中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：軸對稱中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)（原卷版+解析）

專題08軸對稱中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)

旨【題型目錄】

題型一軸對稱中的翻折問題專訓(xùn)

題型二軸對稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)

重難點(diǎn)專訓(xùn)

軸對稱中的15道翻折問題專訓(xùn)

軸對稱中的15道旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)

【知識梳理】

知識要點(diǎn)一：翻折（對折）的定義

一條直線把一個(gè)平面圖形分成兩個(gè)全等的圖形,其中的一個(gè)圖形沿著這條直線翻折到另一個(gè)圖形上面,

則兩部分完全重合，這個(gè)過程就叫做對折.

知識要點(diǎn)二：翻折（對折）的特點(diǎn)

1、翻折問題實(shí)際上就是對稱變換；

2、翻折是一種對稱變換，屬于軸對稱，對稱軸（折痕所在直線）是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線,翻折

前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；

3、教學(xué)初，為使學(xué)生直觀感悟，可以進(jìn)行一些實(shí)際操作，以便于學(xué)生形成直觀感受，利于問題的解決。

知識要點(diǎn)三：翻折（對折）的基本圖形及圖形特點(diǎn)

1、翻折圖形的基本背景圖形有：三角形、四邊形、梯形等，解決這些問題的基本方法是精確找出翻折

前后相等邊與角，以及結(jié)合圖形的性質(zhì)把邊角的關(guān)系聯(lián)系起來，同時(shí)結(jié)合方程思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想

進(jìn)行解題。

2、翻折特點(diǎn)：有翻折一一就有重合一一就有全等——對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，運(yùn)用勾股定理、

等面積法結(jié)合圖形特點(diǎn)進(jìn)行解題。

41經(jīng)典例題一軸對稱中的翻折問題專訓(xùn)】

【例1】（2023春.陜西榆林.八年級?？计谀┤鐖D，在等腰.ABC中，AB=AC,ABAC=50°,/的

平分線與A3的垂直平分線交于點(diǎn)。，點(diǎn)C沿E尸折疊后與點(diǎn)O重合，則/CEF的度數(shù)是（）

A.

O

BEC

A.55°B.50°C.45°D.40°

■【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?四川瀘州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，ABC中Zfi4C=60。，將一ACD沿折疊，使得點(diǎn)C落在AB

上的點(diǎn)C'處，連接CD與C'C,ZACB的角平分線交AD于點(diǎn)E；如果因7=OC；那么下列結(jié)論：①Nl=N2；

②垂直平分C'C；?ZB=3ZBCC；④DC'〃EC；其中正確的有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

2.（2023春?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形A3C中，點(diǎn)，E是邊AC上兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊上，

將三角形BDC沿折疊得三角形的，OG交于點(diǎn)H,將三角形EFA沿EF折疊恰好得到三角形EFH,

且HE〃BD.下列四個(gè)結(jié)論：?ZEHD=ZHED；?ZA^ZADH；③NEHD=2NHBD；④若

4N/RC=3NAHE>,則NA5D=4NABG.其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.

3.（2023秋?江西南昌?八年級南昌市外國語學(xué)校校聯(lián)考期末）【母體呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材56頁

第10題，如圖的三角形紙片中，AB=8an,BC=6cm,AC5cm.沿過點(diǎn)8的直線折疊這個(gè)三角形，使

點(diǎn)C落在A3邊上的點(diǎn)E處，折痕為80.求△AED的周長.

解：3DE是由.BDC折疊而得到，

:.一BDE=BDC.

BC=BE=6cm,DC=DE.

AB=8cm,

AE=AB—BE=Scm—6cm=2cm.

AC=5cm,

二?VADE1的周長為：AD+DE+AE—AC+AE=7cm.

(1)【知識應(yīng)用】在Rt/VIBC中，NC=90。沿過點(diǎn)3的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)。落在3邊上的點(diǎn)E處,

折痕為BD,過點(diǎn)￡作NBED的平分線交BD于點(diǎn)尸連接AP.如圖1,若CD=3cm,AB+3C=16cm，求」WC

的面積；

圖2

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在Rt^ABC中，NC=90。沿過點(diǎn)5的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在A3邊上

的點(diǎn)E處，折痕為應(yīng)),過點(diǎn)E作N3ED的平分線交8。于點(diǎn)連接針，過點(diǎn)尸作若AB=10cm,

(4)若AC2+BC2=AB2,求證AHBH=^ACBC.

