浙江省金華十校2022-2023學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試卷

浙江省金華十校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

題號(hào)——四總分

評(píng)分

一、單選題

1.若集合A={x\y=Vx-2},B={y\y=-2},則力UB=()

A.(0,2]B.[2,+oo)C.[0,+oo)D.0

2.已知復(fù)數(shù)zi=2+bi(bCR),Z2=彳(其中i為虛數(shù)單位)，若|zi—Z2|=g，貝加=()

A.1B.-5C.1或—5D.-1或5

3.二項(xiàng)式(/_()6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()

A.-15B.15C.20D.-20

4.將函數(shù)"久)=cos(2x+0)的圖象向右平移各個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則0的取值可以是()

AILB-C-D27T

A.6B.3J2u--J-

5.袋子中有5個(gè)質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)白球，3個(gè)是紅球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球，記4=

第一次摸到紅球"，B="第二次摸到紅球”，則以下說(shuō)法正確的是()

A.P(A)+P(B)=P(AClB)B.P⑷?P(B)=P(AUB)

C.P(4)=尸(B)D.P(XuB)+P(71nB)<1

6.祖晅是我國(guó)南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家.祖迪原理用現(xiàn)代語(yǔ)言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何

體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.例如

可以用祖瞄原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平

面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R,高為R的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平

面a去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等.若用垂

直于半徑的平面a去截半徑為R的半球，且球心到平面a的距離為④R,則平面a所截得的較小部分(陰影所示

稱之為“球冠)的幾何體的體積是()

D.分兀盧

1

7.已知（1一6一￡1）（1+/）+（1+6-￡1）（1一心）=0,a>0,貝U（）

c

A7±-loga>：D.\oga<^

c?b?ea〉a?eB?b-ea<a'ebb

8.如圖，三棱錐P-4BC中，AB=AC=2,平面PBC1平面4BC,乙BPC=等若三棱錐P-4BC的外接球

體積的取值范圍是（嚶，竽），貝此BAC的取值范圍是（）

cG，竽）D?（李，兀）

9.已知函數(shù)"%）="3+a/一%缶eR）,貝I」（）

A.當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)〃久）的極大值為一|

B.若函數(shù)〃%）圖象的對(duì)稱中心為（1,/（I））,則a=-l

C.若函數(shù)/（久）在R上單調(diào)遞增，貝！Ja>1或a<-1

D.函數(shù)〃久）必有3個(gè)零點(diǎn)

10.已知正方體4BCD—4B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,P是正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P滿足DiPl/C

B.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P滿足BiP〃平面4也以

C.若直線。止與。1。的夾角為45。，則線段BP的最小長(zhǎng)度為遮-1

D.當(dāng)點(diǎn)P在棱CD上時(shí)，|PA|+|PBi|的最小值為尤+1

11.如圖，已知拋物線廣：y2=2p%（p>0）,M為x軸正半軸上一點(diǎn)，ON=ZW（A>0,A1）,過(guò)M的直

線交「于B,C兩點(diǎn)，直線CN交拋物線另一點(diǎn)于D,直線BN交拋物線另一點(diǎn)于A,且點(diǎn)4（久「71）,C（x2,

發(fā)）在第一象限，則（）

B.A

2

c.\AD\D.衿儂二產(chǎn)

W、ABCN

12.已知函數(shù)/'CO及其導(dǎo)函數(shù)/'(久)的定義域均為R,記g(X)=f'(%).若g(%+3)為偶函數(shù)，f(3)=

2,〃5)=5,且。(久)<2/(久)+4,則不等式f(lnK)—,+2>0的正整數(shù)解以是()

A.1B.2C.3D.4

三、填空題

13.已知向量五=(1,2),灰—1,3),則五在石方向上的投影向量是.

14.已知函數(shù)/(%)=[①Q(mào)+D'°-%<1,若"X)W依恒成立，則k的最小值是_______

(Inx+1,%>1

15.矩形ZBC。中，AB=2BC=4,4。的中點(diǎn)為M,折疊矩形使得A落在邊C。上，則點(diǎn)M到折痕的距離的

取值范圍是_____________

16.已知橢圓r"+夠=1，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F任作一條弦PQ(不與長(zhǎng)軸重合)，點(diǎn)A,B是橢圓的左右頂

點(diǎn)，設(shè)直線4P的斜率為近，直線3Q的斜率為々2，則的七+權(quán)的最小值為_(kāi)________.

