湖南省郴州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省郴州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.試卷分試題卷和答題卡.試卷共4頁，有四大題，共22小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?班次?準(zhǔn)考證號(hào)?考室號(hào)及座位號(hào)寫在答題卡和試題卷的封面上.3.考生作答時(shí)，選擇題和非選擇題均須作在答題卡上，在試題卷上作答無效考生在答題卡上按答題卡中注意事項(xiàng)的要求答題.4.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，若直線與直線垂直，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由點(diǎn)，可得，因?yàn)橹本€與直線垂直，可得，即，解得，所以直線的斜率為.故選：A.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差為，且，則（）A.0 B.1011 C.1012 D.2024【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以A,B,C三點(diǎn)共線，且，故.故選：C3.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，在點(diǎn)0,1處的切線斜率為，所以切線方程為，即.故選：A.4.已知正方形的邊長為1，現(xiàn)將沿對(duì)角線向上翻折，使得二面角的夾角為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取線段的中點(diǎn)，連接，明顯有，又所以面，則為二面角的平面角，即，則，取的中點(diǎn)，連接，則，又面，面，所以，又，所以面，則線段長即為點(diǎn)到平面的距離，所以.故選：B.5.正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，A1,0,0,,,，,,，設(shè)平面的法向量為，即，取，，設(shè)與平面所成角為,，故選：B.6.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若使為直角三角形的點(diǎn)有8個(gè)，則的離心率的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】為直角三角形，可分為以下三類討論：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn).由橢圓的對(duì)稱性可知：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)有兩個(gè)；以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的點(diǎn)有兩個(gè)，則要使為直角三角形點(diǎn)有8個(gè)，須使以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形有4個(gè).由橢圓的對(duì)稱性可得在軸上方有兩個(gè)點(diǎn)滿足以點(diǎn)為直角頂點(diǎn).則，即，所以，解得即，所以，又因?yàn)闄E圓離心率，所以.故選：C.7.德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題：已知點(diǎn)是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大？結(jié)論是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)，最大.人們稱這一命題為米勒定理.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由點(diǎn)，可得線段的垂直平分線的方程為，設(shè)的外接圓的圓心為，其中，且圓的半徑為，因?yàn)橹本€與圓相切，可得，又由，所以，解得或（舍去），即圓心，又由，可得，解得，則直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.8.若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?,+∞，且，令，可得，由題意可知與有2個(gè)變號(hào)交點(diǎn)，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，且當(dāng)x趨近于0，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于0，可得的圖象，如圖所示：由圖象可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為0,12e.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.在棱長為1的正四面體中，分別為的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.B.C.平面D.和夾角的正弦值為【答案】BC【解析】由正四面體各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，連接，為其中點(diǎn)，連接，又分別為的中點(diǎn)，，A錯(cuò)；易知，則，B對(duì)；由面，則面，即平面，C對(duì)；連接，顯然，則和夾角，即為或其補(bǔ)角，又，可得，中，，有，所以，D錯(cuò).故選：BC10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切都有恒成立，則整數(shù)的可能值為（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】CD【解析】由題意知數(shù)列的前項(xiàng)和為，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也適合該式，故，則，故，由于對(duì)一切都有恒成立，故，結(jié)合選項(xiàng)知整數(shù)的可能值為1，2，故選：CD11.已知圓，則下列命題正確的是（）A.圓心坐標(biāo)為2,1B.直線與圓相交所得的弦長為8C.圓與圓有三條公切線.D.圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則或【答案】ABD【解析】對(duì)于A中，由圓，可化為，可得圓心，半徑為，所以A正確；對(duì)于B中，由圓心到直線的距離為，則相交弦長為，所以B正確；對(duì)于C中，由圓，可得圓心，半徑，可得，且，則，所以圓與圓相交，可得兩圓有兩條公共切線，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則滿足圓心到直線的距離為，即，解得或，所以D正確.故選：ABD.12.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，它是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.已知大衍數(shù)列滿足，，則（）A.B.C.此數(shù)列的前項(xiàng)和為D.