指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（壓軸題專練）（解析版）-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(壓軸題專練)

題型一：求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

I.(23-24高一上?遼寧?階段練習(xí))已知函數(shù)=3=加-5x+5a(x20),v(x)=|a「+|4(x＜0),其中實(shí)數(shù)

a*-1,0,1,若對于網(wǎng)＜0,那＞0使得“再)=以％),則。的一個(gè)可能的取值為.

【答案】|(答案不唯一)

【分析】轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系，分類討論后列式求解，

【詳解】若對于M＜0,切＞0使得〃(xj=v值)，

設(shè)/={y|ynV?),4＜°}，6={川歹=〃(%),項(xiàng)＞0},則4旦5,

y=ax2-5x+5a的對稱軸為x=2，

2a

①當(dāng)時(shí)，w(x)在(0,+co)上單調(diào)遞減，〃(xje(-co,5a),

而v(X2)＞0,顯然不滿足題意，

②當(dāng)0＜“＜1時(shí)，，則同＜l,"x)在「fl內(nèi)單調(diào)遞減，在[5,+，|內(nèi)單調(diào)遞增,

20a2-25)

〃(xje，00

~4-a-----+]'

而v(x)=|a「+同在(-8,0)上單調(diào)遞減，v(x2)e(l+a,+co)

20a25

-_]_a^4a---K0,故0＜。＜1時(shí)滿足題意,

4a4。

_,1、「20/-25)

③當(dāng)a＞l時(shí)，〃(無Je-----------,+oo,

_4〃)

v(x)=|a「+|4在(-*0)上單調(diào)遞增，v(x2)e(a,l+a!),

,20a~—25A73ZR1/5

由--------4a解得1＜。47，

4a4

綜上，當(dāng)0＜。(;且awl時(shí)，對于心2＜。，切使得〃(再)=V(Z)，

故答案為：!(答案不唯一)

2.(23-24高一上?河南三門峽?期末)已知函數(shù)/(x)滿足VxeR,有/(x)+2/(-x)=2,+.

⑴求〃x)的解析式；

(2)若。＞0,函數(shù)g(x)=乎，且V加e[l,2],272-5,|,使/(c?)=g(〃)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2,+2一

【答案】（l）/（x）=：

11-

⑵不。W1

【分析】（1）通過列方程組的方法來求得了（x）的解析式;

（2）先求得g（〃）的值域，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得/（皿）的值域，由此列不等式來求得。的取

值范圍.

【詳解】(1)/(x)+2/(-x)=2x+2-\

將x替換成r,得/(—%)+2/(%)=2一"+2"

f(x)+2f(-x)=2x+2-x〃,2X+2-X

聯(lián)立兩式,")+2〃加23,解得小)=丁

Y+5

⑵因?yàn)榍易Χ≡?y[2—5,—上單調(diào)遞增,

所以g(〃)￡

對于歹=X+〕~（X>1）,

不妨取為>x>l,

X2

71一（再一工2）（項(xiàng)/—1）

則必一>2=X1+一

再xrx2

因?yàn)槭?gt;%2>1，所以石一工2〉0，X1X2一1>。，

則%-%>0，即%>%，故丫=*+,在（1,+8）上單調(diào)遞增,

X

又y=2"在（0,+8）上單調(diào)遞增，且歹=2">1在（0,+8）上恒成立,

Xx

所以〃x）=上2+告2~=；1（2、+或1、在（。，+劃上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?gt;0,me［1,2］,所以了=。他在［1,2］上單調(diào)遞增，且y加>0恒成立,

所以了=/（由）在［1,2］上單調(diào)遞增，

2"+2r,八、4"+4一"

則%*=/(?)=，Vmax=fQG=

因?yàn)閂%=[1,2],3we2A/2-5,1,使/(即)=g("),

所以〃。加）的值域是g⑺的值域的子集.

aa

2+2~>y/2

~3~~~解得(負(fù)值舍去)，

故，gwaWl

aa

4+4~<17

3-F

所以

【點(diǎn)睛】求解兩個(gè)函數(shù)相等的恒成立、存在性問題，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，列不等式來進(jìn)

行求解.求解對鉤型函數(shù)的單調(diào)性、值域等問題，可以先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的值域(或最

值).

4X_>+i4?

3.(23-24高二下?福建福州?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)x>0.

⑴求函數(shù)的值域；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-ax+l,若對3x2e[l,2],f(xt)=g(x2),求實(shí)數(shù)a取值范圍.

