相似三角形常見模型-初中數(shù)學(xué)常見的模型方法

相似三角形常見模型

模型一N字型8字型

【結(jié)論1】如圖所示，在6c中,點(diǎn)。在AB上，點(diǎn)E在AC上，DE//BC,則

AriAFjDE

△…△至。花=二二

BC-

A

BA

【結(jié)論2】如圖所示，在△ABC中,點(diǎn)。在C4的延長線上，點(diǎn)E在8A的延長線上,

ADAEED

DE//BC,則八4瓦3八45。，——=-

AC/\B~~BC'

DE

BC

總結(jié)：Z字型、8字型的特點(diǎn)是它的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)明顯易見，并且具有相同的

順序性.

模型拓展

A之

------------XCC

反“字型（不平行）反8字型（不平行）

例1

1.如圖，在口ABCD中，EF//AB,DE:EA=2:3,EF=:4,則。的長為

（）.

AB

A.—B.8C.10D.16

3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定證得S可得到

△JDEFAZMB,

EF:AB=DE;DA=2:5,進(jìn)而求解即可.

【詳解】?/EF//AB,

：.ZDEF=QA,NDFE7DBA,

ADEFS^DAB.

'：DE:EA=2:3,

：.EF:AB=DE:DA=2:5,

又?：EF=4,

：.AB=1O.

...在oABCD中，CD=AB=10.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、比例性質(zhì)、平行四邊

形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

例2

2.如圖，在oABCD中，E為BC中點(diǎn)，連接AE交對(duì)角線BD于F,BF=2,則FD

等于（）

A.2B.3C.4D,6

【答案】C

【解析】

【分析】先求ABFE?ADFA,再根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解.

【詳解】?..在口ABCD中，E為BC中點(diǎn)，

2

.\AD=BC,AD!IBC,2BE=BC=AD,

^BFE-ADFA,

.BE_BF

??樂一而‘

即L2

2FD

FD=4.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考察學(xué)生對(duì)相似三角形的判定的理解，熟練掌握相似三角形的判

定方法是解題的關(guān)鍵.

變式1

3.如圖DDABC中口口￡口：6?？冢?￡與CD交于點(diǎn)CWAO與DEDBC交于點(diǎn)NDM□則

下列式子中錯(cuò)誤的是口口

DNADADDEDODEAE_AO

r__—__B___=___

BMABABBCOC-BCEC-OM

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：????！昕??？?/p>

□UADNUUABMUUADEUUABCDDDOEUDCOBn

DNADADDEDODE

口---=----口--------口----=---口

BMABABBCOCBC

所以ADBDC正確;

UDEUBCn

□DAENUHACMH

AEAN

□——=——□

ACAM

AEAN一

口--------0

ECNM

3

所以D錯(cuò)誤.

故選DU

點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).注意平行于三角形的一邊的直線與其

他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.注意數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

變式2

4.如圖,△ABC中，點(diǎn)。，E分別在A3,AC上，DEHBC,若A￡>=1,

BD=2,則AADE與AAHC的面積之比為()

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9

【答案】D

【解析】

q

【分析】由小〃BC,易得AADE~AABC,利用相似三角形的性質(zhì)，也強(qiáng)能2

SjBC

即可.

【詳解】-.-DE//BC,

:.ZADE=/B,ZAED^ZC,

:.AADE~AABC,

2

AD

AB

\AD=1,BD=2,

\AB=AD+BD=1+2=3,

21

SADEa=

~9

故選擇：D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的面積比問題，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法,

會(huì)用方法證明兩個(gè)三角形相似，掌握相似三角形的性質(zhì)，會(huì)利用性質(zhì)解決對(duì)應(yīng)線段

比、周長比，面積比等問題.

4

模型二射影定理

【結(jié)論】△AD3SAA3C,A32=AD?AC(公共邊平方=共線邊乘積).

