30 等積變換與面積法

30等積變換與面積法知識要點及方法技巧在平面幾何中，有關三角形和多邊形的面積的計算、證明是一類基本問題．利用面積方法，特別是割補法，等積變換在解題中的應用，可以解決與面積有關的一系列問題，因此面積法倍受青睞．三角形面積公式：設△ABC，a，6，c分別是角A，B，C的對邊，ha為a邊上的高，R，r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，p＝（a＋b＋c），則1． S△ABC＝ah．2．S△ABC＝absinC3．S△ABC＝4．S△ABC＝r（a＋b＋c）＝rp5．S△ABC＝6．S△ABC＝2R2sinAsinBsinC7．S△ABC＝ra(b＋c－a)8．S△ABC＝R2(sin2A＋sin2B＋sin2C)9．S△ABC＝除上述面積公式外，還經(jīng)常用到如下定理：1．一個圖形的面積等于它的各部分之和．2．兩個全等形的面積相等．3．等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形的等底應理解為兩底的和相等）的面積相等．4．相似三角形的面積的比等于相似比的平方．5．等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積比等于其所對應的高（或底）的比．6．等角或補角的三角形面積的比等于夾等角或補角的兩邊乘積的比；等角的平行四邊形面積的比等于夾等角的兩邊的乘積的比．訓 練 題一、選擇題（每題7分，共42分）1．等底等高的兩個三角形的面積 （）A．相等 B．不等C．可能相等 D．可能相等，也可能不等2．等底不等高的兩個三角形的面積之比等于 （）A．周長之比 B．相似比的平方C．相等底邊上的高之比 D．對應底邊邊長之比3．等高不等底的兩個三角形的面積之比等于 （）A．1∶1 B．周長之比C．相似比 D．對應底邊邊長之比4．如圖30－1，直線l1∥l2，BC在l2上，A，A'在l1上，則S△AOB與S△A′OC （）A．S△AOB＞S△A′OC B．S△AOB＝S△A′OCC．S△AOB＜S△A′OC D．不能確定5．把△ABC的各邊AB、BC、CA延長一倍，連結得一大△A′B′C′，則S△ABC∶S△A′B′C′ （）A． B． C． D．6．在等腰△ABC中，AB＝AC，腰AB邊上的高為CH＝，則底邊BC邊上100個點到兩腰的距離之和為 （）A．50 B．100 C．150 D．300二、填空題（每題7分，共28分）7．□ABCD的對角線交于O，在AB延長線上任取一點E，連結OE交BC于F，已知AB＝a，AD＝c，BE＝b，則BF＝ ．8．四邊形ABCD的對角線交于O，已知S△ABC＝5，S△BCD＝9S△CDA＝10，S△ABD＝6則S△ABO＋S△CDO＝ ．9．在△ABC中，AD是中線，A′是AD的中點，B′是A′B的中點，C′是B′C的中點，若S△ABC＝24，則S△A′B′C′＝ ．10．設四邊形ABCD的面積為15，將邊AD三等分，分點為E、F，使AE＝EF＝FD，又將BC三等分，分點為H、G，使BH＝HG＝GC，連結EH、FG，則S四邊形EFCH＝ ．三、解答題（共70分）11．在△ABC中，E是AB的中點，D是AC上的一點，且AD∶DC＝2∶3，BD與CE交于F，S△ABC＝40，求S四邊形AEFD．（20分）12．如圖30－2，在平行四邊形ABCD中，E為AD上的一點，F(xiàn)為AB上一點，且BE＝DF，BE、DF交于G，求證：∠BGC＝∠DGC．（25分）13．如圖30－3，P、Q、R、S分別由四邊形的四個頂點A、B、C、D同時開始沿四邊形各邊依逆時針方向以各自的速度作勻速直線運動若干