相似三角形四種模型（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

代將三*形B曾娥型

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一:相似三角形基本模型（X字型）

【方法點(diǎn)撥】基本模型：

B

X字型（平行）反X字型（不平行）

題型二:相似三角形基本模型（A字型）

【方法點(diǎn)撥】基本模型：

人字型（平行）反A字型（不平行）

題型三:相似基本模型（K字型（一線三等角））

【方法點(diǎn)撥】基本模型：

如圖1,=/。=ZEDF推出ABDE?△CFD（一線三等角）

如圖2,48=4C=/ADE推出△ABD?AZX7E（一線三等角）

如圖3,特別地，當(dāng)。時中點(diǎn)時：/\BDE?ADFE?/\CFD推出ED平分ABEF,F。平分NEFC.

題型四:相似三角形基本模型（旋轉(zhuǎn)型（手拉手））

【方法點(diǎn)撥】基本模型：

旋轉(zhuǎn)放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.

壓軸題預(yù)測

題型一:相似三角形基本模型（X字型）

;題目［（2024-韶關(guān)模擬）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架AD與交于點(diǎn)O,

測得AO=BO=50cm,CO=DO=30cm.

⑴若CD—40cm,求AB的長；

（2）將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度106°,求力B距離地面的高.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)值

sin37°g0.60,cos37070.80）

【分析】（1）先證明△?,再由相似三角形的性質(zhì)求出AB的長即可；

（2）過點(diǎn)。作OE_LAB于點(diǎn)E,OF_LCD于點(diǎn)F,在RtADOF中，OF=?sin37°,在RtABOE中，OE

=OB?sin37°,EF=OE+OF,進(jìn)而作答即可.

【解答】解：（1）；40=80=50?11,CO=DO=30cm,

At\AOB與bCOD是等腰三角形，

?：2AOB=4COD,

ANA=NB=/C=ND,

：.\ABO八DCO,

?AOAB

DOCD

⑵過點(diǎn)。作OE，AB于點(diǎn)E,OF，CD于點(diǎn)F,如圖，

?/ZAOB=106°,^AOB與bCOD是等腰三角形，

180°-106°

ANA=ZB=ZC=ND

在R1ADOF中，

OF=OD-sin370=30x0.60=18（cm）,

在RtABOE中，

OE=OB-sin37°*50x0.60=30（cm）,

EF=OE+OF=30+18=48（cm）,

AB距離地面的高為48cm.

【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線.

題目3（2024-西安校級模擬）小明為了測量出一深坑的深度，采取如下方案:如圖,在深坑左側(cè)用觀測儀AB

從觀測出發(fā)點(diǎn)A觀測深坑底部P,且觀測視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)E,在深坑右側(cè)用觀測儀CD從測出發(fā)點(diǎn)

。觀測深坑底部P,且觀測視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)F,點(diǎn)、B,E,F,。在同一水平線上.已知AB±EF,

。。_1直干,觀測儀48高2館,觀測儀8高1小，跳；=1.6小，即=0.8m,深坑寬度EF=8.8zn,請根據(jù)以上

數(shù)據(jù)計算深坑深度多少米？

MS

【分析】過點(diǎn)P作P〃垂直石尸，垂足為然后根據(jù)已知證明ZABM?bPHM,ACDN?APHN,彳導(dǎo)出HP

=空霍旦=理暮瓦，設(shè)MH=mn,則NH=（8.8—6）m,解得MH=4.4,再求HP即可.

【解答】解:過點(diǎn)P作PH垂直EF,垂足為H,如圖：

?.?AB±EF9PH±EF,CD±EF9

：.AB//HP,CD//HP,

???AABN?\PHM,、CDN?\PHN,

.ABMBCD=DN

，9HP~MH?PH-HZV?

.AB-MH00CD-HN

??HP=F^'HP=F^'

.AB?MH=CD?HN

??MB—DN'

'：AB=2m,BM—1.6m,CD=Im,DN=0.8m,MN=8.8m,

設(shè)MH=xm,則NH=（8.8—x）m,

.2/_1x（8.8一4）

**1L6-0?8'

?，?力=4.4,

?歷=守=得=5.5（加,

.?.深坑深度5.5米.

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力.利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)

際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

［題目回（2024?常州模擬）圖1是凸透鏡成像示意圖，蠟燭4。發(fā)出的光線CE平行于直線,經(jīng)凸透鏡上W

折射后，過焦點(diǎn)F,并與過凸透鏡中心。的光線8交于點(diǎn)D,從而得到像其中，物距A。=u,像距

BO=u,焦距OF=/,四邊形AOEC是矩形,DB_LAB,MNLAB.

