高中數(shù)學講義（人教B版2019選擇性必修一）第35講27拋物線的標準方程與幾何性質

2.7拋物線的標準方程與幾何性質TOC\o"13"\h\z\u題型1拋物線的定義及其簡單應用 2◆類型1定義法 2◆類型2定義的簡單應用 8題型2拋物線的標準方程及性質 10◆類型1拋物線的標準方程 10◆類型2準線方程 14◆類型3焦點坐標 17◆類型4與“p”相關的考點 18題型3焦點弦長問題 23◆類型1利用|AB|=x1+x2+P=2psin2α(α是直線的傾斜角)解決問題 24◆類型2利用1|AF|+1|BF|=2p為定值(F是拋物線的焦點)解決問題 26◆類型3焦點弦長 28題型4周長問題 29題型5面積問題 33題型6最值問題 37◆類型1定義轉換法 37◆類型2平移直線法 43◆類型3函數(shù)法 45題型7直線與拋物線的位置關系 50◆類型1直線與拋物線的位置關系 51◆類型2弦長問題 56◆類型3求直線方程 61題型8中點弦問題 69題型9解答題 74題型10實際應用 85知識點一．拋物線的定義定義：平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．注意：1.定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．2.拋物線的定義用集合語言表示為：P＝{M||MF|＝d}(d為M到直線l的距離)．3.定義的實質可歸納為“一動三定”：一個動點，設為M點；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線l(拋物線的準線)；一個定值(即點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．4.拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互轉化，這也是利用拋物線定義解題的實質．知識點二.拋物線的幾何性質類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下題型1拋物線的定義及其簡單應用◆類型1定義法【例題11】（2023春·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊101中學?？茧A段練習）在平面上，一動點到一定點的距離與它到一定直線的距離之比為1，則動點的軌跡是（）A．拋物線 B．直線C．拋物線或直線 D．以上結論均不正確【答案】C【詳解】根據題意，分定點不在定直線上和定點在定直線上，兩種情況分類討論，結合拋物線的定義，即可求解.【分析】由題意，一動點到一定點的距離與它到一定直線的距離之比為1，可得該動點到定點和到定直線距離相等，當定點不在定直線上時，根據拋物線的定義，可得動點的軌跡是拋物線；當定點在定直線上時，動點的軌跡是經過該定點且垂直于定直線的直線.故選C．【變式11】1.（2023秋·高二課時練習）若動點P到點3,0的距離和它到直線x=?3的距離相等，則動點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．拋物線 C．直線 D．雙曲線【答案】B【分析】根據給定條件，利用拋物線定義確定軌跡作答.【詳解】動點P到點3,0的距離和它到直線x=?3的距離相等，而點3,0不在直線x=?3，所以動點P的軌跡是以點3,0到直線x=?3的垂線段中點為頂點，開口向右的拋物線.故選：B【變式11】2.（2022·全國·高二專題練習）已知點M(2,2)，直線l:x?y?1=0，若動點P到l的距離等于PM，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線【答案】C【分析】由拋物線的定義求解即可.【詳解】由拋物線的定義（平面內，到定點與定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線）可知，點P的軌跡是拋物線.故選：C【變式11】3.（2023·全國·高二專題練習）動點Mx,y滿足方程5A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【詳解】由5(x?1)2+等式左邊表示點x,y和點1,2的距離，等式的右邊表示點x,y到直線3x+4y+12=0的距離，整個等式表示的意義是點x,y到點1,2的距離和到直線3x+4y+12=0的距離相等，且點1,2不在直線3x+4y+12=0上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.【變式11】4.（2023秋·高二課時練習）如圖，在同一平面內，A，B為兩個不同的定點，圓A和圓B的半徑都為r，射線AB交圓A于點P，過點P作圓A的切線l，當rr≥12AB變化時，A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線【答案】D【分析】數(shù)形結合找出公共點M到點B與到直線m距離相等，符合拋物線定義，所以由定義可得到軌跡為拋物線.【詳解】由題意畫圖如下：設切線l與圓B的一個公共點為M，過點A作直線AB的垂線m，過點M作MN⊥m，垂足為N，連接MB，則MB=r，MN=PA=r，所以MB=MN，即動點M到定點B的距離等于動點M到定直線m的距離，且定點B不在定直線m上，根據拋物線定義知，動點M的軌跡是以B為焦點，m為準線的拋物線．故選：D．【變式11】5.（2022·全國·高三專題練習）斜線段AB與平面α所成的角為15°，平面α內的動點P滿足∠PAB=15°，則點P的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓C．拋物線 D．雙曲線的一支【答案】C【分析】根據圓錐曲線的幾何定義：軸截面頂角為30°的圓錐體，將一個平行于母線的平面截圓錐在錐體側面所成軌跡即為P的軌跡，應用數(shù)形結合即可確定軌跡的形狀．【詳解】當P點運動時，在空間中，滿足條件的AP繞AB旋轉形成一個圓錐，用一個與圓錐高成15°故選C．【變式11】6.（2021秋·黑龍江雞西·高二雞西市第一中學校?？计谥校┰谡襟wABCD?A1B1C1D1中，M為側面ABBA．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線【答案】D【分析】根據正方體的性質得點M到平面ADD1A1的距離等于點【詳解】解：正方體ABCD?A1B1C1D1中BC⊥平面AB∵平面ADD1A1⊥平面ABB1A1，∴∵點M到平面ADD1A1的距離與到直線BC的距離相等，∴MB等于點根據拋物線的定義，可知動點M的軌跡為拋物線.故選：D.【變式11】7.（2021秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學校?？茧A段練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點M在棱A．圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．直線【答案】B【分析】作PQ⊥AD，QR⊥A1D1，PR即為點P到直線A1D1的距離，由勾股定理得PR2?PQ2=R【詳解】解：如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C則PQ⊥平面ADD1A1，過Q作QR⊥A則PR為點P到直線A1由題意得PR由已知得PR所以PQ=PM，即P到點M的距離等于P到AD的距離，所以根據拋物線的定義可得，點P的軌跡是拋物線，故選：B【點睛】此題考查拋物線的定義，求點的軌跡方程的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結的數(shù)學思想，屬于中檔題◆類型2定義的簡單應用【例題12】（2022秋·山東淄博·高一?？计谀┤魭佄锞€x2=8y上一點P到焦點的距離為9，則點P的縱坐標為（

