重慶市某中學2024-2025學年高三年級上冊11月階段性檢測（二）數(shù)學試題

重慶市西南大學附屬中學校2024-2025學年高三上學期11月

階段性檢測（二）數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={x|k）g2（x+l）<2},^={X2X2-5X-3<0），則43=（）

B{x|-l<x<3}

D.UH}

2.命題p:叫―O，使得皿=1則命題的否定為（

「兀兀］/市sinxw1「兀兀］/擊sinxw1

AA.G一一，一，使0°B.y——，使

0L22JXGL22_

c.3x04-^-1，使S尿。"D.VxJ-黃—］，使sin-1

2222

3.記S“為等比數(shù)歹U{%}的前〃項和.已矢口4=8,〃4=—1，則Sg=（）

8585r255八255

AA.——D.--------C.D.-----------

16161616

試卷第11頁，共33頁

c.D.

22P

5.已知橢圓0:餐+%=1（°>6>0）,耳F2分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一

點，且附|=2熙|，若/可尸工=60°，則橢圓離心率為（)

A-1B.-C.2D.

23

貝Ucos(2e一弓

6.已知cos()

610

4

A.B.2C.--D.

55

7.過點P（°，-3）作圓2—+陽2-12》-加=0（加€1<）的兩條切線，切點分別為48兩點，則

cosAAPB=()

2

A.-1B.D.-

999

8.已知正三棱錐的高為h,且各頂點都在同一球面上.若該球的體積為必兀，則三棱

3

錐體積的最大值是（)

B.64百128石D.2566

A.挈c

272727

二、多選題

試卷第21頁，共33頁

9.己知正方體，則（）

A.直線&B與BA所成的角為60°B.直線/同與BXD所成的角為45°

C.直線4c與平面BCQ所成的角為90。D.直線BD、與平面ABCD所成的

角為45。

10.已知函數(shù)〃x）=/sin（ox+p）>0,0>0,閘<］］的部分圖象如圖所示，下列說法正

B.函數(shù)“X）的圖象關于％=11對稱

12

C.函數(shù)/（X）在,，口上的值域為上百，石］

_62_

D.要得到函數(shù)g（x）="cos（s+夕）的圖象，只需將函數(shù)〃x）的圖象向左平移;個單

位

11.己知函數(shù)〃x）=xe'+alnx+ax有零點，則。可以取到的整數(shù)值有（）

A.-5B.-3C.-1D.2

三、填空題

試卷第31頁，共33頁

12.已知復數(shù)z=3+'儂的共輾復數(shù)為z，則團=—

2-i

13.已知菱形的邊長為2,且//2C=60。，若點p滿足加=2質(zhì)+茄

則PCBP=—

a、bc(a=ab+ca+b+c=

14.若實數(shù)互不相等，且滿足\b=bc+a，則—

c=ac+b

四、解答題

15.在v45c中,a，b'c分別為A,B9c的對邊，已知

,廠,>3”=46=6

bcosAAcosC+acosBDcosC=—c,且,?

4

(1)求VZac的面積；

(2)。為線段上一點，且滿足3麗=皮，求40的長度.

16.記S"為數(shù)列｛見｝的前n項和.已知s“=〃%+2〃(〃一1)

⑴證明：｛%｝是等差數(shù)列；

⑵若心為4和4的等比中項，求S,的最大值?

17.已知三棱錐p_ABC'平面PAC±平面

ABCJb2DCPA=PC=AC=2AB=BC=6-

試卷第41頁，共33頁

p

⑴求證：ACLPB；

(2)求直線與平面p/R所成角的正弦值；

rAJj

⑶求點p到平面/AC的距離.

FADU

22K

18.已知雙曲線G：二.4=1(〃>01>0)的一條漸近線的斜率為I，雙曲線

C,:--^=1的一條漸近線的斜率為質(zhì)，周共21=1,且C|的一個焦點到其漸近線距離為2.

282

⑴求G的方程；

(2)若G上任意一點A關于直線y=X的對稱點為A',過H分別作C,的兩條漸近線的平行線,

與G分別交于尸。求證：|?斗,。|為定值.

19.對于一個函數(shù)/(x)和一個點”(。㈤，令s(x)=(x-a『+(〃x)-6)2,若s(x)在x=x()

時取得最小值的點，則稱(%,/(%))是初的"/■最近點”.

