中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：分式與二次根式 知識(shí)講解(基礎(chǔ))

中考總復(fù)習(xí)：分式及二次根式一學(xué)問講解（基礎(chǔ)）

【考綱要求】

1.了解分式的概念，會(huì)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會(huì)進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)

算；能夠依據(jù)詳細(xì)問題數(shù)量關(guān)系列出簡(jiǎn)潔的分式方程，會(huì)解簡(jiǎn)潔的可化為一元一次方程的分式方程；

2.利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二

次根式的運(yùn)算.

【學(xué)問網(wǎng)絡(luò)】

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1.分式設(shè)A、B表示兩個(gè)整式.假如B中含有字母，式子‘J就叫

B

做分式.留意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義.

2.分式的基本性質(zhì)（M為不等于零的整式）.

3.最簡(jiǎn)分式分子及分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.假如分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化

簡(jiǎn).

要點(diǎn)詮釋：

分式的概念需留意的問題：（1）分式是兩個(gè)整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分

A

數(shù)線則可以理解為除號(hào)，還含有括號(hào)的作用；（2）分式三中，4和8均為整式，/可含字母，也可不含

B

字母，但6中必需含有字母且不為0；

（3）推斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只依據(jù)它的原有形式進(jìn)行推斷.

A

（4）分式有無意義的條件：在分式？中，

B

①當(dāng)回0時(shí)，分式有意義；當(dāng)分式有意義時(shí)，/0.

②當(dāng)廬。時(shí)，分式無意義；當(dāng)分式無意義時(shí)，廬0.

③當(dāng)后0且/=0時(shí)，分式的值為零.

考點(diǎn)二、分式的運(yùn)算1.基本運(yùn)算法則分式的運(yùn)算法則及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似,詳細(xì)運(yùn)算法則如下:

bcb±c

（1）加減運(yùn)算一土

aaa

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算.

（2）乘法運(yùn)算

兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.

（3）除法運(yùn)算

兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再及被除式相乘.（4）乘方運(yùn)算（分式乘方）

分式的乘方，把分子分母分別乘方.2.零指數(shù)，二】gwo）.

3.負(fù)整數(shù)指數(shù)/7gW0.P為正整數(shù)）4.分式的混合運(yùn)算依次先算乘方，再算乘除，最終加

a9

減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的.5.約分把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約

分.6.通分依據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通

分.要點(diǎn)詮釋：

約分需明確的問題：（1）對(duì)于一個(gè)分式來說，約分就是要把分子及分母都除以同一個(gè)因式，使約分

前后分式的值相等；（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思索過程及分解因式中提取

公因式時(shí)確定公因式的思索過程相像；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次

暴的積.

通分留意事項(xiàng)：（1）通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母；最簡(jiǎn)公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)及全

部因式的最高次哥的積.（2）不要把通分及去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟

掉.（3）確定最簡(jiǎn)公分母的方法：最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡(jiǎn)公分

母的字母，取各分母全部字母因式的最高次基的積.

考點(diǎn)三、分式方程及其應(yīng)用1.分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2.分式

方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母，即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方

程.3.分式方程的增根問題驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必需驗(yàn)根.驗(yàn)

根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0,假如為0,即為增根，不為0,就是原方程

的解.4.分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題及列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍困難一些.解題時(shí)應(yīng)抓住“找等

量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而

正確列出方程，并進(jìn)行求解.另外，還要留意從多角度思索、分析、解決問題，留意檢驗(yàn)、說明結(jié)果的

合理性.要點(diǎn)詮釋：解分式方程留意事項(xiàng)：

（1）去分母化成整式方程時(shí)不要及通分運(yùn)算混淆；

（2）解完分式方程必需進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0,

假如為0,即為增根，不為0,就是原方程的解.

列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：（1）審一一細(xì)致審題，找出等量關(guān)系；（2）設(shè)一一合理設(shè)未知數(shù)；

（3）列一一依據(jù)等量關(guān)系列出方程；（4）解一一解出方程；（5）驗(yàn)一一檢驗(yàn)增根；（6）答一一答題.

考點(diǎn)四、二次根式的主要性質(zhì)

1.\[a>0(tz>0)；

2.(&)=a(a20)；

-

3.=r|7a|=1[a(a>0)；

-a(a<0)

4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：而=8?瓜aNO,620)；

5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):>0,b>Q).