總結(jié)：一條線段出現(xiàn)在兩個(gè)相似(不全等)的三角形內(nèi)，那么這條線段的平方等于共線的

兩條線段的乘積.(公共邊的平方等于共線的兩條線段的乘積，記住這點(diǎn)，做題將會(huì)事半功

倍.)

其他的射影定理模型

(1)在正方形、長方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和火尸內(nèi)

均有射影定理模型.

(2)如圖，在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型.

例3

5.如圖，在凡AABC中，ZACB=9Q°,CD是AB邊上的高.

(1)若AC=6,A3=9,則4)=；

(2)若AC=4,8￡>=6,則CD=；

⑶若AC=5,CD=4,則3C=.

20

【答案】D.4□.26□.y

【解析】

【分析】(1)證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出再利用勾股定理求解

5

即可；

（3）先利用勾股定理求得40,再證明△/。。/△/山，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求

解即可；

【詳解】解：（1）?.?在心AABC中，ZACB=90°,8是AB邊上的高.

ZADC=nACB=9Q°,又NA=DA,

...△ADCS^ACB,

?ACAD6AD

□——=—,a即n一=-

ABAC96

解得：AD=4,

故答案為：4；

（2）由（1）知ZDCSAACB,

ACAD4AD

□——=—,即nn------=—,

ABACAD+64

解得：AD=2,或2。=-8（舍去），

在此△ZDC中，由勾股定理得：CD=y/AC2-AD2=A/42-22=273-

故答案為：26；

（3）在放△4DC中，AC=5,CD=4,

由勾股定理得：AD=JAC?—CD?=后—42=3,

由（1）中△4DCs"CB,

...四烏即

ACBC5BC

20

解得：BC=—,

20

經(jīng)檢驗(yàn)，BC=y,

20

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解分式方程、解一元二次

方程，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

變式3

6.如圖，在中，ZC=90°,CD±AB,AD=4,BD=9,則CD的長是

（）.

6

A

D

CB

.36c,9空

A.—B.6C.一

54

【答案】B

【解析】

【分析】先證明△ADCS^CDB,從而可得代入求值即可.

【詳解】解：,如圖，在RfZX/BC中，ZC=90°,CDLAB,

：.ZA+ZACD=ZACD+ZBCD=90°,

/A=NBCD,

XVZADC=ZCDB=90°,

...ZxADCsACDB,

.BD_CD

"CD-AD?

CD?=BD*AD=9X4=36,

：.CD=6（舍去負(fù)值）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握“母子相似圖”模型是解

題的關(guān)鍵.

模型三一線三等角

【結(jié)論1】如圖所示，點(diǎn)2,C,。在同一條直線上，ZB=ZACE=ZD,則

△ABCs&CDE,ABDE=BCCD（豎邊X豎邊=橫邊義橫邊）.

【結(jié)論2】如圖所示，點(diǎn)8,C,D同一條直線上，ZB=ZACE=ZD,BC=CD,則

△ABCSACDESAACE,AB?DE=BC?=CD?（豎邊x豎邊=橫邊x橫邊）.

7

A

E

模型圖解

例4

7.如圖，已知在梯形ABCD中,AD//BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2,P

為AO上的一點(diǎn)，ZBPC=ZA,求AP的長.

【答案】1或4

【解析】

【分析】根據(jù)題意可證得出比例關(guān)系式，進(jìn)而求出/尸的長.

【詳解】?.?在梯形ABCD中，AB=DC=2,

ZA=ZD.

又ZBPC=ZA,ZA+ZABP+ZAPB=180°,ZAPB+ZBPC+ZCPD=180°,

ZABP=ZCPD,

：.AABPS^DPC.

8

.AB_AP

"DP-CD'

設(shè)AP=x,則￡）P=5-x,

.2_x

??—―，

5-x2

解得x=1或4.

AP=1或4口

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“一線三等角”相似三角形

模型，是解題的關(guān)鍵.