【答案】⑴[2,+co)

【分析】(1)利用基本不等式求函數(shù)值域；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為/(x)的值域?yàn)間(x)值域的子集求解.

【詳解】⑴='_22+2=(2.1)+1=2工_]+_1_，Xvx>0,2%-1>0,

')2T2工-12T

.■.f(x)>2.(2x-l)-^—=2,當(dāng)且僅當(dāng)2"7=*、，即x=l時(shí)取等號(hào)，

V'72—12-1

所以/(x)e[2,+8),

即函數(shù)〃x)的值域?yàn)閇2,+8).

1

⑵?-?/(x)=r-i+--,

z—i

設(shè)y2、-1,因?yàn)閤e[l,2],所以/函數(shù)y=在[1,3]上單調(diào)遞增,

\101\10

???>￡2,—,即nn2,—

設(shè)XG[1,2]時(shí)，函數(shù)g(x)的值域?yàn)?由題意知2,5=4,

??,函數(shù)g(x)=J-辦+1

①當(dāng)即心2時(shí)，函數(shù)g(%)在[1,2]上遞增,

'g（l）<2[F-a+142

則小、10，即Lc10,.-.0<a<-

g（2）>yl22-2a+l>y6

②當(dāng)1<^<2時(shí)，即2<a<4時(shí)，函數(shù)g（x）在[1,2]上的最大值為g⑴，g（2）中的較大者,

而g（l）=2-a<0且g（2）=5-2a<l,不合題意，

③當(dāng)|>2,即0>4時(shí)，函數(shù)g（x）在[1,2]上遞減，

[⑴>12

則/IL3,即一3，滿足條件的。不存在，

g（2）<2[22-2a+l<2

綜上所述，實(shí)數(shù)°取值范圍為9

【點(diǎn)睛】對于雙變量雙函數(shù)類似3X2G[1,2],/（xj=g（x2）的問題轉(zhuǎn)化為值域包含值域的問題.

題型二：根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域求參數(shù)

(tz-l)x,x<—,

2

1.（23-24高一下?湖南?階段練習(xí)）已知/（%）=<（〃〉1）的值域?yàn)椤?Dj—,+00則〃的

a.15

XH-----2,x>一

x2

取值范圍是（）

A.（1,2）B.—,2C.—?2D.（2,5）

【答案】C

【分析】考慮a>2時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到取值范圍，止匕時(shí)（。，五31]包|,+xj不成立，舍去，再考

慮。=2,結(jié)合基本不等式求出函數(shù)值域。=|，+/；A錯(cuò)誤；考慮1<。<2,求出xw；與時(shí)的函數(shù)

值取值范圍，進(jìn)而得到不等式，求出答案.

【詳解】①若。>2,當(dāng)時(shí)，/3=（"1廠在[-%；上單調(diào)遞增，

此時(shí)〃x）e（0,GT],貝U（0,GT]￡。，又僅,|,+f不成立，

所以此時(shí)。=g,+<?）不成立，排除選項(xiàng)D；

I*";,

②若4=2,/(%)=<

21

XH-----2,X〉一,

x2

當(dāng)無wg時(shí)，/(x)=l,

當(dāng)x>g時(shí)，/(x)=x+j-2>2V2-2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=力■時(shí)，等號(hào)成立,

則函數(shù)/(x)的值域。=[2拒-2,+?)),滿足排除選項(xiàng)A；

③若1<"2,當(dāng)時(shí)-，〃回=(。-17在1-8]上單調(diào)遞減，此時(shí)〃x)e[Gi,+8),

當(dāng)時(shí)，/(%)=%+——2>2yfa—2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立,

又函數(shù)/(X)的值域。滿足

Ja-1>y,

2G2、,解得114a<2.

則

1<tz<2,

綜上所述：—<6Z<2.

故選：C.

2X,x>m

2.(23-24高一上?江蘇南通?期中)已知函數(shù)/(x)=75的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

—x+—,x<m

163

()

A.[0,1]B.[0,2]C.[-1,1]D.[-1,2]

【答案】D

【分析】由函數(shù)值域?yàn)镽,利用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及畫出函數(shù)圖像分析即可解決問題.

75

【詳解】當(dāng)"加時(shí)，/(x)=，+；單調(diào)遞增，

63

75

所以

o5

當(dāng)時(shí)，/(x)=2,單調(diào)遞增，

所以/(》"2加，

要使得函數(shù)值域?yàn)镽,

則」入+2"'恒成立，

63

75

令必=/加+三，%=2加,

oJ

如圖所示：

7、

所以若要二機(jī)+二22小，則加e[—1,2],

63

也即函數(shù)/（X）的值域?yàn)镽時(shí)，

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為：^€[-1,2],

故選：D.

