河南省名校大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

大聯(lián)考2024—2025學(xué)年高一年級階段性測試（二）數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)交集定義求出.【詳解】因為，，所以，故選：B.2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的概念即對數(shù)函數(shù)的定義域即可判斷.【詳解】當(dāng)時不能推出，而可以推出，所以是必要不充分條件.故選：C.3.如圖，動物園要靠墻（足夠長）建造兩間相鄰的長方形禽舍，不靠墻的面以及兩間禽舍之間要修建圍墻，已有材料可供建成圍墻的總長度為36米，若設(shè)禽舍寬為米，則當(dāng)所建造的禽舍總面積最大時，的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，用表示禽舍的總長，從而得到禽舍的面積關(guān)于的表達式，利用配方法即可得解.【詳解】由題意，若把材料全部用完，則禽舍的總長為，設(shè)所建造的禽舍總面積為，則，所以當(dāng)所建造的禽舍總面積最大時，的值.故選：D.4.已知，則下列不等式不成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)判斷AC；利用冪函數(shù)的單調(diào)性判斷B；作差判斷D.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，B正確；對于C，由選項A知，，又，則，C錯誤；對于D，由，得，D正確.故選：C5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函數(shù)定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，解得，因為函數(shù)的圖象的對稱軸為，開口向下，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則函數(shù)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：A.6.已知某校高一年級女生人數(shù)多于男生人數(shù)，在分科后選報物理方向?qū)W生人數(shù)多于歷史方向的學(xué)生人數(shù)，則（）A.物理方向的男生多于物理方向的女生B.歷史方向的女生多于歷史方向的男生C.物理方向的女生多于歷史方向的男生D.物理方向的男生多于歷史方向的女生【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，設(shè)分科后選報物理方向的女生數(shù)為，男生數(shù)為，選報歷史方向的女生數(shù)為，男生數(shù)為，根據(jù)題意可得，計算可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)已知條件，設(shè)分科后選報物理方向的女生數(shù)為，男生數(shù)為，選報歷史方向的女生數(shù)為，男生數(shù)為，根據(jù)題意可得，所以，即，故物理方向的女生多于歷史方向的男生.故選：C.7.已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為時，單調(diào)遞減，且函數(shù)在上具有單調(diào)性，所以當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，解得，在考慮函數(shù)在處左右取值，所以，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，故選:A.8.數(shù)學(xué)上用“”表示連乘運算，例如：.設(shè)函數(shù)，記，，則使成立的m的最小值為（）A8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得的表達式，然后根據(jù)，利用對數(shù)運算等知識求得正確答案.【詳解】，，，，即，解得或，又，所以使成立的m的最小值為9.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)中有零點的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】將函數(shù)有零點問題轉(zhuǎn)換為方程有根問題求解即可.【詳解】對于A，時，，所以有零點，故A正確；對于B，時，，所以有零點，故B正確；對于C，時，，所以有零點，故C正確；對于D，時，，因為，所以方程無解，所以沒有零點，故D錯誤；故選：ABC.10.下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用作差法即可判斷；對于B，利用指數(shù)運算即可判斷；對于C，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，并借助中間量1，即可判斷；對于D，利用指數(shù)、對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷.【詳解】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，即，故B正確；對于C，因為，，所以，故C正確；對于D，因為，又，所以，即，所以，即，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，.若的圖象與的圖象恰好有三個交點，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題意采用賦值法可推得函數(shù)周期為2，繼而推出其對稱軸，當(dāng)時，，根據(jù)的圖像和的圖像恰有三個交點，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，且，求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，滿足，所以為以為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)的圖像為開口向下、頂點為的拋物線的一部分，因為，所以，則，作出函數(shù)的圖像，如圖所示，要使函數(shù)的圖像和的圖像恰好有三個交點，則有，即，解得，即實數(shù)a的取值范圍是，選項中BC符合.