）A．±43 B．±6 C．6 【答案】D【分析】設出P的縱坐標，利用拋物線的定義列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：拋物線準線方程為y=?2，P點到拋物線的焦點的距離等于到準線的距離，設P點縱坐標為y0，則y0+2=9故選：D【變式12】1.（2021春·安徽宣城·高二安徽省宣城中學?？茧A段練習）過拋物線y2=x焦點的直線與該拋物線交于A，B兩點，若AB=4，則弦ABA．74 B．94 C．4【答案】B【詳解】如圖所示，過弦中點M作準線的垂線MM'，做直線x+12=0過點A,B作準線的垂線AA',BB'，由梯形中位線的性質結合拋物線的定義可得：MM'=AA'+BB'則弦AB的中點到直線x+12=0本題選擇B選項.點睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題【變式12】2.（2023春·四川瀘州·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€C：y2=2x的焦點為F，Ax0,【答案】2【分析】由拋物線方程求得其準線方程，根據拋物線的定義列出關于x0【詳解】由拋物線C：y2=2x可得p＝1，p2因為Ax0,y0是C上一點，AF=54故答案為：2.【變式12】3.（2023·全國·高二課堂例題）若拋物線y2【答案】2【分析】利用拋物線的定義，將拋物線上點A，B到焦點的距離轉化為到準線的距離，再轉化為與x軸的距離即可求.【詳解】由拋物線方程y2=2x可知，設點Ax1,由拋物線的定義知點A到焦點F的距離等于點A到準線的距離，即AF=同理BF=故AF+BF=x1故線段AB的中點的橫坐標是2．故答案為：2.題型2拋物線的標準方程及性質【方法總結】1.求拋物線標準方程的方法①先定位：根據焦點或準線的位置；②再定形：即根據條件求p.2.拋物線性質的應用技巧①利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時，關鍵是將拋物線方程化成標準方程；②要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質簡化運算．◆類型1拋物線的標準方程【例題21】（2023·全國·高一隨堂練習）求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)頂點在原點，準線方程為y=4；(2)頂點在原點，且過點?3,2；(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x?4y?12=0上；(4)焦點在x軸上，且拋物線上一點A3,m【答案】(1)x(2)x2=(3)y(4)y【分析】根據題意可確定拋物線焦點的位置，繼而求出焦準距p，即可得答案.【詳解】（1）由題意頂點在原點，準線方程為y=4，可知拋物線焦點在y軸負半軸上，且p2故拋物線標準方程為x2（2）由題意頂點在原點，且過點?3,2，則拋物線焦點可能在y軸正半軸或x軸負半軸上，則設拋物線標準方程為x2=2py(p>0)或分別將?3,2代入，求得p=9故拋物線標準方程為x2=9（3）由于直線3x?4y?12=0與x軸的交點為(4,0)，由題意可知拋物線焦點為(4,0)，則p2故拋物線標準方程為y2（4）由題意拋物線焦點在x軸上，且拋物線上一點A3,m則設拋物線方程為y2=2px(p>0)，焦點為(p故3?(?p故拋物線標準方程為y2【變式21】1.（2023秋·高二課時練習）已知拋物線y2A．y2=x B．y2=2x C．【答案】C【分析】根據拋物線的定義求解．【詳解】由題意拋物線y2=2px(p>0)上任意一點到焦點F的距離與它到直線x=?1的距離相，因此?p2=?1故選：C．【變式21】2.（多選）（2023秋·高二課時練習）（多選）點M(5,3)到拋物線y=axA．x2=112C．x2=?1【答案】BD【分析】分類討論求出拋物線準線方程，利用點到準線距離求出a得解.【詳解】拋物線y=ax2的標準方程為當a>0時，開口向上，準線方程為y=?1則點M到準線的距離為3+14a=6因此，拋物線方程為y=112x當a<0時，開口向下，準線方程為y=?1則點M到準線的距離為3+1解得a=?1因此，拋物線方程為y=?136x故選：BD【變式21】3.（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學校考期中）雙曲線x210?【答案】y【分析】由雙曲線的方程可得雙曲線的焦點坐標，由拋物線的方程可得準線方程，再由題意可得p的值，進而求出拋物線的方程．【詳解】由雙曲線x210?y2所以雙曲線的焦點坐標為±4，拋物線的準線方程為x=?p由題意可得?p2=?4所以拋物線的方程為：y2故答案為：y2【變式21】4.（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，準線為l，點P1,y0在C上，過P作l的垂線，垂足為Q【答案】6【分析】根據拋物線的定義，結合條件表示出MF,【詳解】如圖，不妨令P在x軸上方，準線l與x軸交點為M，因為點P1,y0在C上，根據拋物線定義可得且∠FPQ=120°，則∠PQF=∠PFQ=30°，所以△PFQ為等腰三角形，且PQQF在Rt△QMF中，∠MQF=60°，即解得p=6，即F到l的距離為6.故答案為：6【變式21】5.（2023秋·高二課時練習）若拋物線y2=mx(m>0)的準線與圓【答案】x=?【分析】先根據圓的方程求得圓心為2,0，半徑為3，再根據拋物線的方程可得準線方程為x=?m【詳解】由x2+y2?4x?5=0y2=mx(m>0)的準線方程為由題意可得2+m4=3所以拋物線的準線方程為x=?◆類型2準線方程【例題22】（2023·全國·高二專題練習）過拋物線C:x2=2pyp>0的焦點F的直線l交C于A,B兩點，若直線l過點P1,0A．y=?3 B．y=?2【答案】D【分析】設出直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，設出A,B坐標，得到兩根之和，兩根之積，根據弦長列出方程，求出答案.【詳解】因為直線l過點F0,p2,P1,0由y=?p2x?1

設Ax1,因為AB=p整理得p3+4p?16=p?2所以拋物線C的準線方程是y=?p故選：D.【變式22】1.（2023春·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？计谀┮阎獟佄锞€y2=2pxp>0的準線為l，且點AA．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】點代入拋物線方程求得p的值，運用點到線的距離公式即可求得結果.【詳解】由題意知，16=8p，所以p=2，所以拋物線方程為y2=4x，則拋物線的準線l為所以點A到拋物線準線的距離為4?(?1)=5.故選：A.【變式22】2.（2023春·山西朔州·高三懷仁市第一中學校?？茧A段練習）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點為F，準線為l，點Px0,1在C上，過P作l的垂線，垂足為Q，若POA．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】由拋物線的定義結合PO=PQ可求得p的值，由此可得出F到【詳解】易知拋物線C的焦點為F0,p2所以，x02+1=x02+1?故選：C.【變式22】3.（2003·江蘇·高考真題）拋物線y=ax2的準線方程是y=2，則A．18 B．?18 C．8【答案】B【分析】將拋物線方程標準化后寫出拋物線準線方程即可求得結果.【詳解】拋物線y=ax2化為標準方程所以準線方程是y=?1所以?1解得a=?1故選：B.【變式22】4.（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知點F2,0是拋物線C：y2=2pxp>0的焦點，點M在拋物線C上，點A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】由焦點坐標可求出拋物線的方程，由∠MPF=90°，所以PM?PF=0【詳解】因為點F2,0是拋物線C：y2=2pxp>0的焦點，所以又因為∠MPF=90°，所以PM?設My028,所以x0故選：B

