山東省威海市文登區(qū)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

局二數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

B={y\y=T+l}^則(靠)|B=

)

A.0B.[-1,1]C.[l,+oo)D.(1,+℃)

z

2.設(shè)復(fù)數(shù)z?兩足=i,則z,2二()

1+Z

A交B.交1

C.-D.2

?422

3.已知命題?：!〉1,命題q:*eR,。/+2ax+lW0,則0成立是14成立的（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知tan[，+E]=；，則sin128

=（）

158815

A.------B.------C.—D.—

17171717

22

5.已知E為橢圓C:匕+土=1的上焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，。為圓V:必+/一8x+15=0上一點(diǎn)，則

95

|尸。|+|尸尸|的最大值為（）

A.1+275B.3+26C.5+2仆D.7+26

6.已知—,且asine-'sin尸<0,則(

K.a</3B.a'<優(yōu)

第1頁(yè)/共4頁(yè)

C.a>PD.a2>伊

7.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足〃x)=/(2-x),當(dāng)xe［—l,O］時(shí)，/(x)=x+l.函數(shù)

g(x)=e+-2|(-l<x<5),則/(x)與g(x)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()

A.6B.8C.10D.14

?—>|I—>|?ABAC

8.在V45C中，/BZC=90°，H5，幺。|=1，尸是V48c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，力尸=網(wǎng)+3同，則

麗.左的最大值為()

A.5+2A/3B.10+273C.5-273D.10-2V3

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=siiu+6|cosx|,則()

A,兀是/(x)的一個(gè)周期B.尤=］是/(x)的一條對(duì)稱軸

jr37r

C./(X)的值域?yàn)椋?1,2］D./(X)在-,y上單調(diào)遞減

10.如圖，在四邊形48CD中，G(〃eN*)為邊8c上的一列點(diǎn)，連接Z/交5。于點(diǎn)G?(〃eN*),且

。，滿足4a“+i申=%⑨五-2%+i*,其中數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，則()

A.數(shù)列,+1為等比數(shù)列

1%J

B,數(shù)列<—>的前n項(xiàng)和為2"+i-〃-2

C.數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列

1

D.a.=-------

2〃一1

第2頁(yè)/共4頁(yè)

11.已知正方體4BCD—481GA的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸滿足4P=/M￡>i"e[0,l],貝I()

A.點(diǎn)P到平面Bq。的距離為冬8

3

B.二面角尸—8?！?。的正弦值為立

3

C.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的平面截該正方體外接球所得截面面積的取值范圍為[2町3句

Q

D.若。是對(duì)角線ZG上一點(diǎn)，則尸Q+QC的最小值為:

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知底面半徑為3的圓錐S。，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1,則此圓柱的

側(cè)面積為.

13.已知函數(shù)/(x)=Ksiiu-cosx,若將函數(shù)y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原

來(lái)的2倍，再將得到的圖象向右平移。(0<。<兀)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于歹軸對(duì)稱，則。=

14.已知《，月是雙曲線>=1,>o,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)片的直線與C的左、右兩支分別

交于A,8兩點(diǎn).若以C的中心為圓心，片片的長(zhǎng)為直徑的圓與C的右支的一個(gè)交點(diǎn)恰為8,若|幺同，

忸閭，以閶成等差數(shù)列，則C的漸近線方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和記為J,%=1,(%+1)(%+1+1)=處邑+〃)，其中X為

常數(shù)且4Ho.

(1)若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，求4；

(2)若4=3,求$2”.

16.在V48C中，角4SC所對(duì)的邊分別為見(jiàn)“c,且上4一cos/

ca+2b

ADEB

第3頁(yè)/共4頁(yè)

（1）求角C的大?。?/p>

（2）若4C=BC=2,如圖，是上的動(dòng)點(diǎn)，且/DCE始終等于30°，記NC￡D=a.當(dāng)&為

何值時(shí)，ACOE的面積取到最小值，并求出最小值.

17.如圖，在四棱錐P—/BCD中，平面產(chǎn)平面45CD,△尸4D為等邊三角形，PD1AB,AD//

BC,/。=25。,幺5=2,河為4的中點(diǎn).

（1）證明：O01平面「48；

（2）求直線P8與平面所成角的正弦值的最大值.