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)式則________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)定義進行求解即可.【詳解】已知函數(shù)，所以，則.故答案為：0.13.已知為常數(shù)，若不等式的解集為，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知不等式解集計算求參得出且，再解一元一次不等式即可.【詳解】因為不等式與且不等于同解，又因為解集為，所以,所以，所以不等式，即是，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)，，若對任意恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和對稱性解函數(shù)不等式.【詳解】的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減，所以當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，又因為二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，所以在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，且的圖象關(guān)于對稱，因為，所以，即，所以，即且恒成立，由恒成立可得，，解得，由恒成立可得，，解得，綜上所述，，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入化簡集合，利用集合的交集，補集運算求出結(jié)果.（2）分析可得，根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以或，當(dāng)時，，故.【小問2詳解】因為，所以，若，則，，由得，解得，與矛盾，若，則，，由得，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.16.根據(jù)某高科技公司多年的經(jīng)營數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)該公司每年的利潤（單位：萬元）與研發(fā)投入（單位：萬元）滿足函數(shù)關(guān)系式，且當(dāng)時，.（1）若該公司想要明年的利潤為700萬元，則明年的研發(fā)投入應(yīng)該為多少萬元？（2）若該公司想要明年的利潤相比今年增加175萬元，則明年的研發(fā)投入相比今年應(yīng)該怎樣變化？【答案】（1）明年的研發(fā)投入應(yīng)該為萬元；（2）明年的研發(fā)投入相比今年應(yīng)該提高至今年的倍.【解析】【分析】（1）由已知可求得，代入計算可得結(jié)論；（2）設(shè)今年的研發(fā)投入為萬元，利潤為萬元，該公司想要明年的為萬元，利潤為萬元，由題意可得，計算可得，可得結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以，解得，所以，令，可得，解得，所以明年的研發(fā)投入應(yīng)該為萬元；【小問2詳解】設(shè)今年的研發(fā)投入為萬元，利潤為萬元，該公司想要明年的研發(fā)投入為萬元，利潤為萬元，所以，，根據(jù)題意可得，解得，所以，所以，所以.所以明年的研發(fā)投入相比今年應(yīng)該提高至今年的倍.17.已知正數(shù)，滿足，.設(shè)函數(shù).（1）求，；（2）若實數(shù)，滿足，且在區(qū)間上的最大值為2，求，.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）將代入，根據(jù)指數(shù)冪的運算求出，即可求出；（2）作出的圖象，即可得到，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)得到，再判斷，即可得到，從而求出，即可得解.【小問1詳解】將代入，得，即，因為，所以，故，所以.【小問2詳解】由（1）知，作出的圖象，如圖.觀察可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以，由可得，則，所以.若在上的最大值為，因為，即，所以，所以，所以，得，解得（負值已舍去），所以.18.已知函數(shù)的定義域為，且僅有一個零點.（1）求；（2）若為奇函數(shù)，求的值；（3）設(shè)函數(shù)，若存在實數(shù)，使得在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令，可求得，令，可求得；（2），結(jié)合（1）可得，進而證明可得結(jié)論；（3）由（2）可求得，利用單調(diào)性可得，進而可得是方程的兩個實根，利用根的分布可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】，令，得，即，因為，所以，令，得，所以，因為，所以；【小問2詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則可得，因為僅有一個零點，由（1）可知，所以，當(dāng)時，，所以，即為奇函數(shù).故為奇函數(shù)，的值為；【小問3詳解】由（2）知，所以，所以，則在和上均單調(diào)遞增，若存在實數(shù)，使得在區(qū)間上的值域為，則，所以是方程的兩個實根，所以方程在上有兩個不相等的實根，設(shè)，則，解得，故實數(shù)的取值范圍為.19.Sigmoid函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，在人工智能領(lǐng)域和生物學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，其數(shù)學(xué)表達式是.（1）判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（2）設(shè)函數(shù)，求的值；（3）若函數(shù)在上有零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞增.，證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；（2）根據(jù)