◆類型3焦點坐標【例題23】（2022秋·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習）拋物線y2A．?a4,0 B．a4,0 C．a【答案】B【分析】分a>0，a<0，由2p=a求解.【詳解】解：當a>0時，拋物線焦點在x軸上，開口向右，由2p=a得，p2∴焦點坐標為Fa同理可得當a<0時，焦點Fa故選：B.【變式23】1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如果拋物線y2=2px的準線是直線【答案】2,0【分析】首先根據準線方程求p，再求焦點坐標.【詳解】因為準線方程為x=?2=?p2，即p=4，所以焦點為故答案為：2,0【變式23】2.（2020秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的準線為l，圓M:(x?1)2【答案】0,1【分析】由題設拋物線準線為y=?p2，結合與已知圓的相切關系求得【詳解】由題意，拋物線準線為y=?p2，且與圓M與圓心M(1,2)且半徑為3，所以y=5或y=?1都是圓M的切線，又p>0，則y=?p2=?1，可得p=2，故拋物線C(0,故答案為：0,1【變式23】3.（2022·全國·高二專題練習）若拋物線y=x28【答案】4【分析】根據拋物線的方程求出準線，再由拋物線定義求解即可.【詳解】拋物線方程y=x28由拋物線的定義可知，點P到準線y=?2的距離為6，所以點P到x軸的距離為4．故答案為：4◆類型4與“p”相關的考點【例題24】（2023春·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學校聯(lián)考期末）設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，準線為l，過第一象限內的拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C5p2,0，且△ACF為等邊三角形，△ABCA．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】根據題意，由拋物線的性質，分別表示出AB,AD的長，然后結合△ABC的面積為3列出方程，即可得到結果.【詳解】

過點A，做AD⊥x軸于點D，因為C5p2,0，F(xiàn)則CF=2p，F(xiàn)D=CD=12CF=p，則AB=2pS△ABC=1故選：A【變式24】1.（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）拋物線y2=2px(p>0)的焦點F，點M在拋物線上，且|MF|=3，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若M為線段FN的中點，則A．2 B．22 C．4 【答案】C【分析】作出輔助線，設出Mn22p【詳解】過點M作MA⊥y軸于點A，交拋物線的準線于點B，由題意得Fp2,0由拋物線定義可知，MF=因為若M為線段FN的中點，所以AM=所以n2將其代入n22p+

故選：C【變式24】2.（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線C：y2=2pxp>0的頂點為O，經過點AA．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】根據拋物線的定義結合AF=3OF可求得x0=p，然后將點【詳解】因為點Ax0,2所以x0+p所以Ap,2，所以4=2p2故選：C

【變式24】3.（2023·全國·高二專題練習）已知點P為拋物線y2=2px（p>0）上一動點，點Q為圓C:A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由拋物線的定義，數(shù)形結合可知當C,Q,P,F共線，且P,Q在線段CF上時，PQ+PF最短，此時【詳解】圓C:(x+2)2+(y?4)2拋物線y2=2px（p>0）則由拋的線的定義可知點P到y(tǒng)軸的距離為d=PF所以PQ+d=由圖可知，當C,Q,P,F共線，且P,Q在線段CF上時，PQ+而CF=因為PQ+所以p2+22故選：B

【變式24】4.（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的C的準線與x軸交于T點，P0,1，F(xiàn)是C的焦點，Q是C【答案】5【分析】設Qx0,【詳解】拋物線C:y2=2px由題意T?p2設Qx0,y0因為FQ=54所以x0=9代入y02=2px0所以p=5故答案為：5【變式24】5.（2023春·河南濮陽·高二濮陽一高?？计谥校┮阎獟佄锞€E：x2=2pyp>0的焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于A,B兩點，與準線交于C點，F(xiàn)為AC的中點，且AF【答案】32【分析】利用拋物線的定義結合三角形中位線定理求解即可.【詳解】設y軸交準線于N，過A作準線的垂線，垂足為Q，因為F為AC的中點，且AF=3則由拋物線的定義可得AQ=3，在Rt△ACQ中，F(xiàn)N=12故答案為：3【變式24】6.（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯(lián)考階段練習）已知拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，直線y=4與拋物線交于點M，且MF【答案】4【分析】求出點M的坐標，利用拋物線的焦半徑公式可得關于p的方程，即可求得答案.【詳解】把y=4代入拋物線方程y2=2px（p>0），得得M8p,4，根據拋物線的定義有MF故答案為：4題型3焦點弦長問題【方法總結】活用拋物線焦點弦的四個結論拋物線的焦點弦問題一直是高考命題的一個熱點，該問題常與弦長、三角形面積、向量、不等式等知識相融合，考查學生的轉化與化歸意識和靈活解題能力．命題點主要體現(xiàn)在焦點弦的四個結論上：設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點)◆類型1利用|AB|=x1+x【例題31】過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A．4B．eq\f(9,2)C．5D．6【解析】B法一(通性通法)易知直線l的斜率存在，設為k，則其方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1， ①因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1， ②由①②解得xA＝2，xB＝eq\f(1,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq\f(9,2).法二：(巧用結論)由對稱性不妨設點A在x軸的上方，如圖設A，B在準線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E，設|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ，則|AB|＝3m，由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,3)，所以tanθ＝2eq\r(2).則sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝eq\f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(9,2).法三：(巧用結論)因為|AF|＝2|BF|，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2|BF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(3,2|BF|)＝eq\f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq\f(3,2)，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(9,2).][評析]本例給出了三種解法，既有通性通法又有秒殺絕技，學習中要多總結，提升自己靈活解題的素養(yǎng)．【變式31】1.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為()A．5B．6C．eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)【解析】C[法一：(通性通法)如圖，設l與x軸交于點M，過點A作AD⊥l交l于點D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq\r(3)，所以A(3,2eq\r(3))，又F(1,0)，所以直線AF的斜率k＝eq\f(2\r(3),3－1)＝eq\r(3)，所以直線AF的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq\f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(16,3).故選C.法二：(巧用結論)如上解得p＝2，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，p＝2，所以x1＝3，又x1x2＝eq\f(p2,4)＝1，所以x2＝eq\f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3).法三：(巧用結論)因為eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，|AF|＝4，p＝2，所以|BF|＝eq\f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,3).]【變式31】2.(2022·哈爾濱六中期末)過拋物線x2＝4y的焦點F作直線l交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，若y1＋y2＝6，則|P1P2|＝()A．5B.6C.8D.10【解析】選C.拋物線x2＝4y的準線為y＝－1，因為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點是過拋物線焦點的直線l與拋物線的交點，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點到準線的距離分別是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝8.【變式31】3.已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若△AOB的面積為4，則|AB|＝()A．6B．8C．12D．16【解析】選D設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，F(xiàn)(1,0)．當AB⊥x軸時，|AB|＝4，S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|AB|＝2，不成立，所以eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4)－1)?y1y2＝－4.由△AOB的面積為4，得eq\f(1,2)|y1－y2|×1＝4，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),4)＋2＝16.◆類型2利用1|AF|+1【例題32】(2022·山東模擬)直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F(1，0)，且與C交于A，B兩點，則p＝________，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝________．【解析】由題意知eq\f(p,2)＝1，從而p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x.當直線AB的斜率不存在時，將x＝1代入拋物線方程，解得|AF|＝|BF|＝2，從而eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝1.當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y＝k(x－1)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2k2＋4,k2)，,x1x2＝1，))從而eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋1)＋eq\f(1,x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋x1x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋2)＝1.綜上，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝1.答案：21【變式32】（多選）（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線C:y2=2px(p>0)與圓O:x2+y2=5交于A、B兩點，且AB=4，直線l過A．p=2B．1C．存在某條直線l，使得MFD．若點G2,2，則△GFM周長的最小值為【答案】ABD【分析】由AB=4則A、B兩點坐標(1,2),(1,?2)且在拋物線C:y2=2px上，代入方程進而判斷選項A；直線方程為x=my+1與拋物線聯(lián)立，再根據韋達定理代入1MF+1NF可求其值則可判斷選項B；利用選項B中1MF+1NF=1代入MF+2NF利用不等式求最小值后進行判斷選項C；畫出大致圖像，過點M作準線的垂線，垂足為M【詳解】由對稱性得點(1,2)在拋物線C:y所以22=2p，解得設直線l和雙曲線交于M(x設直線方程為x=my+1，代入拋物線方程可得：y2?4my?4=0，所以y1所以：1MF則MF+2當且僅當MF=1+如圖，過點M作準線的垂線，垂足為M'，交y軸于M1，取MF的中點為D，過點D作y