18已知函數(shù)/（%）=皿"）一一+ax（aw0）.

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）令g（x）=/（x）+x2-ax+|?，力（x）=ae*（a〉o）.若曲線y=g（x）與y=/z（x）存在公切線，求實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

19.定義二元函數(shù)/（加⑼（九〃eN*）,同時(shí)滿足：①/（加+1,〃）=/（加,〃）+2"；②

/（機(jī),〃+1）=/（機(jī),〃）+2機(jī)；③/（1,1）=1三個(gè)條件.

（1）求/（2,2）,/（3,3）的值；

（2）求/（7〃,〃）的解析式；

「Tsin^z,xsma.xsin&xsmax/八八\

（3）若a“=/0,〃）,S“=---L+---+------+…+---匚/6（0,2兀）.比較5與。的大小關(guān)系,

%出a3an

并說(shuō)明理由.

附：參考公式sinacos/?=2[sin(a+/?)+sin(a_/7)];cosasin￡=—[sin(^z+jff)-sin(a―尸)];

cosacos尸=；[cos((a—,)];sinasin/?=—;[cos(

。+⑶+coscosa+/?)-COS(6Z-^)].

第4頁(yè)/共4頁(yè)

局二數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

B={y\y=T+l}^則(靠)|B=

)

A.0B.[-1,1]C.[1,+co)D.(1,+℃)

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,B,再用補(bǔ)集和交集的概念求解即可.

【詳解】由1_/20,得—所以N={x|—lVxWl},

={x|x<-1或X>1},

由2工>0，得>=2工+1〉1,所以3={引p〉1},

所以(%Z)c5={x|x〉l}.

故選：D.

7

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足----=i,則z?亍=()

1+z

、V2RV2j_

A.---LJ.---C/.D.2

422

【答案】c

【解析】

【分析】由題可得2=—匚，計(jì)算后可得z與亍，即可得答案.

1-i

第1頁(yè)/共22頁(yè)

7]中+i)_】+)

【詳解】由----=i,可得zEl+z'iniyi-Dznzn;―------------------I

1+Z1-1(l-i)(l+i)22，

-1i111

則2=—耳―]i,貝！Jz與二--1--二一

442

故選：C

3.已知命題p:—>l,命題q:ire+2〃x+l?0,則夕成立是「9成立的（）

a

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)命題p:「q：0<tz<l,再利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解：由工>1,得（。一1）。<0,解得0<4<1;

a

由q:*eR,ax2+2ax+1<0,得":VxeR,ax2+lax+1〉0,

當(dāng)Q=0時(shí)，l〉0成立；

當(dāng)。>0時(shí)，A=4q2_4a<0，解得綜上

所以）成立是「9成立的充分不必要條件,

故選：A

4.己知tan[，+E]=；,則sin|2，一(]=()

15815

A.B.D.

17171717

【答案】A

【解析】

sin2^+--cos2^+-

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式得到sin2"5=―\―2-----二―2,化弦為切，代

I6>研*+cos2夕+彳

入求值即可.

【詳解】tan（e+E）=；,

第2頁(yè)/共22頁(yè)

故sin]29—[=-cost2^--^+|U-cost2^+|U-cos2^+-^

sin219+已]—cos219+已]

=sin2^6)+^-cos2,+高

sii???+COS2(9+"

15

tan2。+父+1—+117

I6J16

故選：A

5.已知尸為橢圓C:芷+二=1的上焦點(diǎn),

尸為C上一點(diǎn)，0為圓〃：/+/—8X+15=O上一點(diǎn)，則

95

|尸。|+|尸尸|的最大值為（）

A.1+275B.3+26C.5+275D.7+26

【答案】D

【解析】

【分析】由圓和橢圓方程可確定圓心、半徑、的長(zhǎng)；利用橢圓定義和圓的對(duì)稱性可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解

1+\PM\-\PF'\的最大值問(wèn)題，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)M,P,尸'三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，由此可得結(jié)

果.

