浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常見幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：最值模型之將軍飲馬（遛馬、過(guò)橋）模型（原卷版）

專題02最值模型之將軍飲馬（遛馬、過(guò)橋）模型

將軍遛馬模型和將軍過(guò)橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎(chǔ)上加入了平移的

思想，主要還是考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型

和將軍過(guò)橋（造橋）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

在解決將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），只要將線段按照長(zhǎng)

度方向平移即可，即可以跨越長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連

線即可。利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型就簡(jiǎn)單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造

橋）再也不是問(wèn)題！.

模型1.將軍遛馬模型

【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。

【模型解讀】已知A、8是兩個(gè)定點(diǎn)，P、。是直線山上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且間長(zhǎng)度恒定，在

直線機(jī)上要求P、。兩點(diǎn)，使得出+PQ+QB的值最小。（原理用平移知識(shí)解）

（1）點(diǎn)A、2在直線機(jī)兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、2在直線相同側(cè)：

AC

A.

―不~~~Q9，n'P

??

BB

如圖1如圖2

（1）如圖1,過(guò)A點(diǎn)作AC〃優(yōu)，且AC長(zhǎng)等于長(zhǎng)，連接BC,交直線機(jī)于。。向左平移P。長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，

此時(shí)P、。即為所求的點(diǎn)。（2）如圖2,過(guò)A點(diǎn)作AE〃肛且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作2關(guān)于機(jī)的對(duì)稱點(diǎn)方，連

接夕瓦交直線相于。,0向左平移尸。長(zhǎng)，即為尸點(diǎn)，此時(shí)尸、。即為所求的點(diǎn)。

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例1.（2023?西安?統(tǒng)考一模）問(wèn)題提出：在矩形ABC。中，AB=6,BC=4,點(diǎn)、E、歹分別為邊A。、BC±.

的點(diǎn)，且AE=1；BF=2.（1）如圖①，尸為邊A8上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP、PF,則EP+PF的最小值為；

（2）如圖②，P、M是邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且PM=2,現(xiàn)要求計(jì)算出EP、PM、和的最小值.九年級(jí)一班

某興趣小組通過(guò)討論得出一個(gè)解決方法：在ZM的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使再過(guò)點(diǎn)E作A2的平行

線￡C,在EC上E"的下方取點(diǎn)使￡射=2,連接時(shí)尸，則與A8邊的交點(diǎn)即為再在邊上點(diǎn)M

的上方取尸點(diǎn)，且PM=2,此時(shí)EP+PM+MP的值最小.但他們不確定此方法是否可行，便去請(qǐng)教數(shù)學(xué)田老

師，田老師高興地說(shuō)："你們的做法是有道理的現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)敘述作出草圖并計(jì)算出EP+PM+MF的最小

值；問(wèn)題解決：（3）聰聰?shù)陌职质枪╇姽镜木€路設(shè)計(jì)師，公司準(zhǔn)備架設(shè)一條經(jīng)過(guò)農(nóng)田區(qū)的輸電線路，為

M、N兩個(gè)村同時(shí)輸電.如圖所示，農(nóng)田區(qū)兩側(cè)與。平行，且農(nóng)田區(qū)寬為0.5千米，M村到的距離

為2千米，N村到C。的距離為1千米，M、N所在的直線與A8所夾銳角恰好為45。，根據(jù)架線要求，在農(nóng)

田區(qū)內(nèi)的線路要與垂直.請(qǐng)你幫助聰聰?shù)陌职衷O(shè)計(jì)出最短的線路圖，并計(jì)算出最短線路的長(zhǎng)度.（要求：

寫出計(jì)算過(guò)程，結(jié)果保留根號(hào)）

例2.（2022?四川內(nèi)江,統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABC。中，4B=6,AD=4,點(diǎn)、E、尸分別是AB、0c上

的動(dòng)點(diǎn)，EF〃BC,則AP+CE的最小值是.

B

例3.（2023年山東中考三模）如圖，在菱形ABCD中，BC=4,ZABC=60,在8C邊上有一線段時(shí)由8向

C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)/到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，E在歹的左側(cè)，EF=1,連接尸，則△AEF周長(zhǎng)的最小值為（）

A.45/3+1B.4A/3+2C.7D.8

例4.（2023年陜西中考模試）如圖，菱形A8C。的邊長(zhǎng)為6百，MBC=60。，點(diǎn)E、尸在對(duì)角線8。上運(yùn)動(dòng),

且皮）=0凡連接AE、AF,則AAEb周長(zhǎng)的最小值是.

例5.（2023?江蘇??？家荒＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。中，連接對(duì)角線AC,將0AOC沿射線CA的

方向平移得到財(cái)'。'。，分別連接8C,AD',BD',則8C+8D'的最小值為.

