中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：相交線與平行線的性質(zhì)與判定之八大考點(diǎn)（解析版）

專題09相交線與平行線的性質(zhì)與判定之八大考點(diǎn)

廠工【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【考點(diǎn)一對(duì)頂角的辨別】...................................................................1

【考點(diǎn)二利用對(duì)頂角相等求角度】...........................................................2

【考點(diǎn)三同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別】................................................4

【考點(diǎn)四添加一條件使兩條直線平行】.......................................................5

【考點(diǎn)五平行線的判定】...................................................................6

【考點(diǎn)六根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度】.........................................................9

【考點(diǎn)七平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】...................................................11

【考點(diǎn)八平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】...................................................13

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】.........................................................................17

【典型例題】

【考點(diǎn)一對(duì)頂角的辨別】

例題：下列所給的N1和N2中，是對(duì)頂角的是（）

【答案】C

【詳解】N、兩個(gè)角沒(méi)有公共頂點(diǎn)，不符合對(duì)頂角的定義，故N項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、N1的反向延長(zhǎng)線并不是N2的兩邊，不符合對(duì)頂角的定義，故8項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、N1的反向延長(zhǎng)線是N2的兩邊，且兩角有公共頂點(diǎn)，符合對(duì)頂角的定義，故C項(xiàng)正確;

。、兩個(gè)角沒(méi)有公共頂點(diǎn)，不符合對(duì)頂角的定義，故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：c.

【變式訓(xùn)練】

1.下列各圖中，N1與N2是對(duì)頂角的是（）

【答案】C

【詳解】解：/、N1的兩邊不是22的兩邊的反向延長(zhǎng)線，N1與/2不是對(duì)頂角，故該選項(xiàng)不合題意;

B、N1的兩邊不是N2的兩邊的反向延長(zhǎng)線，N1與N2不是對(duì)頂角，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、N1的兩邊分別是N2的兩邊的反向延長(zhǎng)線，N1與N2是對(duì)頂角，故該選項(xiàng)符合題意；

D、N1的兩邊不是/2的兩邊的反向延長(zhǎng)線，N1與/2不是對(duì)頂角，故該選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

2.如圖，N1和22是對(duì)頂角的是（）

【答案】C

【詳解】解：4N1和N2的兩邊不互為反向延長(zhǎng)線，不是對(duì)頂角，不符合題意;

B、N1和N2沒(méi)有公共頂點(diǎn)，不是對(duì)頂角，不符合題意；

C、N1和N2是對(duì)頂角，符合題意；

D、N1和/2的兩邊不互為反向延長(zhǎng)線，不是對(duì)頂角，不符合題意；

故選C.

【考點(diǎn)二利用對(duì)頂角相等求角度】

例題：如圖，兩條直線相交于點(diǎn)。，若/1+/2=60。，則N2=度.

【答案】30

【詳解】解：,?,Nl+/2=60。，Z1-Z2（對(duì)頂角相等）,

Z2=30°.

故答案為：30.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知直線N8和。相交于。點(diǎn)，/DOE=90。，射線O尸平分N2OE,ABOD=22°,求/COF

的度數(shù).

【詳解】解：???/。。￡=90。，

Z.COE=1804=90°=90°,

???ZBOD=22°,

???ZAOC=ZBOD=22°,

??.NAOE=/AOC+/COE=112°,

???0尸平分/4OE,

:.ZAOF=-ZAOE=56°,

2

ZCOF=ZAOF-ZAOC=56°-22°=34°.

2.如圖，直線48,CD相交于點(diǎn)。，0/平分/EOC.

(1)若NEOC=70。，求的度數(shù)；

⑵若ZEOC:ZEOD=2:3,求ZBOD的度數(shù).

【詳解】⑴解：/平分NEOC,

:.ZAOC=-ZEOC=-x7Q°=35°,

22

ZBOD=ZAOC=35°；

(2)解：設(shè)N￡OC=2x,貝i]NEOO=3x,

根據(jù)題意得2x+3x=180。，

解得：x=36。，

ZEOC=2x=72°,

ZAOC=-ZEOC=1x72°=36°,

22

:.ZBOD=ZAOC=36°.