火2

四、解答題

粵，當(dāng)為偶數(shù)

17.已知數(shù)列滿足劭=m(mGN*),且冊(cè)+1='.

3tln+1,當(dāng)a.為奇數(shù)

(1)Sn為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，若的=32,求S30；

(2)若a6=1，求m所有可能取值的和.

18.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABCD為等腰梯形，CD=2AB=2五,AD=BC=1,PA=PB=

2.

3

(1)若平面PBC1平面PAD,求點(diǎn)P到平面ABC。的距離;

(2)若平面PBCC平面24。=/,/。平面48。。=(2，且PQ=V^,求平面PBC與平面24。夾角的余弦值.

c

19.在△力3C,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊是a,b,c,滿足￡=2cos24+L且BW2力.

(1)求證：34=C；

(2)若C為鈍角，D為邊4c上的點(diǎn)，滿足器=4cos24-1,求罌的取值范圍.

20.第二十二屆世界杯足球賽，即2022年卡塔爾世界杯(FIFAWorldCupQatar.2022)足球賽，于當(dāng)?shù)貢r(shí)間

11月20日19時(shí)(北京時(shí)間11月21日。時(shí))至12月18日在卡塔爾境內(nèi)5座城市中的8座球場(chǎng)舉行，賽程

28天，共有32支參賽球隊(duì)，64場(chǎng)比賽.它是首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行、也是第二次在亞洲舉行的

世界杯足球賽.除此之外，卡塔爾世界杯還是首次在北半球冬季舉行、首次由從未進(jìn)過(guò)世界杯決賽圈的國(guó)家

舉辦的世界杯足球賽.某高校為增進(jìn)師生對(duì)世界杯足球賽的了解，組織了一次知識(shí)競(jìng)賽，在收回的所有競(jìng)賽

試卷中，抽取了100份試卷進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)這100份試卷的成績(jī)(滿分100分)，得到如下頻數(shù)分布表：

成績(jī)(分)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)251540308

參考數(shù)據(jù)：若X?N(〃，a2),貝I：—a<X<4+b)心0.6827；PQ—2cr<X<〃+2c)z0.9545；

P(ji—3o<X<n+3o')?0.9973.

(1)求這100份試卷成績(jī)的平均數(shù)；

(2)假設(shè)此次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)X服從正態(tài)分布N(〃，a2).其中，4近似為樣本平均數(shù)，故近似為樣本方差

s2.已知s的近似值為5.5,以樣本估計(jì)總體，假設(shè)有84.135%的學(xué)生的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)高于該校預(yù)期的平均成

績(jī)，求該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少？

(3)知識(shí)競(jìng)賽中有一類多項(xiàng)選擇題，每道題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得5分，部分

選對(duì)得2分，有選擇錯(cuò)誤的得。分.小明同學(xué)在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為余，選擇兩個(gè)選項(xiàng)

的概率為會(huì)選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為春.已知某個(gè)多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，小明在完全不知道四個(gè)選

項(xiàng)正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇，記小明做這道多項(xiàng)選擇題所得的分?jǐn)?shù)為f,求f的分布列及

數(shù)學(xué)期望.

21.已知點(diǎn)力(竽，竽)是雙曲線今―，=l(a>0,b>0)上一點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，

7T

AAFB=

(1)求雙曲線的方程；

(2)已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-4,0),與雙曲線的右支交于點(diǎn)M,N,且直線MN經(jīng)過(guò)F,求圓

C的方程.

22.已知函數(shù)/'(%)=sin久一(％+2)e-{

(1)證明：函數(shù)八%)在區(qū)間［0,兀］上有2個(gè)零點(diǎn)；

(2)若函數(shù)g(x)=ar+sinx—/'(x)(aCR)有兩個(gè)極值點(diǎn)：K0%2,且久i(久2?求證：0i+&<

上紅(其中e=2.71828……為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

a

5

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】A-{x}x>2},B={y\y>0},則/UB=[0,+oo).

故答案為：C

【分析】求出集合A、B,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可得答案.

2.【答案】C

【解析】【解答】由題意得Z2=：=—23則Zi-Z2=2+(b+2)i,

所以|zi-z2|=02+(6+2)2=413,解得b=—5或b=1,

故答案為：C

【分析】由題意求出Z2,Z1-Z2，由|Z1-Z2|=g列出方程，求解可得b的值.

