浙教版八年級數(shù)學專項復習：認識三角形（原卷版）

第01講認識三角形

產(chǎn)知識點梳理

一、三角形的定義

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

要點：

(1)三角形的基本元素：

①三角形的邊：即組成三角形的線段；

②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；

③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.

(2)三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相

接”.

(3)三角形的表示：三角形用符號表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，

讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；4ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC

來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示.

二、三角形的內角和

三角形內角和定理：三角形的內角和為180。.

要點：應用三角形內角和定理可以解決以下三類問題：

①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；

②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角的度數(shù)；

③求一個三角形中各角之間的關系.

三、三角形的分類

1.按角分類：

直角三角形

三角形銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

要點：

①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形;

②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.

四、三角形的三邊關系

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

要點：

(1)理論依據(jù)：兩點之間線段最短.

(2)三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長

線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.

(3)證明線段之間的不等關系.

五、三角形的三條重要線段

三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或

角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從

不同的角度弄清這三條線段，列表如下：

線段

三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

名稱

三角形一個內角的平分線

從三角形的一個頂點向它的三角形中，連接一個頂

文字與它的對邊相交，這個角

對邊所在的直線作垂線，頂點和它對邊中點的線

語言的頂點與交點之間的線

點和垂足之間的線段.段.

段.

AAA

圖形Xc

語言2cC

L)DD

作圖過點A作ADLBC于點D.取BC邊的中點D,連接作NBAC的平分線AD,交

語言AD.BC于點D.

AAA

標

示

圖

形4c

B^7\C

D

1.AD是△ABC的高.1.AD是AABC的中線.

2.AD是AABC中BC邊上的2.AD是AABC中BC邊1.AD是AABC的角平分線.

IWJ.上的中線.2.AD平分/BAC,交BC

符號

3.AD_LBC于點D.1于點D.

語言3.BD=DC=-BC

4.ZADC=90°,NADB=901

o23.Z1=Z2=-ZBAC.

4.點D是BC邊的中點.2

(或NADC=/ADB=90°)

因為AD是AABC的高，所以因為AD是△ABC的中線，因為AD平分/BAC,所以

推理ADXBC.

語言所以BD=DC=-BC.Z1=Z2=-ZBAC.

(或NADB=NADC=90")22

用途1.線段垂直.1.線段相等.

角度相等.

舉例2.角度相等.2.面積相等.

注意1.與邊的垂線不同.

一與角的平分線不同.

事項2.不一定在三角形內.

三角形的三條高（或它們的一個三角形有三條中一個三角形有三條角平分

重要

延長線）交于一點.線，它們交于三角形內線，它們交于三角形內一

特征

~"點.點.

下列長度的三條線段中，能圍成三角形的是（)

A.5cm,6cm,12cmB.3cm,4cm,5cm

C.4cm,6cm,10cmD.3cm,4cm,8cm

、1例2.在AABC中，已知ZA:ZB:NC=1:2:3,則三角形的形狀是（）

A7柄角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.無法確定

3.三角形的中線和角平分線都是（）

A.直線B.射線C.線段D.以上都有可能

下面四個圖形中，線段BE是/ABC的高的圖是（）

BBB

E

A.C.D.

、,例5.滿足下列條件的三條線段6,c能構成三角形的是（）

A.a:b:c=l:2:3B.a+b=4,a+b-^-c=9

C.Q=3,b=4,c=5D.a：b：c=\：l:2

、j例6.如圖所示，以BC為邊的三角形共有

A.1個B.2個

C.3個D.4個

'例7.三角形的三條高所在直線的交點一定在

A.三角形的內部B.三角形的外部

C.三角形的內部或外部D.三角形的內部、外部或頂點

立例

8.如圖，AE是AABC的角平分線，AD是AAEC的角平分線，若/BAC=80。，則

ZEAD=()

C.20°D.60°

；@ZA=ZB=2ZC；(3)ZA=ZB=-ZC；

2

④ZA:ZB:NC=1:2:3中，能確定11ABe為直角三角形的條件有（)

A.2個B.3個C.4個D.0個

例10.已知三角形的一個內角是另一個內角的|,是第三個內角的g,則這個三角形各

內角的度數(shù)分別為（)

A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°

C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°

[']例11.如圖，在AABC中有四條線段DE,BE,EF,FG,其中有一條線段是AABC

白神磅，則該線段是（）

A.線段DEB.線段BEC.線段EFD.線段FG

01例12.如圖，A、B、C分別是線段AiB、BiC、CiA的中點，若△ABC的面積是1,

那么△AiBiCi的面積是（）

A

&G

A.4B.5C.6D.7

「丫|例13.在如圖所示的方格紙中，

11111111111

?AA.??i????ii?

L-1^---I----------1-----1-------A-----?-----1-------1-----1------J

111111111

1111111111

L___1__1___1___1___1___1___1___J

????????

???、???????

11I、1?i111

riITki1i1i

IIIIiitill

IIiIiiii

r!!：\：!17：1

i)iiiiii

r---1------1-----1-1-1*1、八

11I11f1111\H1

1111111i111

(1)在中，作8c邊上的高AD

⑵作AC邊上的中線BE.

⑶求一ABE的面積.

[']例14.如圖，AD〃3C,點E是54延長線上一點,

ZE=ZDCE.

E

(1)求證：ZB=ZD.

（2）若CE平分/BCD,NE=47。，求的度數(shù).

15.如圖，40是鐳C的角平分線，點E是AZ）延長線上一點，EFJ.BC,垂

足為F.

⑴若NB=40。，ZC=60°,求尸的度數(shù);

（2）若NC-NB=m。，請直接寫出NDEF的度數(shù)一.（用含機的代數(shù)式表示）

16.如圖，點A,3分別在射線OM,QV上運動（不與點。重合），AC,BC分

別是/BA0和NABO的平分線，BC交OM干點、G.