【考點(diǎn)三同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別】

A.N5與N4是對(duì)頂角B.N1與/3是同位角C.N2與/3是同旁內(nèi)角D.N1與N2是同旁內(nèi)

角

【答案】D

【詳解】N、N5與N2+N3是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、N1與/3+/4是同位角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、N2與23沒(méi)有處在兩條被截線之間，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

D、N1與N2是同旁內(nèi)角；故本選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，a,b,c三條直線兩兩相交，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.N1與N2是同位角B.N2與24是內(nèi)錯(cuò)角

C./3與24是對(duì)頂角D.N1與/3是同旁內(nèi)角

【答案】B

【詳解】解：A.N1與/2是直線0、直線6被直線c所截，所得到的同位角，因此選項(xiàng)N不符合題意;

B.N2與N4是直線.、直線c被直線6所截，所得到的同位角，因此選項(xiàng)3符合題意；

C./3與N4是對(duì)頂角，因此選項(xiàng)C不符合題意；

D.N1與23是直線6、直線c被直線。所截，所得到的同旁內(nèi)角，因此選項(xiàng)。不符合題意；

故選：B.

2.下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.N2與/4是同旁內(nèi)角B./3與/4是內(nèi)錯(cuò)角C./5與/6是同旁內(nèi)角D.N1與

N5是同位角

【答案】C

【詳解】解：4N2與/4是同旁內(nèi)角，說(shuō)法正確；

B、/3與N4是內(nèi)錯(cuò)角，說(shuō)法正確；

C、/5與/6不是兩條直線被第三條直線截成的角，說(shuō)法錯(cuò)誤；

D、N1與N5是同位角，說(shuō)法正確.

故選：C.

【考點(diǎn)四添加一條件使兩條直線平行】

例題：如圖，點(diǎn)￡在/C的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件，使N3〃CD.

【詳解】解：當(dāng)/DCE=//時(shí)，AB〃CD；

當(dāng)/1=/2時(shí)，AB//CD-

當(dāng)NN+N4CD=180。時(shí)，AB//CD.

故答案為：/I=/2或NDC￡=N4或N/+N/CD=180。（任填一個(gè)即可）.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在下列四組條件中：①N1=N2,②/3=/4,（3）ABAC=ZACD,?ZBAD+ZABC=180°,

能判定8c的是.（填序號(hào)）

【答案】①②④

【詳解】解：①N1=N2,能判斷ZD/8C,故此選項(xiàng)符合題意；

②???/3=/4,.?./D〃8C,故此選項(xiàng)符合題意；

③；NBAC=/ACD,AB//CD,故此選項(xiàng)不符合題意；

④?.?/3/O+//8C=180。，AD//BC,故此選項(xiàng)符合題意，

故答案為：①②④.

2.如圖，對(duì)于下列給出的四個(gè)條件：①N1=N3；②/2=/3；③N4=/5；④N2+N4=180。中，能

判定4〃12的有.（填寫正確條件的序號(hào)）

【答案】①③④

【詳解】解：①4=/3能判定（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）;

②/2=/3不能判定/1〃/2；

③N4=N5能判定4〃/2（同位角相等，兩直線平行）；

@/2+/4=180。能判定4〃4（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；

故答案為：①③④.

【考點(diǎn)五平行線的判定】

例題：如圖，已知NCL/E,BD1BF,Zl=35°,Z2=35°.NC與8。平行嗎？4E與BF平行嗎？閱讀

下面的解答過(guò)程，并填空或填寫理由.

解：/C與AD平行；NE與3尸平行，理由如下:

Zl=35°,N2=35°

Z1=Z2

()//()()；

又；AC±AE

ZEAC=90°

ZEAB=ZEAC+/I=()。

同理可得/F8G="3O+/2=()°

()//()().

【詳解】解：/C與AD平行；/￡與3尸平行，理由如下：

???Nl=35。，N2=35°

Nl=Z2

(同位角相等，兩直線平行)；

又；AC1AE

：.ZEAC=90°

/R4B=NE4C+N1=125。

同理可得NFBG=ZFBD+Z2=125°

(同位角相等，兩直線平行).

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，Zl=60°,Z2=60°,Z3=120o.