A【經(jīng)典例題二軸對稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)】

【例2】（2023?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）如圖，在中，ABAC=90°,AB=AC,直角的頂點(diǎn)P

是BC的中點(diǎn)，將NEP尸繞頂點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，兩邊PE,PP分別交AB,AC于點(diǎn)E,尸.下列四個(gè)結(jié)論:①AE=C「；

②！PEF是等腰直角三角形；③EF=AP；④S四邊形的尸在NEPb旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個(gè)結(jié)論始

終正確的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

/【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋.廣西貴港.八年級統(tǒng)考期中）如圖，在ABC中，AB^AC,ABAC=90°,直角NEP尸的頂點(diǎn)尸

是3c的中點(diǎn)，兩邊PE、尸尸分別交A3、AC于點(diǎn)￡、F.當(dāng)NEP產(chǎn)在一MC內(nèi)繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，對于下列結(jié)

論：①PE=PF；?AE=CF,?EF=AP;④S四邊形AEPF=g5ABc，其中正確結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2022秋?廣東惠州?八年級惠州一中?？计谥校┰贏BC中，ZC=90°,AC=BC；將一塊三角板的直角

頂點(diǎn)放作斜邊的中點(diǎn)尸處，將此三角板繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB與點(diǎn)、D、點(diǎn)、

E,圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形.當(dāng)是等腰三角形時(shí)，NPEB的度數(shù)為（寫出所有

可能的值）.

3.(2023春?全國?八年級專題練習(xí))閱讀材料：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.如圖①，等腰

ABC和等腰VADE中，AB^AC,AD=AE,將VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接3D、CE,利用上面結(jié)論或所學(xué)

解決下列問題：

圖①圖②圖③

(1)^ZBAC=Z2ME=35°,求證：BD=CE；

(2)連接BE,當(dāng)點(diǎn)。在線段BE上時(shí).

①如圖②，若44c=/D4E=60。，則/BEC的度數(shù)為二線段8。與CE之間的數(shù)量關(guān)系是二

②如圖③，若NBAC=NZME=9O。，AM為VADE中3E邊上的高，判斷/3EC的度數(shù)及線段A"、BE、CE

之間的數(shù)量關(guān)系說明理由.

【重難點(diǎn)訓(xùn)練】

軸對稱中的15道翻折問題專訓(xùn)

1.（2023秋?浙江紹興?八年級統(tǒng)考期末）如圖是一張三角形紙片ABC,NABC=9O。，點(diǎn)M是邊AC的中點(diǎn),

點(diǎn)E在邊AC上，將BCE沿BE折疊,使點(diǎn)C落在邊AC上的點(diǎn)。處，若ME>=3C,則ZBC4=（）

2.（2022秋廣東廣州?八年級校考期中）如圖，在三角形紙片ABC中，AC=6,ZA=3O。，NC=90。，將—A

沿。E折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)3重合，則折痕DE的長為（）

3.（2023秋?安徽合肥?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個(gè)等腰直角三角形一ABC按如圖方式折疊，若DE=a,

DC=b,下列四個(gè)結(jié)論:

①DC'平分NBDE；

②BC長為2a+6；

③C是等腰三角形；

④△CED的周長等于BC的長,

其中，正確的是（）

4.（2023春?七年級單元測試）如圖，已知長方形紙片ABCD,點(diǎn)E,歹在AD邊上，點(diǎn)G,H在8C邊上,

分別沿EG,切折疊，使點(diǎn)。和點(diǎn)A都落在點(diǎn)M處，若戊+月=119。，則的度數(shù)為（）

5.（2023春?全國?七年級專題練習(xí)）將一張正方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，CE、Cf為折痕,

點(diǎn)RD折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為？、D',若NECF=22°,則NB'CD'的度數(shù)為（）

6.（2023春?福建福州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，將四邊形紙片ABCD沿折疊，點(diǎn)A、。分別落在點(diǎn)A、

2處.若Nl+N2=c,ZB+ZC=/3,則a與夕之間的數(shù)量關(guān)系可用等式表示為

7.（2023春?四川成都?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC和△OCB中，ZA=ZD=90°,AC,8。相交于點(diǎn)

E,AE=DE.將CDE沿CE折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)次處，若NBED'=40。,則的大小為.

8.（2023春?江蘇?七年級統(tǒng)考期末）在ABC中，ZA=70°,48=60。，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)。將"1BC

折疊，使點(diǎn)C落在BC下方的點(diǎn)C處，折痕DE與8c交于點(diǎn)E,當(dāng)A3與/C的一邊平行時(shí)，"EC的度

數(shù)為.

9.（2022春?四川成都?七年級統(tǒng)考期末）如圖是一張直角三角形紙片A3C,其中NACB=90。.請按下列步

驟操作：①沿8C的垂直平分線/折疊，折痕與A3交于點(diǎn)。：②沿過點(diǎn)C的直線/,折疊，使點(diǎn)A落到A3上

的點(diǎn)E處，若DE=CE,則NA的度數(shù)為.

10.（2022春?江西撫州?七年級統(tǒng)考期末）已知NABC=30。，點(diǎn)尸是射線8C上一動(dòng)點(diǎn)，把ABP沿AP折疊，

B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)當(dāng)一尸是等腰三角形時(shí)，—ABD的度數(shù)為.