總結(jié)：一線三等角模型應(yīng)用的四種情況：

1.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；

2.圖形中存在“一線二等角”，再構(gòu)造“一個(gè)等角”，利用模型解題；

3圖形中只有直線上一個(gè)角，再構(gòu)造“兩個(gè)等角”，利用模型解題；

4.圖形中只有45。角，直角或直角三角形，可構(gòu)造“一線三等（直）角”，利用模型解

題.

變式4

8.如圖，已知AABC和AADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點(diǎn)

FDAB=9DBD=3,則CF等于（）

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：□□ABC和DADE均為等邊三角形，□□B=DBAC=60°,

□E=DEAD=60°,

□□B=QE,DBAD=DEAF,□□ABD』AEF,二AB：BD=AE：EF.

同理：QCDFDDEAF,DCD：CF=AE：EF,DAB：BD=CD：CF,

即9：3=(9-3)：CF,DCF=2.故選B.

9

A

考點(diǎn)：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等邊三角形的性質(zhì).

變式5

7k

9.如圖，菱形/BCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在雙曲線)=—和〉=—上，且對(duì)角線相交于

xx

原點(diǎn)O,BD=2AC.平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點(diǎn)￡,F,則跖的

面積為.

【解析】

【分析】作4W_Lx軸于Af,DN_Lx軸于N,易證得△AQWS/\O/)N,根據(jù)系數(shù)

三角形的性質(zhì)即可求得上的值，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義即可求得

△QEF的面積.

【詳解】解：作3，工軸于〃，加，了軸于雙，

???四邊形ABCD是菱形.

1,1,

AC_LBD>0D=—BD,OA——AC,

22

10

/.ZAOM+ZDON=ZODN+DON=90°,OD=2OA,

:.ZAOM=ZODN,

?,?NAMO=NOND=9伊，

:2OMsbODN,

.SbAOM_（\2

◎SkODN―O2”D'

2

?.?A點(diǎn)在雙曲線y=—,BD=2AC,

x

.01OA1

:[x2=1,------=—,

2OD2

,1一（1）2

一S?一2，

-S^ODN=49

k

QO點(diǎn)在雙曲線y=一（左＜0）上，

x

二.g|止4,

k=—8,

???平行于x軸的直線與兩雙曲線分別交于點(diǎn)E,F,

S^oEF=SbOEG+S^OFG=5義2+/'8=5,

故答案為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)左的幾何意義、相似三角形的判定和性質(zhì)、菱

形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建相似三角形求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

模型四旋轉(zhuǎn)相似

【結(jié)論1】如圖所示，△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，CE的延長線與AD相交于

點(diǎn)尸，則/，且相似比為1：后，AD與CE的夾角為45。.

總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋

轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似.

11

【結(jié)論2】如圖所示，Rt&AOBsRt《：OD,則△AOCSABOD,AC^BD,且

AD2+BC2=CD2+AB2.

例5

10.如圖,將AABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度得到AABC,連接BB:CC,則BB1

CC等于（）

C.AB：BCD.AC：AB

【答案】A

【解析】

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NBAB=NCAC,AB，=AB,AC=AC,則可判斷

AABB^AACC\然后利用相似三角形的性質(zhì)可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：???△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度得到山：6?,

/.ZB,AB=ZC,AC,AB，=AB,AC'=AC,

.,.AABB,^AACC,,

.BB'_AB

"CC7"AC'

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中

心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

變式6

11.如圖1,AABC是等腰直角三角形，NACB=90。，D,E分別為A3,AC1.

的點(diǎn)，旦DE"BC,把AADE繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖2）,則絲的值為

12

AA

【答案】V2

【解析】

【分析】先證明進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】解：???△ABC是等腰直角三角形，DE//BC,

：.^AED是等腰直角三角形,

：.AD=^2AE,AB=y[2AC,

?.?把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),

AZDAE=ZBAC=45°,

ZEAC=ZDAB,

又

：.ADABsAEAC,

處=必=點(diǎn),

CEAC

故答案為：72.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是正確尋找相似三角形.