2x,x＜m

3.（23-24高一下?湖南?期中）己知加＞0,函數(shù)/（無）=228的值域?yàn)椋?叫2"[，則加的取值范

----XH---,X〉YYI

[33

圍是?

【答案】[1,2）

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，求出在對應(yīng)區(qū)間上的值域，分類討論解不等式即可求出機(jī)的取值范圍.

m

【詳解】當(dāng)X。，時(shí)，/（X）=2、在（-8,向上單調(diào)遞增，所以xWm時(shí)，/（x）e（0,2];

）O

當(dāng)x＞加時(shí)，/（x）=--x2+3-,

2Q

當(dāng)加＞0時(shí)，/（%）在（私+8）上單調(diào)遞減，所以加時(shí)/（%）＜/（加）=-§/+§,

228

即加＞0時(shí),-??,——m+—

33

2X,x<m

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）={2的值域?yàn)?/p>

—x2+-,x＞m

I33

2Q2S

所以相＞0時(shí)，一一加2+_〉0且一一m2+-＜2m.

3333

m>0

由不等式228C，解得0<加<2;

——m+->0

[33

m>0

不等式二療+，2M等價(jià)于2時(shí)，2m+-m2-->0,

33

133

2Q

^h［m）=2m+—m2--（m>0）,

因?yàn)榇?2、在（0,+。）上單調(diào)遞增，y=（一在（°，+。）上單調(diào)遞增，

所以〃（加）在（0,+。）上單調(diào)遞增，又"1）=0,

所以根>0時(shí)，/z（冽）20等價(jià)于力（加）之力⑴，即機(jī)N1,

m>0

由不等式

：--m2+-<2m解得機(jī)21,

［33

--m2+—>0

::的解集為［)

所以加>0時(shí),1,2,

--m2+-<2"'

［33

綜上，加的取值范圍是［1,2）,

故答案為：［1,2）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性求得該分段函數(shù)值域，再利用值域間

的包含關(guān)系解不等式可得結(jié)果.

4.（23-24高一上?江蘇南京?期中）己知函數(shù)/。）=2戶2_1在區(qū)間［0,加］上的值域?yàn)椋?,3］,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍為.

【答案】24］

【分析】利用函數(shù)的最值求出X,通過函數(shù)的值域，求出加的取值范圍

A

T、小板、/■/\0|x-2|1J2--1,X>2

［詳解］/W=211-1=則“X）在（-8,2）上遞減，在［2,+8）上遞增,

2—1,x<2

所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值0,

由2-2|_］=3，得x=0或x=4,

所以函數(shù)/（%）=2小1_1在區(qū)間［0,間上的值域?yàn)椋?,3］時(shí)，me［2,4］,

故答案為：［2,4］

題型三：根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式

1.（23-24高一下?安徽淮北?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃同=］_；（0-<2：'g（x）=〃x）一5"X?-2,2］,若

g（log2a）+g|log；a|<2g（l）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】I，2

【分析】依題寫出函數(shù)g（x）,判斷其奇偶性，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到對數(shù)不

等式，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解之即得.

――x—1,-2Kx(0,

【詳解】由題意,g(x)=<

—x—1,0<XW2

2

當(dāng)0<xW2時(shí)，-2W-x<0,貝1]8（-了）=（》-1=8。），即函數(shù)g（x）是偶函數(shù).

因0<x<2時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增,

貝I]g(log2a)+g(logj_a)=g(log2a)+g(~log2a)=2g(log2a)42g⑴,

2

故得g(|log2司)4g⑴，即Ilog2a區(qū)1,

故-iWlogzaWl,解得;

故答案為：g，2.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解抽象不等式，屬于較難題.

解決此類問題的思路在于，根據(jù)所給的函數(shù)判斷其奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的這些性質(zhì)將抽象不等式化

成具體不等式求解即得.

2.（2024高一?全國）當(dāng)為何值時(shí)，不等式logJJx?-ax+3+）嚏2（/-"+4）+log”2N0恰有一

a

個(gè)解.

【答案】a=25/2.

【分析】令，=/一"+3,貝1]d0,將原不等式化為Iog2（4+l）/og2?+l）-140,記

/（0=iog2（V^+i）-iog2（；+1）-1,判斷/'?）在[。,+8）上單調(diào)遞增且f⑴=0,從而得到0W/W1,即

0（Y一?+3<1恰有一個(gè)解，然后利用判別式求解即可.