【詳解】由圓拉方程得：圓心又（4,0）,半徑r=；xj64—60=1；

由橢圓C方程得：a=3,c=2,設(shè)橢圓C下焦點(diǎn)為R',則/'（0,-2）,

由橢圓定義知：|PF[+|PF|=2a=6,.」尸@+|尸典=6+|尸@一|尸尸[；

■.■\PQ\<\PM\+r（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），

：.\PQ\+\PF\=6+\P^-\PF'\<1+\PM\-\PF'\,

又|尸叫-|尸尸歸囚尸|（當(dāng)且僅當(dāng)〃,P尸三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），

\PQ\+\PF\<7+=7+J（4—0『+（o+2/=7+2^；即|pg|+|PF|的最大值為7+2J?.

第3頁(yè)/共22頁(yè)

%

F'

故選：D.

6.已知a,夕e—,且asina—￡sin￡<0,則()

A.a<，B.a2<01

Ca>/3D.a->

【答案】B

【解析】

兀兀

【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)=xsinx,xe,利用函數(shù)的奇偶性及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，可得

/(x),在區(qū)間-上單調(diào)遞減，在區(qū)間［o,］上單調(diào)遞增，結(jié)合條件可得|a|<|￡|,即可求解.

兀兀

【詳解】令/(x)=xsinx,xe貝！Jf(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=/(x),

252

兀兀

則/(x)=xsinx,xe是偶函數(shù)，

又/'(x)=sinx+xcosx,當(dāng)xe［0,Q時(shí)，/'(x)〉0恒成立，

「兀兀1「兀、(Til

所以/(x)=xsinx,xe,在區(qū)間一萬(wàn),0上單調(diào)遞減，在區(qū)間0,萬(wàn)上單調(diào)遞增，

又a,/3€,且asina-尸sin￡<0,即/(a)</(0,所以囤〈期，則〃〈加，所以選項(xiàng)

B正確，

7T

當(dāng)a,6e--,0時(shí)，夕<aW0,所以選項(xiàng)A和D錯(cuò)誤，

第4頁(yè)/共22頁(yè)

兀

當(dāng)a,4G0,-時(shí)，0Va<〃，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

故選：B.

7.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(2-x),當(dāng)xe[—1,0]時(shí)，/(x)=x+l.函數(shù)

g(x)=e-M(-l<x<5),則/(x)與g(x)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()

A.6B.8C.10D.14

【答案】C

【解析】

【分析】畫(huà)出/(x)、g(x)在區(qū)間(-1,5)上的圖象，根據(jù)對(duì)稱性、周期性等知識(shí)來(lái)求得正確答案.

【詳解】依題意，/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，

〃x)=/(2-x),所以/(x+2)=/(2-(—=x)=/(x),

所以/(X)是周期為2的周期函數(shù)，所以/(X)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.

函數(shù)g(x)=e+-2|(-l<x<5)的圖象也關(guān)于直線x=2對(duì)稱.

當(dāng)x22時(shí)，g(x)=e-I+2,g'(x)=-e~x+2,g<2)=-1,g(2)=1.

當(dāng)04xWl時(shí)，—1W—xWO,=-x)=-x+1,

當(dāng)2<x<3時(shí)，0<x—2<1,/(x)=/(x—2)=—(x—2)+1=—x+3,

"2)=1，所以直線J=-x+3與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)(2,1).

畫(huà)出/(x)、g(x)在區(qū)間(T5)上的圖象如下圖所示，

由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有4+1=5個(gè)公共點(diǎn)，

所以所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2x4+2=10.

第5頁(yè)/共22頁(yè)

AB.AC

8.在V48c中，N8/C=90°，|花=尸是V/8C所在平面內(nèi)一點(diǎn),AP=同網(wǎng)’則

麗.玩的最大值為（）

A.5+273B.10+273C.5-2V3D.10-2V3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積以及基本不等式求解即可.

【詳解】?.,z^C=90°>--AB-AC=0>

---ABAC

幺0=尸=1+3尸=[

網(wǎng)kl

(_、2

-----k2ABABACAC

AP=1+0+9=10,

?/PB-PC^(PA+ABy(T2+AC^

=PA+PA-AC+PA-AB+AB-AC

=10-AP-AC-AP-AB

(_、

亞k+3尤k

AC--AB

IRKIJ

=10—3因卜網(wǎng)T0-（3因+網(wǎng)卜10_2別同.網(wǎng)=10-2百,

當(dāng)且僅當(dāng)3|%|=|茄即|刀|=G,|%|=也時(shí)等號(hào)成立，

所以每?定的最大值為10-26.