變式7

12.如圖，在正方形A5CD和正方形B￡FG中，連接AG,。尸，則受DF的值為

ACr

).

13

A.1B.—C.72D.叵

【答案】C

【解析】

【分析】連接加，BF,先證明△ABGSA/）5尸，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：連接8。，BF,

'：在正方形ABCD和正方形BEFG中，

.BDBF

.**---=<2,....-y/T2-,[2ABD=/GBF=45,

ABBG

BDBF

——=—,UABG=ZDBF,

ABBG

：?AABG^DBF,

:?箸囂=日

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線,

構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似模型，是解題的關(guān)鍵.

實(shí)踐練

13.如圖，在△/BC中，DE//BC,BD=3AD,BC=\2,則的長是（）

14

A

D,E

BL-------------

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】由DE〃:BC,可以判斷△ADESAABC,根據(jù)AD：BD=1：3即可得出結(jié)

論.

【詳解】解：,.?BD=3AD,

AAD：BD=1：3,

AAD：AB=1：4,

VDE//BC,

???AADE^AABC,

?DE一AD一1

??-A3-4'

VBC=12,

，DE=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC=3：1,連接AE交

BD于點(diǎn)F,則」DEF的面積與DBAF的面積之比為（）

A.3：4B,9：16C.9：1D.3：1

【答案】B

【解析】

【分析】可證明△DFEs^BFA,根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可

得出答案.

15

【詳解】□四邊形ABCD為平行四邊形，

□DCDAB,

□□DFEDDBFA,

□DE：EC=3：1,

□DE：DC=3：4,

□DE：AB=3：4,

□SDDFE：SDBFA—9：16.

故選B.

15.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長與BA的延長

FA

線父于點(diǎn)若AE=2ED,則二的值是（口

【答案】D

【解析】

【分析】由邊形ABCD是平行四邊形，可得AB〃CD,即可證得△AFESANC,

然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案.

【詳解】???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AB//CD\J

:.AAFESADEC□

AE：DE—AF：CD

:.AF:CD=2:W

:.AF:BF^2:3U

故選D口

【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).解

題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.如圖，在AABC中，50=120,高AD=60,正方形EFGH一邊在BC上,

點(diǎn)分別在上，AD交所于點(diǎn)N,則⑷V的長為（）

16

【答案】B

【解析】

【分析】證明△AEFsaABC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線的比等于相似比即

可求得.

【詳解】解：..?四邊形EFGH是正方形，

，EF〃BC,

/.△AEF^AABC,

.EFAN

設(shè)AN=x,則EF=FG=DN=60-x,

.60-x_x

120-60

解得：x=20

所以，AN=20.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形以及相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用是解題關(guān)

鍵.

17.如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，G,尸分別為AO,邊上的

點(diǎn).若AG=2,Bb=3,NGEb=90。，則AE的長為（）.

C.V?D.V6

【答案】D

17

【解析】

【分析】由在正方形4BC。中，ZGEF=9Q°,得MGES^BEF,又由￡為48的中

點(diǎn)，AG=2,BF=3,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，由此即可求得答案.

【詳解】解：???四邊形是正方形，

工ZA=ZB=90°,

：.ZAGE+ZAEG=9Q°,

,：ZGEF=9Q°,

，ZAEG+ZBEF=90°,

ZAGE=ZBEF,

：.AAGE^ABEF,

.AGAE

一正一獷

為N6的中點(diǎn)，

：.AE=BE,

'：AG=2,BF=3

2AE

,??_，

AE3

解得：AE=瓜,

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理.此題

難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

18.把邊長分別為1和2的兩個(gè)正方形按圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為

()

【答案】A

【解析】

【分析】對(duì)圖上各邊標(biāo)上字母，由題意可證得DADHs口GCH,利用相似三角形對(duì)應(yīng)

18

線段成比例可知部，可求得陰影部分面積的高DH,進(jìn)而求得陰影部分面

積.