3.【答案】B

26fcfe

【解析】【解答】展開(kāi)式通項(xiàng)為：Tk+1=cg(x)-(-^=(_l)b"12-3k,

令12-3k=00k=4,常數(shù)項(xiàng)為(―1)4霏=15.

故答案為：B

【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的幕指數(shù)等于0,求出k的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

4.【答案】D

【解析】【解答】函數(shù)y=/(%一$)=cos[2(%-￡)+"]=cos(2x一卷+0)為奇函數(shù)，

則一言+9=^+上兀=>0=字+卜兀，k€Z,取k=0,則⑴=字.

故答案為：D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立條件進(jìn)行求解，即可得9的取值.

5.【答案】C

【解析】【解答】P⑷=[P(B)=鬻=]則P(4)=P(B),C符合題意；

P(4nB)=f^=祭，則「。)+尸(8)#尸01「8),A不符合題意；

3X4J.U

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(4nB)=|+|-^7=則P(4)-P(B)AP(4UB),B不符合題意；

JJA.vz.1.Vz

QQZ2

P(^lU5)+P(^lnB)=^+^=|>1,D不符合題意，

7

故答案為：C.

【分析】利用古典概型概率公式求出P(A),P(B),P(APB),即可判斷A、C；利用公式P(AUB)=P(A)+P(B)-

P(AClB)求出P(AUB),即可判斷B、D.

6.【答案】A

【解析】【解答】?.,%柱=兀解,亨=等，V大圓錐=91酸.R=9T底，V小圓錐='T嘎,$=義標(biāo),

?TZTZTZ1n31n37TT7?3

?'V圓臺(tái)=V大圓錐_V小圓錐MqRR~2AnR=F-，

?[/__7Z7?37兀屋_57rA3

,?V球冠=V圓柱-V圓臺(tái)=F2A~=~2A~a

故答案為：A.

【分析】根據(jù)祖晅原理結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式進(jìn)行計(jì)算，可得答案.

7.【答案】D

【解析】【解答】(1-e-a)(l+ba)+(1+e-a)(l一b。)=0,展開(kāi)得1一e-a+ba-e-aba+1+e~a-ba

e~aba=0

次+1

n2=2e”"=回<a<b=l<a<b=e，

141

對(duì)A項(xiàng)：五五>@。->Ina=alna<1，

a

令/(%)=%lnx(xE(1,e)),/'(%)=In%+1>0,/(%)單調(diào)遞增，所以0<alna<e,

所以alna<1不成立，A不符合題意；

11i

對(duì)B項(xiàng)：五=e5<。2=一<\今alna>1，

ana

因?yàn)?Valna<e,所以alna>1不一定成立，B不符合題意；

對(duì)C項(xiàng)：log.>2=Ina>-?alna>e，這與alna<c矛盾，C不符合題意;

aa

對(duì)D項(xiàng)：logb。<2=Ina<?=alna<e，顯然成立，D符合題意.

aa

故答案為：D.

【分析】(1一e-a)(l+b。)+(1+e-a)(l-ba)=0,展開(kāi)得1-e~a+ba-e~aba+1+e~a-ba-

111、

eaba=0,b->a'e>a<^—>Ina=alna<1,令/(%)=xlnx(xE(1,e)),求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的

1i1

符號(hào)可得/(久)單調(diào)性,得。<alna<e,可判斷A；b.?五<a.eu>?五<M今一<]na=alna>1，可判斷

a

B；log^a>2=Ina>-<^>alna>e，可判斷C；log&a<-?Ina<-^alna<e,可判斷D.

aaaa

8

8.【答案】C

【解析】【解答】如圖所示，取BC中點(diǎn)M,連接力M,PM,設(shè)乙B4M=8C(0,芻,

由ZB=AC=2得ZM1BC,

又平面ABC,平面/^配平面ABCn平面PBC=BC,且AMu面ABC,所以AM1面PBC,

7T

因?yàn)镹BPC=2，所以BM=CM=PM=2sin。，AM=2cos。,

三棱錐P-ABC的球心在AM上，設(shè)外接球半徑為R,

則警￡<g兀標(biāo)式苧，得/<R<2,

OC=0A=OB=R,0M=2cos0-R,所以解_(2cos0-R)2=(2sin0)2=R=cos0+=焉，

所以cose=[eg,爭(zhēng)=ee[%勺=28eg,爭(zhēng).