【詳解】令，=/一"+3,貝U的0,原不等式化為「°g2（〃+l）Jog2（f+l）+j20,

10g26Z10g26Z

因?yàn)閍>l,所以皿。>0,所以log2（/+l）Jog2（f+l）-lV0,

記〃。=log2（4+l）/og2（'+l）T，

因?yàn)閘og?（VF+l）>0,log2（/+1）>0且月og2（〃+1）與產(chǎn)log?”1）在[0,+8）上均單調(diào)遞增，所以/（f）在

[0,+8）上單調(diào)遞增，且f（1）=0,

即原問題轉(zhuǎn)化為0<V一辦+341恰有一個(gè)解，

根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)可知方程，一"+3=1有兩個(gè)相等的根，

所以A=Q2—8=0(。>1),解得a=2V2.

3.(23-24高一上?河南商丘?期末)已知函數(shù)/(x)=log.(x+D(a>0且awl)的圖象過點(diǎn)

X

⑴求不等式〃2x+3)/6)<3的解集；

⑵已知加eN*,若存在強(qiáng)(0,2),使得不等式/(但」7])<尸二與對任意xe[見8]恒成立，求加的最小

2xx

值.

7

【答案】(1)(-牙2)；

(2)6.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出4值及函數(shù)/(x),再解對數(shù)不等式即得.

(2)利用函數(shù)/'(x)的單調(diào)性脫去法則并變形，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立求解即得.

【詳解】(1)依題意，/(-1)=logfl1=-l,解得a=2,則”x)=log2(x+l),

YY+2

2

/(2x+3)/(-)=log2(2x+4)log2—=[log2(x+2)+l][log2(x+2)-l]=[log2(x+2)]-l,

2

不等式/(2%+3)〃?<3,BP[log2(x+2)]-4<0,解得一2<log2(x+2)<2,

17

貝I]有一<x+2<4,即一—<x<2,

44

7

所以原不等式的解集為(—-,2).

4

"Y10_k

(2)當(dāng)左G(0,2),X￡[%8]時(shí)，——1|>0,^>0,又“X)在[0,+刈上單調(diào)遞增，

2xx

kx10_kIT-V-12—k

則當(dāng)xe[加,8]時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于噂」T|<—恒成立，

2xx2xx

171

即左一2<一—%—1<2—左，旦,當(dāng)x=8時(shí)，左一2<32左一9v2—左，—<k<—,

2313

設(shè)函數(shù)g(x)=，x2-x-i,其圖象開口向上，對稱軸方程為尤=：€(3,^)，

=<1-2/A;.-=1-V2<0,即g(1)〈后一2,

k2kV2kk

斤1

又左一2<—x2—x—1<2—k對任意xG[冽,8]恒成立，貝lj—<加<8,

2k

于是g(x)在［加,8］上的最小值為g(m)=-m2-m-l,

71m2

原問題轉(zhuǎn)化為：存在左使得g(")>>2,即七一1)斤_加+1>0,

由于m>g>3,貝一1>0,要使(：一1比一冽+1>。成立，只需(號(hào)一1)-一%+1>0,

解得加>3+行，又加eN*,所以機(jī)的最小值為6.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)>=/(x)的定義區(qū)間為。，①若VxeD,總有機(jī)</(x)成立，則機(jī)</(x)mm；(D

若VxeD,總有加>/(x)成立，則機(jī)，/口久?、廴粲馿D,使得加<〃X)成立，則機(jī)〈/(0皿?、苋?/p>

BxeD,使得m>f(x)成立,則加〉/(x)^.

4.(23-24高一上?陜西西安?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=log“x(a>0,且awl).

⑴若函數(shù)〃x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線〉=x對稱，且點(diǎn)尸(-3,8)在函數(shù)g(x)的圖象上，求實(shí)數(shù)a

的值；

⑵在⑴的條件下，不等式/(小工)<2/^+2加_6)在.［4,9］上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴;

⑵(3,+8)

【分析】(1)由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)互為反函數(shù)得g(x)=0:再由過定點(diǎn)求解。；

(2)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在閉區(qū)間上的恒成立問題，結(jié)合二次函數(shù)圖象建

立不等式組求解可得.