□□CHG=DDHA,nHCG=DADH

□□ADH^OGCH

ADDH

0------

CGCH

即LDH

21-DH

解得DH=g

□陰影部分面積=lx(x1=；

326

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求陰影部分的面積，解本題的關(guān)鍵

是求得陰影部分的高進(jìn)而即可解題.

19.如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)。恰好落在邊上的尸處.已知

CE=4,AB=9,則()

C.11D.10

【答案】B

【解析】

【分析】利用折疊的性質(zhì)得DE=EF=5,從而得CF=3,再證明ABAFS^CFE,列

出比例式，即可求解.

【詳解】解：?.?在矩形ABCD中，AB=CD=9,

由折疊的性質(zhì)知：AD=AF,DE=EF=9—4=5,

19

?.?在此尸中，EF=5,CE=4,

??a=后-4?=3,

VZS=ZC=90°,ZAFE=90°,

???ZBAF+ZAFB=/AFB+ZEFC=90°,

/BAF=/EFC,

：.4BAFS4CFE,

■ABBF9BF

*FC市,即：丁『解得：BF*.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形得的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的

性質(zhì)，證明△B4FSACEE是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，/0AB=30°,若點(diǎn)A在反比例函數(shù)

y=-（x>0）的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為（）

X

2

D.y=-

x

【答案】c

【解析】

S1

【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出y2=a，進(jìn)而得出szuo0=3,即

^^AOD3

可得出答案.

【詳解】過點(diǎn)5作軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)/作軸于點(diǎn)。口

ZBOA=90°n

???ZBOC+ZAOD=90°n

???ZAOD^ZOAD=90°n

：.ZBOC=ZOADU

又丁ZBCO=ZADO=90°U

20

???△BCOs^ODA口

BOJ3

???——=口〃30。=口口

AO3

q1

.3BCO_1

-?5一§口O

□△AOOJ

*.*—X?1Z)XDO=—AT=3D

22

/.SABCO=-X5CXCO=—Saoz)=l□

23

???經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)圖象在第二象限,

2

故反比例函數(shù)解析式為：了=□—口

x

故選CD

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)□反比例函數(shù)數(shù)的幾何意義，正

確得出Sioi尸2是解題關(guān)鍵.

21.如圖所示，。為四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，

ZA=NOOC=N5AD=9,3C=8,則A3的長是（）.

A.6.J2B.6C.12.72D.17

【答案】C

【解析】

【分析】先證明△5C0SAA0D,從而得整=三,進(jìn)而即可求解.

AOAD

【詳解】解：VZDOC=ZB,ZB+ZBCO=ZAOC=ZDOC+ZAOD,

：.ZBCO=ZAOD,

21

又?:ZA=ZB,

/.△BCMAAOD,

BCBO8BO

：.——=——，a即n：——=——

AOADAO9

為邊A3的中點(diǎn)，

：.AO2=8X9=72,

：.AO=6^2（負(fù)值舍去），

：.AB=12y/2.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“一線三等角”相似三角形模

型，是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，AABC%ADE,BC,OE交于點(diǎn)O,有下列三個(gè)結(jié)論：JZ1=Z2,□

BC=DE,LABDrACE.則一定成立的有（）.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判斷①和②，再根據(jù)相似三角形的判定判斷③即

可.

【詳解】解：①???△ABC2△ADE,

NBAC=/DAE,

：.Z1+UDAC=\J2+\JDAC,

.-.Z1=D2,故①成立;

②?.,△ABC=△ADE,

：.BC=DE,故②成立，

③：AABC^AADE,

:.AB=AD,AC=AE,

22

.ABAD

‘.就=瓦,又N1=N2,

"ABD2CE,故③成立,

綜上，一定成立的有①②③共3個(gè),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握全等三角形的

性質(zhì)和相似三角形的判定是解答的關(guān)鍵.

23.如圖所示,在R/AABC中，ZABC=9Q°,AB=3,BC=4,在RsMPN中,

ZMPN=90°,點(diǎn)？在A。上，PM交AB于點(diǎn)E,PN交BC于點(diǎn)F.當(dāng)

尸E=2尸尸時(shí),AP的值為（）.