數(shù)列的前60項(xiàng)和為930【答案】ABD【解析】令且，當(dāng)時(shí)，①；當(dāng)時(shí)，②，由①②聯(lián)立得，所以，累加可得，令(且為奇數(shù))，得，當(dāng)時(shí)滿足上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，其中為偶數(shù)，所以，所以，故A正確，，故B正確；由，而，故此數(shù)列的前項(xiàng)和不為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋缘那?n項(xiàng)和，則，故D正確.故選：ABD.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值為______.【答案】64【解析】由是方程的兩根，則，由等比數(shù)列，則，所以.故答案為：.14.設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和點(diǎn)到定直線的距離的比為.傾斜角為的直線經(jīng)過點(diǎn)與曲線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于軸上方），則______.【答案】【解析】設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離，由題意可知，則，化簡得，直線的斜率，由，則直線的方程為.設(shè)，，消去可得，解得，，.故答案為：.15.已知函數(shù)，若，則的最小值為______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，則，令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，所以，故的最小值為.故答案為：.16.在四棱錐中,平面,底面為矩形，,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到距離的最小值為______.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，在線段上作一點(diǎn)，使得，在線段上作一點(diǎn)，使得如圖所示，由三角形性質(zhì)可知，在中，，且，因?yàn)榈酌媸蔷匦危?，所以且，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形是矩形，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離即為點(diǎn)到線段的距離因?yàn)?，所以?dāng)為中點(diǎn)時(shí)，最小，即，所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到距離最小為.故答案為：.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，由得，，兩式相減得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，且.（2）由（1）知，所以時(shí)，，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.18.已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程.（2）為圓內(nèi)一點(diǎn)，弦恰好被點(diǎn)平分，求直線的方程，并判斷為鈍角三角形?直角三角形還是銳角三角形？解：（1）方法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)閳A心在直線上，所以①又在圓上，代入圓方程得：②，③，由①②③解得：故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.方法二：設(shè)線段的中點(diǎn)為，則.直線的斜率為因此的垂直平分線方程為：，即.①又圓心在直線上，②由①②解得：圓心.圓的半徑故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.方法三：設(shè)圓一般方程為：圓心坐標(biāo)為，代入得：①點(diǎn)圓上：②，③.由①②③解得：.故圓的一般方程為：方法四：由已知可設(shè)圓心坐標(biāo)為由可得，解得所以圓心.圓的半徑故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由垂徑定理可知：，所以的直線方程為：，即圓心到直線距離，所以，為直角三角形.19.如圖，在正三棱柱中，底面為的中點(diǎn)，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）若為靠近點(diǎn)線段的三等分點(diǎn)，求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角等于？若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）如圖，連接，因?yàn)闉檎庵詾檎切?，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因?yàn)榈酌?，解得：，所以，所以在直角中，，在直角中，，所以，即，又平面，所以平面，?）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè).取的中點(diǎn)，連接，則平面，所以，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，得，同理，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，所以.所以，所以，所以無解.故不存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角等于.20.已知函數(shù).（1）若，求證：；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，當(dāng)取最小值時(shí)，求的極小值.解：（1）因?yàn)椋?，令，得，解?所以在上單調(diào)遞增；同理可得在上單調(diào)遞減；.（2）由（1）知時(shí)，只有一個(gè)極值點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，所以，解得，又，故.因此.令，得或.令，得.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得極小值.21.已知拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，求面積的最小值.解：（1）令，因?yàn)榈綊佄锞€的焦點(diǎn)的距離為2，所以，代入得：，且，解得，故求拋物線的方程為：（2）令直線的方程為：.聯(lián)立直線與拋物線的方程得：，消去可得：，由題意可得，故.因?yàn)?，所以，又，則，解得，顯然恒成立.得直線的方程為：.，原點(diǎn)到直線的距離，所以面積，當(dāng)時(shí)，面積的最小值為32.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與的圖象恰有一對(duì)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由已知得：，①當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，在上單調(diào)遞增.（2）若函數(shù)與的