中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)（專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）

專題13二次函數(shù)

一、單選題

1.（2021?西安益新中學(xué)九年級）若二次函數(shù)y=aN+2ax+3a的圖象過不同的三個點(diǎn)/（小%），B（1-n,y2）,

C（-l,y3）,且為〉乃>為，則"的取值范圍是（）

A.n<――B.n<--C.且*2D.n>——

2222

【答案】C

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-l,由題意推出二次項(xiàng)系數(shù)大于0,可找出函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合N、8點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出關(guān)于〃的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：二次函數(shù)廠辦2+2如+3。的對稱軸為直線產(chǎn)-蘭=-1,

■:點(diǎn)/力），B（l-n,處），C（-1,乃）在二次函數(shù)》=0^2+2辦+3a的圖象上，且為>”>為，

???二次函數(shù)圖象在xV-l上單調(diào)遞減，在后-1上單調(diào)遞增.

點(diǎn)”（〃，yi）,B（l-n,/）都在二次函數(shù)y=aN+2ax+3a（a>0）的圖象上，且為>”，

解得：">］且*2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出關(guān)于羽的一元一次不等

式.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸找出關(guān)

于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的不等式是關(guān)鍵.

2.（2021?建昌縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級）如圖，在R/A/BC中，乙4c8=90。，NC=BC=亞，。是邊上

的一動點(diǎn)（不與4,8重合），連接CD,將CD繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)90。到CE,連接DE,與NC相交于

點(diǎn)凡連接設(shè)NE=x,CF=y,則能反映了與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

A.B.

【答案】B

【分析】

過點(diǎn)。作。于點(diǎn)G,根據(jù)題意可證明△8C。三A4CE,可得到瓦KCAE=^B=45°,從而證得

^ACE~^ECF,則有區(qū)=fiCCF,進(jìn)而得到CD?=尸，在用ABQG和用AOCG中，利用銳角三

角函數(shù)和勾股定理可得CG=8CBG=0-EX,CD2=DG2+CG2,從而得到y(tǒng)與X函數(shù)關(guān)系式，即可求

2

解.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)。作。GLBC于點(diǎn)G,

由題意可得：CE=CD,乙DCE=90。,

乙4CE+乙4090。，4CED=^CDE=45。,

“C5=90。，AC=BC=g,

：.^BCD+^ACD=90°,乙CAB=^B=45。，

??.UCE=ABCD,

???△BCD三AACE,

：,BD=AE,乙CAE=^B=45。,

???(CAE=cCED,

；.AACE~AECF,

A76F

?=—，即Rn彥0="7?CF，

■：CE=CD,

■■CD2=AC-CF,

在RMBDG中，必=45°,且8O=/￡=x,

-BG=CG=sin450-BD=-x，

2

?:AC=BC=V2，

萬

:CG=BC-BG=y/2-—x,

2

在RfBCG中，由勾股定理得：

CD2=DG2+CG2,

■■CD2=AC-CF,

???3+8=QO=，CF=y,

//—\2/I—\2

即*X+亞一與X=岳，

\7\7

.,沙與X函數(shù)關(guān)系式為：y=—X2-y[2x+41，

2

.?.該函數(shù)圖象為拋物線，且開口向上.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求函數(shù)關(guān)系式，旋轉(zhuǎn)，得到了與X

函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?陜西西安?交大附中分校九年級）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行于x軸的直線，與二次函數(shù)y=

N、＞=辦2分別交于/、8和C、D,若CD=2AB,則°為（）

【答案】B

【分析】

設(shè)平行與x的直線為>="（">0）,求得A、B、C、。的橫坐標(biāo)，即可得出AB=2?,32后,由

CD=2AB,得出2、口=4G,解得a=—.

\a4

【詳解】

解：設(shè)平行與尤的直線為>=〃（〃〉0）,

解—=〃得：X=±G，

「.4的橫坐標(biāo)為-五，3橫坐標(biāo)為五，

二.AB=2A/W，

解渥=〃得：％=土口,

Va

.?.C的橫坐標(biāo)為飛口，。橫坐標(biāo)為、口，

VaVa

?：CD=2AB,

1

ci——,

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，表示出A、8、。、。的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)

鍵.

4.（2021?哈爾濱市蕭紅中學(xué)九年級）將拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線

>=3（x+2）2-1,那么此拋物線是（）.

A.y=3x2B.y-3x2-2

C.y=3（x-4）2D.y=3（x+4）2-2

【答案】A

【分析】

由拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線y=3（x+2）2-l,則我們反過來思考把拋

物線y=3（x+2）2-l向右平移2個單位，再向上平移1個單位，從而可得答案.

