山東省名校考試聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月階段性檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省名?？荚嚶?lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月階段性檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號?姓名?考場號及座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分；共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，.故選：B2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，解得：或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A3.函數(shù)在上的最小值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】由，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以.故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為R，，函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除BD；而，排除選項A，選項C符合題意.故選：C5.已知數(shù)列滿足：為正整數(shù)，，若，則所有可能的取值的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，是正整數(shù)，當(dāng)是奇數(shù)時，，無解；當(dāng)是偶數(shù)時，，解得；當(dāng)是奇數(shù)時，，解得，顯然不可能為奇數(shù)，否則為偶數(shù)，因此為偶數(shù)，，解得；當(dāng)是偶數(shù)時，，解得，若為奇數(shù)，則，無解，若為偶數(shù)，則，解得，所以所有可能的取值的集合為.故選：C6.已知，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】令，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時，取得最小值.故選：D7.已知，若函數(shù)在上有且只有兩個極值點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，則求導(dǎo)可得，令，解得，化簡可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，由題意可得，，，，解得.故選：A.8.祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時代的偉大科學(xué)家.祖暅在數(shù)學(xué)上有突出的貢獻，他在實踐的基礎(chǔ)上，提出了祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知雙曲線，若直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線在第一、三象限的漸近線，過點作軸于，交直線于點，在線段上任取點，作軸于，交雙曲線及直線分別于點，依題意，點，令點，，則，點繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得同心圓面積分別為，對應(yīng)圓環(huán)面積為定值，由祖暅原理知，平面封閉圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積等于底面半徑為1，高為3的圓柱的體積，則，所求體積的幾何體可視為矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱體積減去，再減去繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐體積，而，，所以所求的體積為.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】由，可得，對于A，由于，所以，A錯誤；對于B，由于，所以，B正確；對于C，由于，所以，則，C正確；對于D，由于，所以，,故D錯誤.故選：BC10.設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若為虛數(shù)，則也為虛數(shù)B.C.若，則的最大值為D.【答案】ABD【解析】對于A，因為為虛數(shù)，為實數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以A正確；對于B，設(shè)，則，，所以，，所以，所以B正確，對于C，當(dāng)時，滿足，此時，所以C錯誤；對于D，設(shè)對應(yīng)的向量分別為，則由向量三角不等式得，所以恒成立，所以D正確，故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域為的圖象關(guān)于對稱，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，由奇函數(shù)，得，則，由的圖象關(guān)于對稱，，因此，A錯誤；對于C，點關(guān)于的對稱點是，由的圖象關(guān)于對稱，得點在函數(shù)的圖象上，，C正確；對于B，由為奇函數(shù)，得，則，于是，即點在函數(shù)的圖象上，則點在函數(shù)的圖象上，因此，即，B正確；對于D，由，得，而，則，因此，D錯誤.故選：BC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.【答案】##【解析】由，得.故答案為：13.在等腰直角中，已知，若滿足與交于點，則在上的投影向量的模為__________.【答案】3【解析】依題意，以點為原點，射線分別為軸非負半軸建立平面直角坐標系，則，由，得，由點在上，設(shè)，則點，于是，而，由點在上，得，因此，解得，點，，又所以在上的投影向量的模為.故答案為：314.已知函數(shù)，若對任意的，且，都有成立，則正實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，求導(dǎo)可得，令，令，求導(dǎo)可得，令，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增.所以，即，由題意可得函數(shù)單調(diào)遞增，則，由，則，解得.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知正項數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.證明：（1）由題意得，，因為，所以，又，因此，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列；則，所以，.（2）由（1）得：，所以.16.記的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求；（2）是上的點，平分，且，，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理得，所以，，在中，，所以，，因為、，所以，，，故.（2）由題意可得，所以，，即，所以，，因為，由余弦定理可得，即，整理可得，因為，解得，因此，的面積為.17.如圖，已知等腰梯形分別為的中點，沿線段將四邊形翻折到四邊形的位置，點為線段上一點，且滿足.（1）證明：平面；（2）設(shè)二面角的平面角為，在四邊形翻折過程中，是否存在，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，請說明理由.解：（1）證明：在線段取一點，使得，因為，所以，且，因為，所以，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面（2）存在，理由如下：因為等腰梯形分別是的中點，所以平面，所以平面，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，由題意知，，，所以，，設(shè)，因為，所以，解得，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，解得，因為，所以.18.已知函數(shù).（1）若曲線在點處切線與軸平行，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，給出的定義域，并證明：曲線是軸對稱圖形；（3）證明：.解：（1）因為，則，由題意可知，，解得.（2），對于函數(shù)，有，解得，即函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，則，可得，解得或，所以，函數(shù)的定義域為，故該定義域關(guān)于直線對稱，因為，故函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以曲線是軸對稱圖形.（3）證明：當(dāng)時，，則，令，則，當(dāng)時，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，此時，，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時，，取，可得，于是，即，所以，，故.19.對于一個元正整數(shù)集，如果它能劃分成個不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，則稱這個偶數(shù)為可分數(shù).例如，由于二元子集滿足，則稱2為可分數(shù).（1）判斷4和6是否為可分數(shù)，并說明理由；（2）求小于81的最大可分數(shù)；（3）記小于的可分數(shù)的個數(shù)為，令，記為數(shù)列的前項和，證明：.解：（1）令，①，；②，；③，，綜上所述，不是可分數(shù)，令，，由，，則是可分數(shù).（2）由，且，則令，由，且，則是小于最大的可分數(shù).（3）證明：設(shè)偶數(shù)為可分數(shù)，則存在使得，由可知二元子集中兩元素和的最大值為，于是集合中所有大于等于的整數(shù)所在二元子集中兩元素之和均為，于是必定與在同一個二元子集中，必定與在同一個二元子集中，必定與在同一個二元