高中數(shù)學(xué)《直線的一般式方程》教案

2.2.3直線的一般式方程教學(xué)設(shè)計課題直線的一般式方程單元第二單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二教材分析由直線方程的概念和直線斜率的概念導(dǎo)出直線方程的點斜式；由直線方程的點斜式分別導(dǎo)出直線方程的斜截式和兩點式；再由兩點式導(dǎo)出截距式；最后都可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)為直線的一般式；同時一般式也可以轉(zhuǎn)化成特殊式.教學(xué)目標與核心素養(yǎng)教學(xué)目標1理解直線方程的一般形式，掌握直線方程五種形式之間的互化.2理解直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系，理解直線方程的一般式的特點核心素養(yǎng)1通過學(xué)習(xí)直線的一般式方程，培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括能力，滲透分類討論、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想2提高學(xué)生多向思維能力和科學(xué)嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，并樹立事物在一定條件下轉(zhuǎn)化的辯證觀點重點直線方程的一般形式及直線方程五種形式之間的互化.難點直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系.教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課提出問題觀察下列直線方程：直線l1：y－2＝3(x－1)；直線l2：y＝3x＋2；直線l3：eq\f(y－2,3－2)＝eq\f(x－1,4－1)；直線l4：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1.問題1：上述直線方程的形式分別是什么？提示：點斜式、斜截式、兩點式、截距式．問題2：上述形式的直線方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式嗎？提示：能．問題3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直線嗎？提示：能．問題導(dǎo)入學(xué)生思考并作答復(fù)習(xí)舊知識，為新知識的引入做好準備，教師邊評價邊啟發(fā)引導(dǎo)，使學(xué)生的認識統(tǒng)一到，都是二元一次方程講授新課觀察直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程，我們發(fā)現(xiàn)，它們都是關(guān)于x,y的二元一次方程.直線與二元一次方程是否都有這種關(guān)系呢？下面我們探討這個問題.思考平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關(guān)于x,y的二元一次方程表示嗎？任意一個關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線嗎？先看問題（1）.任意一條直線l，在其上任取一點P0x0,y0，當(dāng)直線l的斜率為y這是關(guān)于x,y的二元一次方程.當(dāng)直線l的斜率不存在時，即直線l的傾斜角α=90x上述方程可以認為是關(guān)于x,y的二元一次方程，因為此時方程中的y的系數(shù)為0.方程y-y0=kx-x0和x-反之，對于任意一個二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)，如果能把它化為直線方程的某種形式，那么我們就可以斷定它表示一條直線.當(dāng)B≠0時，方程Ax+By+Cy=-它表示過點（0，-CB）當(dāng)B=0時，A≠0方程Ax+By+C它表示過點（-CA，0）由上可知，關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.探究在方程Ax+By+C=0中，A，B，C為何值時，方程表示的直線：=1\*GB3①平行于x軸？=2\*GB3②平行于y軸？=3\*GB3③與x軸重合？=4\*GB3④與y軸重合？=5\*GB3⑤經(jīng)過坐標原點？Ax+By+C=0（A、B不同時為零）ABC方程圖形特征A=0B≠C=0y=0x軸Cy與x軸平行AB=0C=0x=0y軸Cx與y軸平行ABC=0y過原點的直線思考：直線方程的一般式化成另外四種形式需要哪些要求？提示：直線方程Ax+By+C=0（A、B不同時為零）化成點斜式和斜截式需要滿足條件B≠0化成兩點式需要滿足條件AB≠0化成截距式需要滿足條件ABC≠例5已知直線經(jīng)過點A（6，-4），斜率為-43解：經(jīng)過點A（6，-4），斜率為-43y+4=-4化為一般式，得4x+3y-12=0.例6把直線l的一般式方程x-2y+6=0化為斜截式，求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫出圖形.分析：求直線l在x軸上的截距，即求直線l與x軸交點的橫坐標，只要在直線l的方程中令y=0即可得x的值.解：把直線l的一般式方程化為斜截式y(tǒng)因此，直線l的斜率k=12，它在y在直線l的方程x-2y+6=0中，令y=0，得x=-6即直線l在x軸上的截距是-6.由上面可得直線l在x軸、y軸的交點分別為A（-6，0），B（0，3），過A，B兩點作直線，就得直線l.