（1）如圖2,當(dāng)蠟燭AC在離凸透鏡中心一倍焦距處時，即〃=八請用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明此時“不成像”；

（2）若蠟燭力。的長為5cm，物距u=15cm,焦距/=10cm,求像距o和像BD的長.

（分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=EO,ACAO=AAOE=90°,從而可得ACAO=/EOF=90°，然后利

用SAS證明ACAO=LEOF，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得ACOA=/EFO,進(jìn)而可得。O〃EF,即可

解答；

（2）根據(jù)垂直定義可得ACAO=ADBO=/EOF=90°,然后證明8字模型相似ACAO?\DBO,^EFO?

ADFB,從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：（1）?.?四邊形4OE。是矩形，

??.AC=EO,ZCAO=ZAOE=90°f

：./EOF=180°-ZAOE=90°,

??.ZCAO=ZEOF=90°,

AO=OF,

：.t^CAO='EOF（SAS）,

???ACOA=ZEFO,

：.CO//EF,

???CO與EF沒有交點(diǎn)，

???此時“不成像”；

⑵???CA.LAB,DB.LAB9MN±AB,

：.ACAO=ADBO=4EOF=90°,

?：ACOA=ZBOD,

：.ACAO?XDBO,

.CA=DB

AO-BOJ

.5=DB

??正一詼’

???BO=3BDf

???4EFO=/DFB,

??.\EFO?\DFB,

EO__BD

OFBF'

5_BD

10OB-10'

5_BD

103BD-10

解得：80=10,

BO—3RD=30（cm）,

/.像距v為30cm,像BD的長為10cm.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形

的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

［題目|4］（20237師河區(qū)校級三模）綜合與實(shí)踐

瑩瑩復(fù)習(xí)教材時，提前準(zhǔn)備了一個等腰三角形紙片ABC,如圖，=5,BC=6.為了找到重心，以

便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起,她先把點(diǎn)B與點(diǎn)。重疊對折,得折痕AE,展開后，她把點(diǎn)B與點(diǎn)A重疊對

折,得折痕DF，再展開后連接CD,交折痕AE于點(diǎn)O,則點(diǎn)。就是AABC的重心.

教材重現(xiàn)：

如圖4-15,用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片.你知道怎樣確定這個點(diǎn)的位置嗎？

在三角形中，連接一個頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段,叫做這個三角形的中線（median）.如圖4-16,

AE是&4BC的邊上的中線.

4

（1）初步觀察：

連接AF,則AF與BF的數(shù)量關(guān)系是:_AF=BF_；

（2）初步探究：

請幫助瑩瑩求出AAOC的面積；

（3）猜想驗(yàn)證；

瑩瑩通過測量驚奇地發(fā)現(xiàn)OA=2OE,8=200.她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由；

（4）拓展探究：

瑩瑩把^AFC剪下后得3"，發(fā)現(xiàn)可以與AABF拼成四邊形,且拼的過程中點(diǎn)4不與點(diǎn)A重合，直接

寫出拼成四邊形時04的長.

【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)即可得到答案；

（2）由折疊可知，跳;=儂=93。=3,/AEC=90°,利用勾股定理求得AE=4,連接DE,易得DE為

△ABC的中位線，則DE//AC,DE=±AC,于是AODE?AOCA,得到償=爺=4■，進(jìn)而可得OA=

2OE,則OA=弓，根據(jù)三角形面積公式可得S”oc=CE,代入計算即可求解；

（3）連接DE,易得DE為^ABC的中位線，則。E〃AC,DE=^AC,于是NODE?AOCA,利用相似三角

形的性質(zhì)即可求解；

（4）連接OB,由⑵知。4=[■，則OE=等，利用勾股定理求得OB=，由折疊可知AADF=NBDF=

OOO

90°,4F=BF,AD=BD=2,易證^FBD?△ABE,由相似三角形的性質(zhì)可求得BF=孕，則EF=g,分

266

???

兩種情況討論：當(dāng)4與點(diǎn)B重合時，此時04=OB-,當(dāng)點(diǎn)4與點(diǎn)F重合時，利用勾股定理求出OF即可.