【詳解】

解：把拋物線了=3（尤+2）2-1向右平移2個單位，可得：

y=3x2-1,

再把了=3/-1向上平移1個單位，可得：

V=3x2,

所以原拋物線為：_y=3f.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是拋物線的圖象的平移，掌握逆向思維及拋物線的平移規(guī)律解題是解題的關(guān)鍵.

2

5.（2021?杭州市采荷中學(xué)九年級）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)弘=x?+3x+3,y2=x+4x+4,

2

y3=X+5X+5.設(shè)函數(shù)必，y2,%的圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)分別為,〃2，〃3，則（）

A.M=0,M2=0,M3=0B.M=2,M2=2,M3=2

C.=0,M=l,M3=2D.M=0，此=2,M3=1

【答案】c

【分析】

根據(jù)拋物線與X軸交點(diǎn)個數(shù)由b2-4ac的符號決定即可判斷.

【詳解】

解：在yi=N+3x+3中，

62-4ac=32-4x3=-3<0,

???拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，

???跖=0；

在”=/+4工+4中,

62-4tzc=42-4><4=0,

???拋物線與x軸有1個交點(diǎn)，

:.M*1；

在n=N+5X+5中，

62-4ac=52-4x5=5>0,

???拋物線與x軸有2個交點(diǎn)，

，A/3=2；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了拋物線與X軸的交點(diǎn)情況，熟練掌握〃一4℃的符號決定了拋物線與X軸的交點(diǎn)情況是解題

的關(guān)鍵.

6.（2021?深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）九年級）二次函數(shù)？=52+笈+40，0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)

（-1,0）,對稱軸為直線x=2,其中不正確結(jié)論是（）.

A.<0B.4a+b=0

C.9a+c<3bD.8a+7b+2c<0

【答案】D

【分析】

由拋物線的開口方向及拋物線與〉軸的交點(diǎn)位置，可分別判斷。與c的符號，從而可對選項(xiàng)A作出判斷；

根據(jù)拋物線的對稱軸可對選項(xiàng)B作出判斷；由圖象知，當(dāng)龍=-3時的函數(shù)值為負(fù)，從而可對選項(xiàng)C作出判

斷；由對稱軸得a與b的關(guān)系，把此關(guān)系式代入8a+7b+2c中即可對選項(xiàng)D作出判斷.

【詳解】

A、由圖象知，拋物線的開口向下，則a<0,拋物線與夕軸的交點(diǎn)在x軸的上方，則c>0,所以ac<0,即此

選項(xiàng)正確；

B、對稱軸為直線x=2,即-3=2,故6=—4a,則4a+6=0,故此選項(xiàng)正確；

2a

C、由圖知，當(dāng)x=-1時，y=0,當(dāng)且x<一2時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，故當(dāng)產(chǎn)一3時，函數(shù)值

9a-3b+c<0,即9a+c<3b,故此選項(xiàng)正確；

D、由b=—4a得8a+76+2c=8。-28a+c=—20a+c,由“<0,c>0得一20a+c>0,即8a+76+2c>0,故此選項(xiàng)

錯誤；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合.此類問題基本方法是三看：

一看拋物線的開口方向確定a的符號，二看拋物線與y軸的交點(diǎn)確定c的符號，三看拋物線的對稱軸確定6

的符號，再結(jié)合其它條件便可確定一些代數(shù)式的符號.

7.(2021?遼寧阜新市教育服務(wù)中心)如圖，二次函數(shù)y=a(x+2y+左的圖象與x軸交于3(-1,0)兩點(diǎn),

則下列說法正確的是()

A.a<0B.點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-4,0)

C.當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小D.圖象的對稱軸為直線x=-2

【答案】D

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可依次判斷.

【詳解】

由圖可得開口向上，故a>0,N錯誤；

,??解析式為>=。(尤+2>+左，故對稱軸為直線x=-2,。正確

-：B(-1,0)

?4點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),故3錯誤；

由圖可知當(dāng)天<-2時，y隨x的增大而減小，故C錯誤；

故選D

【點(diǎn)睛】

此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn).