試說(shuō)明DE〃3C,D廠〃22,根據(jù)圖形，完成下列推理:

?.-Zl=60°,Z2=60°(已知)

，.Nl=/2（等量代換）

//（）

?.?48,Z）E相交，

.?.N4=N1=6O。（）

??-23=120°

.-.Z3+Z4=180°

.??_〃_（）

【詳解】?.?/1=60。,/2=60。（已知）

??.Z1=Z2（等量代換）

.■.DE//BC（同位角相等，兩直線平行）

■■AB,DE相交,

.-.Z4=Z1=6O°（對(duì)頂角相等）

?1?Z3=120°

.??Z3+Z4=180°

.-.DF//AB（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

故答案為：DE,BC,同位角相等，兩直線平行；對(duì)頂角相等；DF,AB,同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平

行.

2.如圖，直線CD、EF交于點(diǎn)、O,OA,08分別平分/COE和NDOE,已知/1+/2=90。，且

/2：/3=2：5.

⑴求4809的度數(shù)；

⑵試說(shuō)明48〃CD的理由.

【詳解】（1）-OA,08分別平分/COE和NDOE,

NAOE=ZAOC=-ZCOE,Z2=ZBOE=-ZDOE,

22

???NCOE+NDOE=180。，

.??/2+//。。=90。，

???ZCOE=Z3,

：.ZAOC=-Z3,

2

.-.Z2+-Z3=90°,

2

vZ2：Z3=2:5,

Z3=-Z2,

2

.?.Z2+-x-Z2=90°,

22

??.N2=40。，

.-.Z3=100°,

Z^(9F=Z2+Z3=140°；

(2)vZl+Z2=90°,/2+4OC=90。，

??.Z1=ZAOC,

??.AB//CD.

【考點(diǎn)六根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度】

例題：如圖，AB//CD,/CEF=85。，則的度數(shù)是()

【答案】B

【詳解】解：???NCE尸=85。，

ZDEF=180°-ZCEF=180°-85°=95°,

vAB//CD,

ZA=ZDEF=95°,

故選：B.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，己知A8〃CD,ZABD=40°,BE平分NABC,且交CD于點(diǎn)D,則/C的度數(shù)為

【答案】100。/100度

【詳解】解：平分

NABC=2ZABD,

???NABD=40°,

ZABC=2x40°=80°,

AB//CD,

ZC=180°-ZABC=180°-80°=100°.

故答案為：100。.

2.如圖，點(diǎn)8是△4DC的邊AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),。E〃BC,若NC=50。，NBDE=60。,則/CD3的度

數(shù)等于.

【答案】110。/110度

【詳解】解：.?,OEIINC,ZC=50°,

ZCDE=NC=50°,

.-ZBDE=6Q°,

ZCDB=ZCDE+ZBDE=50°+60°=110°.

故答案為：110°.

3.已知：AB//CD,OE平分44OD,。尸_LOE于。，ZZ>=60°,求aBO尸的度數(shù).

【詳解】-.-AB//CD

ZBOD=60°

??,(?石平分乙40。

.-.ZEOD=-ZAOD=60°,

2

-OFLOE

???/EOF=90°

??./DOF=/EOF-ZEOD=30°

??.ZBOF=/BOD-/DOF=30°

【考點(diǎn)七平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】

例題：一條古稱在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知/1=80。，貝lJ/2=

Z5CZ)=Z1=80°,

.*.Z2=180°-80°=100°.

故答案為：100.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖為一盞可折疊臺(tái)燈及其平面示意圖，其中支架與底座O石垂直，支架AB,8C為固定支撐桿,

當(dāng)燈體C。與底座O石平行時(shí)，4/0=138。，48=154。，則的度數(shù)為。.

【答案】74

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)3作5G〃CZ),過(guò)點(diǎn)A作Z方〃

???AOLOE,

??.N4OE=9。。,

??.AF//OE,

???/。4尸=90。，

???/A4O=138。，

???/氏4尸=138?！?0。=48。，

-BG//CD,AF//OE,CD//OE,

/.BG//AF,

??.ZABG=ZBAF=48°.

vZBCD=\54°,BG\\CD,

.?.NGBC+/BCD=180。,

.-.ZC5G=180°-154°=26°,

."ABC=ZABG+ZCBG=480+26°=74°.