6.若則G>4b.

要點(diǎn)詮釋：

7

（能尸及G的異同點(diǎn):

(1)不同點(diǎn)：(、石)2及45■表示的意義是不同的，(及)2表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而

肝表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中而籽中a可以是正實(shí)數(shù)，0,負(fù)實(shí)

數(shù).但(、值尸及值都是非負(fù)數(shù)，即"之。.因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，

(石)2=a(a20)，而

(2)相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，(&?="；。＜0時(shí)，(&)2無意義,

而--0.

考點(diǎn)五、二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的乘除運(yùn)算

(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿意以下兩個(gè)要求：①應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式或有理式；②分母中不含根號(hào).

(2)留意知道每一步運(yùn)算的算理；

2.二次根式的加減運(yùn)算

先化為最簡(jiǎn)二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；

3.二次根式的混合運(yùn)算

(1)對(duì)二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的依次，即先乘方、開方，再乘除，最終算加減，如有括

號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的；

(2)二次根式的混合運(yùn)算及整式、分式的混合運(yùn)算有許多相像之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法

則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.

要點(diǎn)詮釋：

怎樣快速精確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.

1.明確運(yùn)算依次，先算乘方，再算乘除，最終算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；

2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍舊適用；

3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，敏捷運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,

往往能收到事半功倍的效果.

(1)加法及乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個(gè)步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難

點(diǎn)分散，易于理解和駕馭.在運(yùn)算過程中，對(duì)于各個(gè)根式不肯定要先化簡(jiǎn)，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)

到化簡(jiǎn)的目的，但最終結(jié)果肯定要化簡(jiǎn).

例如，沒有必要先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使計(jì)算繁瑣，可以先依據(jù)乘法安排律進(jìn)行乘法運(yùn)算,

L區(qū)+④]x#=J—x6+萬石=-+2^3,通過約分達(dá)到化簡(jiǎn)目的;

("27JV273

(2)多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.

如：(百+行)(8—拒)=(6丫_(0)2=],利用了平方差公式.

所以，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，借助乘法公式，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.

【典型例題】

類型一、分式的意義

C1.使代數(shù)式有意義的X的取值范圍是()

A.x>0B.C.且D.一切實(shí)數(shù)

【答案】C；

【解析】解不等式組得0且，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】代數(shù)式有意義，就是要使代數(shù)式中的分式的分母不為零；代數(shù)式中的二次根式的被開方數(shù)是非

負(fù)數(shù)，即須要中的x?0；分母中的2xTW0.

舉一反三：

【高清課程名稱：分式及二次根式高清ID號(hào)：399347

關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱)：例1】

【變式】當(dāng)x取何值時(shí)，分式有意義?值為零？

【答案】

當(dāng)X?—x—12w0時(shí)，分式有意義，即x#-3且￥#4時(shí)，分式有意義.

當(dāng)—9=0且f—X—12,0時(shí)，分式值為零，

解得x=±3,且XH-3,X#4,即x=3時(shí)，分式值為零.

類型二、分式的性質(zhì)

@2.己知，求下列各式的值.

(1)；(2).

【答案及解析】

⑴因?yàn)椋?

即.所以.

..X4+X2+1X4X2121,,u

⑵-------z=—+^+—=%2+^+1=14+1=15,

XX"XXX

所以.

【點(diǎn)評(píng)】視察(1)和已知條件可知,將已知等式兩邊分別平方再整理，即可求出(1)的值;對(duì)于(2),干脆求

值很困難,依據(jù)其特點(diǎn)和已知條件,能夠求出其倒數(shù)的值,這樣便可求出⑵的值.

舉一反三：

【變式】已知求的值.

【答案】由得

所以（。+6）2=",即a2+b2=-ab.

類型三、分式的運(yùn)算

【答案及解析】

’312Y<2_____

、a-2a?-4J-2tz+2J

3(〃+2)122(〃+2)a-2

=-----------1-----------4-------------------------

(〃+2)(〃-2)(〃+2)(〃一2)(a+2)(〃一2)(a+2)(〃一2)

3ci+18a+6

(a+2)(〃一2)(a+2)(〃一2)

【點(diǎn)評(píng)】異分母分式相加減，先依據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式，再進(jìn)行相加減.在

通分時(shí)，先確定最簡(jiǎn)公分母，然后將各分式的分子、分母都乘以分母及最簡(jiǎn)公分母所差的因式.