8.（2021?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，拋物線y=aN+bx+c（/0）的頂點(diǎn)為（1,〃），與x軸的一個

交點(diǎn)8（3,0）,與〉軸的交點(diǎn)在（0,-3）和（0,-2）之間.下列結(jié)論中：①數(shù)>0；②-2<6<一；

c3

③（Q+C）2-〃=（）；（4）2c-a<2n,則正確的個數(shù)為（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可

【詳解】

解：???拋物線^=涼+云+。（存0）的開口向上，

,?,拋物線線y=aN+bx+c（存0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,〃）,

???對稱軸x=———1，

2a

:?b=-2a<0,

???拋物線與歹軸的交點(diǎn)在（0,-3）和（0,-2）之間

???-3VcV-2V0,

???—>0；故①正確；

C

???拋物線線X軸的一個交點(diǎn)2（3,0）,

.??9a+36+c=0,拋物線線x軸的一個交點(diǎn)（-1,0）,

?：b=-2a

4

**-_2<.b<――,故②錯誤；

???拋物線線x軸的一個交點(diǎn)（-1,0）,

-,-a-b+c=0,

??.（a+c）2-b2=（。+6+。）（.a-b+c）=0,故③正確；

?:b=-2a

??3a-^2b=-a<0

-'-2c-a>2（a+b+c）,

,??拋物線y=aN+bx+c（存0）的頂點(diǎn)為（1,n）,

?-a+b+c=n,

??-2c-a>2n；故④錯誤；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系對于二次函數(shù)嚴(yán)辦2+^+c（存0）,明確以下幾點(diǎn)①二次項(xiàng)系數(shù)。

決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)〃>0時，拋物線向上開口；當(dāng)aVO時，拋物線向下開口；②一次項(xiàng)系

數(shù)6和二次項(xiàng)系數(shù)〃共同決定對稱軸的位置：當(dāng)。與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與6異

號時（即MV0）,對稱軸在y軸右；③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與丁軸交于（0,

c）.

9.（2021?湖北荊門?）拋物線y=辦2+區(qū)+。（〃，卜c為常數(shù)）開口向下且過點(diǎn)4L0）,8（加,0）

（-2<m<-l）,下歹j結(jié)l論：①2b+c>0；②2Q+C<0；③〃（加+1）—6+。>0；④若方程

〃（x-加）。-1）-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則4ac-〃<4a.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

根據(jù)已知條件可判斷c〉0,a<b<Of據(jù)此逐項(xiàng)分析解題即可.

【詳解】

解：.??拋物線開口向下

:.a<0

把4L0),B(m,0)代入y=ax2++c得

a+b+c=O

am2+bm+c=0

am2+bm=a+b

am2+bm-a-b=0

(m-l)(tzm+a+b)=0

v-2<m<-l

am+a+b=0

/.am=c,a(jn+1)=-6

:.c>0

/.-l<m+l<0

,.,m+l<0

z.1>—>0

a

:.a<b<0

①2b+c=2b-a-b=b-a>0,故①正確；

(2)2a+c=2a-a-b=a-b<0,故②正確；

③a(m+l)-b+c=-2b+c=-2b-a-b=-3b一a〉0,故③正確；；

④若方程a(x-m\x-1)-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,

BPax2-a(m+l)x+am-1=0

A=tz2(m+1)2-4a(am-1)

=a2(m+1)2-4a2m+4a

j22—a-b.

=b-4Aa----------1-4a

a

=b2+4a2+4ab+4a

=b2+4a(a+b)+4a

=b2-4ac+4〃>0

.■Aac-b2<4a,故④正確，即正確結(jié)論的個數(shù)是4,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與系數(shù)。、6、c關(guān)系，涉及一元二次方程根的判別式，是重要

考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

10.（2021?廣東廣州?中考真題）拋物線夕="2+8+,經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）、（3,0）,且與〉軸交于點(diǎn)（0,-5）,則當(dāng)

x=2時，y的值為（）

A.-5B.-3C.-1D.5

【答案】A

【分析】

先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再求函數(shù)值即可.

【詳解】

解：???拋物線>=依2+云+。經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）、（3,0）,且與>軸交于點(diǎn)（0,-5）,

c=-5

：Aa-b+c=0,

9。+36+。=0

c=-5

解方程組得。=g,

b7=---1-0-

I3

???拋物線解析式為歹=5,

當(dāng)x=2時，=—x4-—x2-5=-5.

33

故選擇

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，和函數(shù)值，掌握系數(shù)法求拋物線解析式方法和函數(shù)值求法是解題關(guān)

鍵.

二、填空題

11.0021?西寧市教育科學(xué)研究院中考真題）從-;，-1,1,2,-5中任取一個數(shù)作為0,則拋物線v="2+6x+c

的開口向上的概率是

2

【答案】I

【分析】

根據(jù)概率計(jì)算公式，可得事件總的可能結(jié)果數(shù)5,事件發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)2,問題即可解決.

