數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵特征

數(shù)學(xué)基本思想的內(nèi)涵特征課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）的亮點(diǎn)“雙基”變“四基”“雙能”變“四能”第2頁,共46頁，星期六，2024年，5月課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的表述

“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象和概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想?！?/p>

第3頁,共46頁，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)思想的含義，是可以從多方面解釋一是推進(jìn)和支撐數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的思想；二是在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得的思想；三是聯(lián)合國教科文組織關(guān)于數(shù)學(xué)思想的刻畫。

第4頁,共46頁，星期六，2024年，5月推進(jìn)和支撐數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的思想

古巴比倫與埃及的數(shù)學(xué)是外國數(shù)學(xué)的兩大源流，數(shù)學(xué)教育也是如此。

第5頁,共46頁，星期六，2024年，5月推進(jìn)和支撐數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的思想

古希臘的數(shù)學(xué)，論其成就的不勝枚舉了。畢達(dá)哥拉斯對(duì)于數(shù)列的研究、畢達(dá)哥拉斯定理、不可公度比的發(fā)現(xiàn)、平面幾何的許多定理、厄里亞學(xué)派的四個(gè)關(guān)于運(yùn)動(dòng)的駁論、柏拉圖學(xué)派對(duì)于立體幾何的研究，歐幾里得的《幾何原本》，阿基米德關(guān)于面積和體積的研究，托勒密的三角術(shù)等等。

第6頁,共46頁，星期六，2024年，5月

三次數(shù)學(xué)危機(jī)第7頁,共46頁，星期六，2024年，5月推進(jìn)和支撐數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的思想（1）數(shù)學(xué)教育應(yīng)該首先滿足學(xué)生離校后參加生產(chǎn)及日常生活的基本數(shù)學(xué)需要；（2）數(shù)學(xué)課程應(yīng)該隨著數(shù)學(xué)科學(xué)本身的不斷發(fā)展而不斷更新。（3）數(shù)學(xué)教育應(yīng)培養(yǎng)勇于探索的精神和追求真理的理想。（4）數(shù)學(xué)教育要讓學(xué)生得到美的享受、心靈的陶冶。第8頁,共46頁，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)與文學(xué)數(shù)學(xué)與音樂、繪畫數(shù)學(xué)與生物數(shù)學(xué)與軍事數(shù)學(xué)與人的培養(yǎng)

第9頁,共46頁，星期六，2024年，5月劉三姐與三個(gè)秀才的對(duì)歌：羅秀才：小小麻雀莫逞能，三百條狗四下分；一少三多要單數(shù)，看你怎么分得清。劉三姐：九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，還有三條狗奴才。第10頁,共46頁，星期六，2024年，5月蘇東坡的“百鳥圖”

歸來一只又一只，三四五六七八只，鳳凰何少鳥何多，啄盡人間千石食。第11頁,共46頁，星期六，2024年，5月學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得的思想

一流教師教智慧，二流教師教方法，三流教師教知識(shí)。

第12頁,共46頁，星期六，2024年，5月第13頁,共46頁，星期六，2024年，5月分類

分類通常是揭示概念外延的一種邏輯方法，也就是以比較為基礎(chǔ)，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對(duì)象歸入一類，不同性質(zhì)的對(duì)象歸入不同類別的過程。第14頁,共46頁，星期六，2024年，5月第15頁,共46頁，星期六，2024年，5月轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化又稱為化歸，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。其基本思想是，把有待解決的問題，通過轉(zhuǎn)化的手段，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較容易解決的問題，并通過對(duì)后者的解決實(shí)現(xiàn)對(duì)前者的解決。第16頁,共46頁，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家的故事：數(shù)學(xué)家問物理學(xué)家：「假如你有一個(gè)空水壺和一個(gè)沒點(diǎn)火的爐子，你要怎樣燒開水呢？」物理學(xué)家說：「我把壺灌滿水，把爐子點(diǎn)著，再把壺放到爐子上?！箶?shù)學(xué)家接著說：「答對(duì)了。但是假如原來壺里已經(jīng)灌滿了水，爐子也點(diǎn)著了，你又如何燒開水呢？」物理學(xué)家說：「那不是更簡單了嗎？我只要把水壺放到爐子上就好了。」數(shù)學(xué)家嘆口氣說：「錯(cuò)了！錯(cuò)了！你應(yīng)該把水倒掉，把爐火熄滅。那樣你就把這個(gè)新問題轉(zhuǎn)化到原來的老問題了?！沟?7頁,共46頁，星期六，2024年，5月第18頁,共46頁，星期六，2024年，5月數(shù)形結(jié)合的思想“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象，“數(shù)”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的抽象化語言，“形”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的直觀化圖形語言，由于兩者各有優(yōu)勢，所以人們經(jīng)常把兩者結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象和諧統(tǒng)一。從而使問題得到有效解決。第19頁,共46頁，星期六，2024年，5月第20頁,共46頁，星期六，2024年，5月類比

關(guān)注兩個(gè)對(duì)象在某些方面的相同或相似之處，從而推測它們在其他方面也可能存在相同或相似之處。

第21頁,共46頁，星期六，2024年，5月第22頁,共46頁，星期六，2024年，5月抽象

亞里士多德：數(shù)學(xué)家用抽象的方法進(jìn)行思考，去掉事物中那些感性的東西，對(duì)于數(shù)學(xué)而言，點(diǎn)、線、角或是其他量的定義，不是作為存在而是作為關(guān)系。第23頁,共46頁，星期六，2024年，5月抽象