【解答】解：（1）?.?點(diǎn)B與點(diǎn)A重疊對折,得折痕DF,

^ADF會ABDF（折疊的性質(zhì)），

：.AF=BF-,

故答案為：人尸=可；

（2）由折疊可知，BE=CE=<BG=3,ZABC=90°,

在RtAACE中，AB=^AC2-CE2=V52-32=4,

如圖，連接DE,

?.?點(diǎn)D、E分別為AB,B。的中點(diǎn)，

.?.DE為AABC的中位線，

DE//AC,DE=-j-AC,

AODE=/.OCA,AOED=AOAC,

：.XODE?XOCA,

.OE_DE=1

"~OA~^C~^2'

：.OA=2OE,

OA+OE=AE=4：,

.?.OA=^AB=3，

oo

:.SbAoc=?CE—~~x^-x3=4;

（3）正確，理由如下：

如圖，連接。石，

???點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，

???。石為AABC的中位線，

:?DE〃AC,DE=]AC,

???/ODE=ZOCA,AOED=AOACf

???RODE八OCA,

.OE=OD=DE=\

，9~OA~~OC~~AC~^J

：.OA=2OE,OC=2OD;

(4)如圖，連接OB,

由⑵知，04=。,

o

.?.OE=4-1~4

o3

在Rt'OBE中，。6=JO石2+郎2二

由折疊可知，/ZOF=NBDF=90°,AF=BFfAD=BD=

：./BDF=/BEA=gO0,

???AFBD=AABE,

：.\FBD?'ABE,

_5_

.BD_=BF_即2=理

,'BEBA"35'???

6

OP;7

；.EF=BF—BE=^—3=3,

66

當(dāng)4與點(diǎn)B重合時，如圖①②，連接OB,

圖①

此時O4=OB=^Z；

0

AAFB+AAFC^180°,ZAFC=AA'F'C,

：.AAFB+AA'F'C=180°,

此時拼成的圖形為三角形，不符合題意；

在R1AOEF中，OF=^OE2+EF2=J得丫+佶丫=,

04=OF=^5^.

0

綜上，04的長為甲或乂獸.

【點(diǎn)評】本題主要考查折疊的性質(zhì)、中線的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定

與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是讀懂題意，熟知折疊的性質(zhì)，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思

想解決問題.

MS

1題目回（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖，AB是。。的直徑，。4=3.動點(diǎn)P從點(diǎn)人出發(fā)，在OO上沿順時針方向

運(yùn)動到終點(diǎn)B,速度為每秒兀個單位.同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在。O上沿順時針方向運(yùn)動,速度為每秒

3兀個單位.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動.連結(jié)OP、OQ.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒.

（1）。。的周長為—6?！?/p>

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時，求0所在的扇形的面積；

⑶當(dāng)QPLOQ時，求t的值；

（4）作半徑OP的垂直平分線交0O于點(diǎn)M、N,連結(jié)PQ.當(dāng)PQ將線段分成1:2的兩部分時,直接寫

【分析】（1）直接利用圓的周長公式計算即可；

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時，根據(jù)點(diǎn)P走過的弧長+弧AB的長=點(diǎn)3走過的弧長列出方程，求出t值，于是

可求出&所在扇形的圓心角度數(shù)，進(jìn)而利用扇形的面積公式求解即可；

（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合前，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合前.根據(jù)兩點(diǎn)走過的弧長關(guān)系列出方程，求解即

可；

⑷情況一：連接OM,PM,PN,ON,PQ交MN于點(diǎn)、H,NH-.MH=1:2,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得

ROPM為等邊三角形，^PON為等邊三角形，進(jìn)而得到四邊形PMON為菱形，易得kGHN?^PHM,根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)可得GN=}aM==ON,由等邊三角形三線合一可知PG垂直平分ON,于是可得

AHON=NHNO=30°,則乙4OP=30°,利用此時0的長小點(diǎn)P的運(yùn)動速度即可得到時間；情況二：同情

況一方法即可求解.

【解答】解：（1）。O的周長為2兀x3=6兀；

故答案為：6兀；

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時，

3兀+兀力=3兀力,

解得:力=伴，

.?.點(diǎn)P走過的圓心角度數(shù)為q一X360°=90°,

O7T

???萬戶所在的扇形的面積為我7X7UX32=-7-7T；

3604

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合前，OPLOQ,

貝Ix6兀一兀力=3兀一3兀方,

解得:力二卷；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合后，OPLOQ,

兀力+?x6兀=3兀力—3兀,

解得：=-|-;

綜上，方=~|■或今；???