⑴對于函數(shù)〃x)=；xe(O,+s),求證：對于點M(°，°),存在點尸，使得點尸是”的"

一最近點”；

試卷第51頁，共33頁

⑵對于函數(shù)〃x)=lnx,xe(0,+oo),M(0,l)，請判斷是否存在一個點尸，使它是"的“/

最近點”，若存在，求出/(x)在點尸處的切線方程；若不存在，請說明理由?

(3)已知函數(shù)〃x)(xeR)可導，函數(shù)g(x)>0在xeR上恒成立，對于點

+若對任意實數(shù)，，均存在點P同時為點M

與點加；的最近點”，說明的單調(diào)性-

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案CBAADDABACACD

題號11

答案ABD

1.C

【分析】先分別求解集合A和集合E，再找出它們的公共部分.

AD

【詳解】由log2(x+1)<2=log24可得巳+1>0且x+l<4,

解x+l>0得x>—1；解x+l<4得x<3，

所以集合/={x|—l<x<3}.

先對2*—5%—3因式分解，得至U(2x+l)(x-3)<0.

解得-;WxW3.所以集合2="|-：4工43}.

集合/={劉-1。<3},集合:{x|_g-V3}.

那么/cB={x|-；Vx<3}.

故選：C.

2.B

【分析】由存在量詞命題的否定可得答案.

【詳解】命題p:居e-p-,使得SinXo=1的否定為：

j「兀兀］吊sinxwl

Vxe——，使?

_22_

故選：B

3.A

答案第11頁，共22頁

【分析】由等比數(shù)列通項公式求出公比，再由求和公式得解.

【詳解】由等比數(shù)列｛%｝可知，%=%/=8/=一1，

解得q=-;，

“1(]-q885

所以§8=

i—q316

2

故選：A

4.A

【分析】由函數(shù)奇偶性，零點，及正負性可得答案.

【詳解】注意到函數(shù)定義域為（一叫0）,（0+8）,

=0，則/（X）為奇函數(shù)，故BD錯誤;

〃1）=°/、Ini

又注意到，/[]=2<0,則A正確，C錯誤.

故選：A

5.D

【分析】設「與卜、，后由題及余弦定理可得怩月|=瓜，即可得答案.

【詳解】設熙|=X，則陷|=2x，因4尸6=60。，由余弦定理:

|月《「=|P￡『+|尸片「一戶￡卜戶聞=工2+4/_2/=3/n陽與卜瓜，

則2。=戶耳|+|尸耳|=3x,|可用=2c=V§x,則._c_2c_岳_6.

a2（73x3

答案第21頁，共22頁

故選：D

6.D

【分析】由誘導公式及二倍角公式即可求解.

故選：D.

7.A

【分析】分析可知加=2,再根據(jù)切線性質(zhì)可得cos44PC=COS/BPC=2,結合倍角公式

3

運算求解.

【詳解】由題意可知機=2，圓2x2+2必_12X-2=0可化為（尤-3>+/=10，

答案第31頁，共22頁

可得|CP|=3行,|/尸|==2&，則cosZApc=cos/BPC=莘=2,

3V23

所以cosZAPB=2cos2ZAPC-1=2x/2）-i=-l-

UJ9

故選：A.

8.B

【分析】由外接球的體積得出球半徑，再由正三棱錐得出體積，利用導數(shù)求最值即可.

【詳解】如圖，設〃為底面三角形的中心，尸”為三棱錐的高，設為〃，

由題意得，喂=：兀*=券，解得火=2

該三棱錐為正三棱錐，改上義皂BC，

32

BC=?^4-(A-2)2=V3-^-h2+4hVP-ABC=(?￡,BC2，=冷(-鋁+4h)

（0</z<4））

令/e）=一/+4/（0<%<4）,（小）=一3/+8〃，

由/'（〃）=°,可得〃=§或〃=°（舍去），

3

當xe叫時，川）當日川時，，㈤<°，

答案第41頁，共22頁

"㈤在(o，T單調(diào)遞增，在加單調(diào)遞減，

/e)皿=/(捫箸，：.％=笫~，

故選：B

9.AC

【分析】對于A,B,利用向量法，設出正方體棱長，建立空間直角坐標系，求出兩直線

對應的向量，根據(jù)向量的夾角公式cosO=1互求出向量夾角，再根據(jù)異面直線所成角與

\d\\b\

向量夾角的關系得到結果.對于C,D,先求出平面的法向量，再根據(jù)直線的方向向量與法

向量的夾角，結合直線與平面所成角和它們夾角的關系求出結果.