C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】過P作PHLBC于H,PQDAB于。，證明APQEUDPHF,得出PQ=2PH=2BQ,

AOPOAP

再由PQHBC證得△/0夕口口48。，得到—=—=——，設(shè)BQ=x,則AQ=3-x,

ABBCAC

PQ=2x,求出x值即可解決問題.

【詳解】解：?.?在AAABC中，ZABC=90%AB=3,BC=4,

?:/C=JAB?+BC?=132+42=5,

過尸作尸"LBC于A,PQQAB^-Q,

則ZPQB=ZPHB=nB=90°,

...四邊形尸是矩形，

：.PH=BQ,ZQPH=9Q°=ZMPN,PQ//BC,

：.NEPH+NQPE=NEPH+NHPF=9Q0,

：.NQPE=/HPF,

23

???APQEnnPHF,

PQ_PE

，又PE=2PF,

~PH~~PF

:?PQ^2PH=2BQ,

,:PQ〃BC,

：.AAQPnUABC,

.AQ_PQ_AP

**AB-BC-AC，

設(shè)BQ=x,則/0=3-x,PQ=2x,

.3-x_2x_AP

??二—，

345

解得：x=g，/尸=3，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、矩形的

判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線是解答的關(guān)鍵.

24.如圖，在用AABC中，ZAC5=90°，點(diǎn)。是邊上的一點(diǎn)，CDLAB于

D,AD=2,BD=6,則邊AC的長為.

【解析】

【分析】根據(jù)射影定理列式計(jì)算即可.

【詳解】由射影定理得，AC2=AD?AB=2X(2+6)，

解得：AC=4,

24

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是射影定理，直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜

邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).

25.如圖，已知直角AABC中，CD是斜邊A3上的高，AC=4,BC=3,則

AD=.

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理求出A3,根據(jù)射影定理列式計(jì)算即可.

【詳解】解：在RtAABC中，AB=^AC2+BC2=5>

由射影定理得，AC2=AD.AB,

故答案為費(fèi).

【點(diǎn)睛】本題考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一條直角邊是這

條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).

26.如圖，正方形ABCD中，AB=12,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、

4

C重合），過點(diǎn)P作交CD于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為.

【答案】4

【解析】

【分析】先證明ABPESACQP,得到與CQ有關(guān)的比例式，設(shè)CQ=y，BP=x,則

CP=12-x,代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最

25

值.

【詳解】解：；NBEP+NBPE=90°,ZQPC+ZBPE=90°,

ZBEP=ZCPQ.

又/B=NC=90。,

ABPE^ACQP.

BEBP

,PC-CQ

設(shè)CQ=y,BP=x,則CP=12-x.

rz=—,化簡(jiǎn)得y=-入，-12x),

12-xy9、'

整理得y=_g(x-6)2+4,

所以當(dāng)戶6時(shí)，y有最大值為4.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)最值問

題，幾何最值用二次函數(shù)最值求解考查了樹形結(jié)合思想.

27.如圖，正方形ABCD中，E,F分別為BC,CD上的點(diǎn)，且AELBF,垂足為

(1)求證：AE=BF；(2)若BE=6,AG=2,求正方形的邊長.

【答案】(1)見解析；(2)正方形的邊長為".

【解析】

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=BC,EABC=DC=90°,CBAEWAEB=

90°,由AEDBF,得出口CBF+DAEB=90。，推出口BAE=DCBF,由ASA證得

□ABEDDBCF即可得出結(jié)論；

(2)證出口86￡=口人8￡=90。，nBEG=DAEB,得出口：86￡口口人8￡,得出BE?

=EG?AE,設(shè)EG=x,則AE=AG+EG=2+x,代入求出x,求得AE=3,由勾股

定理即可得出結(jié)果.