11.（2023春.山西臨汾.七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究

一張直角三角形紙片ABC,ABAC=90°,其中NACB=NABC=45。，D,E分別是3C,AC邊上一點(diǎn).將

CDE沿DE折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若CO/AB,則4=°,Z2=

（2）如圖2,若點(diǎn)C，落在直角三角形紙片A3C上，請?zhí)骄縉1與N2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,若點(diǎn)。落在直角三角形紙片A3C外，（2）中N1與N2的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?若成立，請說明理由;

若不成立，請求出N1與N2的數(shù)量關(guān)系.

12.（2023春?廣東梅州?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1,一張三角形43c紙片，點(diǎn)D,E分別是，ABC邊上

兩點(diǎn).

研究(1)：如果沿直線OE折疊，使點(diǎn)A落在CE上的點(diǎn)4處，則ZBDA與/A的數(shù)量關(guān)系是_____

研究(1)：如果折成圖2的形狀,猜想NBD4',NCE4'和—A的數(shù)量關(guān)系是____；

研究(3)：如果折成圖3的形狀,猜想NBD4"NCE4'和—A的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由.

B

B占工二工

z

cA'EAcEA

圖1圖2圖3

13.(2023?全國?八年級假期作業(yè))已知」ABC是一張三角形的紙片.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，沿。E折疊,使點(diǎn)A落在邊AC上點(diǎn)A的位置，與N1的之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什

么？

(2)如圖②所示，沿OE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的內(nèi)部點(diǎn)A，的位置，/A、N1與N2之間存在怎樣

的數(shù)量關(guān)系？為什么？

(3)如圖③，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部點(diǎn)A的位置，—A、N1與N2之間存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？為什么？

14.(2023春?全國?七年級專題練習(xí))同學(xué)們，我們已學(xué)習(xí)了角平分線的概念和性質(zhì)，那么你會(huì)用它們解決

有關(guān)問題嗎？

(1)如圖(1),已知/AO3,填空:

：0C是NA03的平分線(已知)

(2)如圖(2),已知/AOC,若將/AOC沿著射線0C翻折，射線。4落在0B處，請你畫出射線08,射線

OC一定平分/AO3.為什么？

理由如下：???/3OC是由/A0C翻折而成，而翻折不改變圖形的形狀和大小，

ZBOC=N_____,

二射線是Z_____的角平分線.

拓展應(yīng)用

(3)如圖(3),將長方形紙片的一角折疊，使頂點(diǎn)A落在C處，折痕為OE,再將它的另一個(gè)角也折疊，頂

點(diǎn)3落在。處并且使0D過點(diǎn)C,折痕為OF.直接利用(2)的結(jié)論；

OB

①若ZAOE=60度，求/EO尸的度數(shù)；

②若ZAOE=m度,求/EO尸的度數(shù)；

③/。忙的補(bǔ)角有；/DO尸的余角有.

15.(2023秋?河南周口?八年級統(tǒng)考期末)綜合與實(shí)踐

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，老師讓學(xué)生以“折疊箏形”為主題開展數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng).

定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.

(1)概念理解

如圖1,將一張紙對折壓平，以折痕為邊折出一個(gè)三角形，然后把紙展平，折痕為四邊形ABCD.判斷四邊

形ABCD的形狀：箏形(填“是”或“不是”)

圖2圖3

(2)性質(zhì)探究

如圖2,己知四邊形A3CD紙片是箏形，請用測量、折疊等方法猜想箏形的角、對角線有什么幾何特征，然

后寫出一條性質(zhì)并進(jìn)行證明.

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,AD是銳角一ABC的高，將沿AB邊翻折后得到ME,將一ACD沿AC邊翻折后得到△ACF,

延長即，F(xiàn)C交于點(diǎn)G.

①請寫出圖3中的“箏形”：；(寫出一個(gè)即可)

②若/班C=50。，當(dāng)3GC是等腰三角形時(shí)，請直接寫出，54。的度數(shù).

軸對稱中的15道旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)

1.(2023?廣東深圳?校考三模)古代大型武器投石機(jī)，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝

置.圖是圖投石機(jī)的側(cè)面示意圖.A3為炮架的炮梢兩頂點(diǎn)，已知A、B兩點(diǎn)到炮軸。的距離分別為1米和

8米，當(dāng)炮索自然垂落垂直于地面時(shí)，落在地面上的繩索還有5米.如圖，拉動(dòng)炮索，炮梢繞炮軸。旋轉(zhuǎn),

點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A,點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)為B'.當(dāng)炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時(shí)，若A4'垂直地面,

ZBOB'=60°,此時(shí)，"到水平地面的距離是（）米

2.（2022春?上海普陀?七年級?？计谀┤鐖D，在中，AB=AC,ABAC=90°,NEPF=90°,點(diǎn)、產(chǎn)是

3C的中點(diǎn)，兩邊PE,P/分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,當(dāng)NEPR在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、

8重合），以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②EP尸是等腰直角三角形；③S四邊形AEM=gsMc；?EF=AP.其

中一定正確的結(jié)論有（）.