0M

⑴若/MON=60，則/ACB=°；若ZMON=90°,則ZACB=

（2）若4M0N=n。,請求出NACG的度數(shù).（用含〃的代數(shù)式表示）

。矗蹤別解

1.下列長度的三根木棒，不能構成三角形框架的是（)

A.7cm,5cm,10cmB.8cm,6cm,4cm

C.10cm,10cm,5cmD.5cm,5cm,10cm

2.下列說法中，正確的是（）

A.三角形的高都在三角形內

B.三角形的三條中線相交于三角形內一點

C.三角形的一個外角大于任何一個內角

D.三角形最大的一個內角的度數(shù)可以小于60度

3.三角形的角平分線、中線和高都是（）

A.直線B.線段C.射線D.以上答案都不對

4.如圖，已知ACLCD,ZA=50°,則/。的度數(shù)為（）

5.如果三角形三個內角的比為1：2：3,那么它是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.銳角三角形

6.如圖，直線a%,ACLAB,AC交直線b于點C,Zl=60°,則/2的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.45°D.50°

7.BP和CP是AABC兩個外角的平分線，則/為（）

A.-ZAB.90+-ZAC.90--ZAD.NA

222

8.在下列條件：?ZA+ZB+ZC=180°;②NA:ZB:NC=1:2:3；③ZA=ZB=2NC；

④ZA=g/8=g/C；⑤ZA=NB=g/C中，能確定ABC為直角三角形的條件有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

9.如圖，ABC中，是8C邊上的中線，8E是中邊上的中線，若,ABC的

面積是24,貝ABE的面積（）

A.5B.6C.9D.12

10.如圖，在.ABC中，ZA=9O°,BE,CO分別平分/ABC和/ACS,且相交于尸,

EG//BC,CGJ_EG于點G,則下列結論①NCEG=2ZDC4；②NDEE=130。；

③/DFB」NA；@ZADC=ZGCD；⑤C4平分/BCG,其中正確的結論是（）

2

A.①②③B.①③④C.①③④⑤D.①②③④

二、填空題

11.如圖，A3是△ACE的_______邊上的高；在△AEC中，CO是__________上的高，CD

還是_________的高；EF是_________的邊上的甬

12.如圖，AD,CE分別是ABC的中線和角平分線，貝I）：BD=

ZACE=

BDC

13.(1)在_"C中，ZA=40°,ZB=70°,則NC=；

(2)在ABC中，ZA=80°,NB=NC,則；

(3)..MC中，若ZA+NC=3NB,貝lJ/3=；

(4)一ABC中，若ZA:ZB:NC=1:2:3,則ZA=,NB=,

zc=,則它們的相應鄰補角的比為；

(5)在_y18。中，若ZB-ZA=15。，ZC-ZB=60°,則ZA=,NB=

zc=.

14.三角形的三邊分別為5,，9,貝的取值范圍為.

15.已知,為_ABC的三邊，化簡：|G+Z?—c|—2\a-b-c\—

16.如圖，3。平分/ABC,ZADB=60。，ZBZ)C=80°,ZC=70°,所以△ABD是

三角形.

17.如圖，在_ABC中，是邊3c上的高，且BH:CH=2:1,如果%“=2,那么

ABC=------

18.如圖，在一ABC中，AD是8C邊上的中線，△ADC的周長比的周長多4,

AB+AC=24,則AC的長為.

19.如圖，在以BC中，ZA=64°,。8和OC分別平分/ABC和/ACB,則ZBOC=

20.如圖，在.ASC中，ZACB=60。，點尸是直線AC上一動點，將二鉆尸沿成折疊，點

A的對應點為點D當DP,3c時，N3/N的度數(shù)為.

A

21.已知a、b、c為三角形的三邊，且則〃之+廿+/=〃b+〃c+ac,則三角形的形狀是.

22.當三角形中一個內角￡是另一個內角夕的g時，我們稱此三角形為“希望三角形”，其中

角a稱為“希望角”.如果一個“希望三角形”中有一個內角為54。，那么這個“希望三角形”的

“希望角”度數(shù)為.

三、解答題

23.根據(jù)下列條件，求NA,—B和/C的度數(shù).

(1)(2)(3)

24.根據(jù)下列所給條件，判斷一ABC的形狀.

(1)ZA=45°,ZB=65°,NC=70°；

(2)ZC=110°；

(3)ZC=90°；

(4)AB=BC=3,AC=4.

25.如圖，一ABC中，按要求畫圖：

⑴的平分線AD；

(2)畫出..ABC中8C邊上的中線AE；

(3)畫出一ABC中A3邊上的高CT.

26.如圖，AB//CD,點E在BC上.求證：ZB=ZD+ZCED.

27.如圖，在,ABC中，已知AO是角平分線，ZB=70°,ZC=40°.

(1)求24汨的度數(shù)；

(2)若。E1AC于點E,求/ADE的度數(shù).

28.如圖，在一ABC中，ZABC=70°,NC=30。，AD是ABC的角平分線,

(1)求/ADC的度數(shù)

⑵過點B作于點E,BE延長線交AC于點片求，AFE的度數(shù)

29.已知：如圖，。是ABC內一點，求證：ZAOB=Z1+Z2+ZC.

30.如圖所示，已知4ZAE分別是JLBC的高和中線,

AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,Z.CAB=90°.試求：

(1)A￡>的長；

(2)ABE的面積；

⑶小"和的周長的差.

31.在..ABC中，已知點。，E,F分別為邊BC,AD,CE的中點.

(1)如圖1,若S.ABc=lcm2,求BEF的面積.

(2)如圖2,若S^BFC=lcm2,則5謝=_-

32.己知線段A