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）=siiu+G|cosx|,則（）

第6頁(yè)/共22頁(yè)

A.兀是/(x)的一個(gè)周期B.x=：是/(x)的一條對(duì)稱軸

jr37r

C./(x)的值域?yàn)椴?,2]D./(%)在—上單調(diào)遞減

【答案】BC

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)圖像對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

一/+2左兀,'+2左兀（左wZ）

sinx+6cosx=2sinx+—,XG

3

【詳解】/（x）=sinx+V3|cosx|=<

sinx-V3cosx=2sinx兀

9xe—+2kji^+2kji（左￡Z）

圖像如圖所示:

由圖像可得，函數(shù)的最小正周期為2e故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意;

x=5是/(')的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)B正確，符合題意;

/(')的值域?yàn)閇T2],故選項(xiàng)C正確，符合題意;

7T3J7"

/(X)在上先增后減，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：BC.

10.如圖，在四邊形46c。中，尺(〃eN*)為邊8c上的一列點(diǎn)，連接2￡交5。于點(diǎn)G,,(〃eN*),且

。，滿足華"什1申"⑨工-2%+i*,其中數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，則()

第7頁(yè)/共22頁(yè)

1

B.數(shù)列＜，的前〃項(xiàng)和為2用一〃一2

C.數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列

1

D.a-------

2"-1

【答案】ABD

【解析】

12,1(1)

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)向量共線定理得到--------=1,從而——+1=2—+1,A正確；B選項(xiàng)，在

aa

n+\n4+11%?

A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到工=2"-1,由分組求和和等比數(shù)列求和公式得到B正確；C選項(xiàng)，舉出反例即可；D

an

選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到D正確.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)樵?(〃eN*)為邊8c上的一列點(diǎn)，設(shè)即=t點(diǎn),

即“一底元*—/印〉所以申=/“+(1一)e五

----?-----------?-----?1------2-----

4%+￡*=anG“F“-2an+iGnCnG?B=——G“F”——G“C,

%+ian

'2

t二---------

氏+1

111

即——+1=2—+1,所以數(shù)列〈一+1為公比為2的等比數(shù)列，A正確;

%+i14)〔%J

B選項(xiàng)，因?yàn)?=1,所以---1-1=2,

故工+1是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

所以J_+l=2"，J-=2"-1,

a,an

工］的前〃項(xiàng)和為21—1+2?—l+L+2"-1=2+4+1,+2"-

n

第8頁(yè)/共22頁(yè)

2-2,,+1

—n=2,,+1—n—2iB正確;

1-2

1

=

CD選項(xiàng)，an=,故—5%=—，顯然"1<<。3，

T-\

則數(shù)列｛%｝不是遞增數(shù)列，C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD

11.已知正方體4BCD—451G2的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸滿足方=2位,Xe［O,l］,則（）

A.點(diǎn)P到平面BQ。的距離為

3

B.二面角尸—5G—。的正弦值為逅

3

C.當(dāng)4=（時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的平面截該正方體外接球所得截面面積的取值范圍為［2町3句

Q

D.若。是對(duì)角線zq上一點(diǎn)，則PQ+QC的最小值為］

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,根據(jù)條件可得Z。"/面BG。，從而將尸到平面的距離轉(zhuǎn)化成A到平面的

距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成C到平面8G。的距離，再利用等體積法，即可求解；選項(xiàng)B,取40］中點(diǎn)E,2G中

點(diǎn)、F,連接EF,DF,根據(jù)條件可得NEED為二面角尸-5。-。的平面角，再利用幾何關(guān)系，即可求

解；選項(xiàng)C,由題知，過(guò)點(diǎn)P的平面經(jīng)過(guò)球心。時(shí)，截面圓的面積最大，當(dāng)P為截面圓的圓心時(shí)，截面圓

的面積最大，即可求解；選項(xiàng)D,通過(guò)翻折平面，使得點(diǎn)。翻轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)C滿足0三點(diǎn)共線，且

C'P，4E）i.即可求得

【詳解】如圖1,易知ZA//8G，①面BQ。，BGu面BG。，所以Z。"/面3CQ，

對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)镹A=X函即點(diǎn)尸在線段401上（含端點(diǎn)），