【詳解】

從5個數(shù)中任取一個的可能結(jié)果數(shù)為5,使拋物線了="2+加+。的開口向上的。值有2個，分別為1和2,

2

則所求的概率為

2

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡單事件的概率的計(jì)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出事件總的可能結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)

是關(guān)鍵.

12.(2021?四川巴中?中考真題)y與x之間的函數(shù)關(guān)系可記為y=/(x).例如：函數(shù)y=x2可記為/(x)=

N.若對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個x,都有/(-無)=/(x),則/(x)是偶函數(shù)；若對于自變量取值

范圍內(nèi)的任意一個x,都有/(-X)=-/(》)，則/(x)是奇函數(shù).例如/(x)=N是偶函數(shù)，/(x)=-

X

是奇函數(shù).若/(x)=QN+(a-5)x+1是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=.

【答案】5

【分析】

由f(x)=ax2+(q-5)x+1是偶函數(shù)，得a(-x)2+(a?5)?(-x)+l=aN+(a-5)x+1,解得a=5.

【詳解】

解：(x)=ax2+(a-5)x+1是偶函數(shù)，

???對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個x,都有/(-x)=f(x),即a(-x)2+(a-5)?(-x)+l=aN+(a-5)

x+1,

A(10-2a)x=0,可矢口10-2a=0,

，a=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義：偶函數(shù)與奇函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解偶函數(shù)定義，列出〃(-x)2+(〃-5)?(?x)+l=aN+

(a-5)x+1.

13.(2021?江蘇南通?)平面直角坐標(biāo)系xQy中，己知點(diǎn)3/-9),且實(shí)數(shù)加，"滿足〃?-/+4=(),則

點(diǎn)P到原點(diǎn)o的距離的最小值為.

【答案】巫

10

【分析】

由已知得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（加，3加+3）,求得PO=標(biāo)小^71予=而正示￡7?,利用二次函數(shù)的性質(zhì)

求解即可.

【詳解】

解：丁加一〃2+4=0,

???〃2=加+4,貝!J3/—9=3機(jī)+3,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（加，3加+3）,

:?PO=J加2+（3加+3『=710m2+18m+9，

vl0>0,

189

???10加2+18加+9當(dāng)機(jī)=一三=一歷時，有最小值，

且最小值為六9，

”0的最小值為、：=①.

V1010

故答案為：士叵.

10

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

14.（2021?江蘇泰州?中考真題）在函數(shù)y=（x-1）?中，當(dāng)Q1時沙隨x的增大而_.（填“增大，或“減小”）

【答案】增大

【分析】

根據(jù)其頂點(diǎn)式函數(shù)y=（x-1）2可知，拋物線開口向上，對稱軸為x=1,在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，可得

到答案.

【詳解】

由題意可知：函數(shù)y=。-1）2,開口向上,在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，又???對稱軸為x=l,

.?.當(dāng)x>l時,y隨的增大而增大，

故答案為:增大.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的對稱軸及增減性,掌握當(dāng)二次函數(shù)開口向上時，在對稱軸的右側(cè)V隨X的增大而增

大，在對稱軸的左側(cè)y隨X的增大而減小是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?山東淄博?中考真題）對于任意實(shí)數(shù)。，拋物線了=/+2亦+a+6與x軸都有公共點(diǎn).則6的取值

范圍是?

【答案】b<-\

【分析】

22

由題意易得4a2-4a-4620,則有bW/-q,然后設(shè)（=a-a>由無論a取何值時，拋物線y=x+2ax+a+b

與x軸都有公共點(diǎn)可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：由拋物線y=x?+2ax+a+6與x軸都有公共點(diǎn)可得：420,即4a?-4a-4620,

6?Q?一〃，

設(shè)才=/—〃，貝！］6<￡,

要使對于任意實(shí)數(shù)。，拋物線歹=—+2"+〃+6與x軸都有公共點(diǎn)，則需滿足b小于等于，的最小值即可，

■-t—a1—a—{a——,即f的最小值為-■-,

I2）44

:.b<--；

4

故答案為64.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的綜合是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.（2021?靖江市靖城中學(xué)）如圖，拋物線>=52-4"a+〃（m>0）與x軸交于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)8在點(diǎn)/

的右側(cè)，拋物線與》軸正半軸交于點(diǎn)C,連接C4、CB,已知tanNC4O=3,sin/C50=券.

（1）求拋物線的對稱軸與拋物線的解析式；

（2）設(shè)。為拋物線對稱軸上一點(diǎn).

①當(dāng)△BCD的外接圓的圓心在△3CZ）的邊上時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍.