故答案為：74.

cD

2.光在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時(shí)，會(huì)發(fā)生折射，如圖，在空氣中平行的

兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水面和杯底互相平行，且/1=122。，則

【詳解】解：如圖，,??水面和杯底互相平行,

.?./1+/3=180°,又/1=122°,

.?.13=180°-/1=58°,

???水中的兩條折射光線是平行的，

:/2=/3=58°，

【考點(diǎn)八平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】

例題如圖，點(diǎn)￡在上，點(diǎn)尸在上，CE、3尸分別交4D于點(diǎn)G、H,已知乙4=N/GE,

ZD=ZDGC.

E

AB

2

LFD

⑴與。。平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵若N2+Nl=180。，且/B￡C=2/B+30。，求/C的度數(shù).

【詳解】(1)解：AB//CD,理由如下：

???ZA=/AGE,ZD二ZDGC,

又???AAGE=ZDGC,

???NA=ND,

??.AB//CD；

(2)vZ2+Zl=180°,ZCGD+Z2=180°,

.-.Z1=ZCGZ),

CE//BF,

;?/C=/BFD,ZBEC+ZS=180°,

???ZBEC=2ZB+30°,

???/8EC+/5=24+30。+4=3/5+30。=180。，

ZB=50°,

???AB//CD,

???ZB=ZBFD,

.-.ZC=Z5=50°.

【變式訓(xùn)練】

1.已知4B〃CD,點(diǎn)E是45上一點(diǎn)，EM平分NAED交CD于點(diǎn)、M.

AEBA____EB

⑴如圖1,若/￡?！?68。，求N瓦以）的度數(shù);

(2)如圖2,若M4平分NENC,EN1EM,/BEN=30。，判斷與。E之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【詳解】(1)解：?/AB//CD,

:.AAED+AEDM=\^°.

???4EDM=68。,

:.AAED=\\20.

又YEM平分N4ED,

/.ZAEM=/MED=-ZAED=56°.

2

???AB//CD,

ZEMD=ZAEM=56°.

(2)解：MA//DE.理由：

???EMVEN,

/MEN=90°.

?/ZBEN=30°,

ZAEM=180°-90°-30°=60°.

AB//CD,

/EMD=ZAEM=60°.

NCME+/EMD=180°,

.?.ZCAffi=180°-60°=120°.

?;MA平分/CME,

NAME=-ACME=60°.

2

?；EM平分NAED,

ZMED=ZAEM=60°,

/.NAME=/MED,

/.MA//DE.

2.如圖，已知AD〃BC,/DC￡=90。，點(diǎn)E在線段上，/ECG=90。，點(diǎn)方在直線上,

////G=90。.ZECF=60°.

⑴求證：/B=/D.

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在線段4。上時(shí)，求N3CZ)的度數(shù)；

⑶在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)。(點(diǎn)C不與點(diǎn)5、H重合)從點(diǎn)3出發(fā)，沿射線BG的方向運(yùn)動(dòng)，其他條件不

變，請(qǐng)求出/氏4尸的度數(shù).

【詳解】(1)證明：???力?！?。，

??./D=ZDCG,

???AB//DC,

NDCG=/B,

???/B=/D,

(2)?.?NECF=60。,ZDCE=90°,

??.ZFCD=ZDCE-ZECF=30°,

又???/FCG=90。,貝ljNBCF=90。，

"BCD=ZFCD+ZBCF=30°+90°=120°,

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段助上時(shí)，點(diǎn)/在。/延長(zhǎng)線上，

ZECF=ZDCG=/B=60°,

???AD〃BC,

??.ZBAF=/B=60°；

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)尸在線段4。上,

?.?/B=60°,AD//BC,

；./B+/B4F=180。,

4/尸=180°-60°=120°；

綜上所述，NBAF的度數(shù)為60°或120°.

1——1【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.(2023上?重慶?九年級(jí)?？计谥?如圖，直線a,6被直線c所截，若。〃人，Z1=48°,則N2的度數(shù)是

()

C.142°D.132°

【答案】D

【分析】本題考查平行線性質(zhì)，根據(jù)平行線性質(zhì)得到N1內(nèi)錯(cuò)角的大小，結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得到答案;

【詳解】解：Nl=48。，

c

2

a

Z3=Z1=48°,

.-.Z2=180°-48°=132°,

故選：D.