過G作GH垂直于準線，垂足為H，所以△GFM的周長為MG+當且僅當點M的坐標為(1,2)時取等號，故D選項正確．故選：ABD．【點睛】方法點睛：我們在處理有關焦點弦，以及焦半徑問題時長度問題時有以下幾種方法；（1）常規(guī)處理手段，求交點坐標然后用距離公式，含參的問題不適合；（2）韋達定理結合弦長公式，這是此類問題處理的通法；（3）拋物線定義結合焦點弦公式.◆類型3焦點弦長【例題33】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過拋物線y2=2pxp>0A．小于90° B．等于90°C．大于90° D．不能確定【答案】C【分析】求出A、B點坐標，直角三角形AOF中，由大邊對大角可知∠AOF>45°，從而可知【詳解】設拋物線y2=2px的焦點為F，則其坐標為將x=p2代入拋物線的方程，解得Ap在直角三角形AOF中，OF<AF，故由拋物線的對稱性可知，∠AOB=∠AOF+∠BOF>45故選：C

【變式33】1.在平面直角坐標系xOy中，設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝________.【解析】4法一：拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.因為直線AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°.又tan60°＝eq\f(yA,1－－1)，所以yA＝2eq\r(3).因為PA⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2eq\r(3).將其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.法二：拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.因為PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因為直線AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF為等邊三角形，所以|PF|＝|AF|＝eq\f(1－－1,cos∠AFO)＝4.]【變式33】2.已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________.【解析】依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點F(2,0)，因為M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，M為FN的中點，設M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2eq\r(2)，所以N(0,4eq\r(2))，|FN|＝eq\r(4＋32)＝6.題型4周長問題【例題4】（2023·河南周口·統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線E:y2=8x的準線為l，圓x2+y2=20與拋物線E交于A,B兩點，與A．20 B．24 C．28 D．32【答案】B【分析】求出拋物線與圓的交點坐標以及準線與圓的交點坐標，得出由A,B,C,D四點所圍成的四邊形的形狀，再求其周長.【詳解】拋物線E:y2=8x的準線為l由y2=8xx2+由x=?2x2+y2則由A,B,C,D四點所圍成的四邊形為矩形，AC=4，AB此四邊形的周長為24+8故選：B.【變式41】1.（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線y24?x22=1A．2 B．22 C．8 【答案】A【分析】利用雙曲線的漸近線、拋物線的焦點和準線以及兩點的距離公式進行計算求解.【詳解】由題知，雙曲線y24?拋物線x2=2py(p>0)的焦點F0,由y=?p2y=±2x得A所以AF=BF=p2所以2×3p22故選：A.【變式41】2.（2023春·安徽·高二合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，其準線與雙曲線x28?yA．2 B．22 C．8 【答案】A【分析】設A在x軸上方，根據雙曲線和拋物線的定義表示出AB，F(xiàn)A、【詳解】雙曲線x28?拋物線y2=2pxp>0設A在x軸上方，則A?p2∴AB=22又∵△ABF的周長為42∴FA+∴p=2．故選：A.【變式41】3.（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線E：y2=4x，圓F：x?12+yA．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先判斷出拋物線焦點和圓心重合，由拋物線定義得AF=AD，又FB=2，可得△FAB的周長為FA+AB+FB=DB+2，又知2<DB<4，即可求解.【詳解】由題意知：拋物線焦點1,0恰為圓心F，拋物線準線l:x=?1，圓半徑為2，可得圓F與l相切，設直線l：y=t與準線l交于D，由拋物線定義知：AF=AD，又FB=2，故△FAB的周長為FA+AB+FB=AD+AB+2=DB+2，由圖知2<DB<4，故DB+2∈4,6，結合選項知：△故選：B.【變式41】4.（2023秋·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）已知P為拋物線C：x2=?16y上一點，F(xiàn)為焦點，過P作C的準線的垂線，垂足為H，若△PFH的周長不小于48，則點【答案】(?【分析】點P的坐標為m,n，根據拋物線的定義及幾何性質確定△PFH的周長表達式，轉換為含n的式子，利用函數(shù)單調性與取值求解不等式即可得所求.【詳解】解：拋物線C：x2=?16y，則焦準距p=8如圖，設點P的坐標為m,n，則m2=?16n準線y=4與y軸的交點為則由拋物線定義可得PF又FH=所以△PFH的周長為FH+設函數(shù)f(n)=44?n+24?nn≤0，則f(n)因為f(?12)=48，所以f(n)≥48的解為n≤?12，則點P的縱坐標的取值范圍是(?∞故答案為：(?∞【變式41】5.（2022·全國·高三專題練習）拋物線y2=6x的準線恰好平分圓C:x【答案】?3【分析】根據拋物線的準線經過圓的圓心求得a.【詳解】拋物線y2=6x的準線為圓C:x2+所以?32=故答案為：?3題型5面積問題【例題5】（2023秋·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）拋物線C:x2=8y的焦點為F，過F且傾斜角為π4的直線l與拋物線C交于A，B兩點，點D為拋物線C上的動點，且點D在A．162 B．122 C．82【答案】A【分析】求出直線方程后，聯(lián)立拋物線方程，求出弦長，再由點到直線距離得出三角形高，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】由C:x2=8y知F(0,2)，則直線l

設D(x,x28)，則D到直線又點D在l的右下方，所以d=|x?聯(lián)立方程x2=8yy=x+2設A(x1,y1所以|AB|=1+所以S故當x=4時，S△DAB有最大值16故選：A【變式51】1.（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知拋物線C:yA．π B．π2 C．π3 【答案】B【分析】根據題意作圖，設出動點的坐標，利用中點坐標公式，表示中點，進而寫出直線方程，結合圓與直線相切的性質，利用點到直線距離公式，根據基本不等式，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：