【答案】（1）y=X2-4x+3,對稱軸是直線X=2；（2）①。（2,5）或。（2,3+心）或（0,甘僅

或。（2,-1）；②3+后口<5或一1<〃<3-折

22

【分析】

（1）先根據(jù)tan/C4O=史=3,smZCBO=—,得至UOC=3O4zCBO=45°,則0c=03再求出拋物

OA2

4777]1

線對稱軸為x=------=2,OC=n,OA=—n,OB=n,A（—n,0）,B（〃，0）,由此求出〃的值即可求

2m33

出拋物線的解析式；

（2）①當(dāng)△BCD的外接圓圓心在△BCD邊上時，△BCD是直角三角形，設(shè)。（2,f）,貝IJ

CD2=（2-0）2+（a-3）2=a2-6a+13,BD2=（2-3）2+（a-0）2=a2+1,5C2=（3-0）2+（0-3）2=18,然

后分別討論當(dāng)6、C、。為直角頂點(diǎn)時，利用勾股定理求解；

②由圖形可知當(dāng)。在A和￡>3之間或與。2之間時，4BCD是銳角三角形,其中5是C為直角頂點(diǎn)時D

點(diǎn)的位置，是。為直角頂點(diǎn)。的位置，。4和。2分別是以8和。為直角頂角的位置.

【詳解】

解：（1）由題意可知，NCCM=90。，

tanZ.CAO==3,sinNCBO=^~

OA2

.-.OC=3OA,ZC5O=45°,

：.OC=OB,

???拋物線y=m：2-4機(jī)x+〃（加>0）與x軸交于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)8在點(diǎn)4的右側(cè)，拋物線與y軸正半軸交于

點(diǎn)C,

.■.C（0,?）,拋物線對稱軸為工=-h=2,

2m

?-OC=n,

：.OA=—n,OB=n,

3

-'?A(-n,0),B(〃，0),

3

???〃=3,

??C(0,3),B(3,0),A(1,0),

???把力(1,0)代入拋物線解析式得：機(jī)-4機(jī)+3=0,

???拋物線解析式為歹—4x+3；

(2)①當(dāng)△BCD的外接圓圓心在△8C。邊上時，ABC。是直角三角形，

■.■D為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，

.??設(shè)。(2,a)

：C(0,3)B(3,0),

.?.C￡>2=(2-0)2+(a-3)2=a2-6a+13,=(2-3)2+(a-0)2=a2+1,5C2=(3-0)2+(0-3)2=18,

當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時，DC2+BC2=BD2§Pa2-6a+13+18=a2+l,

解得a=5,

■.D(2,5)；

當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時，DC"+BD~=BC2BPtz2-6a+13+a2+l=18,

解得a=延姮，

2

：.D(2,3+M)或(0,3-舊)；

22

當(dāng)8為直角頂點(diǎn)時，BC2+BD2=CD2即/-6a+13=18+/+1,

解得a=-\,

(2,-1)；

???綜上所述：D(2,5)或。(2,3+歷)或(0,匕叵)或D(2,-1)；

22

②由圖形可知當(dāng)。在A和D3之間或。4與。2之間時，ABC。是銳角三角形，其中功是C為直角頂點(diǎn)時。

點(diǎn)的位置，。3是。為直角頂點(diǎn)。的位置，。4和。2分別是以3和。為直角頂角的位置，

3+V17「—,3-V17

:-----------<n<5或一-------.

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)距離公式，勾股定理，二次函數(shù)與直角三角形的綜合,

解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

k

17.（2021?靖江市靖城中學(xué)）如圖，直線y=2x+6與反比例函數(shù)>=—（左>0）的圖象交于點(diǎn)/（m,8）,

X

與X軸交于點(diǎn)3,平行于x軸的直線y=77（0<?<6）交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)交48于點(diǎn)N,連接

BM.

（1）求加的值和反比例函數(shù)的解析式；

（2）觀察圖象，直接寫出當(dāng)x>0時不等式2x+6—勺>0的解集；

（3）直線y=〃沿y軸方向平移，當(dāng)〃為何值時，的面積最大？最大值是多少？

o25

【答案】⑴m=X,y=-；（2）”>1；⑶〃=3,"MN的面積最大為不

【分析】

（1）先求解A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式即可；

kk

（2）不等式2x+6——>0即不等式2尤-6>—,結(jié)合圖象可得答案；

xx

（3）先求解的坐標(biāo)，再求解九W的長度，利用三角形的面積公式列函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求解面積的最大值即可.