2.（2023下?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，ABVCD,垂足為2,直線即過(guò)點(diǎn)2,NCBF=25。，則的度

A.25°B.65°C.115°D.155°

【答案】B

【解析】略

3.（2023上,黑龍江哈爾濱?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，下面所給的角的關(guān)系中，能夠判定8c的是

()

A.N/8C+N8CD=180°B.ZABC+ZBAD=1SO°

C.ZABD=NBDCD.ZABC=ZADC

【答案】B

【分析】本題考查平行線的判定，由平行線的判定定理"內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平

行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行"，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：4能判定不能判定不符合題意；

B、由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可判定符合題意；

C、能判定48〃CD,不能判定4D〃8C,不符合題意；

D、兩角不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角，不能判定4D〃8c.

故選B.

4.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，下列結(jié)論正確的是（）

A.N5與N4是對(duì)頂角B.N1與/3是同位角C./2與/3是同旁內(nèi)角D.N1與

N2是同旁內(nèi)角

【答案】D

【分析】本題考查同位角同旁內(nèi)角、對(duì)頂角，根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、對(duì)頂角的定義進(jìn)行判斷，熟練掌握

各角的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】/、/5與N2+N3是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、N1與/3+/4是同位角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、N2與23沒(méi)有處在兩條被截線之間，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、N1與22是同旁內(nèi)角；故本選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

5.（2023上?四川遂寧,七年級(jí)射洪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB//CD,尸為43上一點(diǎn)，F(xiàn)D//EH,且

FE平貨NAFG,過(guò)點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)G,且44尸G=2/D,則下列結(jié)論：①ND=40。；

②2ND+NEHC=90°；③FD平分/HFB；④）FH平分NGFD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

4.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】A

【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，延長(zhǎng)FG交CH于/,構(gòu)造出直角三角形，利用直角

三角形兩銳角互余解答，熟練掌握角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)FG交于/,

F

AB

C/HD

AB//CD,

ZBFD=ZD,ZAFI=AFIH,

???FD〃EH,

NEHC=ZZ),

FE平分ZAFG,

ZFIH=2ZAFE=2ZEHC,

3/EHC=90°,

ZEHC=30°,

:.ZD=30°,故①錯(cuò)誤，不符合題意；

2ZD+ZEHC=2x30°+30°-90°,故②正確，符合題意；

?:FE平分ZAFG,

ZAFI=30°x2=60°,

■：乙BFD=30°,

ZGFD=90°,

ZGFH+ZHFD=90°,可見(jiàn)/HFD的值未必為30。，的值未必為45。,只要和為90。即可,

FD平分/HFB,尸X平分/GED不一定正確，故③④錯(cuò)誤，不符合題意；

綜上所述，正確的是②，共1個(gè)，

故選：A.

二、填空題

6.（2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，如果Nl=/2,那么48〃CD,其依據(jù)是

【答案】同位角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行進(jìn)行推理論證即可.

【詳解】解：=

.■.AB//CD（同位角相等，兩直線平行），

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行，熟練掌握平行線的判定定理是解題的

關(guān)鍵.

7.（2023下?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知48〃CD,若乙4=20。，NE=35。，則/C=.

【答案】55°

【解析】略

8.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示的四個(gè)圖形中，N1和N2

【答案】①②④

【分析】根據(jù)同位角的定義，逐一判斷選項(xiàng)，即可得到答案.

【詳解】解：①一和N2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角；

②N1和42在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角；

③N1與N2分別是四條直線中的兩對(duì)直線的夾角，不符合同位角的定義，故它們不是同位角；

④N1和42在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查同位角的定義，掌握同位角的定義："兩條直線被第三條直線所截，在兩條直線的同

側(cè)，在第三條直線的同旁的兩個(gè)角，叫做同位角”，是解題的關(guān)鍵.

9.（2023上?四川成都?八年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┨?yáng)灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈以及其他很

多物品都與如圖所示的曲線有關(guān)、如圖，從點(diǎn)。照射到曲線上的光線08,OC等反射以后沿著與尸。。平

行的方向射出.圖中如果

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得乙48。=/8。尸，兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ)可得NDCO+NQOC=180。，然后計(jì)算即可得解.

；.NABO=ZBOP=40°,

■.-CD\\PQ,

.?.ZDCO+N00c=180°,

gpZZ>CO+65°=180°,

解得〃CO=115。.

故答案為：40°；115°.