設Pt2,2t（不妨令t>0），由已知可得F1,0，則設k=2tt2+1，則k=2即圓F的半徑最大值為22，面積最大值為π故選：B.【變式51】2.（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┮阎狾為坐標原點，直線l過拋物線D:y2=2px(p>0)的焦點F，與拋物線D及其準線依次交于A,B,C三點（其中點B在A,C之間），若AF【答案】433【分析】依題意作出圖形，利用拋物線的定義結合圖形依次求得∠MCB=30°與p=2，從而求得直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用拋物線焦半徑公式與點線距離公式求得AB與d，從而得解.【詳解】過點B作BM垂直于準線，垂足為M，過點A作AN垂直于準線，垂足為N，設準線與x軸相交于點P，如圖，

則BM=在△MBC中，BC=2BF，所以BC=2故在△ANC中，AC=2AN=8，所以AC又CN⊥x軸，∠MCB=30°，所以PF=又拋物線D:y2=2px，則P所以拋物線D:y2=4x因為∠MCB=30°，所以直線AB的斜率k=?3，則直線AB:y=?與拋物線方程聯(lián)立y=?3x?1y2=4x易得Δ>0，設點Ax1則AB=又直線AB:y=?3x?1，可化為則點O到直線AB的距離d=?所以S△OAB故選：B.【變式51】3.（2023秋·高二課時練習）拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，點A是拋物線上一點，且∠AFO=120°（O為坐標原點），AK⊥l，垂足為【答案】4【分析】設A(x0,y0)，過A作AH⊥x軸于H，根據題意得到點A的坐標為【詳解】由拋物線方程可知F(1,0)，準線l的方程為x=?1，如圖所示，設A(x0,y0)，其中x0在直角△AFH中，F(xiàn)H=由∠AFO=120°，可得∠AFH=60所以點A的坐標為(x將此代入拋物線方程可得3x02?10x所以點A的坐標為(3,23)，所以故答案為：43

【變式51】4.（2023春·內蒙古赤峰·高二赤峰二中?？茧A段練習）已知拋物線C:y2=8x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交C于P，Q兩點，PH⊥l于H，若HF=PF【答案】12【分析】根據給定的條件，求出直線PQ的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出PF，QF的長即可求解作答.【詳解】依題意，由PH⊥l于H，得|PH|=PF=HF，即△PFH而F(2,0)，則直線PQ的方程為y=3由y=3(x?2)y令P(x1,y1因此|PF|=x所以△PFH與△OFQ的面積之比S△PFH故答案為：12.題型6最值問題◆類型1定義轉換法【方法總結】與拋物線上的點到準線距離有關的最值問題，一般都是利用拋物線的定義，將到準線的距離轉化為到焦點的距離，然后通過數(shù)形結合直接判斷出取得最值時所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數(shù)運算．【例題61】（2023·全國·高二專題練習）已知P為拋物線y2=4x上的任意一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點A坐標為3,2，則A．4 B．3 C．22 D．【答案】A【分析】過點P作拋物線準線l的垂線段，垂足為點P'，過點A作AH⊥l于點H，結合拋物線的定義可得PA【詳解】由拋物線y2=4x知p=2，則F1,0如圖所示，點A在拋物線內，過點P作拋物線準線l的垂線段，垂足為點P'，過點A作AH⊥l

由拋物線的定義得PF=所以PA+故PA+PF的最小值為故選：A【點睛】關鍵點點睛：此題考查拋物線定義的應用，解題的關鍵是將PF轉化為點P到準線的距離，再利用用平面幾何的性質確定最小值點，考查數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.【變式61】1.（2023·全國·高二專題練習）已知直線l1:4x?3y+6=0和直線l2:x=?2，拋物線y2=4x上一動點A．355+1 B．2 C．【答案】D【分析】根據拋物線的定義可得動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點F到直線【詳解】由題可知x=?1是拋物線y2=4x的準線，設拋物線的焦點為F所以動點P到l2的距離等于P到x=?1的距離加1，即動點P到l2所以動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點F到直線即其最小值是4?0+65

故選：D【變式61】2.（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到其準線的距離為4,M是拋物線C上一點，若AA．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由拋物線的焦點坐標求得p，設M,A在準線l上的射影為M1【詳解】由焦點F到其準線的距離為4,得p=4；設M,A在準線l:x=?2上的射影為M1則MA+MF當且僅當A1故選：D．【變式61】3.（2021秋·陜西延安·高二?？计谀┮阎cM為拋物線y=x24上任意一點，點N為圓x2+【答案】52【分析】根據圓外一點到圓上點的最短距離以及拋物線定義得出結果.【詳解】拋物線y=x24，即x2=4y圓x2+y則圓心為拋物線y=x24的焦點F點M為拋物線y=x24上任意一點，當M,N,F三點共線，MN如圖，過點M作ME⊥l于點E，由拋物線定義可知MF=所以MP+MN取最小值時，即MP+當P,M,E三點共線，當PE=3MP+則MP+MN的最小值為

故答案為：52【變式61】4.（2021秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設P是拋物線y2=8x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點B3,1【答案】5【分析】過B作準線x=?2的垂線垂足為B'，交拋物線于P'，根據拋物線的定義可得，當P、B【詳解】拋物線y2=8x，所以焦點為F2,0當x=3時y2=8×3=24，所以y=±26，因為±2如圖，過B作準線x=?2的垂線垂足為B由拋物線的定義，可知|P故|PB|+|PF|≥|P即當P、B'、B三點共線時，距離之和最小值為5故答案為：5【變式61】5.（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知P為拋物線y2=4x上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點Q(3,5【答案】7【分析】設拋物線的準線為l，過P作PM⊥l于M，過Q作QN⊥l于N，由拋物線的性質可將△PQF的周長轉化為FQ+PQ+【詳解】當x=3時，y2=12>5，所以點由y2=4x，得焦點為F(1,0)，準線l為過P作PM⊥l于M，過Q作QN⊥l于N，則PF=所以△PQF的周長為FQ+由圖可知當Q,P,M三點共線時，F(xiàn)Q+此時PM+PQ的最小值為因為FQ=所以FQ+PM+故答案為：7

【變式61】6.（2023春·廣東廣州·高二仲元中學?？茧A段練習）已知點M為拋物線y2=2x上的動點，點N為圓x2+(y?4)2=5上的動點，則點M【答案】65【分析】利用拋物線的定義可得點M到y(tǒng)軸的距離即為點M到焦點F的距離減去12【詳解】由題可知，拋物線y2=2x的準線方程為x=過點M作MH⊥y軸交y軸于點H，由拋物線的定義可知點M到y(tǒng)軸的距離即為MH=圓x2+(y?4)2=5故點M到y(tǒng)軸的距離與點M到點N的距離之和MH+根據圓的性質可知點M到y(tǒng)軸的距離與點M到點N的距離之和最小值為EF?R?當且僅當E、N、M、F四點共線（N、M在EF之間）時取等號.