【詳解】

解：（1）?.?直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=±（左>0）的圖象交于點(diǎn)/（加，8）,

X

/.2m+6=8,

/.m=1,24(1,8),

:.k=xy=\x8=S,

o

反比例函數(shù)的解析式為：J=-,

X

(2)v.4(1,8),

k

觀察圖象，可得當(dāng)x>0時，不等式2x+6——>0的解集為：x>i.

x

(3)??,y=2x+6與1軸交于點(diǎn)&

令y=0,貝12x+6=0,/.x=-3,

Q

??,直線y=〃與/反反比例函數(shù)〉=一分別交于

x

當(dāng)歹二〃時，2x+6=〃,.二x=；〃一3,

N7?—3,〃)，

同理：

?:0<?<6

…81r81r

/.MN=-----n+3=n+3,

n2n2

?c口〃+3」/+，+4,

…3BMN

n2)42

3

71

而函數(shù)的對稱軸為：〃=*1=3,--<0,

2XR}4

,?當(dāng)〃=3時，SABMN取大，

1325

2

最大面積為：S^BMN=--x3+—x3+4=—.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的列

二次函數(shù)的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解面積的最值是本題的難點(diǎn).

18.(2021?宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級)拋物線歹=—工/+且I+3與'軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左

22

側(cè))，與了軸交于點(diǎn)C,線段/c的中點(diǎn)為點(diǎn)。.將△NC。繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為a,點(diǎn)C

的對應(yīng)點(diǎn)為G.

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至。。1=3時，求此時C、G兩點(diǎn)間的距離；

(3)點(diǎn)P是線段OC上的動點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為4,當(dāng)。恰巧落在NC邊上時，連接/月，POit試求

APX+尸Q最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)連接DG，DQ,則在旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，直接寫出最大值，若

不存在，說明理由.

【答案】(1)AQ-y/3,0)、B(26，0)、C(0,3)；(2)6；(3)P(0,1)；(4)3g.

【分析】

(1)令y=0建立一元二次方程，求其根即得到4,3的橫坐標(biāo)，令x=0,得到y(tǒng)值即得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)分兩種情形計(jì)算即可，注意三角形全等和三點(diǎn)共線原理的運(yùn)用；

(3)利用旋轉(zhuǎn)的全等性，把線段和的最小值問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河問題，利用函數(shù)的解析式確定坐標(biāo)即可;

(4)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的全等性質(zhì)，得至IJOC=aG=3,直角三角形的性質(zhì)/。=。。=/。=6，得到點(diǎn)。在以/為圓

心，半徑為G的圓上，故當(dāng)。。是圓的直徑時，三角形面積最大.

【詳解】

(1)'?y=--X2+^-x+3>

22

令產(chǎn)0得_,彳2+—x+3=0,

22

解得X1=-百鵬2=26,

???點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)，

：.A(-V3,0)、B(25/3,0)；

令x=0,得到尸3,

二點(diǎn)C的坐標(biāo)(0,3)；

(2)當(dāng)點(diǎn)C'落在x軸的負(fù)半軸上時,

-A(-50),C(0,3),

.?.OA=y/3,OC=3,

04垂l

■,-tanZ-ACO=-----=——

OC3

■■.^4CO=30°,AOAC=60°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得NO'C'/=30。，NO'AC=60。,

■O'A=OA,

：.^AO'0=^4OO'=30。，

??zO'OC=60。，

■O'O=3=OC,

??.△O'OC是等邊三角形，

■.O'c=oc,

?■?AO=AO,

.??△/O'C^AAOC,

AAO'C=^AOC=90°,

■.^AO'C'+^AO'C=180°,

.?.o'、c\c三點(diǎn)一線,

：.C'C=6；

當(dāng)點(diǎn)。落在y軸的負(fù)半軸上時，CC'=2OC=6；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得期=NP,.??期+PQ=NP+Pa

作點(diǎn)Q關(guān)于丫軸的對稱點(diǎn)

作直線交y軸與點(diǎn)尸，此時的點(diǎn)尸就是/耳+尸已取得最小值的位置,

-A(-6，0),C(0,3),

OC=3,

—04V3

-4anZ-ACO=---=——，

OC3

山CO=30。，4cMe=60。,

??A.。1=s/3，

過點(diǎn)。i作OIMLX軸，垂足為N,

.-.AN=—,ON=-,

2X2

■.Ol(一@,-),；.M(―,-),

2222

設(shè)直線的解析式為y=fcc+6,根據(jù)題意，得

—^Jik+6=0y/3

<-/J3'解得<3，

[22也=1

二直線的解析式為y=*x+l,令x=0,得y=l,

:.p（0,1）；

（4）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的全等性質(zhì)，得到OC=<?G=3,在直角三角形NOC中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)AD=DO=/O=

道，得到點(diǎn)。在以/為圓心，半徑為g的圓上，

故當(dāng)。。是圓的直徑時，三角形面積最大，面積最大值為：1x2V3x3=3V3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，線段之和的最小值，一次函數(shù)的解析式，三角形的全等，圓

的基本性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法，將軍飲馬河模型,

直徑是圓中最大的弦是解題的關(guān)鍵.