如圖所示結(jié)合例6，我們可以從幾何角度看一個二元一次方程，即一個二元一次方程表示一條直線.在代數(shù)中，我們研究了二元一次方程的解，因為二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標系中一個點坐標，所以這個方程的全體解組成的集合，就是滿足二元一次方程的全體點的集合，這些點的集合組成一條直線.平面直角坐標系是把二元一次方程和直線聯(lián)系起來的橋梁，這是笛卡爾的偉大貢獻.在平面直角坐標系中，任意一個二元一次方程是直角坐標平面上一條確定的直線；反之，直角坐標平面上的任意一條直線可以用一個確定的二元一次方程表示.課堂練習(xí)：1根據(jù)下列條件分別寫出直線方程，并化為一般式方程.直線的斜率為2，且經(jīng)過點A（1，3）；斜率為3，且在y軸上的截距為4；經(jīng)過兩點A（2，-3），B（-1，-5）；在x,y軸上的截距分別為2，-4.解：（1）由直線的點斜式方程可得y-3=2(x-1)整理得2x-y+1=0,所以直線的一般式方程為2x-y+1=0.(2)由直線的斜截式方程可得y整理得一般式方程為3(3)由直線的兩點式方程可得y整理得一般式方程為2x-3y-13=0(4)由直線的截距式方程可得x整理得一般式方程為2x-y-4=02設(shè)直線l的方程為m根據(jù)下列條件確定m的值：（1）直線l在x軸上的截距為-3.（2）直線l的傾斜角為135°解：（1）由題意可得m由=1\*GB3由=2\*GB3②可得m=3或所以m（2）直線l的斜率k由題意可得2所以m所以m=-2.注：把直線方程的一般式Ax+By+C=0化成其他形式時，要注意式子成立的條件，特別是B=0時，斜率不存在，這時方程不能化成點斜式或斜截式。要學(xué)會直線方程的一般式與特殊形式之間的相互轉(zhuǎn)化，在求直線方程時，并不一定要設(shè)一般式，根據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)男问?，但最終結(jié)果一般要用一般式方程來表示.3若kxy-x+6y-3=0表示兩條直線，則實數(shù)k的值為（）A．3B.2C.1D.0答案B解：因為kxy-x+6y-3=0表示兩條直線所以kxy-x+6y-3=(ax+b)(cy+d)=acxy+adx+bcy+bd其中abcd所以k=ac,ad=-1,bc=6,bd=-3不妨令d=1,則b=-3,c=-2,a=-1,k=24(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)當(dāng)a為何值時，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？解：(1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0，①當(dāng)m＝0時，顯然l1與l2不平行．②當(dāng)m≠0時，l1∥l2，需eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2).解得m＝2或m＝－3.∴m的值為2或－3.法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.當(dāng)m＝－3時，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.同理當(dāng)m＝2時，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1與l2不重合，l1∥l2，∴m的值為2或－3.(2)法一：由題意，l1⊥l2，①若1－a＝0，即a＝1時，直線l1：3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0，顯然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－eq\f(3,2)時，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq\f(a＋2,1－a)，k2＝－eq\f(a－1,2a＋3)，當(dāng)l1⊥l2時，k1·k2＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,1－a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a－1,2a＋3)))＝－1，所以a＝－1.綜上可知，當(dāng)a＝1或a＝－1時，l1⊥l2.法二：由l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.將a＝±1代入方程，均滿足題意．故當(dāng)a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.規(guī)律：1．直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0.5已知直線l的方程為x-y+b=0(b∈R)則直線l答案：45解：因為直線l的方程為x-y+b=0(b所以其斜率為1，即tanα=1(α由α∈[0,π啟發(fā)學(xué)生探究分類討論時，常按和α=90使學(xué)生理解二元一次方程的系數(shù)和常數(shù)項對直線的位置的影響使學(xué)生理解直線與二元一次方程的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)過的與x軸平行和重合、與y軸平行和重合的直線的形式。然后由形式自主探索得到問題的答案板書：同一坐標系下的各種特殊直線Ax+By+C=0（A、B不同時為零）簡單解釋為什么A、B不同時為0？習(xí)題鞏固課堂小結(jié)直線方程的幾種形式直線名稱條