3.（2022春?湖南張家界.七年級統(tǒng)考期末）如圖，將..ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100。得到AB。'（點(diǎn)8的

對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C'）,連接①T,若AC〃跖'，則NC4?的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.45°

4.（2021秋?山東日照?八年級日照港中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知ABC與VADE都是以A為直角頂點(diǎn)的等腰

直角三角形，VADE繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接22CE.以下三個(gè)結(jié)論：①BD=CE；②ZAEC+NDBC=45。；

③B"CE；其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

E

A.1B.2C.3D.0

5.（2023春?全國?八年級階段練習(xí)）如圖，已知AA8C中，AB=AC,將△ABC繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)廢

（0<n<ZBAC）得至IJAAOE,AD交BC于點(diǎn)F,DE交BC、AC于點(diǎn)G、H,則以下結(jié)論：

①AABF出AAEH；

②連接AG、FH,則AG,切；

③當(dāng)AOL8C時(shí)，￡>尸的長度最大；

④當(dāng)點(diǎn)X是。E的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFGH的面積等于AFxGH.

其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A

D

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

6.（2022秋?黑龍江大慶?七年級大慶市第三十六中學(xué)校考期末）如圖，已知ABC中，AB=AC,ZBAC^9Q°,

直角NEP尸的頂點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，兩邊尸區(qū)尸尸分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,給出以下四個(gè)結(jié)論：

①AE=CF；②一砂尸是等腰直角三角形；③S四邊形④BE+CF=EF,當(dāng)/EP尸在,內(nèi)

繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與4、8重合），上述結(jié)論中始終正確的有（填序號）.

7.（2022秋.河南南陽?七年級統(tǒng)考期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45。的三角尺ADE固定

不動(dòng)，將含30。的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).如圖②，當(dāng)/C4E=15。時(shí)，此時(shí)8CDE.繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角

尺ABC,使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則NC4E（0°<ZG4E<180°）其他所有可能符合條件的

度數(shù)為_______

BD

圖①圖②

8.（2022秋?貴州遵義?八年級統(tǒng)考期末）如圖是一款折疊式臺(tái)燈，其側(cè)面示意圖為折線A-B-C-DZC=60°,

連接8D,ZCBD=80°,線段AB繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，AB的延長線與射線CD相交與點(diǎn)E,當(dāng)NABC為______度時(shí),

是等腰三角形.

9.（2021秋?福建南平?八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰直角△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2,把一個(gè)三

角尺的直角頂點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)。重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)既夢想飛揚(yáng)學(xué)習(xí)小組將三角尺繞

點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB,AC分別交于點(diǎn)E,F時(shí)，給出下列結(jié)論：

①線段AE與的長度之和為定值;②/BE。與/。尸C的度數(shù)之和為定值;③四邊形AEOF的面積為定值.其

中正確的是：_______________.（填序號）

BOCBOC

10.（2021秋?上海徐匯?八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)M在AABC內(nèi),

將A4BM以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M落在點(diǎn)N處，若/M4N=40,，且8、M、

N三點(diǎn)恰共線，則.

A

11.（2022秋?海南省直轄縣級單位.八年級校考階段練習(xí)）已知：如圖1,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ACM”CBN

都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E,BM交CN于點(diǎn)、F.

（2）求證：△C2F為等邊三角形;

（3）將4AC加繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第（1）

小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）.

12.（2022秋?山東德州?八年級校考期中）如圖1,在，ABC中，AEL8c于，AE=BE,。是AE上的一點(diǎn),

且DE=CE,連接3D、AC.

圖1圖2圖3

（1）試判斷2D與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2,若將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，仍然有DE=CE,試判斷3D與AC的位置關(guān)

系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；

（3）如圖3,若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變：

①試猜想8□與AC的數(shù)量關(guān)系，不用說明理由；

②你能求出8。與AC所成的銳角的度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出該角的度數(shù)；如果不能，請說明理由.

13.（2021秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?八年級統(tǒng)考期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖所示，一ABC和.GDE均為等邊三角

形，一CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，其中，AC交3D于點(diǎn)M,AE交CD于點(diǎn)、N,AE交BD于點(diǎn)O,如圖1所示當(dāng)—CDE

旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)2、C、E在同一條直線上時(shí)，以下結(jié)論成立的是：_

①AE=BD；②—493=60°；③OC平分/MON；④.ACN/BCM.

【類比探究】（2）當(dāng)aCDE旋轉(zhuǎn)到,ABC外部時(shí)，且點(diǎn)8、C、E不在同一條直線上時(shí)，如圖2,（1）中結(jié)論

仍然成立的是：_（只填序號）若②正確請進(jìn)行論證，若不正確，請說明理由；

【類比應(yīng)用】（3）當(dāng).CDE旋轉(zhuǎn)到與一ABC有部分重疊時(shí)，如圖3,（1）中結(jié)論仍然成立的是：_（只填序號）

若③正確請進(jìn)行論證若不正確，請說明理由；

A

14.（2023秋?陜西西安?八年級高新一中?？计谀┧倪呅蜛Z汨C是由等邊ABC和頂角為120。的等腰

拼成，將一個(gè)60。角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，將60。角繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該60。角兩邊分別交直線BGAC于點(diǎn)M、

N,交直線AB于點(diǎn)RE.