19.（2021?宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級）問題提出：

（1）如圖①，在ANBC中，ABAC=90°,AB=4,AC=3,若/。平分N5/C交C5于點(diǎn)。，那么點(diǎn)。到

AC的距離為______.

D

圖①圖②圖③

問題探究：

（2）如圖②，四邊形內(nèi)接于。。，NC為直徑,點(diǎn)8是半圓NC的三等分點(diǎn)（弧〈弧BC）,連接

BD,若BD平分乙4BC,且區(qū)0=8,求四邊形/BCD的面積.

問題解決：

（3）為把“十四運(yùn)”辦成一屆精彩圓滿的體育盛會很多公園都在進(jìn)行花卉裝扮，如圖③所示是其中一塊圓形

場地。。，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備在內(nèi)接四邊形區(qū)域內(nèi)進(jìn)行花卉圖案設(shè)計(jì)，其余部分方便游客參觀，按照設(shè)計(jì)

要求，四邊形/BCD滿足N/8C=60。，AB=AD,且4O+DC=10(其中2WDC<4),為讓游客有更好的

觀體驗(yàn)，四邊形A8CD花卉的區(qū)域面積越大越好，那么是否存在面積最大的四邊形/BCD?若存在，求出

這個最大值，不存在請說明理由.

12

【答案】(1)(2)32；(3)存在，2473

【分析】

(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等積法可求出點(diǎn)D到AC的距離；

(2)連接。8,根據(jù)題意得乙4。8=60。，作《后180,利用解直角三角形可求N8的長，通過解直角三角形

分別求出2C,AD,CD的長，再根據(jù)面積公式求解即可；

(3)過點(diǎn)/作NAU8C于點(diǎn)N,AMLDC,交。C的延長線于點(diǎn)拉,連接NC,可得S四邊吃比。=S四邊形，

根據(jù)面積法求出關(guān)于面積的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.

【詳解】

解：(1)如圖，設(shè)點(diǎn)。到/C和N8的距離分別為DE,DF,

?■AD平分乙B/C

：.DE=DF

■-S^=-AB-AC=-y.M=6,S..=S+S=-AC-DE+-AB-DF

BC22，BC!\AL)DMDC2MDB2

???；(3+4>D￡=6

1212

??.DE若,即點(diǎn)。到4c的距離為萬，

12

故答案為：—；

(2)連接。5,

D

,??點(diǎn)8是半圓/C的三等分點(diǎn)（弧45〈弧5C）,

ZAOB=60°

；./ADB=ACB=30。

是O。的直徑，

??./ABC=90。

,:BD平分乙48。

??./ABD=NCBD=45。

過點(diǎn)/作AELBD于點(diǎn)E,則/BAE=/ABE=45°

:.AE=BE

ApL

設(shè)AE=BE=x,則QE=---------=瓜

tan30°

,:BD=BE+DE=x+6x=8

AX=4A/3-4

???AB=6AE=476-4V2

???ZADB=ACB=30。

A—=tan30°=—

BC3

..BC=y/3AB=12后-4#

?:BD平分乙48。

AABD=ZCBD

-AD=CD

???AD=CD

,-'AE1DE

?1■AD2=DE2+AE2

???/E=4g-4,DE=瓜=12-46

.?.^D2=(12-4V3)2+(4A/3-4)2=256-12873

$四邊畛BC￡>=S/UBC+^AADC='"歷BC+—AD*CD=—AB'BC+—AD'

=1(476-472)(12后一4痢+g(256-128百)

=6473-96+128-6473

=32；

(3)過點(diǎn)/作/N1BC于點(diǎn)N,AMLDC,交DC的延長線于點(diǎn)W,連接NC,

??,AB=AD

???UCB=UCD

：,AM=AN

??.△ABMmAAND

???$四邊形age。=S四邊形ZNCN

,：AN=AM,乙BCA=cDCA,AC=AC

???△ACNwAACM

$四邊形4VCN=2sA

^^ABC=60°

."DC=120。

^^ADM=60°,^MAD=30°

^DM=xf貝|/Q=2x,AM=DM^^n60°=43x,CD=10-2x,CM=10-x

*'-S四邊形3cM=2%CM=2x5XV3x(l0-X)=-yf3(x2-1Ox)

v2<DC<4

.?.2410-2x44,即34x44

■:拋物線對稱軸為x=5

???當(dāng)x=4時，有最大值，為-百x(16-40)=24百

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓的綜合問題，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形和直角三角形求值計(jì)算與列出正確的函數(shù)關(guān)系式.