故答案為：65?2◆類型2平移直線法【方法總結】若拋物線上的點P到直線l的距離最小，則過點P與l平行的直線與拋物線相切，且最小距離為兩平行直線間的距離，所以可將問題轉化為求與拋物線相切的直線，然后求兩平行直線間的距離．【例題62】拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是________．【解析】方法一：如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線為4x＋3y＋b＝0，切線方程與拋物線方程聯(lián)立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋b＝0，))消去y整理得3x2－4x－b＝0，則Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－eq\f(4,3)，所以切線方程為4x＋3y－eq\f(4,3)＝0，拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是這兩條平行線間的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(8－\f(4,3))),5)＝eq\f(4,3).方法二：由y＝－x2，得y′＝－2x.如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線與拋物線的切點是T(m，－m2)，則切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝m＝－2m＝－eq\f(4,3)，所以m＝eq\f(2,3)，即切點Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(4,9)))，點T到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(4,3)－8)),\r(16＋9))＝eq\f(4,3)，所以拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)【變式62】1.（2021秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期中）拋物線y=?x2上的點到直線A．3 B．7C．85 D．【答案】D【詳解】試題分析：先對y=?x2求導得y'=?2x，令y=?2x=?43，得切點的橫坐標為x0=.故選D．考點：點到直線的距離．【變式62】2.（2021春·福建泉州·高二開學考試）拋物線y=x2上的點到直線A．1033 B．43 C．12【答案】D【詳解】試題分析：y=x2∴y'=2x=2∴x=1，代入y=x2考點：點到直線的距離◆類型3函數(shù)法【方法總結】解與拋物線有關的最值問題可通過兩點間距離公式或者點到直線的距離公式建立目標函數(shù)，再用求函數(shù)最值的方法求解．解題的關鍵是根據所給拋物線方程設出動點坐標．【例題63】（2023·全國·高二專題練習）過拋物線C:y2=12x的焦點F的直線l與C相交于M，NA．15 B．18 C．21 D．27【答案】D【分析】設直線l的方程為x=ty+3，Mx1,y1【詳解】由題可知F3,0，設直線l的方程為x=ty+3，M聯(lián)立方程組x=ty+3y2=12x整理得y則y1+y所以MF=x1所以4MF+NF故選：D【變式63】1.（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線E:x2=4y，圓C:x2+y?32=1，PA．5 B．22?1 C．22【答案】B【分析】先利用配方法求得P到圓心C的最小距離，從而求得P到Q的最小距離.【詳解】由題意知C(0,3)，r=1，設Px0,所以PC=

故當y0=1時，所以PQmin故選：B.【變式63】2.（2023春·內蒙古通遼·高二校聯(lián)考開學考試）拋物線C:y2=2pxp>0的焦點到直線x?y+1=0的距離為528，點M是C上任意一點，點【答案】11【分析】根據焦點到直線的距離可構造方程求得p，得到拋物線方程；由圓的方程可得圓心和半徑；設Mt2,t，利用兩點間距離公式可表示出DM，根據二次函數(shù)性質求得DM【詳解】由拋物線方程得：焦點為p2,0，∴p∴拋物線C:y2=x由圓的方程可知：圓心D3,0，半徑r=1∴DM則當t2=52時，故答案為：112【變式63】3.（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎獟佄锞€C:y2=2px(p>0)的焦點為F，過A?1,0作拋物線C的切線，切點為B，BF=3，則拋物線C上的動點P【答案】3【分析】不妨設B(x0,y0)(y【詳解】根據拋物線的對稱性，不妨設B(x0,y0)(y0>0)，由拋物線定義知，BF=x0+當y>0時，y=2px，∴y'=2p2解得p=4或p=203（舍去），∴拋物線C的方程為y2=8x，焦點焦點F2,0到直線l:x?y+4=0的距離d=拋物線C上的動點P到直線l:x?y+4=0的距離與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為32故答案為：3【變式63】4.(2020·東北四市模擬)若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為________．【解析】由題意知x2＝eq\f(1,2)y，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，設P(x0，2xeq\o\al(2,0))，則|PF|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xeq\o\al(2,0)－\f(1,8)))\s\up12(2))＝eq\r(4xeq\o\al(4,0)＋\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋\f(1,64))＝2xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,8)，所以當xeq\o\al(2,0)＝0時，|PF|min＝eq\f(1,8).【答案】eq\f(1,8)【變式63】5.F是拋物線C：y2=2pxp>0的焦點，直線l與拋物線C相交于P，Q兩點，滿足∠PFQ=2π3A．3 B．33 C．3 D．【答案】C【分析】設出線段FP,FQ的長度，用余弦定理求得PQ的長度，利用拋物線的定義以及梯形的中位線長度的計算，將【詳解】設PF=m，QF=n，過點P，Q分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為則PP'=m，QQ'點A到拋物線C的準線的距離為d=PP'+由余弦定理得PQ2=m2+n2?2mn所以d2PQ2≤14×故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查拋物線中的最值問題，處理問題的關鍵是充分利用拋物線的定義，還要注意到不等式的應用，屬綜合中檔題.【變式63】6.（2023·全國·高二專題練習）已知點M0,4，點P在拋物線x2=8y上運動，點Q在圓x【答案】4【分析】由已知可得|PM|2|PQ|【詳解】設圓心為F，則F為拋物線x2=8y的焦點．設P(x,y),y≥0，則要使|PM|2|PQ|最小，則需|PQ|最大，|PQ∴|PM|當且僅當y+3=25y+3，即∴|PM|故答案為：4．

【變式63】7.（2023春·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線x2=2py(p>0)，焦點為F，過定點0,1且斜率大于0的直線交拋物線于A,B兩點，OA⊥OB，線段AB的中點為M，則直線【答案】6【分析】根據已知條件做出圖形，利用直線的斜截式方程和韋達定理，結合中點坐標公式和點在直線上，再利用斜率的坐標公式和基本不等式即可求解.【詳解】依題意，作出圖形如圖所示