圖1圖2

（1）當(dāng)點(diǎn)M,N分別在邊3C,C4上時(shí)（如圖1）,直接寫出R0,AN,MN之間的數(shù)量關(guān)系一;

（2）當(dāng)點(diǎn)M,N分別在邊3C,C4的延長線上時(shí)（如圖2）,猜想線段AN,MN之間有何數(shù)量關(guān)系？請進(jìn)

行證明；

⑶在（2）的條件下，若AC=4,AE=3,請你求出3M的長.

15.(2023春?全國?八年級專題練習(xí))已知.ABC為等邊三角形，取ABC的邊AB,8c中點(diǎn)。,￡,連接。E,

如圖1,易證aDBE為等邊三角形，將一OBE繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度ZABD=e,其中0<a<780°.

(1)如圖2,當(dāng)a<60。時(shí)，連接M),CE,求證：AD=CE；

(2)在_。助旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)。超過一定角度時(shí)，如圖3,連接AD,CE會(huì)交于一點(diǎn)，記交點(diǎn)為點(diǎn)/，AD交BC

于點(diǎn)P,CE交BD于點(diǎn)、Q,連接3尸，求證：FB平分NAFE；

(3)在第(2)間的條件下，試猜想線段A尸,8尸和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

專題08軸對稱中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)

旨【題型目錄】

題型一軸對稱中的翻折問題專訓(xùn)

題型二軸對稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)

重難點(diǎn)專訓(xùn)

軸對稱中的15道翻折問題專訓(xùn)

軸對稱中的15道旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)

【知識梳理】

知識要點(diǎn)一：翻折（對折）的定義

一條直線把一個(gè)平面圖形分成兩個(gè)全等的圖形,其中的一個(gè)圖形沿著這條直線翻折到另一個(gè)圖形上面,

則兩部分完全重合，這個(gè)過程就叫做對折.

知識要點(diǎn)二：翻折（對折）的特點(diǎn)

4、翻折問題實(shí)際上就是對稱變換；

5、翻折是一種對稱變換，屬于軸對稱，對稱軸（折痕所在直線）是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線,翻折

前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；

6、教學(xué)初，為使學(xué)生直觀感悟，可以進(jìn)行一些實(shí)際操作，以便于學(xué)生形成直觀感受，利于問題的解決。

知識要點(diǎn)三：翻折（對折）的基本圖形及圖形特點(diǎn)

3、翻折圖形的基本背景圖形有：三角形、四邊形、梯形等，解決這些問題的基本方法是精確找出翻折

前后相等邊與角，以及結(jié)合圖形的性質(zhì)把邊角的關(guān)系聯(lián)系起來，同時(shí)結(jié)合方程思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想

進(jìn)行解題。

4、翻折特點(diǎn)：有翻折一一就有重合一一就有全等——對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，運(yùn)用勾股定理、

等面積法結(jié)合圖形特點(diǎn)進(jìn)行解題。

,41經(jīng)典例題一軸對稱中的翻折問題專訓(xùn)】

【例1】（2023春.陜西榆林.八年級校考期末）如圖，在等腰ABC中，AB=AC,ZBAC=50°,/的

平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)。，點(diǎn)C沿斯折疊后與點(diǎn)。重合，則/CEF的度數(shù)是（）

A.

BE~"'C

A.55°B.50°C.45°D.40°

【答案】B

【分析】連接03，OC,先求出NBAO=25。，進(jìn)而求出NOBC=40。，求出NCOE=NOCB=40。，由三角

形內(nèi)角和定理和NCEF=ZOEF=-NCEO即可求得答案.

2

ZBAC=50°,AO為N54C的平分線,

:.ZBAO=-ZBAC=-x50°=25°.

22

又AB=AC,

ZABC=ZACB=1(180°-ZBAC)=65°.

DO是AB的垂直平分線，

OA—OB,

ZABO=ZBAO=25°9

:.ZOBC=ZABC-ZABO=65°-25°=40°.

/49為。的平分線，AB=AC,

.??直線AO垂直平分5C,

:.OB=OC,

:.ZOCB=ZOBC=40°,

點(diǎn)。沿所折疊后與點(diǎn)。重合，

:.OE=CE,ZCEF=ZOEF=-ZCEO,

2

:.NCOE=NOCB=40°；

在△OCE中，ZCEO=180°-ZCOE-ZOCB=180°-40°-40°=100°,

NCEF=-ZCEO=50°.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及翻折變換及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，

找出圖中隱含的等量關(guān)系，靈活運(yùn)用有關(guān)知識來分析、判斷.

■【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?四川瀘州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，ABC中44c=60。，將.ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在

上的點(diǎn)C'處，連接C'。與C'C,ZACB的角平分線交AD于點(diǎn)E；如果BC=DC；那么下列結(jié)論：①Nl=N2；

②AO垂直平分C'C;③NB=3NBCC'；?DC'//EC-,其中正確的有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用三角形全等的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一、角之間的關(guān)系、平行線的判定定理逐個(gè)分析各

個(gè)結(jié)論的正誤即可.