因?yàn)?。"/面8G。，所以P到平面的距離，也即A到平面BQ。的距離，

連接ZC交8。于。1，易知&為NC中點(diǎn)，則A到平面BQ。的距離等于C到平面BQ。的距離，

又正方體的棱長(zhǎng)為2,則BD=BCX=。。=2收，所以S，B°G=亨x（2行『=2c,

第9頁(yè)/共22頁(yè)

設(shè)C到平面的距離為力,

由七-BOG=L-B0C，得到,x‘x23='x2j^,解得/；=挺，所以選項(xiàng)A正確,

13233

對(duì)于選項(xiàng)B,如圖1,取401中點(diǎn)E,8。中點(diǎn)E，連接EF,DF,

易知8G,EE，8G,所以NEFD為二面角尸—BQ—。的平面角,

在△E7X)中，EF=2,DE=42,DF=y[6<

ED6V3

所以|￡＞葉+忸殲=|￡＞殲，貝人由/后尸0=訴?=苧=牛，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤,

V63

對(duì)于選項(xiàng)C,正方體的外接球的球心。為正方體的體心，且外接球的直徑2R為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，

則R=G，當(dāng)過(guò)點(diǎn)尸的平面經(jīng)過(guò)球心。時(shí)，此時(shí)平面截該正方體外接球所得截面面積最大，截面面積為

S=TIR2=3兀，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的平面經(jīng)不過(guò)球心。時(shí)，不妨設(shè)截面圓的半徑為「，球心到截面圓的距離為d,

則F=J42—/,顯然有1引0尸|,當(dāng)且僅當(dāng)尸為截面圓的圓心時(shí)取等號(hào)，即截面圓的直徑為此

工廠

時(shí)r=IMI=V2，

2

所以平面截該正方體外接球所得截面面積最小值為S=兀/=2兀，故選項(xiàng)C正確,

圖1

對(duì)于選項(xiàng)D,如圖2,將平面NCG繞著NG旋轉(zhuǎn)到NC'G位置，使之與平面在一個(gè)平面內(nèi)，

因。是對(duì)角線NC1上一點(diǎn)，要使PQ+QC最小，需使三點(diǎn)。,0,0共線，且

則cos聯(lián)至=sm展義

設(shè)ND/G=(p,

2V332V33

第10頁(yè)/共22頁(yè)

故sm〃/C，=sm29=2xgxg=^，

于是（尸。+QC）1nm=。'尸=/。飛苗20=2百、半=|,故選項(xiàng)D正確,

圖2

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決空間角問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)定義找到平面角，然后借助于三角形和正、余弦定

理求解；對(duì)于包含動(dòng)點(diǎn)的線段和最小問(wèn)題，一般考慮將其中一個(gè)平面翻折，使之與另一個(gè)平面共面，化空

間距離的和為平面距離的和來(lái)求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知底面半徑為3的圓錐S。，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1,則此圓柱的

側(cè)面積為.

【答案】4百兀

【解析】

【分析】作出圓錐的軸截面”8,求出圓錐的高，利用三角形相似求出圓柱的高，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算

可得.

【詳解】如圖作出圓錐的軸截面￡43,根據(jù)題意可知4B=￡4=SB=6,

OB=OA=3,OC=OD=1,

所以可得SO==.36—9=3百，

根據(jù)三角形相似可得AZCE-AAOS,

所以'方=-，可求得CE=273,

13Cy(_z

根據(jù)圓柱側(cè)面積公式可得S=2jirh=2XRX1X2c=46兀.

故答案為：4j§7l

第11頁(yè)/共22頁(yè)

13.已知函數(shù)/(x)=Ksiiu-cosx,若將函數(shù)y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原

來(lái)的2倍，再將得到的圖象向右平移。(0＜。＜兀)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于N軸對(duì)稱，則。=

【答案】—

3

【解析】

【分析】由圖象變換寫(xiě)出新解析式，然后由圖象關(guān)于N軸對(duì)稱求得參數(shù)值.

