題意四邊形A3CD是直角梯形，BC2=(AB-CD)2+AD2=(2-1)2+12=2,

AC=AD2+BC2=V2；?*,AC2+BC2=AB2>ACBC>

又「CL平面ABCD,ACu平面ABC。，PCLAC,

PCcBC=C,2。,3。匚平面尸5。，.\4。，平面「5。，

又：ACu平面ACE,...平面ACE,平面「5C；

【小問2詳解】

由題意以CB,C4,CP為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)尸。=/(/>0),

則3(0,0,0).A(0,72,0),P(0,0J),E芳,0,；)

BP=(-V2,0j),在=(三,0,；),CA=(0,72,0),

設(shè)平面EAC的一個法向量是"=(羽y,z),

n-CA=垃y=0

則n-CE=--^-x+V2y+—z=0令z=J5,則3=?,O,0),

22

平面PAC的一個法向量是五=(1,。,0),設(shè)二面角尸一AC一￡有大小0,

m-n六=''解得'=2’

貝|]cos0=

m||n

%=(2,0,0),

記直線E4與平面EAC所成角為0,PA=(0,72,-2),

|尸4"2叵V2

sin(p—?||~~r——T=—產(chǎn)——

|PA||n|V6xV63

21.在通信技術(shù)中由0和1組成的序列有著重要作用，序列中數(shù)的個數(shù)稱為這個0-1序列的長度?如

0100011011是一個長度為10的0-1序列?長為”的0-1序列中任何兩個1不相鄰的序列個數(shù)設(shè)為an,長

度為1的0—1序列為：0,1，都滿足數(shù)列｛4｝,4=2;長度為2且滿足數(shù)列｛4｝的0—1序列為：00,01,

10,%=3.

(1)求。3，〃4；

(2)求數(shù)列｛?！埃衋〃+2，an+l,4的遞推關(guān)系；

(3)記5“是數(shù)列｛4｝的前幾項和，證明：a,.-S“為定值.

【答案】(1)?3=5，%=8

⑵4+2=4+1+4

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知得到%=5,然后分類討論最后一個數(shù)求解即可；

(2)考慮長度為〃+2的0-1序列最后一個數(shù)，觀察即可求得遞推關(guān)系；

(3)根據(jù)前兩問求得(見+3—S,,+J—(%+2—S")=0,證明數(shù)列｛a“+2-S,J是常數(shù)列即可.

小問1詳解】

由題意知，長為3的0-1序列中任何兩個1不相鄰的序列為：000,001,010,100,101,所以%=5.

設(shè)長為4的0-1序列中任何兩個1不相鄰的序列有為個，考慮最后一個數(shù):

若最后一位是0,則只要前3位任何兩個1不相鄰，則滿足要求的序列有牝個;

若最后一位是1，則倒數(shù)第二位是0,只要前2位任何兩個1不相鄰即可，滿足要求的序列有％個，

所以%=%+%=8;

【小問2詳解】

考慮長度為〃+2的0-1序列最后一個數(shù)：

若最后一位是0,則只要前〃+1位任何兩個1不相鄰，則滿足要求的序列有乙+i個；

若最后一位是1，則倒數(shù)第二位是0,只要前〃位任何兩個1不相鄰即可，則滿足要求的序列有％個，

所以4+2=?！?1+?！ǎ?/p>

【小問3詳解】

由⑵知,。“+2=an+1+an,所以an+3=all+2+an+i,

所以（%+3一S,+i）—（%+2—S,,）=限一an+2-（S“+i