【詳解】(1)由函數(shù)〃x)=log,x的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線了=x對稱，

則g(x)為/(X)=log〃x的反函數(shù)，即g(x)=a、(。>0,且"1),

又g(x)過P(-3,8),則有尸=8=23,解得。=:；

(2)由(1)知八無)=小產(chǎn)在(0,+8)為減函數(shù),

2

則m2x>0,且x+2加一6>0,

由題意，首先不等式/(療?<2〃》+2加-6)在［4,9］有意義，

設(shè)9(x)=x+2加-6,函數(shù)刎>)單調(diào)遞增,

則9(x)min=。(4)=2加-2>0,則加>1,此時(shí)也滿足加2%〉0.

lo22

不等式<2/(x+2m-6)可化為Si"x<log?+2m-6)；

貝！J有機(jī)—>(x+2加一6/，m>1,

則有x2+(4m-12-m2)x+(2m-6)2v0在工￡［491恒成立,

設(shè)人(外=/+(4”?-12-"/卜+(2加-6)2,函數(shù)A(x)圖象開口向上,

%(4)=-8機(jī)+4<0

解得〃?>3,滿足加>1.

h(9)=-5m2+12w+9<0

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(3,+口).

題型四：指數(shù)函數(shù)最值與不等式綜合問題

1.(23-24高二下?山東青島?期末)已知函數(shù)/(x)=3'+(02>3T(xeR)為奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)人的值；

⑵若對Vxe卜不等式+”3y6恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴"=1

(2)m<26

【分析】(1)由/(0)=0求出參數(shù)并檢驗(yàn)即可得解；

(2)分離參數(shù)并通過換元法可得加48+產(chǎn)一1,3WT9,故只需求出不等式右邊的最小值即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)?Xx)=3'+(左-2)3,。€即是奇函數(shù)，

所以〃0)=1+/—2)=0,解得左=1,此時(shí)〃x)=3，-3r=-〃-x),(xeR)符合題意.

(2)原問題即為曾€[-2廠1],3*-3-*+加f46,即“3,W6-3、+3r恒成立，

則加W6一3；：3、=6.3一+(3一')—1,

t=3~x,-.--2<x<-1,:.3<f<9,

則了=6-3-,+(3-*『-1=6f+/_1=?+3)2-10,

?.?3W9,.?.當(dāng)t=3時(shí)，y取得最小值26,

要使不等式在[-2,-1]上恒成立，則加426,

2.(23-24高一上?山東棗莊?期中)已知函數(shù)/(外=烏二+左(°>1)是奇函數(shù).

ax+1

⑴求實(shí)數(shù)后的值；

(2)若x>0時(shí)，關(guān)于x的不等式/(2x)WW(x)恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴4=-1

⑵[2,+叫

【分析】⑴根據(jù)"0)=0得到左=-1,再驗(yàn)證即可；

(2)變換得到?上(優(yōu)+1),設(shè)'O,'1+一],根據(jù)均值不等式計(jì)算得到〃(x)<2,即可得到加的范

-a2x+la+~7

圍.

r\0

【詳解】(1)/(x)是奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽,所以"0)=0,即二9二+左=0,解得左=-1.

a°+\

二篙-「六’〃-X)=/二喜一⑴，所以是奇函數(shù),

故左=-1.

~2xix1

(2)/(x)=^--l=^-^-,x>0,/(2x)WW(x)恒成立,4日Q—1a—1

行—：---<m---------

優(yōu)+1優(yōu)+1a2x+1ax+\

因?yàn)椤?gt;1,所以/>1,則4*-1>0,所以加2S+W.

a2x+\

優(yōu)+1):a2x+2ax+1,2ax,2

設(shè)力(x)=—=----------------=1H----------=1-|------------

a2x+l/+1/+1A-1>

aH------

ax

因?yàn)椤?++2,《，即時(shí)，等號(hào)成立,

當(dāng)且僅當(dāng)優(yōu)x=0

22

1G44=1H----------<1H=2

又x>0,所以二+—>2,故r''A.12

axa+—

a

所以加22,即nte[2,+co).

3.(23-24高一上?山東濟(jì)寧?期中)設(shè)函數(shù)〃x)=3-2ar(a>0,aNl#eR),/(x)是定義域?yàn)镽的奇函

數(shù).

(1)確定左的值.

(2)若/⑴=3,判斷并證明〃x)的單調(diào)性;

(3)若0=3,使得2/(x)V(4+l)/(x)對一切xe卜2,-1]恒成立,求出X的范圍.