設直線AB的方程為y=kx+1k>0，A由y=kx+1x2=2py，消去y∴x∴∵OA⊥OB,∴OA⊥OB，即OA∴?2p+1=0，解得p=1∴x∵線段AB的中點為M，設Mx∴x∴M1由p=12，可得拋物線的焦點為∴k當且僅當k=32k，即故直線MF的斜率的最小值為6.故答案為：6.題型7直線與拋物線的位置關系【方法總結】解決直線與拋物線位置關系問題的方法(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系．(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法．[注意]涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解．◆類型1直線與拋物線的位置關系【例題71】（2021·江蘇·高二專題練習）過點2,?1引直線與拋物線y=xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】過點(2，?1)的直線l與拋物線y=x【詳解】（1）當過點(2，?1)的直線斜率不存在時，顯然x=2與拋物線y=x（2）當直線過點(2，?1)且斜率存在，且與拋物線相切時，直線與拋物線只有一個交點，設直線方程為y+1=kx?2，代入到拋物線方程y=消y得：x2則Δ=k2?42k+1=0綜上可得：過點(2，?1)與拋物線y=x故選：C.【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關系，重點考查了直線的斜率是否存在及直線與拋物線的對稱軸是否平行，屬易錯題.【變式71】1.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C：y2=4x，坐標原點為O，焦點為F，直線l：(1)若l與C只有一個公共點，求k的值；(2)過點F作斜率為2的直線交拋物線C于A,B兩點，求△OAB的面積．【答案】(1)1或0(2)5【分析】（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由k=0或Δ=0（2）由拋物線的標準方程得到焦點坐標，從而得到直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據韋達定理及S△OAB【詳解】（1）依題意，聯(lián)立y=kx+1y2=4x，消去x，得y=①當k=0時，顯然方程?4y+4=0只有一個解，滿足條件；②當k≠0時，Δ=(?4)2綜上：當k=1或k=0時直線與拋物線只有一個交點.（2）因為拋物線C：y2=4x，所以焦點所以直線方程為y=2x?1=2x?2，設A(x聯(lián)立y=2x?2y2=4x，消去x得y2?2y?4=0所以|y所以S△OAB【變式71】2.（2023·全國·高三專題練習）已知動點M到點F1,0的距離等于它到直線x(1)求動點M的軌跡方程C；(2)已知A?2,0，過點B0,1的直線l斜率存在且不為0，若l與曲線C有且只有一個公共點P，求【答案】(1)C:(2)1【分析】（1）由拋物線定義可得軌跡方程；（2）設過點B0,1的直線l為y=kx+1，將其與拋物線方程聯(lián)立，利用Δ=0可得k值與點P坐標，再得直線AP與y軸交點，后可得【詳解】（1）根據拋物線定義得動點M的軌跡為曲線C:y（2）設過點B0,1的直線l為y=kx+1得y=kx+1y2=4x，消去y因l與C有且只有一個公共點，則Δ=將k=1代入①得x2?2x+1=0，解得x=1，代入直線l可得則直線AP方程為：y=2?01??2S【變式71】3.（2023·全國·高一隨堂練習）已知過拋物線y2=2pxp>0的焦點F的直線交拋物線于A(1)y1y=?p(2)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設出過拋物線y2（2）求出弦AB的中點M的坐標，求得弦長|AB|，證明M到準線的距離等于|AB|的一半，即可證明結論.【詳解】（1）由拋物線y2=2pxp>0可知焦點F(又過拋物線y2=2pxp>0的焦點F的直線交拋物線于A故該直線斜率不為0，可設其方程為x=ty+p聯(lián)立y2=2pxx=ty+p2故y1所以x1（2）設AB的中點為Mx0,|AB|=x所以以AB為直徑的圓的半徑為r=|AB|點M到準線x=?p2的距離為即圓心到準線的距離等于圓的半徑，即以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.【變式71】4.（2023秋·高二課時練習）已知O為坐標原點，Qm,2位于拋物線C：y(1)求拋物線C的方程；(2)已知點A?2,4，過拋物線焦點的直線l交C于M，N兩點，求AM【答案】(1)y(2)13；x?y?1=0．【分析】（1）根據拋物線的定義計算即可；（2）根據韋達定理及二次函數(shù)最值計算即可.【詳解】（1）根據題意可得m+p又22=2pm，解方程組得m=1，故所求拋物線C方程y2（2）

設點Mx1,y1，N當直線l的斜率等于0時，不存在兩個交點，不符合題意；當直線l的斜率不等于0時，不妨設過拋物線焦點的直線l的方程為：x=ty+1；聯(lián)立拋物線方程可得y2=4xx=ty+1Δ=16t2由韋達定理得y1+y易知AM=故AM?AN=y1=1+1所以當t=1時，AM?此時直線l的方程為x?y?1=0．◆類型2弦長問題【例題72】（2023·全國·高二專題練習）過拋物線x2=4y的焦點且傾斜角為【答案】8【分析】寫出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運用定義和焦點弦長公式，計算即可得到.【詳解】拋物線x2=4y的焦點為F0,1，準線方程為y=?1，直線l設直線l與拋物線交于M,N兩點，則直線l的方程為y=?x+1，代入x2=4y得則M(x1，y1)，N(x則MN=故答案為：8【變式72】1.（2023·甘肅·統(tǒng)考二模）過拋物線y2=4x的焦點F作直線l交拋物線于A，B兩點若以AB為直徑的圓經過點N?1,2A．8 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】首先求出拋物線的焦點坐標與準線l1的方程，取AB的中點M，過A作AA1⊥l1，垂足為A1，過B作BB1⊥l1，垂足為B1，由拋物線的定義知AB【詳解】拋物線y2=4x的焦點為F1,0，設拋物線的準線為l因為以AB為直徑的圓過點N，所以NA⊥NB，取AB的中點M，則NM=12AB，過A作AA1⊥l1，垂足為A所以NM=12AA1+設Ax1,y1，Bx2又A，B兩點在拋物線上，所以y12=4①②得：y1?y所以lAB:x?y?1=0，由yM=2可得xM故選：A．【變式72】2.（2023·全國·高三專題練習）拋物線C：y2=4x的準線截圓【答案】2【分析】先求出圓心到準線的距離，再根據圓的弦長公式求解即可.【詳解】拋物線C：y2=4x的準線為圓x2+y2=4圓心0,0到準線x=?1的距離d=1，所以所求弦長為2r故答案為：23【變式72】3.（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線y2=2px(p>0)的準線方程為(1)求p的值；(2)直線y=x?2交拋物線于A、B兩點，求弦長AB.【答案】(1)2；(2)46【分析】（1）根據給定拋物線方程，求出其準線方程即可計算作答；（2）聯(lián)立直線y=x?2與拋物線方程，結合韋達定理求出弦長作答.【詳解】（1）拋物線y2=2px(p>0)的準線方程為x=?p2，依題意，所以p的值為2.（2）由（1）知，拋物線y2=4x，設點Ax由y=x?2y2=4x消去y得：x2?8x+4=0，Δ所以AB====46【變式72】4.（2023秋·甘肅天水·高二?？计谀┮阎cM1,0，直線l：x=?2，平面內存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l(1)求點P的軌跡方程C.(2)已知直線l2：y=12【答案】(1)y(2)4【分析】（1）根據拋物線的定義即可求解.（2）將直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理和弦長公式即可求解.【詳解】（1）因為點M1,0，直線l：x=?2，平面內存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l的距離小1，也即點P到點M的距離等于到直線x=?1由拋物線的定義可知：點P的軌跡是以M(1,0)為焦點，以直線x=?1為準線的拋物線，所以點P的軌跡方程為：y2（2）由（1）可知：曲線C的方程為：y2=4x，設直線l2與曲線C交于A(x1,y所以y1+y2=8所以l2被曲線C截得的弦長為4【變式72】5.（2023秋·寧夏吳忠·高三吳忠中學?？奸_學考試）已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點與拋物線C2：y2=2px，(1)求橢圓C1和拋物線C(2)過點M（3，0）的直線l與橢圓C1【答案】(1)橢圓C1和拋物線C2的方程分別為：x2(2)4【分析】（1）由題意可得c=p2，由于橢圓的離心率可得a，c的關系，進而可得p，c的關系，再由過C1的右焦點F且垂直于x軸的直線截C（2）設直線AB的方程，及A，B的坐標由題意可得E的坐標，將直線與橢圓聯(lián)立可得兩根之和及兩根之積，求出直線AE的直線方程，將兩根之和及之積代入可得恒過定點.【詳解】（1）由C1的離心率為12，可得ca因為橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，所以c=p2，過C1的右焦點F且垂直于x軸的直線截C2所得的弦長為4，令可得y2=2p?c，所以即4=2?2c，解得c=1，所以a=2，p=2c=2，由b2=a所以橢圓C1和拋物線C2的方程分別為：x2