【詳解】/(%)=2(^-sinx-^-cosx)=2sin(x，變換后函數(shù)式為

g(x)=2sin佶工-與-；］,它的圖象關(guān)于歹軸對(duì)稱，

1226)

17TTT471

則——(p---=kn+—,keZ,(p--2kn----,kGZ,

2623

又0＜。＜兀，所以。=g,

故答案為：---

3

22

14.已知《，月是雙曲線＞=1,＞o,b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)片的直線與C的左、右兩支分別

交于A,8兩點(diǎn).若以C的中心為圓心，大片的長(zhǎng)為直徑的圓與C的右支的一個(gè)交點(diǎn)恰為8,若以固，

忸閭，以閶成等差數(shù)列，則C的漸近線方程為.

【答案】y=±2

【解析】

【分析】由已知以片鳥(niǎo)為直徑的圓過(guò)點(diǎn)2,可知/片8片=90。，再結(jié)合等差數(shù)列及雙曲線定義可得各邊長(zhǎng),

再根據(jù)直角三角形勾股定理可得\2=12/,即可得漸近線方程.

第12頁(yè)/共22頁(yè)

可知=90。，

再由|4B|,忸闖，|/聞成等差數(shù)列,

得2忸閭=HE|+H@，

由雙曲線定義可知=H周+2a,\BF^\BF2\+2a,

則2忸閭=|2闖+卜或=,周+|4卻+2a=|%|+2&=忸8|+4°,

即忸即=4a,忸周=怛可+2a=6a,

又/月88=90。，

2222

則忸片|+\BF21=閨6I,即36a2+16/=4c2=4a+4/，

則=121,

即漸近線方程為了=±2嶼％,

故答案為：y=+2A/3X.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前九項(xiàng)和記為S”,q=1,(%+1)(4+1+1)=/1(5“+〃)，其中幾為

常數(shù)且XwO.

(1)若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，求4；

(2)若2=3,求S?”.

【答案】(1)%=2〃—1

2

(2)S2n=3n.

第13頁(yè)/共22頁(yè)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列列方程，求得X,求得公差，進(jìn)而求得見(jiàn).

（2）利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式來(lái)求得正確答案.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，（%+1）（。2+1）=+1）,解得1,

當(dāng)〃=2時(shí)，（%+1）（%+1）=。（邑+2）,解得。3=4+1,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等差數(shù)列，所以2a2=%+%，

即2（4—1）=1+%+1,解得％=4,

所以4=3,%=5,公差為2,所以%二2〃-1.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)4=3時(shí)，（4+1）（?！?1+1）=3（S〃+〃）①

所以（。向+1）（。n+2+1）=3（%+〃+1）②

所以②-①得，（%+i+1）（%+2一%）=3（%+i+1），

因?yàn)?+i+l〉O，所以%+2-。"=3,

當(dāng)”=1時(shí)，（4+1）（?+1）=3（S]+1）,解得出=2,

所以數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為q=1,公差為2；

偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為g=2,公差為2,

....,n（n-l）n（n-l）,

所以邑”=?+———Lx3+2n+^——^x3=3/.

22

一cos/

16.在V4SC中，角4民。所對(duì)的邊分別為“c,且竺上

ca+2b

（2）若AC=BC=2,如圖，Q,E是Z8上的動(dòng)點(diǎn)，且/DCE始終等于30°，記NC￡D=a.當(dāng)々為

第14頁(yè)/共22頁(yè)

何值時(shí)，ACDE的面積取到最小值，并求出最小值.

【答案】(1)C=120°

(2)a=75°,最小值為2—有

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理將分式化簡(jiǎn)，結(jié)合兩角和的正弦公式可求得結(jié)果；

(2)在A4CE中，根據(jù)正弦定理表示出CE,在△3CD中，根據(jù)正弦定理表示出CD,根據(jù)三角形面積

公式得到ACDE的面積，即可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

在VN5C中，由正弦定理可得"=.一c°sZ

sinCSIIL4+2sin5

所以siib4cosc+2sin5cosC=-cos^sinC,

所以sin(/+C)=-2sinJ?cosC,即得sinS=-2siiiScosC,

因?yàn)?°<8<180°,所以sin8>0,所以cosC=—工，

2

因?yàn)?°<C<180°,所以C=120°；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閆C=5C=2,由(1)知C=120°,所以幺=8=30。，

在中，由正弦定理可得江=—H，所以CE=,，

sinasin30°sina

BCCD1

在△BCD中，由正弦定理可得.—\=?.co,所以C0=.—V

sin(1500-a)sm300sin(150°—a)

所以S.CDE=-CDCE-sin30°=-----------J----------?=——-——---廣，

24sin?sin(150°-?)2sin(2a-60°)+V3

因?yàn)镺va<150。,所以0<2a-60°<240°,

當(dāng)sin(2a—60°)=1時(shí)，5徵批取得最小值2—，此時(shí)2a-60。=90。，即a=75°,

所以當(dāng)a=75°時(shí)，ACDE的面積取到最小值，最小值為2-括.