【答案】(1)2

(2)〃x)在R上單調(diào)遞增，證明見解析

(3)(-8』

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)/X-x)+/(x)=0計(jì)算可得；

(2)首先求出。的值，即可得到函數(shù)解析式，再利用單調(diào)性的定義證明即可；

(3)依題意可得2。-1乂3，-3一,"0對xe[-2,-U恒成立，由3，-3r<0,即可得到2(2-1)W0,從而得

解.

【詳解】(1)因?yàn)?(司=版'-是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),

則/(-x)+/(x)=kax-2ax+kax-2ax=(k-2)(/+a')=0,

而優(yōu)+「>0,解得k=2,

所以左的值是2.

(2)由⑴得/(x)=2a-是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

又/。)=3,則2a—2°-=3,即2a2—3°—2=0,又解得a=2,

則/3=2(2'-2-，)

所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：

設(shè)VXi，Z￡R且王</，

則“不)-〃馬)=2(2』-2一』)-2(2二2』)=2付-2%)(：!+//,

1

因?yàn)橛?lt;%,貝1]0<2$<29，即2$一2*2<0,1+rr>0,

21-22

于是得-即/&)</(%),

所以函數(shù)/'(x)在定義域R上單調(diào)遞增.

(3)當(dāng)。=3時(shí)，/&)=2(3'-3-)

因?yàn)閂xe[-2,-1],2/(x)<(2+l)/(x)?2(A-l)(3t-3-l)>0,

因?yàn)楹瘮?shù)了=3,-3T在-2,-1]上單調(diào)遞增，所以3,-3一工W3T_3<0，

所以2(2-1)40,解得4W1,所以X的取值范圍為(-85.

4.(23-24高一上?天津?yàn)I海新?期中)己知函數(shù)/(x)=x+g,g(x)=2，+a.

⑴證明函數(shù)〃X)=X+—在(0,2上單調(diào)遞減；

X

(2)若1,1,3X2G[2,3],使得/(占)*伍)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若關(guān)于x的不等式：”x)Wg(x)在(0,2]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)a<l

(3)tz>0

【分析】(1)利用定義法作差變形判斷得到結(jié)論即可；

(2)轉(zhuǎn)化為了('LnNg(x)min即可得到答案；

(3)轉(zhuǎn)化為〃2'],再設(shè)新函數(shù)求出右邊最小值即可.

卜工7min

【詳解】(1)證明：任取0<玉<%42,f(xl)-f(x2)=xi+--x2--=

再x2x1x2

0<Xj<x2<2,0<匹％2<4,玉一<°,

.?./(%1)-/(x2)>0,/(xj)>/(x2)

4/r

即函數(shù)〃x)=X+[在(0,2]上單調(diào)遞減.

(2)由(1)的結(jié)論知/(x)在1,1上單調(diào)遞減，貝iJ/XxUL/aXS,

因?yàn)間(x)在[2,3]上單調(diào)遞增，所以g(x)min=g⑵=4+a

若fe1,1,3x2e[2,3],使得/⑷*(%),則/。焉2gQ).

即524+〃，解得

(3)由題意得在(0,2]上有解，

X

即a"+3-2工在(0,2]上有解，所以+,

x\X7min

4

設(shè)〃(X)=X+—2\

因?yàn)椤▁)=x+：在(0,2]單調(diào)遞減，了=-2,在(0,2]單調(diào)遞減，

所以"x)=x+：-2，在(0,2]上單調(diào)遞減，

4

所以“(X)1nhi=〃⑵=2+/-22=0,所以aNO.

題型五：求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

122

1.(2024?山東荷澤?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(工)=1+小(工￡[記/00]),則函數(shù)/(%)=2[〃初小段的值域?yàn)?

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,2]

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出;'(X)的值域，再借助二次函數(shù)求出[/(尤)]2一/(一)的值域,

最后利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.

—<X<100r—

【詳解】由，可得43<xW10，

—<x2<10010

[10

函數(shù)/(x)=1+如在[平,10]上單調(diào)遞增，/(X)e[1,2],

令t=[/(x)]2-/(x2)=[/(x)]2-l-21gx=[/(x)]2-2f(x)+1=[/(x)-l]2e[0,l],

而函數(shù)y=2,在[05上單調(diào)遞增，貝U1W2'W2，

所以函數(shù)尸(x)=2"(切5-的值域?yàn)閇1,2].