(4)情況一:如圖，連接OM,PM,PN,ON,PQ交MN于點(diǎn)、H,NH:MH=1:2,

???7VW垂直平分QP,

：.OM=PM,

?：OP=OM,

：.OP=OM=PM,

???AOPAf為等邊三角形，

??.ZFOM=60°,

同理可得：APON為等邊三角形，

??.OP=PN=ON,乙PON=60°,

???4MoN=120°,PM=OM=ON=PN,

???四邊形PTWON為菱形，

：.PM//ON,

:.\GHN?\PHM,

?==即

GN=LpMJ

?,PMMH2，、G2

：.GN=^ON,

PG垂直平分ON,

??.NH=OH,AHNO=/HON,

???AMON=120°,OM=ON,

??.AONM=30°,即AHNO=30°,

??.AHON=AHNO=30°,

??.AAOP=/.PON-AHON=60°-30°=30°,

.+_磊義6兀_i

?,-—K—-于

情況二：連接OAl,PM,PN,ON,PQ交MN于點(diǎn)H,NH:MH=1:2,

同理可得：ZBOF=30°,

??.AAOP=180°-ABOP=180°-30°=150°,

.+■x6兀5

..t=-----------=-

兀2

綜上，力=4或

【點(diǎn)評】本題主要考查圓的面積公式、扇形的面積公式、弧長公式、一元一次方程的應(yīng)用、線段垂直平分線的

性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等，理清題意，學(xué)會利用分類

討論和數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關(guān)鍵.

趣自回（2023?海曙區(qū)校級三模）如圖1,在菱形4BCD中，48=2斯,點(diǎn)P是對角線上的動點(diǎn)，。。是

^PAB的外接圓，tan/OBO=十,設(shè)。。的半徑為r,BP=2.

MS

圖1圖2

（1）如圖2,當(dāng)PA=PB時,求證：BC是⑷。切線；

（2）延長AP交射線8。于點(diǎn)Q.

①如圖3,若BP為⑷。直徑，求CQ的長；

②如圖4,若點(diǎn)O、A、。三點(diǎn)共線，求/的值；

（3）當(dāng)0Vc<4時，直接寫出r與c的函數(shù)關(guān)系式:—r--yV5a:2—40a;+100

【分析】（1）連接BO并延長交0。于點(diǎn)E,連接PE，由此得/E+NEBP=90°,然后根據(jù)PA=PB以及爰

形的性質(zhì)可證：ABAP=NABP=/E=/CBP,據(jù)此可得NEBC=90°,進(jìn)而利用切線的判定可得出結(jié)論；

（2）①連接PC,根據(jù)已知條件tan/DBC=9可求出。4=。。=/5,進(jìn)而根據(jù)^QPC和AQBA相似，然后

列出比例式即可求出CQ的長；

②延長AO與。。交于點(diǎn)G,連接GP,AC,力。與BD交于玄，先證明PG=PD,再證PG=24P,根據(jù)已

知條件tanNDBC=今分別求出2,4,可設(shè)AP=a，則PG=PD=2a,PH=2a—4,然后在

團(tuán)AAPH中，由勾股定理求出a,進(jìn)而求出BP的長和DP的長，最后根據(jù)AADP和AQBP相似可得出答

案;

（3）作。。的直徑DM,連接AM，連接交BD于點(diǎn)H,由BP=,,則PH=4—2,在RtAAPH中，由勾股

定理求出AP,再由=NABD=ADBC得tan/M=J■，進(jìn)而得AM=2AP，最后在Rt/XAMP中，由勾股

定理可得出廠與力的函數(shù)關(guān)系式.

E

【解答】⑴證明：作。。的直徑B石，連接PE,

???BE為。O的直徑，

??.ZSFB=90°,

??.NE+"BP=90°,

又PA=PB,

：.PA=PB,

：.ABAP=AABP=4E,

AABP+AEBP=9Q°,

?：四邊形ABCD為菱形，

ZABP=NCBP,

:"CBP+4EBP=90°,

即：/ESC=90°,

又OB為。。的半徑，

.?.B。為。。的切線.

