專題02-數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題-學(xué)生版

數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題第第頁(yè)技巧方法專題2數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題解析版一、數(shù)列求通項(xiàng)常用方法知識(shí)框架二、數(shù)列求通項(xiàng)方法【一】歸納法求通項(xiàng)通過(guò)數(shù)列前若干項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是依托基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列，尋找通過(guò)數(shù)列前若干項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是依托基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列，尋找an與n，an與an＋1的聯(lián)系.1.例題【例1】由數(shù)列的前n項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式：(1)3,5,3,5,3,5，…(2)eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，…(3)2，eq\f(5,2)，eq\f(13,4)，eq\f(33,8)，eq\f(81,16)，…(4)eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,12)，eq\f(1,20)，eq\f(1,30)，…【例2】已知數(shù)列：，按照從小到大的順序排列在一起，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列：首次出現(xiàn)時(shí)為數(shù)列的（）A．第44項(xiàng) B．第76項(xiàng) C．第128項(xiàng) D．第144項(xiàng)鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】由數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式：(1)1，－7，13，－19，25，…(2)eq\f(1,4)，eq\f(3,7)，eq\f(1,2)，eq\f(7,13)，eq\f(9,16)，…(3)1，－eq\f(8,5)，eq\f(15,7)，－eq\f(24,9)，…【練習(xí)2】如圖是一個(gè)三角形數(shù)陣，滿足第行首尾兩數(shù)均為，表示第行第個(gè)數(shù)，則的值為__________．【二】公式法求通項(xiàng)等差數(shù)列：等差數(shù)列：等比數(shù)列：1.例題【例1】數(shù)列滿足，，則（）A．B．C．D．【例2】已知數(shù)列{an}滿足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求．【練習(xí)2】已知數(shù)列和滿足求證：是等比數(shù)列,是等差數(shù)列；求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．【三】累加法求通項(xiàng)型如型如an＋1＝an＋f(n)的遞推公式求通項(xiàng)可以使用累加法，步驟如下：第一步將遞推公式寫成an＋1－an＝f(n)；第二步依次寫出an－an－1，…，a2－a1，并將它們累加起來(lái)；第三步得到an－a1的值，解出an；第四步檢驗(yàn)a1是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.累乘法類似.1.例題【例1】在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【例2】對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國(guó)古代很早就有研究成果，北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個(gè)貨物，第二層比第一層多3個(gè)，第三層比第二層多4個(gè)，以此類推，記第層貨物的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_______，數(shù)列的前項(xiàng)和_______.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)________.【練習(xí)2】已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足（），且，則數(shù)列的最大值為__________．【練習(xí)3】?jī)汕Ф嗄昵?，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如圖2中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作，第2個(gè)五角形數(shù)記作，第3個(gè)五角形數(shù)記作，第4個(gè)五角形數(shù)記作，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，得數(shù)列，則；對(duì)，．【四】累積法求通項(xiàng)型如型如的遞推公式求通項(xiàng)可以使用累積法1.例題【例1】已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，求an.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A.an＝2n－1 B.an＝2nC. D.【五】Sn法（項(xiàng)與和互化求通項(xiàng)）已知已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)解題步驟：第一步利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1的表達(dá)式；第二步利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步若求出n≥2時(shí)的{an}的通項(xiàng)公式，則根據(jù)a1＝S1求出a1，并代入{an}的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.如果求出的是{an}的遞推公式，則問(wèn)題化歸為類型二.1.例題【例1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則.【例2】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的通項(xiàng)公式為_____．【例3】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.【練習(xí)2】記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.【練習(xí)3】已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝eq\f(an＋1,SnSn＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【練習(xí)4】設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【練習(xí)5】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【六】構(gòu)造法求通項(xiàng)1.1.型如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式，步驟如下：第一步假設(shè)將遞推公式改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步由待定系數(shù)法，解得t＝eq\f(q,p－1)；第三步寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第四步寫出數(shù)列{an}通項(xiàng)公式.2.an＋1＝pan＋f(n)型【參考思考思路】確定設(shè)數(shù)列列關(guān)系式比較系數(shù)求，解得數(shù)列的通項(xiàng)公式解得數(shù)列的通項(xiàng)公式1.例題【例1】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.【例2】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋n，a1＝2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【例3】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【例4】已知數(shù)列滿足：，，則（）A．B．C．D．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，則an＝________.【練習(xí)2】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an等于()A.2n B.n(n＋1)C.eq\f(n,2n－1) D.eq\f(nn＋1,2n)【練習(xí)3】已知非零數(shù)列的遞推公式為,.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若關(guān)于的不等式有解,求整數(shù)的最小值；(3)在數(shù)列中,是否一定存在首項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng),使得這三項(xiàng)依次成等差數(shù)列？若存在,請(qǐng)指出所滿足的條件；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【七】其他求通項(xiàng)方法1.例題【例1】已知數(shù)列滿足,,則（）A． B． C． D．【例2】若數(shù)列{an}中，a1＝3且an＋1＝aeq\o\al(2,n)(n是正整數(shù))，則它的通項(xiàng)公式an為________________.【例3】已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，，則＝（）A． B． C． D．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)(n∈N*)，，則S2017＝（）【練習(xí)2】在數(shù)列中，已知，，則_______，歸納可知_______．【八】特征根和不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)（自我提升）一、形如一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得．1.例題【例1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．【例2】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，，（…）．（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，，求的前項(xiàng)和．二、形如二、形如的數(shù)列對(duì)于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為…②若②有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得．若②有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值．這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得．此方法又稱不動(dòng)點(diǎn)法．1.例題【例3】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．【例4】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)2】已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在？【練習(xí)3】記(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和【練習(xí)4】各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有，當(dāng)．三、課后自我檢測(cè)1．已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．2．在數(shù)列－1，0，，…中，0.08是它的第________項(xiàng)．3．在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，則通項(xiàng)公式an＝________.4．已知數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)_______.5．已知數(shù)列中，，則能使的的數(shù)值是（）A．14B．15C．16D．176．已知數(shù)列滿足且．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求；（2）求證:．8．已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求．9．已知數(shù)列滿足：，，.（1）若存在常數(shù)，使得數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；（2）設(shè)，證明：.10．已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．11．?dāng)?shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使對(duì)所有的都成立的最大正整數(shù)的值.12．已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)的和為，且當(dāng)時(shí)，滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：．