26

【詳解】(1)證明：□四邊形ABCD是正方形，

□AB=BC,□ABC=DC=90°,

□□BAE+DAEB=90°,

□AEDBF,垂足為G,

□□CBF+DAEB=90°,

□□BAE=DCBF,

在DABE與DBCF中，

ZBAE=ZCBF

<AB=BC,

/ABE=/C=90°

□□ABEDDBCF(ASA),

□AE=BF；

(2)解：□四邊形ABCD為正方形，

□□ABC=90°,

□AEDBF,

□□BGE=QABE=90°,

□□BEG=DAEB,

□□BGEDDABE,

BE_EG

□-------,

AEBE

即：BE2=EG?AE,

設(shè)EG=x,則AE=AG+EG=2+x,

口(g)2=x?(2+x),

解得：X1=1,X2=-3(不合題意舍去)，

□AE=3,

□AB=7AE2-BE2=舊-(6)2=瓜■

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等與相似是解題

的關(guān)鍵.

培優(yōu)練

28.(1)如圖1,菱形AEGH的頂點(diǎn)E、H在菱形ABCD的邊上，且

27

440=60。，請(qǐng)直接寫出HD:GC:EB的結(jié)果(不必寫計(jì)算過程)

(2)將圖1中的菱形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2,求HD:GC:EB；

(3)把圖2中的菱形都換成矩形，如圖3,且A￡>:AB=AH:AE=1:2,此時(shí)

HD:GC:EB的結(jié)果與(2)小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變

化后的結(jié)果(不必寫計(jì)算過程)；若無變化，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)1:6:1;(2)1：6：1(3)有變化，1：石：2

【解析】

【分析】(1)連接AG,由菱形AEGH的頂點(diǎn)E、”在菱形ABCD的邊上，且

ZBAD=60°,易得A,G,。共線，延長HG交3C于點(diǎn)延長EG交QC于點(diǎn)

N,連接交GC于點(diǎn)。，則GMQV也為菱形，利用菱形對(duì)角線互相垂直，結(jié)

合三角函數(shù)可得結(jié)論；

(2)連接AG,AC,由AADC和AAHG都是等腰三角形，易證與

AZMH~AC4G與AZMHMAR4E,利用相似三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)可得結(jié)

論；

(3)連接AG,AC,易證AADC~AAHG和AADH~AABE,利用相似三角形的

性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】(1)連接AG,

?菱形AEG”的頂點(diǎn)E、〃在菱形ABCD的邊上，且Nfl4D=60。，

:.ZGAE=ZCAB=30°,AE=AH,AB=AD,

:.A,G,。共線，AB-AE=AD-AH,

:.HD=EB,

延長EG交BC于點(diǎn)延長EG交DC于點(diǎn)N,連接MN,交GC于點(diǎn)0,則

GMCW也為菱形，

:.GC±MN,ZNGO=ZAGE=30°,

空=33。。=走

GN2

'：GC=2OG,

28

,GN1

"~GC~H3,

???HGND為平行四邊形，

:.HD=GN,

:.HD:GC:EB=l：y/3:l.

(2)如圖，連接AG,AC,

,/AADC和AAHG都是等腰三角形，

:.AD;AC=AH;AG=1：43,ZDAC=ZHAG=30°,

ZDAH=ZCAG,

:.ADAH-ACAG,

:.HD:GC=AD:AC=1:5

'：ZDAB=ZHAE=6Q°,

.-.ZDAH=ZBAE,

在AZMH和ASAE中，

AD=AB

<ADAH=ZBAE

AH=AE

ADAH=ABAE(SAS)

:.HD=EB,

:.HD:GC:EB=l：y/3:l.

(3)有變化.