（2）解:①連接PC,

???BP為。。的直徑，

/PAB=/PCB=90°,

四邊形ABCD為菱形，AB=BC=275,

4DBC=NDAB,

在RtAPBC中，tan/DBC=第=白

XJC2

即.匹―1

,2V52'

：.PC=V5,

■：zLDBC=ZDAB,APAB=ZPCB=90°,

：.PA=PC=V5,

?/ZQCP=ZQAB=90°,APQC=NBQA,

XQPC-NQBA,

.PQ=CQ_PC=V5

"BQ~AQ~AB~2V5'

：.BQ=2PQ,AQ^2CQ,

,/BQ—BC+CQ=2V5+CQ,AQ=AP+PQ=V5+PQ,

2V5+CQ=2PQ,V5+PQ=2CQ,

由逐+PQ=2CQ得：PQ=2CQ-V5,

將？口=2?？谝坏甏?V^+CQ=2PQ,得：CQ^^~.

②延長AO與。O交于點(diǎn)G,連接GP,AC,AC與BD交于〃，

???四邊形ABCD為菱形，

??.AB=4D=2裾,4。_L皿且AH=CH,BH=DH9AD//BC,

???/ABD=/ADB,

又???ABD=AG,

：./G=/ADB,

??.PG=PD,

???AD//BC,

??.NADB=/DBC=ZG,

VtanZZ?BC=y,

tanZADB=tan/石=,

在RtbAPG中,tanZ￡?=]

rCjr2

即：PG=2AP,

MS

設(shè)AP=a，則PG=PD=2a,

1

在RiAADH中，tan/ADB=

HU2

即：HD=2⑷f,

由勾股定理得：HD2+AH2=AD2,

???((2AH)2+AH2=(2/)2,

??.AH=2,

:.HD=4,

：.PH=PD—HD=2a—4,

在RtAAPH中，由勾股定理得：人產(chǎn)=AH2+PH2,

2

即：Q2=2+(2a-4汽

解得：Q產(chǎn)學(xué)，。2=2(不合題意，舍去)，

PD=2a=,

o

叉?：BD=2HD=8,

：.BP=BD-PD=8-^-=^-,

oo

???ADIIBC,

???bADP八QBP,

20

.AP=PD=^=

??PQBPA

3

(3)解：T=三N562-40/+100.理由如下：

作OO的直徑PM,連接4W,連接AC交BD于點(diǎn)H,

由(2)可知：Aff=2,BH=4,

?：BP=x,

：.PH=BH—BP=4—x,

在Rt'APH中，由勾股定理得：AP2=AH2+PH2=(4-rc)2+22=x2-8rr+20,

???/W為。O直徑，

:?PM=2r,/MAP=90°,

???ZM=/ABD=ADBC,

tanZM=

在Rt^AMP中,tan/M=誓7=4,

AM2

AM^2AP,

在RtdAMP中，由勾股定理得：AP2+AM2^PM2,

即：力尸+（2AP）2=（2r）\

5Ap2=4r2,

4/=5(a:2—8c+20)=5/—402+100,

r=5rc2—40a7+100.

故答案為：r=5--40a;+100.

【點(diǎn)評】此題主要考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)、

勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定，直徑所對的圓周角是直角.

所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形，并利用三角函數(shù)的定義找出相關(guān)線段的關(guān)系是解答此題的難點(diǎn).

題目0（2024?廬江縣一模）已知:如圖，ADAB和AEBC中，D4=OB,EB=EC,/ADB=NBEC,且點(diǎn)

A.B,。在一條直線上,聯(lián)結(jié)AE、ED,AE與BD交于點(diǎn)F.

（1）求證：DF-BC^BF-AB；

⑵若。F=CE,求媒■的值.

DB

【分析】（1）根據(jù)已知易證^DAB?,然后利用相似三角形的性質(zhì)可得ADAB=NEBC,,=

~EC

從而可得AD〃進(jìn)而證明8字模型相似AADF?△EBP,最后利用相似三角形的性質(zhì)可得票=等,

EJJDDr

等量代換得出普■=，即可解答；

（2）利用（1）的結(jié)論可得：^DAB?AEBC,從而可得/DBA=ZECB，進(jìn)而可證A字模型相似AABF?

△ACE,然后利用相似三角形的性質(zhì)可得有=警，從而可得筆■二萼，再利用⑴的結(jié)論可得：袈

AJDUrAJDJDrJDU

=若，從而可得.=筆，進(jìn)而可得4^2=NO8C,最后根據(jù)黃金分割的定義可得點(diǎn)B是入。的黃金

JDrr）CAB

DF2

分割點(diǎn)，從而可得俱=英1,進(jìn)而可得笑=，進(jìn)行計算即可解答.