【詳解】設正方體棱長為1，以。為原點，分別以〃所在直線為x/，z軸，

建立空間直角坐標系.則4(1,0,1)，2(1,1,0)，5,(1,1,1)-0,(0,0,1)-

所以語=(1,1,0)-(1,0,1)=(0,1,-1)>麗=(0,0,1)-(1,1,1)=(-1,-1,0)-

設直線48與42所成的角為0,根據(jù)向量的夾角公式cos0=44生.

|/陽卬

222

先計算港?^51'=ox(_i)+ix(-i)+(_i)xo=_r?~^B|=7o+i+(-i)=V2)

mi=7(-1)2+(-i)2+o2=V2-

則cose=廠==-1,因為異面直線所成角的范圍是(0,芻，所以直線48與4”所成的

V2xV222

角為6=60。.故A正確.

由前面建立的坐標系可知/(1,0,0),4(i,o,i)-4(1,1/)，r>(o,o,o).

答案第51頁，共22頁

所以怒=(1,0,1)-(1,0,0)=(0,0,1))而=(0,0,0)-(1,1,1)=(-1,-1-I)-

設直線44與8Q所成的角為“，根據(jù)向量的夾角公式cosa=馬亞--

14M耳D|

先計算怒.麗=0x(一l)+0x(-l)+lx(_l)=-l，|怒|=1，

1^5|=7(-1)2+(-1)2+(-1)2=73-

則cosa=」-=-"，因為異面直線所成角的范圍是(03]，所以直線"“與片"所成的

1x632

角不是45。?故B錯誤.

由前面建立的坐標系可知4(1,0,1),C(0,l,0),8(1,1,0)，￡>(0,0,0)-C,(0,l,l)-

所以前=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1)-

設平面BCQ的法向量為五=(x,%z)，因為西=(0,1,1)-(1,1,0)=(-1,0,1)，

^5=(0,0,0)-(1,1,0)=(-i-i,o)-

元?西=0J-x+z=0X=\歹=-1z=lA=(1,-1,1)

由,一八，即j-x-歹=0，令，則,，所以,

設直線4c與平面BCQ所成的角為￡,貝I]sin°=生團.

14cl網(wǎng)

先計算而?萬=-lxl+lx(-l)+(-l)xl=-3'14c|=7(-1)2+12+(-1)2=)

|//|=712+(-1)2+12=73-

答案第61頁，共22頁

則sin/?=:5i,所以直線4c與平面8CQ所成的角為夕=90°.故c正確.

島G

由前面建立的坐標系可知3(1,1,0)，2(0,0,1)?所以西=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)?

平面ABCD的法向量為斤=(°,o,1).

設直線8'與平面'88所成的角為7,則sinyJ空仄L

|町|年|

先計算西仄=1，|西|=,(7)2+(_1)2+F=百,|￡|=1-

則siny=」-=立，所以直線BDl與平面ABCD所成的角不是45°.故D錯誤.

M3

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)的解析式，即可得到選項A正確；利用/可

知選項B錯誤；根據(jù)xw可得2寸+^2^4^——，結合函數(shù)的單調(diào)性可知選項C正

_62」3L33.

確；利用函數(shù)圖象平移的原則可知選項D正確.

【詳解】設函數(shù)的最小正周期為丁，由圖可知，乃,I=l-X=l,故7=1.

43124

答案第71頁，共22頁

...7=至，...。=2兀

CO

?..函數(shù)圖象最高點為（',2],???/IK

2sinl—+(/7I=2，

.JlJl-,,1/7T_7

??—(p=—F2左，左￡Z,故^(p——F2左7，左￡Z,

623

,?*1^1<.\(p=—,選項A正確.

23

兀117C71

由A可得/(x)=2sin2兀工+—,f2sin----+—lw±2,

363

故直線x=U不是函數(shù)/（X）的對稱軸，選項B錯誤.

12

111□-+c兀2兀4兀,sin(2而+/

當X￡—阿，Z71X+—GGl￡￡

6233322

[段+9卜卜—/],故函數(shù)在11上的值域為卜

2sin，選項C正確.

由題意得，g（無）=2cos2x+—，

I3j

將函數(shù)/（X）的圖象向左平移;個單位后的函數(shù)表達式為

x+_y選項D正確.