故答案為：C

77"

【分析】取BC中點(diǎn)M,連接AM,PM,設(shè)乙BAM=0E(0,])，推出4M，面PBC,BM=2sin。，AM=

2cos0,三棱錐P-ABC的球心在AM上，設(shè)外接球半徑為R,R2-(2cos0-/?)2=(2sin0)2=R=cos。+

噂=工，可求出ZBAC的取值范圍.

cosdCOS0

9.【答案】B,D

【解析】【解答】A項(xiàng)：當(dāng)。=0時(shí)，/(%)=i%3—%,則f(%)=x2—1?所以/(%)在(―8,—1)單調(diào)遞增，

在(―1,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，所以/(%)極大值為/(—1)=—/+1=女，故錯(cuò)誤；

B項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)/(第)圖象的對(duì)稱中心為(1,/(I)),

所以有f(1+%)+f(l—%)=2/(1)=>(a+l)%2=0=a=—1,故正確；

C項(xiàng)：/(%)=/+2a%—1之0恒成立，顯然/(%)=。必有兩根%1，%2(%1<%2)，=-1<。,則/(%)在

(%i，外)遞減，故錯(cuò)誤；

D項(xiàng)：/(%)=+ax—l)x=0=>x=0Mgx2+ax—1=0,-^x2+ax—1=0必有2相異根，且非

零，故/Q)必有3個(gè)零點(diǎn)，故正確.

9

故答案為：BD

【分析】根據(jù)函數(shù)極大值的定義，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得答案.

10.【答案】A,B,C

【解析】【解答】A項(xiàng)：由正方體性質(zhì)知：AC1BD,而DA_L平面力BCD,ACu平面ABCD,貝UDDilAC,

由=BD,DDrc^BDDr,則AC1平面BD。A

所以任取BO上一點(diǎn)作為P,由線面垂直的性質(zhì)知0/1AC,A符合題意；

B項(xiàng)：由正方體性質(zhì)知：DA1//CB1,DAiC面力CB1a^ACB1,則D&〃面力

同理可證：DC]〃面ACBi，而0410=G，DA1,u面&的。，

所以平面AC/〃平面&C1。，所以VPC4C,則BiPu平面ZCBi，

則BiP〃平面&CW，即可存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P滿足〃平面&CW，B符合題意；

C項(xiàng)：因?yàn)橐褼D/=45。，DP1DDr,所以DP=1,所以P在以D為圓心，

半徑為1的上圓弧上，所以BPmin=奩-1(當(dāng)D，P，B三點(diǎn)共線時(shí)取等)，C符合題意;

4B；

D

D項(xiàng)：將平面&B1CD翻折至與ABCC共面，記此時(shí)J點(diǎn)為當(dāng)，

貝+|PB|2|力Bi'|=J(V2+I)2+1=V4+2V2>V2+1>錯(cuò)誤.

故答案為：ABC.

【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的判定定理,

逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.

n.【答案】A,D

10

【解析】【解答】設(shè)N(TI,0),則時(shí)6，0),設(shè)直線力B：x=my+n,

X~772V+72

{y2_2pX消去工并化簡(jiǎn)得y?-2pmy-2pn=0,

A選項(xiàng)：所以y/yB=-2P"，同理可得y2?丹=等馬所以^=九A符合題意;

B選項(xiàng)：等=4=/，B不符合題意；

%2好

C選項(xiàng)：同理可得丫2?%=-2pn,所以物=1，所以患'=1，所以為=必，

Ak=k=2P_2p_2P.

ADv

Y匕+為'Wc—y2+yB-yr+yD

生+14

AD=也---二九C不符合題意;

所以~BC

佻一班1

D選項(xiàng)：翟=黜=叨?即—，D符合題意.

故答案為：AD

【分析】設(shè)N(TI,0),則“G，0),設(shè)直線力氏x(chóng)=my+n,與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得y1?3^=

n

—2pn,y-y=^,可判斷A;?=與=乃，可判斷B;令k=kAD=vT，yBC~v+v~v^+v—

BL

「‘2，B兒X2yjYl+y/J，2十匕十

AD

4k，\\-1,M—y/|BC|=|三7+1,歷一YBI,可判斷c；左AADN=f器=?%.?汩=

IkJAk'&BCNLNBNy2yB

下,可判斷D.