AC2AJDBFV5-1

【解答】證明：（1）???DA=DB,EB=EC,

.DA=DB

??初一市’

???4ADB=/BEC,

???XDABBC,

.SAB3C,嗑噓,

：.AD〃EB,

??.ZDAF=AAEB,ZADF=/DBE,

：.\ADF?bEBF,

.AD=DF

.AB=DF

??而一市’

：.DF-BC=BF-AB;

（2）解：由⑴得：???AD48sASBC,

???/DBA=/ECB,

???AFAB=AEAC,

：.\ABF八ACE,

.AC=CE

??布一際’

?：DF=CE,??

.AC=DF

??布一礪’

由dn⑴、侍尸：團(tuán)AB二_D聲F，

,AB_AC

??詼一近’

：.AB2=AC-BC,

.?.點(diǎn)B是AC的黃金分割點(diǎn)，

.AB_V5-1

"AC~2，

.AC_DF=2

"AB-BF-V5-1,

.巫=2=2=2（渥—1）=0一1

_30—0_1+2一e+]―（渥+1）（渥-1）-2'

?DF的值為瓜一、

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與

性質(zhì)，黃金分割是解題的關(guān)鍵.

[題目叵〕（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）四邊形ABCD內(nèi)接于。。，4。是。。的直徑，連結(jié)交AC于點(diǎn)G,AF

垂足為E.

圖1圖2

⑴如圖1,若AF交BC于點(diǎn)F.

①求證：2BAF=ACAD；

②若?O的直徑為10,cosZBCA=4，BF-.CG=3:5,求AF的長.

5

（2）如圖2,若AF交CD于點(diǎn)F,連結(jié)OD,若。?！ㄈ薆,=求③。的直徑.

【分析】（1）①易得ZABC=90°=ZAEB，利用同角的余角相等得ZCBD=結(jié)合圓周角定理即可得

證；

②過點(diǎn)G作GK,于點(diǎn)K,由題意易得8。=8,AB=6,sin/KCG=sin/BCA=票=魯，

GGr5

tanZKCG=tanZBCA=碧=母，結(jié)合BF：CG=3:5知BF=GK,進(jìn)而利用AAS證明^ABF=ABKG,

得到AB=BK=6,于是CK=2,

KG=CK-tanZKCG=y=BF,最后利用勾股定理求解即可;

（2）設(shè)AF交OD于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作OH,AF于點(diǎn)8,鏈接BO并延長交AF于點(diǎn)P,延長AF交OO于點(diǎn)

G,連接CG,易得QH=PH,CG〃。及〃BD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)依次得出CG=2OH,DE=4OH,

EP=6Pa,DQ=,OD,BE=6OH,于是器=饋=|■，則墨=器=弓=0七="后="=

???

^-AE=,易得ZAQD=Z.BAQ=AODA=AOAD,于是AD=AQ=,^DAQ?^DOA,得到

ooo

Alf=OD?DQ,設(shè)?。的半徑為r,則OD=r,DQ=4-r,以此列出方程求解即可.

5

【解答】(1)①證明：；AC是。。的直徑，AF±BD,

：./ABC=90°=/AEB,

ANABE+ACBD=90°,NABE+ZBAF=90°,

:.NCBD=NBAF,

又?.?①=①，

:"CBD=4CAD,

ZBAF=ACAD.

②解:如圖，過點(diǎn)G作GK,BC于點(diǎn)、K,

在R1AABC中，AC=10,cos/BCA=等=4，

AC5

???BC=8,

由勾股定理得ZB=NAe—BC?=/1。2-82=6,

sinABCA=,tanZBCA==-7-,

AC5AC4

在Rt'GKC中，sin/KCG=sinZBCA=%,tanZKCG=tanZBCA==-7

GGr5AC4

又???BFCG=3:5,

：.BF=GK,

(ABAF=AKBG

在AAB尸和ABKG中，IAABF=ABKG,

[BF=KG

：.bABFw^BKG(AAS),

:.AB=BK—6,

:?CK=BC—BK=8—6=2,

：.KG=CK-KCG=2x1"，即BF=KG=',

：.AF=^AB2+BF2=^62+(1-)2=

（3）解：如圖，設(shè)AF交。。于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作OHL4F于點(diǎn)H,鏈接BO并延長交AF于點(diǎn)P,延長AF交

。。于點(diǎn)G,連接CG,

VAF±BD,OH±AF,

：.ZOHO=NBEG=90°,

：.OH//BD,

：.NQOH=NODB,2POH=Z.OBD,

又OB=OD,

：,/ODB=/OBD,

：./QOH=4POH,

??.QH=PH,

?：AC為。O的直徑，

??.AAGC=90°=ZOHQ=AAEB,

：.CG//OH//BD,??