如圖，連接AG,AC,

29

DC

五

廣得一B

'：AD;AB=AH:AE=1:2,ZADC=ZAHG=90°,

.-.AADC-AAHG,

AD:AC=AH:AG=1:45

;ZDAC=ZHAG,

ZDAH=ZCAG,

.-.ADAH-ACAG,

HD:GC=AD:AC=1;y/5,

ZDAB=ZHAE=90°,

:.ZDAH=ZBAE,

DA;AB=HA;AE=1:2,

.-.MDH-AABE,

:.DH:BE=AD:AB=1:2,

:.HD:GC:EB=1:45:2

【點(diǎn)睛】本題是菱形與相似三角形，全等三角形，三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，

難度較大.

29.已知△48C和△OCE中，AB=AC,DC=DE,BF=EF,點(diǎn)6,C,￡都在同一

直線上，且△NBC和△OCE在該直線同側(cè).

(1)如圖①，若NBAC=NCDE=90。,請(qǐng)猜想線段N尸與。尸之間的數(shù)量關(guān)系和

位置關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)如圖②，若NR4C=60。，ZCDE=120°,請(qǐng)直接寫出線段“尸與。尸之間的

30

數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

(3)如圖③，若NB4C=a,ZCDE=180°-a,S.BOCE,請(qǐng)直接寫出線段“尸

與。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系(用含a的式子表示).

【答案—F=DF,AFA.DF,證明見解析；(2)AFfDF,AF1DF,證明見

解析；(3)AF=DF-tan((90°~^a),AF±DF.

【解析】

【分析】(1)如圖□中，結(jié)論：AF=DF,AFUDF.證明(SAS),可得

結(jié)論；

(2)如圖□中，結(jié)論：AF<DF,AFA.DF.證明△/毋DQE/D,可得結(jié)論；

(3)如圖③中，結(jié)論：AF=DF-tan((90°-1?),AF1DF,證明方法類似

(2).

【詳解】解：(1)如圖①中，結(jié)論：AF=DF,AFLDF.

理由：過點(diǎn)/作《ELL5C于〃，過點(diǎn)。作DALE。于J.

圖①

■：AB=AC,DC=DE,ZBAC=ZCDE=90°,

：.BH=CH,CJ=JE,

：.AH=BH=CH,DJ=CJ=JE,

"：BF=FE,

：.HJ=BF=EF,

：.BH=FJ=AH,FH=JE=DJ,

,/ZAHF=ZFJD=90°,

；.4AHF咨AFJD(SAS),

：.AF=FD,ZHAF=ZDFJ,

■：ZE4H+ZAFH=90°,

：.ZAFH+ZDFJ=90°,

：.ZAFD=90°,即/尸，。髭

31

(2)如圖②中，結(jié)論：AF=y[3DF,AFLDF.

圖②

理由：過點(diǎn)/作于"，過點(diǎn)。作ZLTOEC于J.

UAB=AC,QBAC=60°,

□二48C是等邊三角形，

□BH=CH,AH=^3BH,

HDC=DE,口CZ)E=120°,

UCJ=JE,UDEC=UDCE=30°,

UJE=43DJ,

\JBF=FE,

□HJ=BF=EF,

口BH=FJ,HF=JE,

DAH=?J,FH=y/3DJ,

AHHFr-

□——=——=V3,

FJDJ

□□^^=□7^=90°,

U3AHFU3FJD,

AFAHr-

□——=——=J3,DHAF^DDFJ,

DFFJ

aDrE4H+^AFH=9Q°,

□3AFH+QDFJ=90°,

□二NFO=90°,BPAFDDF,

DAF=V3DF,AFQDF；

(3)如圖□中，結(jié)論：AF^DF-tan((90°-1?),AF±DF,

理由：過點(diǎn)”作49nBe于〃，過點(diǎn)。作所EC于J.

32

圖③

UAB=AC,UBAC=a,

DBH=CH,AH=BH^tan(90°-1cr),

DDC=DE,nCDE=1800-a9

□CJ=JE,JE=DJ-tan(90°~~a)?

\JBF=FE,

□HJ=BF=EF,

口BH=FJ,HF=JE,

□AH=FJtan(90°—ga),=".tan(90。

AHHF…1、

□=---------=tan(90——a)