12.【答案】A,B

【解析】【解答】因?yàn)間(x+3)為偶函數(shù)，所以g(久+3)=g(-x+3)

所以久=3為y=g(x)即y=f'(久)的對(duì)稱軸，即f'(3+%)=f'(3一%)=.(3+久)=—f(3-久)+C，因?yàn)?/p>

"3)=2，

所以/(3)=-/(3)+CnC=2/(3),

所以(3,/(3))為/(%)的對(duì)稱中心①，

x-2x2x2x

f(\nrc\Af()/()/4-ef(%)-2efW/-2xn

f(%)<2j(x)+4,<-y-0——---o~-4e￡X<0,

JeLXeLX9與”

所以('￡)+2e-2x)<0，所以y=，(久)+2]e-2工在R上單調(diào)遞減，

11

2x2

記g(%)=[/(%)+2]e~,/On?+2>e-2xf即g(]n%)>e~,

由①可知/(l)+/(5)=2〃3)=/(l)+5=4=f(l)=-1,

所以g(l)=e-2,因?yàn)間(ln%)>￡-2,所以In%<1,所以0<%<e.

故答案為：AB

【分析】由已知可得％=3為丫=g。)即y=/'(%)的對(duì)稱軸，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得y=[/(%)+2]e-2久在R上

單調(diào)遞減，記或久)=[/(尤)+2]b2支，詈2>e-2x,即g(EK)>e-2,求解可得/(心久)—胃+2>0的正

整數(shù)解.

13?【答案】(一|)

【解析】【解答】因?yàn)閏osN,b=停I=-7=^==?，

\a\-\b\V5V102

則五在石方向上的投影向量是：|5|cosl5,b)K=(-1,I)

\b\zz

故答案為：t，|).

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積與向量五在石方向上的投影的定義，即可求出答案.

14.【答案】1

【解析】【解答】由題意可知，當(dāng)04%<1時(shí)，/(%)=+1)4k%恒成立，即ln(%+1)4k%恒成立,

作出函數(shù)y=In(%+1)的圖象如圖示，

/(久)=擊，???/'(。)=1，即、=1!1(久+1)在原點(diǎn)處的切線斜率為1,

由圖象可知，當(dāng)kN1時(shí)，即有0Mx<1時(shí)，f(x)〈恒成立，

故當(dāng)0<x<1時(shí),/(%)=ln(x+1)<k%恒成立，則k>1；

當(dāng)％21時(shí)，/(%)<kx恒成立，即k2與出恒成立，

設(shè)小(%)=也士工所以w'(%)=-崢<0在口，+8)內(nèi)恒成立，

XX

即771。)在[1,+8)上單調(diào)遞減，所以租(%)max=租(D=1，則々之L

綜上所述，k的最小值為1,

故答案為：1

12

【分析】當(dāng)0<x<1時(shí)，/(%)=Zn(x+1)<依恒成立，即ln(%+1)<依恒成立，求導(dǎo)可得y=In(%+1)在

原點(diǎn)處的切線斜率，由圖象可知k21;當(dāng)x21時(shí)，/'(X)Wk久恒成立，即k?寫由恒成立，設(shè)m(x)=

號(hào)1,求導(dǎo)可得血(%)在［1,+8)上單調(diào)性，可得即可求出k的最小值.

15.【答案】［o,等］

【解析】【解答】設(shè)折疊矩形使得A落在邊CD上&,當(dāng)&在D處時(shí)，此時(shí)折痕過(guò)M,

即點(diǎn)M到折痕EF的距離為O.當(dāng)必從D向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中(如圖(1)),

A&中點(diǎn)為。，則。M14D,過(guò)M作MN1EF于點(diǎn)N,

貝=|0M|sin/M0Fn,此時(shí)0M在增大，sin/MOF也增大，

故當(dāng)a到C處時(shí)，|MN|取得最大值(如圖(2)),

此時(shí)|OM|=2,sinzMOF=coszBAC=等，所以|MN|=塔，

故點(diǎn)M到折痕的距離的取值范圍是［o,等］.

故答案為：［0,警卜

【分析】設(shè)折疊矩形使得A落在邊CD上公,當(dāng)&在D處時(shí)，此時(shí)折痕過(guò)M,即點(diǎn)M到折痕EF的距離為O,

OM在增大，sin/MOF也增大，當(dāng)4到C處時(shí)，|MN|取得最大值，即可求出點(diǎn)M到折痕的距離的取值范圍.