故選：D

2.（23-24高一上?浙江杭州?階段練習(xí)）函數(shù)〃x）=log2（/+2x+2）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-oo,l）B.[0,+oo）C.[0,1）D.（-oo,0]

【答案】B

【分析】利用換元法和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求得函數(shù)/（x）=log?（/+2X+2）的值域

【詳解】函數(shù)/（x）=log2e+2x+2）的定義域?yàn)镽,

t=X2+2x+2,貝ljf=（x+l）+121,

又y=log2x在[1,+<?）上單調(diào)遞增，則log?，>log2l=0,

則函數(shù)〃x）=1幅，+2x+2）的值域?yàn)閇0,+8）

故選：B

3.（23-24高一上?陜西西安?階段練習(xí)）已知函數(shù)/3=1暇（2'+左WeR）.

（1）當(dāng)左=-4時(shí)，解不等式/（x）>2；

⑵若函數(shù)的圖象過點(diǎn)尸（0,1）,求函數(shù)g（x）=/（x）-x的值域.

【答案】⑴（3,+8）

⑵（0,+“）

【分析】（1）當(dāng)左=-4時(shí)，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出不等式y(tǒng)（x）>2的解集；

（2）由/（。）=1可求出發(fā)的值，再化簡函數(shù)g（x）的解析式，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可得出函

數(shù)g（x）的值域.

J

【詳解】⑴解：當(dāng)左=-4時(shí)，/（x）=log2（2-4）.

由〃x）>2,得log?（2-4）>2,得2:4>4,得2,>8,解得x>3.

故不等式/（x）>2的解集是（3,+8）.

（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)〃苫）=皿2（2，+粗h2的圖象過點(diǎn)網(wǎng)0,1）,所以〃0）=1,

即10g2（l+左）=1,解得左=1.所以/。）=1嗝（2'+1）.

所以g（x）=log2（2"+l）-x,

XX

則g（x）=log2（2,+1）-x=log2（2+l）-log22=log2=log2

因?yàn)椋?gt;0,則1+log2^l+^>0,所以g（x）的值域?yàn)椋?,+s）.

4X_i_i

4.（23?24高三上?江蘇南通?期中）已知函數(shù)=為奇函數(shù).

⑴解不等式

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=log2}log2：+M，若對任意的』e[2,8],總存在％e(O,l],使得8(網(wǎng))=/伍)成立，求實(shí)

數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【答案】(1)0<X<1

23

【分析】(1)根據(jù)奇偶性的定義直接可得參數(shù)值，進(jìn)而可判斷函數(shù)的單調(diào)性，解不等式；

(2)由(1)可得/(%)的值域A,再利用換元法設(shè)f=log?x,可得g(xj的值域B,根據(jù)3=/,列不等

式可得解.

【詳解】(1)由已知函數(shù)需滿足4*+4中0,

當(dāng)“20時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽,

又函數(shù)f(x)=U■為奇函數(shù)，所以〃-x)=-/卜)，即在R上恒成立，即(a+1乂4,+1)=0,

'/4、+。4一”+。4+。''

a=-\(舍),

當(dāng)Q<0時(shí)，x^log4(-a),函數(shù)的定義域?yàn)?―8,log4(—q))U(log4(—。),+8),

又函數(shù)=為奇函數(shù)，所以log4(p)=0,a=-l,

此時(shí)〃x)=沼，滿足/(r)=-/(x)，為奇函數(shù)，成立，

所以〃x)=S=l+°-,

J\)4-14-1

所以函數(shù)〃X)在(-8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減，

且當(dāng)X€(-<?,0)時(shí)，f(x)<0,當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，f(x)>0,

所以=解得0<x<l；

(2)由⑴得〃苫)=富■在xe(O,l]的值域4=|,+^,

Xg(x)=log21-log2^+/n=(log2x-l)(log2x-2)+m,XG[2,8]

設(shè)％=log2x,te[1,3],貝!Jy=(￡-1)?—2)+加=/一3%+2+加，

31

當(dāng)時(shí)，取最小值為-^+加，當(dāng)、=3時(shí)，取最大值為2+加，

即g(x)在xe[2,8]上的值域8=-；+加,2+機(jī),

又對任意的石E[2,8],總存在％2￡(05，使得g(再)=/(9)成立，

即3qZ,

所以一!+優(yōu)2,，

43

23

解得〃72r

題型六：根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域求參數(shù)

I.(23-24高一上?天津?階段練習(xí))函數(shù)y=lg[x2+(羽-2)x+l]的值域?yàn)镽.則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.(0,4)B.[0,4)C.(F,0)U(4,+8)D.(-?,0]U[4,+?)