故選：ACD.

11.ABD

答案第81頁，共22頁

【分析】利用函數(shù)零點的意義可得xe，+aln(xe，)=O,換元構造并分離參數(shù)構造函數(shù)

g?)=寧，利用導數(shù)求出其值域即可得解.

x

【詳解】函數(shù)/(x)=xe+a\nx+ax定義域為(0,+oo),

由/(%)有零點，得方程+?ln(xex)=0有正數(shù)解，

令xe,=/>°,即f+aln/=°有正數(shù)解，顯然"“。，方程化為_'=叱

at

令函數(shù)g?)=皿1>0,求導得g'(/)=匚U,

tt

當0<￡<e時，g'?)>o，當￡>e時，g(t)<0，

函數(shù)g⑺在(°，e)上單調(diào)遞增，在(e，+8)上單調(diào)遞減，g⑴皿=g(e)=J.,

e

當X從大于0的方向趨近于。時，g⑺的值趨近于負無窮大，

當時，g(0>0-ff時，g(t)fO，

因此-1<0或0<-3L

aae

解得aW-e或a>0,所以?？梢匀〉降恼麛?shù)值有-5,-3,2.

故答案為：ABD

【點睛】思路點睛：涉及含參方程有解的問題，分離參數(shù)構造函數(shù)，轉化為求函數(shù)的值域

求解.

12.杷f

［分析］根據(jù)共軌復數(shù)的性質(zhì)及模的定義與性質(zhì)運算得解.

答案第91頁，共22頁

3+i2025|3+i胃」3+i|=而

【詳解】|z|=|z|==w

2-i|2-i|V5-V5

故答案為：72

13-4

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算及平面向量數(shù)量積運算的定義及性質(zhì)計算得解.

【詳解】PC-5P=(5C-SP)|(SC+&4)=^SC一沁押）|回+可

=—(4-2x2-cos600-2x

9V

4

3,

故答案為：

3

14.3

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，變形化簡得解.

【詳解】由原方程組可得：

?a+b+c=ab+be+ac+a+b+c,ab+be+ac=0f

?ac=abc+c2,ba=abc+a2be=abc+b2f貝1J〃+/+'=一3。6。，

③Q(1-b)=c,6(l-c)=ac[\-a)=b

所以Q6C(1_6)(1_C)(1_Q)=abc,(\-b)(\-c)(\-a)=1，

l-(a+6+c)+(ac+bc+ab^-abc=l,a+6+c=-abc'

答案第101頁，共22頁

④(a+6+c)~={-abc^,a1+b2+c2+2(a6+ac+6c)=(-a6c)~

即-3abc=(aZ?c)-,abc=—3a+b+c=?>'

故答案為：3

15.⑴35

(2)3痣

【分析】(1)由題意可知，通過公式化簡所給條件求出cosC=3，再求,"Be即可；

4

(2)由余弦定理求出°=4,再通過題意得出而=L％+之方，兩邊同時平方計算即可.

44

、、3

【詳解】(1);bcos/cosC+acosBcosC=—。，

4

乙，「3bcosA+acosB=c

:.^bcosA+acosB)cosC=~c9乂，

33________R

即ccosC=1C，cosC=-,.-,sinC=Vl-cos2C=->

444

]1x/7

二.SA期c~~absinC——x4x6x4—3-x/v，

3?c=4

(2)c2=a2+b2-2abcosC=42+62-2x4x6x—=16,,

4

'：a=cA=C3

，，二.cos/=cos。=一,

4

■■^BD=DC,-.AD=ABBD=AB-BC=AB-(AC-AB}=-AC-AB,

++4+4、f4+4

答案第111頁，共22頁

.》=［揮+萍）=5k+*在+川2

1右23391o

=——x6+—x6x4x—+—x42=18,

168416

|ZD|=3V2-

16.(1)證明見解析

⑵112

【分析】(1)根據(jù)S2%的關系，可證明數(shù)列為等差數(shù)列；

(2)分析等差數(shù)列項的符號的變化，可得出所有非負項和最大.

【詳解】(1)Sn=nan+2n(n-l),

=(?-l)a?_i+2(?-l)(n-2),n>2'

an=Sn-S?_!=nan+2?(?-l)-(n-l)a?_1-2(n-l)(w-2)，

化I、旬得：(〃_])/_(〃+4(n-l)=0，

Q72>2，:.an-%=-4>

是以公差為-4的等差數(shù)列.