16.【答案】2V5

【解析】【解答】設(shè)直線PQ：x=my—2,y1)，Q(%2，丫2)

x=my—2

，=，（5租2+9）,y2,―2,0,,y,2,5,=0,

%2+9y2=45m

mi、i?20m25“八八、

所以yi-y2=-^2^-%―3,。）,

13

yyyyyy

由韋達(dá)定理可求得口P.k4Q=-1?中7=而不1！-而不?I=巧仍+儂1巧?+為+1，

_________325__________25

—25m2+20m2+5m2+99'

因?yàn)镻(%,月)在橢圓上，所以￥+率=1，即y/=5(91]2),

由橢圓C：焦+胃=1可得4(-3,0),8(3,0),

所以厘Q-kBQ=肅-螳%=章二=

所以3=彼=￥*=5，

K2KBQKAQKBQ

則七七++=5設(shè)++22通，等號(hào)顯然可以取得，故最小值為2履

卜2k2

故答案為：2遍.

k

【分析】設(shè)直線PQ：x=my-2,P(/,yQ,Q(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算出今的值,

.1

利用基本不等式可求出的7B7+二的最小值.

k2

17?【答案】(1)解：由題給遞推式得：

—32,。2=16,。3=8,。4=4,。5=2,。6=1,。7=4,CLQ=2,。9—19***9

數(shù)列｛即｝從。4,的，。6開(kāi)始，每三項(xiàng)出現(xiàn)一次4,2,1循環(huán).

AS30=(32+16+8)+9X(4+2+1)=119.

(2)解：因?yàn)椤?=1，則。5=2,。4=4,則。3=8或。3=1，

若。3=8,則做=16,%=5或臼=32,即in=5或TH=32；

若。3=1，則。2=2,=4,即TH=4

因此m的所有取值和為5+32+4=41.

【解析】【分析】(1)由題給遞推式得數(shù)列｛。九｝從a件向，即開(kāi)始，每三項(xiàng)出現(xiàn)一次%2,1循環(huán)，可求出

$30；

(2)由即=1求出。3=8或的=1，即可求出m所有可能取值的和.

18.【答案】(1)解：延長(zhǎng)D4,CB交于點(diǎn)O,則0。=。。=2,

可得"+。。2="，故OD_LOC,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則3(0,1,0),C(0,2,0),4(1,0,0),5(2,0,0)

VPA=PB=2,設(shè)PQ,x,z)(z>0),

14

可得前=(0,1,0),~BP=(%,%-1,z),AD=(1,0,0),9=(%-1,%,z),

?BC=b=0

設(shè)平面PC3的法向量為河=(a,b,c),則

而*?RP=ax+b(x-1)+zc=0

令a=z,則b=0,c=-%,即汨=(z,0,-%),

nJ?而=p=0

設(shè)平面的法向量為何=(p,q,s),則

,nJ-AP=p(x—1)+xq+zs=0

令勺=z,則p=0,s--x>即雨=(0,z,-%)>

?.?平面PBC1平面PAD,貝lj苗?芯=/=0,即x=0,故點(diǎn)P(0,0,z)在z軸上,

因此點(diǎn)P到平面PBC的距離為z,

又因?yàn)閨PB|=V1+z2=2,則z=V3.

故點(diǎn)P到平面PBC的距離為值.

(2)解:由(1)可得：0GBC,0GAD,且BCu平面PBC,4。u平面PAD,

則。C平面PBC,0C平面PAD,

?.,平面PBCCl平面PAD=l,則。eZ,：.PO=I,

直線P。0平面ABCD=Q，故Q即為坐標(biāo)原點(diǎn)O,則P。=y/2,

設(shè)P(x,X,z)，由PO=7x2+%2+z2=

由PA=PB=2,則J(x—I)?+%2+z2=2，解得％=—；,z=苧，

即P(一/,,坐)，

由(1)可得：平面PCB的法向量為汨=(乎，o,%平面24。的法向量為雨=(0,苧，芬

一.一1

，平面PBC與平面PAD夾角的余弦值為;.

【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出平面PCB的法向量，利用

15

向量法可求出點(diǎn)P到平面P3C的距離；

(2)求出平面P(方的法向量和平面P力。的法向量，利用向量法可求出平面P8C與平面P力。夾角的余弦值.