17.如圖，在四棱錐P—/8S中，平面尸平面45co，△尸為等邊三角形，PD1AB,AD//

BC,幺。=25。,25=2,拉為正/的中點(diǎn).

第15頁(yè)/共22頁(yè)

p

（1）證明：DM，平面「48；

（2）求直線必與平面MCD所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

5

【解析】

【分析】（1）取的中點(diǎn)。，連接尸0,由面面垂直得尸。，平面45CD,從而得尸。，45,再由線

面垂直的判定定理證得線面垂直25,平面PZQ,得證河，然后再由線面垂直的判定定理證得

結(jié)論成立.

（2）證明OCL平面尸Z。，然后以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，詼，歷，礪的方向分別為x軸，N軸，z軸的正方

向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=a,用空間向量法求線面角，利用基本不等式、不等式的性

質(zhì)得最值.

【小問(wèn)1詳解】

取40的中點(diǎn)。，連接尸0,

因?yàn)椤魇瑸榈冗吶切?，所以尸。_LZ。，

因?yàn)槠矫鍼AD1平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以POL平面45C￡>,48u平面48CD,所以尸0,45,

因?yàn)槭袷P0=尸，尸。，尸Ou平面尸Z。，所以48JL平面尸Z。，

因?yàn)椤u平面尸40,所以48，。河，

因?yàn)椤魇?0為等邊三角形，M為R4的中點(diǎn)，所以。河，R4,

因?yàn)?5npz=443,%u平面PAB,

所以平面尸45.

【小問(wèn)2詳解】

連接CO,

因?yàn)锳D//BC,AD=2BC,所以NO//8c且/。=8C,

第16頁(yè)/共22頁(yè)

所以四邊形4BC。為平行四邊形，所以4B//OC,

所以O(shè)CL平面尸Z。，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，衣，礪，礪的方向分別為x軸，歹軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

設(shè)BC=a,AD=2a(a>0),

則C(2,0,0),D(0,a,0),P(0,0,6a),3(2,—a,0),M0,--,^-

(22)

所以方=(2,—-2,-p^lcD=(-2,a,0),

設(shè)平面MCD的一個(gè)法向量為元=(xfy,z),

CM-n=0

可得《

CDn=

-2x+少=0

令X=Q,則力=(凡2,2百卜

設(shè)直線PB與平面MC。所成角為。，

2a-2a-6a/a2

則sin6=

J4+4/-y/a2+16V+17^2+16

［二2

當(dāng)且僅當(dāng)/=即。=2時(shí)取得最大值一，

a25

3

所以直線尸8與平面所成角的正弦值的最大值為一.

5

18.已知函數(shù)/(x)=ln)一好+0%(4W0).

第17頁(yè)/共22頁(yè)

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)令g(x)=/(x)+x2—辦+|?，/z(x)=aeX(a〉O).若曲線y=g(x)與y=/z(x)存在公切線，求實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，即可對(duì)。討論求解導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解，

,X1

ae1=—

(2)設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，根據(jù)公切線可得’”,進(jìn)而可得

3

ae西(1一再)=In(a4)+一

、2

_3_3

彳:1*5d；構(gòu)造函數(shù)晨)=工二受行〉0且X01)'求導(dǎo)，即可根據(jù)單調(diào)性求解函數(shù)的值

e"西一"1)外叼一..X75

域得解.

【小問(wèn)1詳解】

/，⑴"—2x+a=-2,+ax+l,

axx

①當(dāng)Q>0時(shí)，/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

令即得一2一+狽+1〉0,所以2、2—Qx—l<0,

因?yàn)椤?/+8〉o,解得：0c以+8；

4

令/解得：工〉”手工1,

②當(dāng)a<0時(shí)，/(x)的定義域?yàn)?一8,0),

令尸(無(wú))>0,即得一2一+QX+I