【詳解】解：依題意有=AACD

AZ1=Z2,故結(jié)論①正確；

AC=AC

△ACC'為等腰三角形，又Nl=N2

垂直平分C'C,故結(jié)論②正確；

CD=Ct>

：.ZDC'C=ZDCC'

：.ZBDC'=ZDC'C+ZDCC'=2ZBCC'

又：BC'=DC

/.ZB=ABDC

：.ZB=2ZBCC,,故結(jié)論③錯(cuò)誤；

ABAC=60°

：.ZAC'C=ZACC'=60°

：.ZB+ZBCC'=3ZBCC'=ZAC'C

：.ZBCC=20°

：.ZACD=ZACC'+ZBCC'=80°

ZBCE=-ZACB=40°

2

ZECC=ZBCE-ZBCC=20°

又：CD=C<b

...ZCCD=ZBCC=20°

NCC'D=NECC'

：.DC//EC,故結(jié)論④正確；

綜上，正確的結(jié)論有3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定等知識，為三

角形的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相關(guān)的知識定理.

2.（2023春?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形A3C中，點(diǎn)D,E是邊AC上兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊AB上，

將三角形BDC沿折疊得三角形的，OG交于點(diǎn)H,將三角形EFA沿EF折疊恰好得到三角形EFH,

且HE〃BD.下列四個(gè)結(jié)論：?ZEHD=ZHED；②ZA=ZADH；③NEHD=2NHBD；④若

4ZABC-3ZAHD,則NA5D=4NABG.其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.

【答案】①③④

【分析】由折疊的性質(zhì)可得，BCD—一8GD,一EFg一EFH,則ZDBC=ND3G,ZA=ZEHA,

ZHDB=ZBDC,由HE//BD，可得ZEHD=ZHDB=ZBDC,ZAHE=ZABD,則NEDH=180°-2Z.HDB,

由NEHD+NEDH+NHED=18?！?可得NE〃D+180°—2NHD3+N"ED=180°,則NEHD=/HED,進(jìn)而

可判斷①的正誤；由題意知NAZ)9=180。-4NA,無法判斷/A與NADH的關(guān)系，進(jìn)而可判斷②的正誤；

由NHED=NA+NAHE=2NA,則NEHD=2ZA,ZHBD+ZA=Z.BDC,可得NHBD+工NEHD=NEHD,

2

即NEHD=2ZHBD,進(jìn)而可判斷③的正誤；根據(jù)4NABC=3NAHD,可得

4(ZABD+ZDBC)=3(ZAHE+ZEHD),整理得4(ZD3C—ZABD)+ZA5D=/EHD,即

4ZABG+ZABD=ZEHD,則4ZABG=NEHD-NABD=NBDC-NABD=NA=NABD,進(jìn)而可判斷④的正

誤；

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得33co絲_及%>,.EF叵EFH,

:.NDBC=NDBG,ZA^ZEHA,NHDB=NBDC,

,/HE//BD,

NEHD=ZHDB=NBDC,ZAHE=ZABD,

：.NEDH=180°-(ZHDB+ZBDC)=180°-2ZHDB,

Z.EHD+Z.EDH+Z.HED=180°,

NEHD+180°-2ZHDB+NHED=180°,

AZEHD=ZHED,①正確，故符合要求；

VZADH=180°-ZA-ZAHD=180°-4ZA,無法判斷ZA與N4DH的關(guān)系，②錯(cuò)誤，故不符合要求；

,/NHED=ZA+ZAHE=2ZA,

：.ZEHD=2ZA,

,?ZHBD+ZA=Z.BDC,

ZHBD+-ZEHD=ZEHD,

2

AZEHD=2ZHBD,③正確，故符合要求；

4ZABC=3ZAHD,

：.4(ZABD+ZDBC)=3(ZAHE+ZEHD),

2AEHD+4ZDBC=3ZABD+3ZEHD,

4(NDBC—ZABD)+ZABD=NEHD,

：.4(ZDBG-ZABD)+ZABD=ZEHD,即4NABG+NABD=NEHD,

：.4ZABG=ZEHD-ZABD=ZBDC-ZABD=ZA=ZABD,④正確，故符合要求；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)等知識.解

題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系.

3.(2023秋?江西南昌?八年級南昌市外國語學(xué)校校聯(lián)考期末)【母體呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材56頁

第10題，如圖的三角形紙片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿過點(diǎn)8的直線折疊這個(gè)三角形，使

點(diǎn)C落在A3邊上的點(diǎn)Er處，折痕為RD.求△AED的周長.

解：皮更是由.BDC折疊而得到，

/.BDE=,BDC.

BC=BE=6cm,DC=DE.

AB=8cm,

/.AE=AB—BE=Scm—6cm=2cm.

AC=5cm,

二?VADE1的周長為：AD+DE+AE-AC+AE=7cm.