（2）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為：x=my+3，設Ax1,y1直線與橢圓聯(lián)立：x=my+33整理可得：4+3m2y可得m2>53，直線AE的方程為：y?y整理可得：y===所以當x=43時，y=0，即過定點所以可證直線AE過定點43

【點睛】解決曲線過定點問題一般有兩種方法：①探索曲線過定點時，可設出曲線方程，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于曲線系的思想找出定點，或者利用方程恒成立列方程組求出定點坐標.②從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關.◆類型3求直線方程【例題73】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知拋物線C:y2=4x，直線l過點G0,43且與C相交于A，B兩點，若【答案】1【分析】分別設出直線l、直線OA和直線OB的方程，以及A(x1,y1)，B(x2,y2【詳解】設直線l的方程為y=kx+43k≠0設直線OA，OB的方程分別為y=k1xk1≠0，設A(x1,∵∠AOB的平分線過點E(1,1)，∴k整理得：k12+1∴k1k2=1由y=kx+43y∴Δ=144?64×3k>0y又∵x1x2=116故答案為：13【變式73】1.（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，點P?2,2，過點F的直線l與C交于A，B兩點，M是線段AB的中點．若AB=2PM【答案】2【分析】方法一：設直線l：x=my+2，設Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立直線l與拋物線的方程求出y1+y2,y1?y2，由AB=2PM可得PA?PB=0，將韋達定理代入化簡即可得出答案；方法二：設A【詳解】方法一：由題意F2,0，k≠0，設直線l：x=my+2，其中m=聯(lián)立x=my+2,y2=8x,消去x得y設Ax1,y1，B又AB=2PM，則PA⊥PB，即而PA=x1則x1即my即m2所以?16m2+1以k=1方法二：如下圖，由題意，F(xiàn)2,0，點P在準線x=?2設A，B，M在準線上的射影分別是A1，B1，則AB=所以PM//x軸，設Ax1,y1，B聯(lián)立x=my+2,y2=8x,消去x所以y1+y故答案為：2．

【變式73】2.（2023·江蘇·高二專題練習）過橢圓3x2+4【答案】3x+2y+23【分析】先將橢圓方程化為標準方程，然后求出a,b,c，從而可求出左焦點的坐標，設直線AB為x=my?2，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，結合弦長公式列方程可求出m，從而可求出直線方程.【詳解】橢圓3x2+4y2=48，即x216+設直線AB為x=my?2，A(x由3x2+4整理得(3m因為Δ=144所以y1所以AB=24(1+m2)所以直線AB為x=±2即3x+2y+23=0故答案為：3x+2y+23

【變式73】3.（2022·全國·高二期中）已知拋物線C：y2=4x，直線l過點(1)若l與C有且只有一個公共點，求直線l的方程；(2)若l與C交于A，B兩點，點Q在線段AB上，且APPB=AQ【答案】(1)x=0或y=1或x?y+1=0(2)y=2x，（0<x<1且x≠1【分析】（1）當直線l斜率不存在時，符合題意，當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立直線和拋物線方程得到一個關于x的一元二次方程，討論二次項次數(shù)和Δ即可求出答案.（2）解法一：設Qx,y，Ax1,y1，Bx2,y2，不妨令x解法二：設Qx,y，Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】（1）當直線l斜率不存在時，其方程為x=0，符合題意；當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+1，由y=kx+1y2=4x當k=0時，直線y=1符合題意；當k≠0時，令Δ=(2k?4)2∴直線l的方程為y=x+1，即x?y+1=0.綜上，直線l的方程為x=0，或y=1，或x?y+1=0.（2）解法一：設Qx,y，Ax1,y∵直線l與拋物線C有兩個交點，∴k≠0Δ∴k<1，且k≠0，x1+x由APPB=AQQB，得∴y=k2?k+1=∵k<1，且k≠0，∴0<x<1，且x≠1∴點Q的軌跡方程為y=2x（0<x<1，且x≠1解法二：設Qx,y，Ax1,y∵直線l與拋物線C有兩個交點，∴k≠0Δ∴k<1，且k≠0，x1+x∵點Q在線段AB上，設APPB=AQQB=λ∴x1=λx2x?x1∵k<1，且k≠0，∴0<x<1，且x≠1∴點Q的軌跡方程為y=2x（0<x<1，且x≠1【變式73】4.（2022秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C:y2=2px????(p>0)的焦點F到準線的距離為2，過點P(0,1)(1)求拋物線C的方程；(2)求直線l的方程.【答案】(1)y2(2)x=0或y=1或y=x+1.【分析】(1)根據給定條件結合p的幾何意義，直接求出p寫出方程作答.(2)直線l的斜率存在設出其方程，再與拋物線C的方程聯(lián)立，再討論計算，l斜率不存在時驗證作答.【詳解】（1）因拋物線C:y2=2px???(p>0)的焦點F所以拋物線C的方程為y2（2）當直線l的斜率存在時，設直線l為y=kx+1，由y2=4xy=kx+1當k=0時，x=14，點(14,1)是直線l與拋物線C唯一公共點，因此，k=0當k≠0時，Δ=(2k?4)2?4k2=0?k=1，此時直線l當直線l的斜率不存在時，y軸與拋物線C有唯一公共點，直線l方程為x=0，所以直線l方程為為x=0或y=1或y=x+1.【變式73】5.（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為(1)求p；(2)過拋物線焦點的直線與拋物線交于A,B兩點，若AB=16【答案】(1)4(2)x+y?2=0或x?y?2=0【分析】（1）根據拋物線的幾何性質，得出方程p2（2）根據題意，設所求直線方程為x=ty+2，聯(lián)立方程組，結合韋達定理和弦長公式，列出方程求得t=±1，即可求解.【詳解】（1）解：根據題意，拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F2,0，可得p（2）解：由（1）知，拋物線方程為y2因為直線與拋物線交于兩點，所以直線斜率不為0，又由焦點為F2,0，可設所求直線方程為x=ty+2聯(lián)立方程組y2=8xx=ty+2則Δ=(?8t)2+4×16>0，設則AB又因為AB=16，即1+t2641+所以所求直線方程為x+y?2=0或x?y?2=0.【變式73】6.（2023秋·全國·高二期中）橢圓E的方程為x24+y2(1)若直線l分別交x，y軸于C，D兩點，若PD=2，求PC的長；(2)若直線l過點?1,0，且交橢圓E于另一點Q（異于點A，B），記直線AP與直線BQ交于點M，試問點M是否在一