運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)依據(jù)分式的基本性質(zhì)化為最簡(jiǎn)形式.

舉一反三：

【高清課程名稱：分式及二次根式高清ID號(hào)：399347

關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例2】

【變式】已知。=血-1,化簡(jiǎn)求值：——,"T）+=.

a+2Qa+4〃+4a+2

a—1a+2

【答案】原式:[--------^l-x]-x--

a[a+2)(0+2)2--〃-4

*a—1

a-411

----------x-------二-------------------二1

a(a+2)a-4a(a+2)

類型四、分式方程及應(yīng)用

04.假如方程有增根，那么增根是.

【答案及解析】

因?yàn)樵龈鞘狗质降姆帜笧榱愕母?，由分?=0或2—x=0可得x=2.所以增根是x=2.

答案：%=2

【點(diǎn)評(píng)】使分母為0的根是增根.

▼5.為創(chuàng)建“國(guó)家衛(wèi)生城市”，進(jìn)一步優(yōu)化市中心城區(qū)的環(huán)境，德州市政府?dāng)M對(duì)部分路段的人行道

地磚、花池、排水管道等公用設(shè)施全面更新改造，依據(jù)市政建設(shè)的須要，須在60天內(nèi)完成工程.現(xiàn)在

甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)有實(shí)力承包這個(gè)工程.經(jīng)調(diào)查知道：乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)完成多

用25天，甲、乙兩隊(duì)合作完成工程須要30天，甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用2500元，乙隊(duì)每天的工程費(fèi)用2000

元.

(1)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？

(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種符合要求的施工方案，并求出所需的工程費(fèi)用.

【答案及解析】

(1)設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需(x+25)天.

依據(jù)題意得：.

方程兩邊同乘以x(x+25),得30(x+25)+30x=x(x+25),

即x2-35x-750=0.

解之，得xi=50,x?=-15.

經(jīng)檢驗(yàn)，xi=50,X2=-15都是原方程的解.

但X2=-15不符合題意，應(yīng)舍去.

.?.當(dāng)x=50時(shí)，x+25=75.

答：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需50天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需75天.

(2)此問題只要設(shè)計(jì)出符合條件的一種方案即可.

方案一：由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成.(

所需費(fèi)用為：2500X50=125000(元).

方案二：由甲乙兩隊(duì)合作完成.

所需費(fèi)用為：(2500+2000)X30=135000(元).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程在工程問題中的應(yīng)用.分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是

解決問題的關(guān)鍵.工程問題的基本關(guān)系式：工作總量=工作效率X工作時(shí)間.

(1)假如設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需x天，那么由“乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的時(shí)間比甲隊(duì)單獨(dú)

完成多用25天”，得出乙工程隊(duì)單獨(dú)完成該工程需(x+25)天.再依據(jù)“甲、乙兩隊(duì)合作完

成工程須要30天”,可知等量關(guān)系為：甲工程隊(duì)30天完成該工程的工作量+乙工程隊(duì)30天

完成該工程的工作量=1.

(2)首先依據(jù)(1)中的結(jié)果，解除在60天內(nèi)不能單獨(dú)完成該工程的乙工程隊(duì)，從而可知符合

要求的施工方案有兩種：方案一：由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成；方案二：由甲乙兩隊(duì)合作完成.針對(duì)

每一種狀況，分別計(jì)算出所需的工程費(fèi)用.

舉一反三：

【變式】萊蕪盛產(chǎn)生姜，去年某生產(chǎn)合作社共收獲生姜200噸，安排采納批發(fā)和零售兩種方式銷售.經(jīng)

市場(chǎng)調(diào)查，批發(fā)每天售出6噸.

(1)受天氣、場(chǎng)地等各種因素的影響，須要提前完成銷售任務(wù).在平均每天批發(fā)量不變的狀況下,

實(shí)際平均每天的零售量比原安排增加了2噸，結(jié)果提前5天完成銷售任務(wù).那么原安排零售

平均每天售出多少噸？

(2)在(1)的條件下，若批發(fā)每噸獲得利潤(rùn)為2