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式求解即得.

【詳解】由函數(shù)>=lg[Y+(加-2)x+l]的值域?yàn)镽,得/+(m-2)x+l的值域包含正實(shí)數(shù)集，

因此(加一2)2-420,解得〃或〃

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-s,0]U[4,+co).

故選:D

2.(23-24高一上?江蘇南京?期末)已知函數(shù)〃x)=logjx+：-4]在(0,+⑹上的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

A.(4,+co)B.

C.(0,4]D,(0,l)u(l,4]

【答案】D

【分析】設(shè)g(x)=X+，4,則函數(shù)“X)在(0,+8)上的值域?yàn)镽等價(jià)于在(0,+8)上8(”小0,結(jié)合基本

不等式求解即可.

【詳解】設(shè)g(x)=x+￡-4,

因?yàn)?log(X+/41的值域?yàn)镽,所以g(x)min<0,

又XG(0,+OO),所以％+q-422'?色一4=26-4,

xVx

即g(x)min=26-440,解得：0<〃(4且QW1,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(O」)u(l,4].

故選：D.

3.(23?24高一上?上海?假期作業(yè))設(shè)函數(shù)V=lg(辦2+2x+l)的值域是R,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】［0,1］

【分析】設(shè)〃x)=ax2+2x+l的值域?yàn)?,分析可得(0,+s)1/,分。=0和"0兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)

性質(zhì)分析求解.

【詳解】設(shè)〃x)=#+2x+l的值域?yàn)?,

若函數(shù)>=lg(以？+2x+l)的值域是R,可得(0,+s)包/,

若。=0,可得/(x)=2x+l的值域?yàn)?=R,符合題意；

〉0

若"0,可得八“、c，解得OKI；

［A=4-4Aa>0

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍［05

題型七：根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式

1.(23-24高一上?安徽合肥?階段練習(xí))已知二次函數(shù)“X)滿足〃x+l)-/(x)=2x+3,且〃0)=2.

⑴求/(x)的解析式；

(2)已知加eR,討論“X)在［機(jī)，加+2］上的最小值；

(3)若當(dāng)xe0,手時(shí)，不等式/(x)-2x<k>g.x+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)/屏)=/+2工+2

(2)答案見解析

【分析】(1)設(shè)“x)=ax2+6x+c(aw0),代入"0)=2得到c值，計(jì)算

/(x+1)-/(無)=2辦+a+6=2x+3,得到方程組，解出。力值，即可得到解析式；

(2)分加W-3,-3〈加<-1和加2—1討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得到其最小值;

(3)不等式化簡為logax,分。>1和0<。<1討論，當(dāng)0<a<l時(shí)，利用函數(shù)k產(chǎn)-log”x的單調(diào)性即

可得到不等式組，解出即可.

【詳解】(1)設(shè)/(x)=ax2+Z>x+c("R0),因?yàn)?'(0)=2,所以c=2,

川\f(x)=ax2+bx+2,

[/(x+l)=a(x+1)2+b(x+1)+2.

因?yàn)閒(x+1)-/(x)=2ax+a+b=2x+3,

[2a=2,(a=1,

所以口a解得八)

[a+b=3,[b=2.

故/(x)=x2+2x+2.

(2)/(x)=x2+2x+2=(x+1)2+1.

當(dāng)加+2W-1,即加工-3時(shí)，“X)在［加,加+2］上單調(diào)遞減,

所以/(x)min=f(m+2)=(m+3)2+1=/+6%+1o；

當(dāng)加<-1且加+2>-1,即-3〈僅<-1時(shí)，

在［m,-l］上單調(diào)遞減,在［-1,加+2］上單調(diào)遞增，

所以/(X焉=/(一1)=1；

當(dāng)加2—1時(shí)，“X)在阿，加+2］上單調(diào)遞增，

所以/(x)min=/(加)=〃/+2機(jī)+2.

2

綜上，當(dāng)相《一3時(shí)，/(x)min=m+6m+10；

當(dāng)-3<唐<-1時(shí)，/Wmin=1;

當(dāng)加2—1時(shí)，/(x)min=俏2+2m+2.

(3)不等式〃x)-2x<log.x+2可化簡為/<log“x.

、，(V2

因?yàn)閤e0,--,所以/e0,；.

要使xe0,(時(shí)，x2<k>g"X恒成立，顯然。>1時(shí)不可能.

當(dāng)0<。<1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=x2、y=-log&x在0,—上均為增函數(shù)，