20.(2021?西寧市教育科學(xué)研究院中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系了S中，一次函數(shù)y=-gx+3的圖

象與x軸交于點(diǎn)4與了軸交于點(diǎn)2,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),拋物線經(jīng)過/,B,C三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線/。與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，且/B40=NDA0,求證：OB=OD；

(3)在(2)的條件下，若直線AD與拋物線的對稱軸/交于點(diǎn)E,連接BE,在第一象限內(nèi)的拋物線上是否

存在一點(diǎn)尸，使四邊形8E4P的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形BE/P面積的最大值；若不

存在，請說明理由.

【答案】(1)y=-32+x+3；(2)見解析；(3)存在，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)是［3,，)時，四邊形8E4尸面積的最大

,士口75

值是「

【分析】

(1)由一次函數(shù)V=-gx+3可求得/、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

(2)證明ABCM泌。CM即可解決；

(3)過點(diǎn)￡作軸于點(diǎn)由S“BE=S/m-S，BDE可求得412后的面積為定值12；因此只要求出點(diǎn)尸

的位置使△P/5的面積最大，從而使四邊形BE4P的面積最大；為此過點(diǎn)尸作PNJ_x軸于點(diǎn)乜，交直線48

于點(diǎn)N,過點(diǎn)5作2凡，PN于點(diǎn)區(qū)，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為，，-，2+,+3),則可求得“，且尸況+/乜=6,

由S.B"=S.B/W+S”網(wǎng)可得關(guān)于?的二次函數(shù)，從而求得△P4B面積的最大值，因而可得四邊形2E/P面積

的最大值，且可求得此時點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】

(1)一次函數(shù)y=-；x+3與X軸的交點(diǎn)，令y=0,則-;x+3=0,解得x=6；

與歹軸的交點(diǎn)，令x=0,貝ij>=3

.?./(6,0),5(0,3)

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c

f1

a=——

36。+66+。=04

把/,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得<c=3解得＜b=l

4。一2b+。=0c=3

???拋物線的解析式為y=-：/+x+3

(2)在平面直角坐標(biāo)系x(口中，ZBOA=ZDOA=90°

在(和△DCM中

ZBOA=ZDOA

<OA=OA

NBAO=/DAO

ABOAMADOA(ASA)

：.OB=OD(全等二角形的對應(yīng)邊相等)

(3)存在，理由如下:

過點(diǎn)￡作>軸于點(diǎn)M

y=——X2+x+3=——(X—2)2+4

44

???拋物線的對稱軸是直線％=2

???￡點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,即瓦〃=2

?."(0,3)

；.OB=OD=3

BD=6

???2(6,0)

OA=6

???S“BE=SAABD-^^BDE=-x6x6-—x6x2=12

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,,-，2+/+3)

過點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)g,交直線43于點(diǎn)N,過點(diǎn)B作BH^JLPN于點(diǎn)、耳，如圖

f+3j

...次=]_；/+/+3]_(_?+3]=_2+}

■：AHl+BH2=OA=6

,：S.BPA=S.BPN0APN=；PN-BHz+：PN-4H1=^PN(BH2+AH^=^PN-OA

e1/123、3/八227

SBPA=_x61~H1=(/—3)d-----

△的2I42J44

3

拋物線開口向下，函數(shù)有最大值

4

27

???當(dāng)￡=3時，△成才面積的最大值是不，此時四邊形BE/P的面積最大

4

2775

***S四邊形的尸=S"BE+S&ABP=12+,

當(dāng)f=3時，y=_J(3-2)2+4=?

44

CM

???當(dāng)尸點(diǎn)坐標(biāo)是(3,975

時'四邊形BE"面積的最大值是

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)與圖形面積的綜合問題，它考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，

求二次函數(shù)的最值，求圖形的面積等知識，求圖形面積時用到了割補(bǔ)法，這是在平面直角坐標(biāo)系中常用的

求面積方法，用到了轉(zhuǎn)化思想，即求四邊形面積最大值問題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問題.

21.（2021?遼寧沈陽?中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線了=-/+反+。與x軸交

于4、2兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)2的左側(cè)），點(diǎn)2坐標(biāo)是（3,0）.拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)尸是拋物線的頂

點(diǎn)，連接尸C.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)尸的坐標(biāo).

（2）直線3c與拋物線對稱軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)