/.NAOH?^ACG=縹=咨=4=CG=2OH,

OGrA。2

DEDF9

XDEF?\CGFn第=第=告nDE=2CGnDE=4OH,

CGGJT1

△DEQ?AOHQn需=票=黑=售=4nQE=4PH,DQ=4OQnEP=6PH,DQ=言。。,

OHOQQHPH5

XOPH?XBPEn^^=~gnBE=6OH,

BHPHo

.BE=GOH=3

,?而―40H一5'

?：OD//AB,

：.XABEs'QDE,

?上互=^^~=宜nQE=2AE臺AQ=旦AE=1⑤

,,QEDE2H3H33

?：AD=AD9OD=OC,

???ZOCD=AABD=ZODC,

???/.BAE=90°-AABD=90°-AODC=AODA,

?：OD//AB,OA=OD,

：.AAQD=ABAQ=AODA=AOAD,

AD^AQ^,\DAQ?^DOA,

o

???鋁=裳，即5=。。小，

設(shè)。。的半徑為r,則OD=T,DQ=4

5

._25

—-6

二。。的直徑為爭.

O

【點(diǎn)評】本題主要考查圓周角定理、銳角三角形函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、

等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等，屬于圓的綜合題，難度較大，是中考壓軸題.解題關(guān)

鍵是正確作出輔助線，利用平行線和相似三角形的性質(zhì)解決問題.

【題目^(2023-谷城縣模擬)在AABC和AEDB中，NC=ZEBD=90°,/BAC=/BED=a，點(diǎn)。在線段

圖(1)圖(2)圖(3)

(1)【特例證明】如圖(1),當(dāng)a=30°時，ED，AB,證明：AE，AC；

(2)【類比探究】如圖(2),當(dāng)aR30°,點(diǎn)。是線段AC上任一點(diǎn)時,證明:??

①&BDFS莊AF；

②AB_LAC；

⑶【拓展運(yùn)用】如圖⑶，當(dāng)a=45°時，聾=搟，AE=12,求BC長.

5

【分析】（1）證明^BFE?^DFA,得到察=用，進(jìn)而推出^BFD?^EFA,得到ABDF=AEAF,推出

EFAF

AEAF+/BED=90°,即可得證；

（2）①證明ABFE?XDFA,得到器=縹，進(jìn)而推出ABFD?AEFA;②根據(jù)ABFD?AEFA,得到

E/rAF

ABDF=/EAF，推出4EAF+/BED=90°，即可得證；

（3）設(shè)4F=3Q,BP=5Q,證明ABFO?ABD4,得到瓦丁=.?出，求出此，在等腰及AAB。中，求出

BC^AC=4V2a,R^BCD中，求出CD=2，^Q,在R力ABOE中求出。石二4，^Q,進(jìn)而推出AE=60a

二12,求出a的值，即可得解.

【解答】（1）證明：???NA4C==30°,

又/BFE=/DFA,

??.\BFE八DFA,

.BF=DF

??前一營’

???NBFD=/EFA,

???ABFDfEFA,

???4BDF=/EAF,

：./BDF+/BED=90°

???AEAF-iABED=90°,

：.AE±AC;

（2）證明：①???/BAC=/BED,

大/BFE=/DFA,

：.\BFE~bDFA,

.BF=DF

"BF-AF7,

???/BFD=/EFA,

???ABFD?AEFA;

②???ABFD?XEFA,

：.ZBDF=/EAF,

???/BDF+/BED=90°,

??.AEAF+ABED=90°,

：.AE_LAC;

⑶解:...需=春，

設(shè)AF—3a,BF—5a,則AB=8a,

???ABDF=ABAD=45°,

又???/DBA=/DBA,

：.XBFD?ABDA,???

2

：.BD=BF-BAf

：.BD=2V10a,

??,在等腰7?加ABC中，AB=8a,

：.BC=AC=^V2a,

在RtbBCD中，BD=2V10a,BC=4V2a,

：.CD=2V2a,

：.AD=CD=2V2a,

在等腰RtABDE中，BO=2V10a,

DE=4A/5?,

由（2）知AE1，47,

在RtADAE中，DE=4V5a,AD=2V2a,

AE=6V2a,

vAE=12,

a—A/2,

BC—4V2a=8.