例6.（2023下?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，BD=43AB,將沿

射線的方向平移，得至UEFG,連接EC,ED,FC,則EC+PC的最小值為.

模型2.將軍過(guò)橋（造橋）模型

【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）。

【模型解讀】

【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：

橋建在何處能使路程最短？

考慮長(zhǎng)度恒定，只要求AM+A?最小值即可.問(wèn)題在于AM、N2彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使AM

與連在一起，將AM向下平移使得/、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在4位置（圖2）.

問(wèn)題化為求A'N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）.

圖1圖2圖3

【雙橋模型】已知，如圖4,將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)兩條河去往8點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造,

問(wèn)：橋建在何處能使路程最短?

圖4圖5圖6

考慮PQ、均為定值，所以路程最短等價(jià)于AP+QM+NB最小，對(duì)于這彼此分離的三段，可以通過(guò)平移

使其連接到一起.AP平移至A'。，平移至河/，化AP+QW+NB為A0+QW+M9.（如圖5）

當(dāng)4、。、M、9共線時(shí)，4Q+QM+MB取到最小值，再依次確定P、N位置.（如圖6）

【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。

例L（2023.浙江八年級(jí)期中）同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過(guò)一些平行線的性質(zhì)，其實(shí)平行線的性質(zhì)還有一些:

（1）如圖1,如果。b,在a上任取一點(diǎn)P,作PQJSb于點(diǎn)Q,則線段PQ的長(zhǎng)度叫a,b之間的距離.

如果在a上再取一點(diǎn)M,作MN0b于點(diǎn)N,則線段MN可以看成由線段PQ平移得到，即MN=PQ,這就得

到平行線的又一條性質(zhì)：平行線間的距離處處相等.根據(jù)平移還有哪些線段相等

（2）剛在（1）中提到的平行線性質(zhì)在河上建橋也有廣泛的應(yīng)用：如圖2,直線a,b表示一條河的兩岸,

且。b.現(xiàn)在要在這條河上建一座橋.使村莊A經(jīng)橋過(guò)河到村莊B.現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)設(shè)計(jì):

小明：作AD回a,交a于點(diǎn)D,交b于點(diǎn)C.在CD處建橋.路徑是A-C-D-B.

小紅：作ADEIa,交a,b于點(diǎn)D,點(diǎn)C；把CD平移至BE,連AE,交b于G,作GFEIa于F.在FG處建橋.路

徑是A-G-F-B.

問(wèn)：小明、小紅誰(shuí)設(shè)計(jì)的路徑長(zhǎng)較短？再用平移等知識(shí)說(shuō)明理由.

（3）假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計(jì)在FG處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，凌晨3點(diǎn)某船從舊橋下到新橋下,

到達(dá)后立即返回，來(lái)回穿梭于兩橋之間，船在靜水每小時(shí)16千米，水流每小時(shí)4千米，在當(dāng)晚23點(diǎn)時(shí)有

人看見船在離舊橋80千米處行駛求這兩橋之間的距離.

例2.（2022上?湖北襄陽(yáng)?九年級(jí)聯(lián)考自主招生）如圖有一條直角彎道河流，河寬為2,A、8兩地到河岸邊

的距離均為1,AH=BF=1,AD=1,BE=9,現(xiàn)欲在河道上架兩座橋MN、PQ,+MN+NP+PQ+QB

最小，則最小值為（）

C.14D.12

例3.（2023?廣西?二模）已知，在河的兩岸有A,B兩個(gè)村莊,河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB

10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米,計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M

點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為（）

A.2^/13B.1+375C.3+屈D.785

例4.（2023.廣東省深圳市八年級(jí)期中）如圖，已知平行四邊形ABC。，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OC所在的直線為x

軸，建立直角坐標(biāo)系，交y軸于點(diǎn)4。=4,0c=10,0A=6O°,線段EF垂直平分。。點(diǎn)P為線段EF

上的動(dòng)點(diǎn),PMHx軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與E關(guān)于x軸對(duì)稱，連接則BP+PM+ME的長(zhǎng)度的最小值為.

y

例6.（2023春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在YABCD中，AB=2,AD=5,M、N分別是AD、BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)，且NABC=NWB=60。，則BM+MN+ND的最小值是.