(1)【知識應(yīng)用】在RtZXABC中，NC=90。沿過點(diǎn)3的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)。落在3邊上的點(diǎn)￡處,

折痕為BD,過點(diǎn)E作N8SD的平分線交BD于點(diǎn)P連接AP.如圖1,若CD=3cm,AB+3C=16cm,求.-.ABC

的面積；

圖1

(2)如圖2,求證：AP平分NC4B；

圖2

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在RtaABC中，NC=90。沿過點(diǎn)5的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在A3邊上

的點(diǎn)E處，折痕為3D,過點(diǎn)E作的平分線交8。于點(diǎn)連接針，過點(diǎn)尸作若AB=10cm,

BC=6cm,AC=8cm,直接寫出PH長;

圖3

(4)^AC2+BC2=AB2,^uEAH-BH=^ACBC.

【答案】⑴sABC=24

(2)見解析

⑶PH=2

(4)見解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件可得SBCMSBO+SABCD，從而可以計(jì)算得解；

(2)過點(diǎn)尸分別作AB、ED、AC邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)尸、H、M,利用全等性質(zhì)，通過等量代換

即可得到PF=PM,通過角平分線性質(zhì)即可得證；

(3)過點(diǎn)P分別作3C、AC邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)G、M,連接PC,通過條件可證得P〃=/W=PG,

利用SABC=SABP+SBCP+SACP關(guān)系即可得解；

(4)過點(diǎn)尸分別作BC、AC邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)G、M,連接PC,通過條件可證得

BG?.P

gS=S+S+5MCP,然后將S”c=g8C?AC=；(BG+GC)(AM+MC)整理化簡，最后等量代換

即可得證.

【詳解】(1)解：由題可知，BED三BCD,ZBED=ZC=90°,CD=ED=3,

S=S+S=—AB-DE+—BC-CD=—CD-(AB+BC)=—x3xl6=24cm2；

ADRCrADRUnDRCUn222'/2'

(2)證明：如圖，過點(diǎn)尸分別作A5、ED、AC邊的垂線垂足分別為點(diǎn)尸、H、M,

:.PH=PM,

EP平分/BED,

PF=PH,

:.PF=PM,

.\ZPAC=ZPAB,

則"平分NC4B；

(3)如圖，過點(diǎn)尸分別作5C、AC邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)G、M,連接PC,

由題可知，AB￡?二ABCD,/DBC=NDBE,

:.PH=PG,

由(2)可知以7=尸〃，

:.PH=PM=PG,

°qABC—~°QABPT_i_0vBCP丁_i_0VACP，

SABC=^PH(AB+BC+AC)=^ACBC,

gp|(10+6+8)PH=1x6x8,

解得PH=2an；

(4)證明：如圖，過點(diǎn)尸分別作8C、AC邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)G、M,連接尸C,

由(2)可知，PH=PM=PG,

PHLAB,PGIBC,PMLAC,

Rt.AHP=RtAMP(HL),RtBHP=Rt.BGP(HL),Rt,CGP=Rt.CMP(HL),

:.AH=AM,BH=BG,CG=CM,PH=PM=PG=CM=CG,—Sziov=SBDGvjPr+Snnr+S,MiviCy^Pr

S^ABC=1SC-AC=1(BG+GCXAM+MC)

=^(BGAM+BGMC+GCAM+GCMC)

=-AMBG+-BGMC+-GCAM+-GCMC

2222

=-AHBH+-BGGP+-PHAH+-MPMC

2222

=5AH,BH+SBGP+SAHP+SMCP

=-AHBH+-S

22-c

：.-S=-AHBH,

2ABRC2

S詆=AH.BH,

2

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了圖形折疊、全等三角形、角平分線性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線，采

用等量代換的方法是解題關(guān)鍵.

【經(jīng)典例題二軸對稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)】

【例2】（2023?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）如圖，在中，ABAC=90°,AB=AC,直角/EPP的頂點(diǎn)P

是BC的中點(diǎn)，將ZEP尸繞頂點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，兩邊PE,PP分別交AB,AC于點(diǎn)E,尸.下列四個(gè)結(jié)論:①AE=CF；

②！尸￡尸是等腰直角三角形；③EF=AP；④S四邊形AEW=5S4ABC?在NEPb旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個(gè)結(jié)論始

終正確的有（

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

平分，可證

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得:AP1BC,AP=^BC=PC,AP3AC.

NC=NEAP,NFPC=NEPA,AP=PC,即證得VAPE與式丁廠全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正

確.

【詳解】解：：AB=AC,NBAC=90。，直角NEPb的頂點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn),

AP±BC,AP=-BC=PC,ZBAP=ZCAP=45°=ZC

2

ZAPF+ZFPC=90°,ZAPF+ZAPE=90°,

：.NFPC=ZEPA,

在△AEP與11cp/中，

,NEAP=NC

，AP=PC,

NAPE=ZFPC

：.」APE絲一CP尸（ASA）,

：.AE=CF,EP=PF,故①正確；

；.!PEF是等腰直角三角形，故②正確；

???一ABC是等腰直角三角形，尸是BC的中點(diǎn)，

AP=-BC,

2

E尸不一定是1sABC的中位線，

，EF=AP不一定成立，故③錯(cuò)誤；

V..APE^CPF,

??0AEP-0CPF，

又,?*S四邊形AEPF-SAEP+SAFP，

,,S四邊形AEP尸=SAPC=5SABC，

即S四邊形AEPF=_SaABC，故④正確?

