河南省駐馬店市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期終考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期終考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，，所以.故選：D.2.命題“，使得”的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依題意，命題“，使得”否定為：.故選：C.3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)可知在0，+所以在0，+∞上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)對(duì)于選項(xiàng)B：結(jié)合指數(shù)函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，所以在0，+∞上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，結(jié)合冪函數(shù)圖象與性質(zhì)可知在0，+∞上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)對(duì)于選項(xiàng)D：結(jié)合冪函數(shù)可知在0，+∞上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D故選：C.4.我市某所高中共有學(xué)生人，其中一、二、三年級(jí)的人數(shù)比為，為迎接戲曲進(jìn)校園活動(dòng)，采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為240的樣本，則應(yīng)抽取一年級(jí)的人數(shù)為（）A.50 B.60 C.70 D.80【答案】B【解析】應(yīng)抽取一年級(jí)的人數(shù)為人.故選：B.5.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若均為實(shí)數(shù)，則【答案】D【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)，，，時(shí)滿足，，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：D．6.由6個(gè)實(shí)數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)方差為，將其中一個(gè)數(shù)5改為2，另一個(gè)數(shù)4改為7，其余的數(shù)不變得到一組數(shù)據(jù)的方差為．則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】將其中一個(gè)數(shù)5改為2，另一個(gè)數(shù)4改為7，其余的數(shù)不變，可得這6個(gè)實(shí)數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，并設(shè)為，設(shè)沒有變化的4個(gè)數(shù)為，則，，所以.故選：A.7.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，又，即，，，且，即，所?故選：B.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則的值為（）A. B. C. D.不能確定【答案】B【解析】定義域是的解集，的根為x1與x2，由題意可知：，值域?yàn)椋?，得到故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知關(guān)于x的不等式的解集為或x≥4，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集為C.不等式的解集為或D.【答案】AC【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?，A正確；由題意，方程的兩根是，，由韋達(dá)定理：得：，，等價(jià)于，所以，B錯(cuò)誤；不等式等價(jià)于，即，解得：或，C正確；因?yàn)?，，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知正實(shí)數(shù)，下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.的最小值為4【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)不正確；B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，但無解，所以等號(hào)不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知事件A，B，且，則（）A.如果，那么B.如果A與B互斥，那么C.如果A與B相互獨(dú)立，那么D.如果A與B相互獨(dú)立，那么【答案】ABD【解析】如果，那么，，故A正確；如果A與互斥，那么，，故B正確；如果A與相互獨(dú)立，那么，，故C錯(cuò)誤；如果A與相互獨(dú)立，那么，故D正確.故選：ABD.12.已知是奇函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，若，則的取值可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】依題意，是定義在R上的奇函數(shù)，所以，則，此時(shí)，符合奇函數(shù)，所以.由，得，由，得，由于，所以，則，A選項(xiàng)正確；由解得或；由解得或.①若，，則，D選項(xiàng)正確；②若，，則，沒有選項(xiàng)符合；③若，，則，沒有選項(xiàng)符合；④若，，則，B選項(xiàng)符合.故選：ABD.三、填空題：本小題共4小題，每小題5分；共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開_______（用區(qū)間表示）．【答案】1【解析】由解得，所以的定義域?yàn)?14.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)是________．【答案】和【解析】依題意，或，解得或（負(fù)根舍去）.15.如圖，用三個(gè)不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)．當(dāng)元件正常工作且元件至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作．已知元件正常工作的概率依次為，則系統(tǒng)能正常工作的概率為________．【答案】【解析】系統(tǒng)能正常工作，則至少有個(gè)能正常工作且能正常公式，所以系統(tǒng)能正常工作的概率為.16.