19.【答案】(1)證明：Va(2cos2i4+1)=c,由正弦定理可得sirh4(2cos24+1)=sinC,

貝！Jsin力(4cos2y4-1)=sinZ(2cos4—l)(2cos4+1)=sinC

則(sin24—sirh4)(2cos4+1)=2sin2AcosA-sin力

二sin2力cos力+sin24cosA—sinA=sin24cos4+2sirh4cos24—sinA

=sin24cos力+sirL4cos24，

原式可化簡(jiǎn)為sin3力=sinC,貝1)3月=?；?4+C=n.

若34+。=",貝1」34=兀一。=4+8,此時(shí)5=24與題意矛盾，

故34=C.

(2)解：若需=4cos24—1=2cos24+1=泉

則3D為B的角平分線.

BD_sin34_sin(/+2/)_sirh4cos2i4+cos4sin2/

則m一sing-2/)--cos2X~~cos2Z

sinZ(l—2sin2z)+2sinZcos2/_3sinZ—4sin3z

1—2sin2i41—2sin2>l'

由于c為鈍角，則|，令t=sinae8,弗.

?DB31—

由/⑷=8；：；：3>0,因?yàn)閠e8,孝)，所以/'(t)>0，

可知/(t)在(與_,孝)單調(diào)遞增，...〃/:)>/8)=2,

故器的取值范圍為(2,+00).

【解析】【分析】(1)由正弦定理結(jié)合余弦的二倍角公式可求出sin力(4COS2?1-1)=sin4(2cos力-l)(2cos4+

1)=sinC,得sin3i4=sinC,可證得34=C；

(2)根據(jù)三角恒等變換可得罌=至哇鬻1，令[=sinA孝)，器素=/?，求導(dǎo)，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得f(t)在孝)單調(diào)性，即可求出器的取值范圍.

20.【答案】(1)解：依題意，設(shè)這100份試卷成績(jī)的平均數(shù)為總

則％=]00x45+I。。x55+I。。x65+^QQX75+^QQX85+^QQX95=76.5(分)；

(2)解：由P(X>〃一0)=0.5+P(〃-oV產(chǎn)四十。)=0.841.35,

又〃=76.5,(J=sx5.5,

16

所以該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是76.5-5.5=71（分）；

（3）解：設(shè)事件4表示“小明選擇了i個(gè)選項(xiàng)”（i=1,2,3）,事件B表示“選擇的選項(xiàng)是正確的”.由題知，f

可取5,2,0.

111

因?yàn)槭?6=5)=2(48)=百義聲=前，

C4

P笆=2)=P(AiB)+P(42B)=磊*?+品||=/+/=薪

P笆=。)=P(A回+PQ42月)+P(432)=喘*4+**!|+卜||=磊+/+言=林

匕4J匕4

所以隨機(jī)變量f的分布列為:

520

11919

p

204040

.011Q1q

于是，E（，）=5x與+2X而+0X而=1.2.

【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算即可;

（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可；

（3）根據(jù)概率的乘法和加法公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.

fA/6,273.,476273.

（丁+c,?。?（丁一的—）=n0

4出=8

21.【答案】（1）解：由已知條件得：（%—工=i={/=4

今/（c=2V3

、a2+b2=c2

雙曲線方程為：號(hào)-4=1.

84

（2）解：若直線MN的斜率不存在，則圓C的圓心不在y軸上，因此不成立.

(y-k(x—2A/3)_

222

由(x2y2消元得：(2fc-l)x-8V3/c%+(241+8)=00

(⑥一互=1

2k2—1。0

/=32(小+1)>0

8乃必

v-i+Vo=k(X]+K2)-4A/3/C=8^^卜---4V3/c="'^卜

久1+久2

2k2-1-2fcz-l2/cz-l

17

???MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(生型，工萼).

21一12r-1

設(shè)C(0,171)9直線CQ：y=+m,得C(0,),

4V2(fc2+l)

又|MN|=VFTT.四冬&螃

|8fc-4||2fc2-l|

根據(jù)勾股定理有CN2=CP2=CQ2+8MN)2

772222

??(―-)+4=(—一)+(-------2—)+(------2------)

2/c-12fc2-12k-12k-1|2fc-1|

化簡(jiǎn)得2k4-5右+2=0

解得/=2或/=；(舍)

/.C(0,±2V???圓C的方程為/+(y±2V6)2=40.

【解析】【分析】(1)根