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，掌握等腰直角三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

?【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?廣西貴港.八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，AB=AC,ABAC=90°,直角NEP尸的頂點(diǎn)尸

是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、尸產(chǎn)分別交A3、AC于點(diǎn)E、F.當(dāng)NEPF在ABC內(nèi)繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，對于下列結(jié)

論：?PE=PF-,②AE=C。③EF=AP；?SmAEPF=S,其中正確結(jié)論有（）

p

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，以及同角的余角相等，證明.Eg4EBP,再逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】①：AB=AC,ABAC^90°,

ABC是等腰直角三角形，

是BC的中點(diǎn)，

AAP=BP=CP,ZAPC=ZAPB=ZEPF=90°,

ZAPF=90°一ZAPE=ZBPE,

又AP=BP,ZFAP=ZEBP=45°,

：.tFAP空EBP(AS0,

：.PE=PF；

正確.

②：~EAP^_EBP,

BE=AF,

：.AB-BE=AC-AF

：.AE=CF；

正確.

③不能證明EF=AP；

錯(cuò)誤.

=S△必p+‘AAPE，

又?:dFAP^EBP,

,?S四邊形AEP尸=SAAPE+Sf^EBP=S&APB=—SAABC；

正確.

綜上①②④正確，共3個(gè).

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證

明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋廣東惠州?八年級惠州一中?？计谥校┰贏BC中，ZC=90°,AC=3C；將一塊三角板的直角

頂點(diǎn)放作斜邊A8的中點(diǎn)尸處，將此三角板繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、與點(diǎn)。、點(diǎn)

E,圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形.當(dāng)△P5E是等腰三角形時(shí)，NPEB的度數(shù)為（寫出所有

可能的值）.

【答案】45。或90?；?7.5?；?2.5。.

【分析】分類討論，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB上時(shí)，①若PE=PB,②若PE=BE,③若BE=BP,當(dāng)點(diǎn)E在CB的

延長線上時(shí)，則只有PB=3E,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)E在線段CB上時(shí)，

①若PE=PB,則NP￡B=N3=45。，此時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合；

②若PE=BE,ZEPB=45°,ZPEB=90°；

③若BE=BP,則/PEB=ZBPE=1（180°-45°）=67.5°；

當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，此時(shí)，/P3E=135。是鈍角，只能是頂角，則只有PB=3E,即

ZPEB=ZBPE=g（180°-135°）=22.5°.

綜上，NPEB的度數(shù)為45。或90?；?7.5?；?2.5。.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形存在性問題，解題關(guān)鍵是熟練掌握等

腰三角形的性質(zhì)與判定和分類討論思想方法.

3.（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）閱讀材料：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.如圖①，等腰

ABC和等腰VADE中，AB=AC,AD=AE,將VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接3D、CE,利用上面結(jié)論或所學(xué)

解決下列問題:

(1)^ABAC=ADAE=35°,求證：BD=CE-,

(2)連接8E,當(dāng)點(diǎn)。在線段BE上時(shí).

①如圖②，若NE4C=/ZME=60。，則/BEC的度數(shù)為二線段3D與CE之間的數(shù)量關(guān)系是二

②如圖③，若NBAC=NZME=90。，AM為VADE中DE邊上的高，判斷/的度數(shù)及線段AM、BE、CE

之間的數(shù)量關(guān)系說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵①60。，BD=CE；②NBEC=90。,BE=2AM+CE,見解析

【分析】⑴由“SAS”可證，AftDzACE,可得BD=CE；

(2)①由/R4C=NZME=60。，得到4AD=NC4E,證明△耳⑦三△C4E,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明

結(jié)論；②類比①可得3D=CE,ZAEC=ZADB=135°,即可求解.

【詳解】(1)VZBAC=ZDAE^35°

：.ABAD+ADAC=ADAC+ZEAC

：.ZBAD=Z.EAC

在和"CE中

AB=AC

<ABAD=NEAC

AD=AE

,ABD=..ACE(SAS)

：.BD=CE

(2)①：ABAC=ZDAE=60°,

Z.ZBAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,即44D=NC4E,

,:AD=AE

JVADE是等邊三角形，

JZADE=60°

：.ZADB=nO°

5LAB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE

??..ABD^ACE(SAS),

ZAEC=ZADB=\SO°-ZADE=nO°,BD=CE

???ZBEC=ZAEC-ZAED=120°-60°=60°,

故答案為：60°；BD=CE；

②關(guān)系：ZBEC=90°,BE=2AM+CE

理由：VZZME=90°,AD=AE

：.ZADE=ZAE