例6.（2023,山東濟(jì)南?統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB<,AD=3,若點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作跖1AC且分別交對(duì)角線AC、直線8C于點(diǎn)。、F,則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF+FE+EC

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023下?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E為正方形ABCD中BC邊上的一點(diǎn)，且AB=12,BE=4,

M、N分別為邊C。、AB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持MNLAE,則AM+NE的最小值為（）

A.8B.8石C.8也D.12

2.（2023下?安徽滁州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，邊AB,AD的長(zhǎng)分別為4和3,點(diǎn)E在8

上，點(diǎn)尸在的延長(zhǎng)線上，且比=即，連接FC,當(dāng)點(diǎn)E在邊8上移動(dòng)時(shí)，AE+尸C的最小值為（）

A.7B.2y/13C.10D.773

3.（2023下?廣東廣州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCO對(duì)角線上有E,尸兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且48=血后尸，點(diǎn)尸是BC中點(diǎn)，連接則AE+尸產(chǎn)最小值為（）

A.575B.10A/5C.5A/2D.10

4.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABC。中,對(duì)角線AC,班＞相交于點(diǎn)。，AC=BD=5,

ZAOB=120°,則AB+CD的最小值為（

A.8B.10C.5石D.3石

5.（2023?安徽合肥?合肥壽春中學(xué)校考三模）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。中，點(diǎn)E、尸是對(duì)角線8。上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，且始終保持所-班=1,連接AE、CF,則AE+C戶的最小值為（）

A.2A/2B.3C.2A/5D.2小+1

6.（2023下?遼寧鞍山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，河的兩岸有A,8兩個(gè)水文觀測(cè)點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上

修一座木橋"N（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現(xiàn)測(cè)得A,8兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5米，4

米，河寬3米，且A,8兩點(diǎn)之間的水平距離為12米，貝AM+AW+NB的最小值是米.

7.（2023?江蘇無(wú)錫,統(tǒng)考二模）如圖，在YA3CD中，AB=2,AD=5,M、N分別是AD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn),

且NABC=4CVB=60。，則BM+A1N+N。的最小值是

8.（2023.廣東省深圳市九年級(jí)期中）如圖1,已知平行四邊形ABCO,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OC所在的直線為x

軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點(diǎn)D,AD=2,OC=6,0A=6O°,線段EF所在的直線為OD的垂直平分線,

點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，PM取軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與F關(guān)于X軸對(duì)稱，連接BP、E，M.

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

（2）當(dāng)BP+PM+ME，的長(zhǎng)度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為;

圖1

9.（成都市2022-2023學(xué)年八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有A（0,3）,。（5,0）兩點(diǎn).將直線j丫=%

向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線4,點(diǎn)B在直線4上，過(guò)點(diǎn)B作直線4的垂線，垂足為點(diǎn)C,連接AB,BC,

CD,則折線ABC。的長(zhǎng)AB+BC+CD的最小值為

10.（2023上?北京西城?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,D,E為A3邊上

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且=連接。，CE,若AC=8,則CD+CE的最小值為.

11.（2023上?福建漳州?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,點(diǎn)￡是8的中點(diǎn)，P,

。為8C邊上的兩點(diǎn)，且尸。=1,則四邊形APQE周長(zhǎng)的最小值為

12.（2023下?四川綿陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABC。中，ZABC=120°,AB=正，連接8D,

且BDLCD,CE平分ZDCB交AD與于點(diǎn)E.點(diǎn)N在BC邊上，BC=4CN,若線段尸2（點(diǎn)尸在點(diǎn)。的左

側(cè)）在線段CB上運(yùn)動(dòng)，尸。=巫，連接BP,NQ,則2P+PQ+QN的最小值為.

2

13.（2023?遼寧撫順,統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AS=2,AD=4.若點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)E作跖/AC,交直線AD于點(diǎn)凡則點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AE+CF的最小值為

14.（2023,陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，ZABC=60°,將△ABD沿射線8。

的方向平移，得到則A'C+3'C的最小值為

15.（2023下?安徽蕪湖?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)E在AB上，BE=2,息M,

N為AC上動(dòng)點(diǎn)，&MN=2插,連接BN,EM,則四邊形周長(zhǎng)的最小值為

16.（2023上?重慶沙坪壩?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）己知點(diǎn)4（1,0）函數(shù)y=x+l的圖象上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸、。，且

PQ=3近,則四邊形OPQA的周長(zhǎng)最小值是

17.（2023.廣東八年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）如圖所示，某條護(hù)城河在CC'處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到達(dá)8處，須

經(jīng)過(guò)兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒笰到

8的路程最短，請(qǐng)確定兩座橋的位置.

A

18.（2023上?陜西西安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）問(wèn)題提出如圖①，在,ABC中，=AC=6,4BAC=120。,

點(diǎn)Z）,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若點(diǎn)M,N分別是DE和上的動(dòng)點(diǎn)，則AM+MN的最小值是.

（2）問(wèn)題探究：如圖②，A和8兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋（與河床垂直），橋造在何處,

才能使從A到8的路徑AfN-3最短.博琳小組針對(duì)該問(wèn)題展開討論，小旭同學(xué)認(rèn)為：過(guò)