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握相似三角形的

判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

：1目皿（2023?深圳模拂⑴【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)（不與

端點(diǎn)重合），連接BE,作點(diǎn)D關(guān)于BE的對稱點(diǎn)D,,DC的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F,連接BD',D'E.

①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E在CD上移動時，ABCE'ADCF.并給出如下不完整的證明過程,請幫他補(bǔ)充完

整.

證明：延長BE交DF于點(diǎn)G.

②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)。'與點(diǎn)F重合時，NCDF=22.5

（2）【類比遷移】如圖②，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)、，連接BE,作點(diǎn)。關(guān)于BE的對稱點(diǎn)

D',DD'的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F,連接BD',CD',D'E.當(dāng)CD'_LDF,AB=2,BC=3時，求

C。的長；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，已知四邊形ABCD為菱形，AD=V^,人。=2,點(diǎn)干為線段3。上一動點(diǎn)，將線段

入。繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)E落在菱形的邊上（頂點(diǎn)除外）時，如果OF=EF,請

直接寫出此時OF的長.

【分析】（1）①延長BE交。F于點(diǎn)G,則由對稱可知AEGD=NEGD'=90°,結(jié)合/DEG=ZBEC得到

ZEBC=2EDF,由正方形的性質(zhì)得到NBCE=/LDCF、從而證明bBCEx&DCF;

②當(dāng)點(diǎn)D7與點(diǎn)F重合時，由對稱可知/DBG=2DBG=22.5°,然后由①得到NEDF=NEBC=22.5°;

（2）延長BE交。F于點(diǎn)G,由對稱可知點(diǎn)G是。。'的中點(diǎn)、/EGD=/EGD'=90°,結(jié)合CD'_LDF得到

CD'〃8G,從而有EG是ADCD'的中位線，得到點(diǎn)6是。。的中點(diǎn)，從而求得CE=DE=1,再由勾股定理

???

求得BE的長；由(1)①得ZEBC=AFDC,NECB=NEGD=90°得到^ECB?^EGD，進(jìn)而借助相似三角

形的性質(zhì)求得EG的長，然后由中位線的性質(zhì)求得CD'的長；

(3)以點(diǎn)4為圓心，4。的長為半徑作圓弧，與CD和BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E,然后分點(diǎn)E在CD上和點(diǎn)E在

上討論，延長AF交DE于點(diǎn)G,然后借助(1)(2)的思路求解.

［解答］⑴①證明：如圖①,延長由對稱可知，ZEGD=NEGD=90°,

?/NDEG=ZBEC,

：.4EBC=AEDF,

?.?四邊形4BCD是正方形，

ZBCE=ZDCF=90°,BC=DC,

\ZEBC=ZEDF

在ABCE和ADCF中，(BC=CD,

(ZBCE=ADCF

bBCE=^DCF(ASA).

②解:如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合時，由對稱可知NDBE=3BE,

?.?四邊形ABC。是正方形，

ZL>BC=45°,A|----------------7^4D

：.ADBE=AOBE=22.5°,/\八7K

由①得到ZCDF=ZEBD,

：

./CDF=22.5°,、D

故答案為：22.5°.FCF

⑵解:如圖2,延長BE交DF于點(diǎn)G,

由對稱可知，點(diǎn)G是DZ7的中點(diǎn)，2EGD=ZEGD=90°,

?:CD1DF,

：.CU//BG,

EG是^DCU的中位線，

.?.點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

：.CE=DE=^-CD=^x2=l,

：.BE=VBC2+CE2=V32+l2=V10,

由⑴①得，NEBC=AFDC,2ECB=AEGD=90°,

:.kECB~XEGD,

.EC_BC_BE

?,訪一探一訪‘

.1_3_Vl0

"EGDG1'

3嚅,

BG=BE+EG=VW+^-=^^~,

???EG是ADCD'的中位線，

CD=2EG=2x

105

(3)以點(diǎn)A為圓心，AD的長為半徑作圓弧，與CD和BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E,

①如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在CD上時，延長AF交DE于點(diǎn)、G,

由(1)①可得，NGDF=NOAF,且DF=EF,??

???四邊形ABCD為菱形，

AAC±BD,AO=COfAODC=AODA,

???AOAF^Z.ODA,

???AC=2,

1?-?l,*v\

:.OA—1,

???AD=V3f

:.OD—V2,

tanZOAF=tanZODA=

.OF=OF=1

②如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，延長AF交DE于點(diǎn)G,

則4AGD=90°,N