(2)由⑴得4=q+5d=q-20，

問理04=。1-12,a7=t/j—24'

由題意其=0仍，即(q-20)2=(%_12乂％-24)，

解得％=28，

/.an=4+(〃—l)d=-4〃+32，

答案第121頁，共22頁

:當〃V8時，＞0-當?＞8時，＜0，

17.(1)證明見解析

(2)叵

7

⑶運

31

【分析】(1)通過證明/C,平面。2P可證明結論；

⑵如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，然后由空間向量知識可得答案;

(3)由⑵求出平面.的法向量，然后由空間向量知識可得答案

【詳解】(1)如圖，取/c中點0，連接OB,OP-

AB=BC=V2,AC=2AB2+BC~=AC2■

.n/BC為等腰直角三角形，。為中點.

:.ACLOBPA=PC,。為中點，ACLOP.

■：OB,。尸匚平面「。2，OBcOP=O,ACLOB4clOP，

:.AC±面OBP.-.-尸8u面OBP,,-.AClPB

答案第131頁，共22頁

p

（2）...平面為C,平面NBC,平面為Cc平面/8C=/c，0P±AC

:.OP1面ABC,:.,0P1OBOBOCOP兩兩垂直

如圖，以。為原點，礪為x軸正向，區(qū)為V軸正向，方為z軸正向

建立空間直角坐標系，則。（。，0,0），/（O,TO）2（1,0,0）P僅,0,6）c（o,i,o）.

.?.ZB=（1,1,0）,ZP^（0,1,V3）PC=（0,l,-V3）ftP=（0,0,V3）-

■-PD=2DC,.-.PD=-PC=[o,-,-^]^OD=OP+PD=[^-^—■

PAB

令平面的法向量為

n?AP=y+A/3Z=0

則直線與平面所成角的正弦值sinafcos（麗，碼=昌二=/一=￡

1"K同產(chǎn)7

答案第141頁，共22頁

(3)由(2),在=0,1,0),通=0三,￡AP=(0,l,V3)-

令平面28。的法向量為』=(XQ“Z|)，

m?AB=石+必=0m=(V3,-V3,5)

則,可取

m-AD=^yl+^-zl=Q

PABD

AP-m\4A/3_4>/93

則點到平面的距離d=|同國一31

18.⑴一一片=1

4

(2)證明見解析

【分析】(1)由題意，求出凡6即可得出雙曲線方程；

(2)設/(%,”)，得出H，寫出平行漸近線的直線方程，聯(lián)立雙曲線方程得出P,。坐標,

計算|0尸卜|/@即可得證.

答案第151頁，共22頁

【詳解】（1）由題意得左=±幺k2=±-,

1a22

,.?同,網(wǎng)|=1.?.6=2”

...G的焦點到漸近線的距離為2,

/.b=2,.\Q=1,b=2,c=yj'5'

2

雙曲線方程為——2L=i.

4

令4（加,〃），由題息加），

???/在G上m2*_]得（加+2〃）（加—2〃）=8

‘-！"一萬一'

即2〃一加二--——-——-

（加+2〃）

f

則過A與其中一條斜率為2的漸近線平行的直線l：y-m=2（x-ny

y-m=2（X-H）4x2+=4

聯(lián)立”2,可得一」

2y

Xr...........-1

4

即（4x+加-2〃）（2〃-勿）=4,解得/=1+2”-加

2n-m4

答案第161頁，共22頁

即馬=￡一半，同理可得電=￡+督，

:.\A'P\\A'Q\=s/5\xA,-xp\-45\xA.-xQ^=5+整

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

⑴設直線方程，設交點坐標為&,%),(,%)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于X(或y)的一元二次方程，注意A的判斷;

(3)列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關系轉化為再+七、七/(或%+%、乂%)的形式；

(5)代入韋達定理求解.

19.(1)證明見解析

(2)存在,切線為x—y-1=0

(3)y(x)在R上單調(diào)遞增

【分析】(1)由基本不等式及新定義求證即可；

(2)根據(jù)導數(shù)求出s(x)在尤=1時有最小值，可得產(chǎn)點，再求切線方程即可；

m=t判

(3)由新定義及函數(shù)的導數(shù)先求出函數(shù)極小值點,再由此得出(?