給定函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在使得，則稱為“函數(shù)”，為該函數(shù)的一個(gè)“點(diǎn)”．設(shè)函數(shù)，若是的一個(gè)“點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的值為________．若為“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】3【解析】對(duì)于第一空，因是的一個(gè)“點(diǎn)”，則；對(duì)于第二空，由題可知為“函數(shù)”，即函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像中，存在中心對(duì)稱的兩點(diǎn)，即函數(shù)的圖象，與函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程有大于0的解.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟．17.在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要條件；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題．問題：已知集合．（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，集合，所以，又因?yàn)?，所?（2）若選擇①，，則，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，又，所以，得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．若選擇②，““是“”的充分不必要條件，則且，因?yàn)?，或，解得：，由于無解，不成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（不檢驗(yàn)扣1分）若選擇③，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，又，則，解得：或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18.已知．（1）分別求和；（2）若，且，求．解：（1）.，所以.（2）由，得，且，則，故，所以.19.2024年入冬以來，為了減少甲流對(duì)師生身體健康的影響，某學(xué)校規(guī)定師生進(jìn)出學(xué)校需佩戴口罩，現(xiàn)將該學(xué)校1000位師生一周的口罩使用數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表所示，其中每周的口罩使用數(shù)量在6只以上（包含6只）的有700人．口罩使用數(shù)量頻率（1）求的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖（不要求寫出過程，畫圖即可）；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該學(xué)校師生一周口罩使用數(shù)量的分位數(shù)和平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用每組中間值代替）；（3）按分層抽樣的方法在前三組中抽取一個(gè)容量為6的樣本，記第一組抽取的2人為．第二組抽取的1人為，第三組抽取的3人為，從這6人中隨機(jī)抽取兩人檢查其健康狀況記為事件，請(qǐng)列出事件的樣本空間，并求這兩人恰好來自同一組的概率．解：（1）由每周的口罩使用個(gè)數(shù)在6以上（含6）的有700人得：，故所求，頻率分布直方圖如下：（2）由（1）知，又因?yàn)榭谡质褂脭?shù)量在的頻率是0.3，，所以假設(shè)分位數(shù)為，則，由頻率分布直方圖得一周內(nèi)使用口罩的平均數(shù)為：（個(gè)），故估計(jì)所求分位數(shù)為9個(gè)，平均數(shù)估計(jì)為7個(gè).（3）可知樣本空間：，共含有15個(gè)樣本點(diǎn)，可以認(rèn)為這個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的．記“這兩個(gè)人來自同一組”為事件，則，樣本點(diǎn)有4個(gè)，故.20.已知定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，記的最大值為．，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）記，為偶函數(shù)，恒成立，即恒成立，恒成立，恒成立，即恒成立，，.（2）和都是單調(diào)遞增函數(shù)，在是單調(diào)遞增的，，在上有解，在上有解，在上有解，在上單調(diào)遞增，，.21.隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，越來越多的家庭開始關(guān)注到家庭成員的關(guān)系，一個(gè)以“從心定義家庭關(guān)系”為主題的應(yīng)用心理學(xué)的學(xué)習(xí)平臺(tái)，從建立起，得到了很多人的關(guān)注，也有越來越多的人成為平臺(tái)的會(huì)員，主動(dòng)在平臺(tái)上進(jìn)行學(xué)習(xí)．已知前四年，平臺(tái)會(huì)員的個(gè)數(shù)如圖所示：（1）依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，從下列三種模型中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪憬⑵脚_(tái)年后平臺(tái)會(huì)員人數(shù)（千人），并求出你選擇模型的解析式；①，②且，③0且）.（2）為控制平臺(tái)會(huì)員人數(shù)盲目擴(kuò)大，平臺(tái)規(guī)定無論怎樣發(fā)展，會(huì)員人數(shù)不得超過千人，請(qǐng)依據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值．解：（1）從表格數(shù)據(jù)可以得知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，故不可能是①，∵函數(shù)增長(zhǎng)的速度越來越快不選②，選擇③且，代入表格中的三個(gè)點(diǎn)可得：，解得：，將代入符合，．（2）由（1）可知：，故不等式對(duì)且恒成立，對(duì)且恒成立．令，則，在單調(diào)遞增，的最小值為.22.設(shè)的定義域?yàn)镽，若，都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．（1）若在R上單調(diào)遞減，證明是“函數(shù)”；（2）已知函數(shù)．①證明是上的奇函數(shù)，并判斷是否為“函數(shù)”（無需證明）；②若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）若在R上單調(diào)遞減，則，即，即，整理得：，所以是“函數(shù)”．（