10.（2023上?江西上饒?九年級(jí)統(tǒng)考期中）將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起（其中乙4=60。，

ZD=30°,ZE=ZB=45°）,若固定ANCO,改變ABCE的位置（其中點(diǎn)C位置始終不變），且

//CE<135。，點(diǎn)￡在直線NC的上方.當(dāng)?shù)囊贿吪cABCE的某一邊平行時(shí)，則NNCE所有可能的度

數(shù)為:.

【答案】30?；?5?；?20。

【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，注意利

用兩角互余的性質(zhì)，角的和差進(jìn)行計(jì)算.

分4種情況進(jìn)行討論：①BC//4D；②BE〃AC；③AD/CE；@BE||CD-結(jié)合平行線的判定與性質(zhì)

進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，

■,-BC//AD,

ZBCD=ZD=30°,

.?.//C8=90°+30°=120°,

；.NACE=NACB-NBCE=120°-90°=30°；

②當(dāng)BE〃/C時(shí)，如圖，

■：BE//AC,

■.ZACE=NE=45°；

③當(dāng)/D〃CE時(shí)，如圖,

D

AC

'B

AD//CE,

ZDCE=ZD=30°,

.?./4CE=90°+30°=120°；

④當(dāng)2E||CD時(shí)，如圖，

■.■BE\\CD,

.-.ZDCE=ZE=45°,

ZACE=ZACD+ZDCE=135°；

綜上所述：當(dāng)NNCE=30?；?5。或120。時(shí)，有一組邊互相平行.

故答案為：30?；?5?；?20。.

三、解答題

11.(2023下?云南昆明?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，點(diǎn)E、尸分別在48、CD上，于點(diǎn)

O,Nl=NB.

⑴求證：//F8=90。；

(2)若NN+N2=90。，求證：/8〃CD.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）先證CE〃BF得ZAOE=N4FB,由4F_LCE得N/必=4OE=90。；

(2)利用平角定義得出乙4FC+N2=90。，結(jié)合//+N2=90?？梢缘贸?AFC=//,從而得證.

【詳解】(1)=

CE//BF,

；.NAOE=NAFB,

AFVCE,

ZAOE=90°,

ZAFB=90°；

(2)-?-ZAFC+ZAFB+Z2=180°,

.?.ZAFC+Z2=90°,

■■ZA+Z2=90°,

；./AFC=乙4,

AB//CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，并靈活運(yùn)用.

12.(2023上?吉林長(zhǎng)春?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，點(diǎn)4B、。在同一條直線上，點(diǎn)。、E、G在同一條直線上,

連接。8、CE,過(guò)點(diǎn)E作E尸〃DB,已知N1=N2=52。.

⑴求證：DG//AB；

⑵若EC平分—EE。，求/C的度數(shù).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)64°

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、利用鄰補(bǔ)角求角的度數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)

點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)由平行線的性質(zhì)可得N/=ND,從而得出ZD=N2,從而即可得出QG〃4B；

(2)由角平分線的定義可得=尸，利用鄰補(bǔ)角求出/。斯=128。，從而得出

2

/DEC=g/DEF=64°,最后由平行線的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】（1）證明：???斯〃。5,

Zl=ZD,

???Nl=N2,

/。=N2.

DG//AB；

（2）解：；EC平分NFED,

:.ZDEC=-ZDEF,

2

Zl=52°,

.?.ZDEF=180。-4=128°,

ZDEC=-ZDEF=64°,

2

???DG//AB,

ZC=ZDEC=64°.

13.（2023上?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知N1=N3OC,N2+N3=180。.

(1)/。與EC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵若D4平分/8DC,于點(diǎn)A,Z1=76°,求NE42的度數(shù).

【答案】⑴平行，理由見(jiàn)解析

(2)52°

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算；

(1)根據(jù)/1=/8DC,得出48〃。。，進(jìn)而證明//DC+/3=180。，得出NO〃￡C；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得=76。，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義得出乙FD4=N/OC=38。，進(jìn)而根據(jù)平

行線的性質(zhì)得N2=38。，進(jìn)而根據(jù)垂直的定義即可求解.

【詳解】（1）解：平行,

理由：vZl=ZBDC,

AAB//DC,

Z2=ZADC,

???Z2+Z3=180°,

.?/。。+/3=180。，

AD//EC.

(2)?/Zl=ZBDC,且/1=76。，AB//DC

ZBDC=16°,

???AD平分/FDC,

ZFDA=ZADC=-/FDC」x72。=38。，

2