對(duì)于抽象，在數(shù)學(xué)上只有兩種，一種是數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，一種是圖形與圖形關(guān)系的抽象，所以，數(shù)學(xué)本質(zhì)上研究這兩種關(guān)系的抽象。第24頁,共46頁，星期六，2024年，5月抽象

抽象可分為兩個(gè)層次，第一個(gè)層次叫直觀描述，第二個(gè)層次叫符號(hào)表達(dá)。

第25頁,共46頁，星期六，2024年，5月抽象

以“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”教學(xué)為例第26頁,共46頁，星期六，2024年，5月抽象

抽象是數(shù)學(xué)活動(dòng)中最為基本的思維方法，也是數(shù)學(xué)化活動(dòng)的一般思想方法。指人們在對(duì)客觀事物的屬性和特點(diǎn)進(jìn)行分析、比較和綜合的基礎(chǔ)上，舍棄其非本質(zhì)的屬性，而抽取其本質(zhì)屬性的思維過程，是人們用來接近事物本質(zhì)和形成概念的思維方法。第27頁,共46頁，星期六，2024年，5月第28頁,共46頁，星期六，2024年，5月推理

推理是從一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷之間的思維過程。

第29頁,共46頁，星期六，2024年，5月推理

推理的上一個(gè)層次，叫思維。思維有三種形式——形象思維、邏輯思維、辯證思維。這三種思維中，數(shù)學(xué)只用一種——邏輯思維。與邏輯思維所對(duì)應(yīng)的是邏輯推理。第30頁,共46頁，星期六，2024年，5月推理

從一系列具體事實(shí)概括出一般原理的過程，稱為歸納推理；從普遍性結(jié)論或一般性前提出發(fā)，推出個(gè)別或特殊結(jié)論的過程，稱之為演繹推理。第31頁,共46頁，星期六，2024年，5月歸納推理

有8個(gè)男生在跳繩，7個(gè)女生在跳繩，還有12個(gè)女生在踢毽子，求跳繩和踢毽子的一共有多少人？

第32頁,共46頁，星期六，2024年，5月演繹推理

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了(a+b)+c=a+(b+c)以后，要求學(xué)生應(yīng)用加法結(jié)合律進(jìn)行27+48+52的簡便計(jì)算時(shí)，學(xué)生根據(jù)已經(jīng)獲得的定義、定律、公式等，去解決一個(gè)個(gè)具體的問題，這便是一個(gè)演繹的過程，使得抽象的數(shù)學(xué)概念、規(guī)律和原理具體化，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，發(fā)展推理能力和思維能力。

第33頁,共46頁，星期六，2024年，5月

歸納推理和演繹推理的教育價(jià)值并不相同，因?yàn)闅w納是被看做數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中的一種特別重要的方法，而演繹推理雖然“也是必要的，但這種推理不能用于發(fā)現(xiàn)新命題”。多年來，我國基礎(chǔ)教育重在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)上，而弱于歸納能力的訓(xùn)練，給創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)帶來了嚴(yán)重的障礙，所以，我們應(yīng)更為關(guān)注對(duì)學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng)。

第34頁,共46頁，星期六，2024年，5月第35頁,共46頁，星期六，2024年，5月模型

模型思想是指用數(shù)學(xué)模型方法處理和解決實(shí)際問題的一種思想。數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，通俗地表達(dá)，數(shù)學(xué)模型是借助數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)生活的故事。就小學(xué)階段而言，主要有兩種模型，一個(gè)是部分量+部分量=總量，還有一個(gè)是每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。

第36頁,共46頁，星期六，2024年，5月

“西安的大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？”

ax±b=c第37頁,共46頁，星期六，2024年，5月第一：為什么我們每天與數(shù)學(xué)思想打交道，但我們卻處于無意識(shí)狀態(tài)呢？第二：既然數(shù)學(xué)思想本身就蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)中，我們是不是不必專門加以關(guān)注？是否關(guān)注數(shù)學(xué)基本思想的教學(xué)，其本質(zhì)區(qū)別在哪里呢？第38頁,共46頁，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)基本思想的特性

內(nèi)隱性概括性層次性第39頁,共46頁，星期六，2024年，5月層次性

數(shù)學(xué)觀念數(shù)學(xué)思想解題通法解題術(shù)第40頁,共46頁，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)觀念自我意識(shí)整體意識(shí)推理意識(shí)運(yùn)動(dòng)與變化意識(shí)本質(zhì)地看問題的意識(shí)用數(shù)學(xué)的意識(shí)審美意識(shí)等

第41頁,共46頁，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)基本思想的教學(xué)價(jià)值首先：重視數(shù)學(xué)思想方法有助于學(xué)生更好地理解和掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。其次，重視數(shù)學(xué)思想有助于促進(jìn)學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。再次，重視數(shù)學(xué)思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生終身受益。第42頁,共46頁，星期六，2024年，5月工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家怎么處理問題

一位農(nóng)夫請(qǐng)了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家來，想用最少的籬笆圍出最大的面積。

工程師用籬笆圍出了一個(gè)圓，宣稱這是最優(yōu)設(shè)計(jì)。物理學(xué)家將籬笆拉開成一條長長的直線，假如籬笆是無限長的，認(rèn)為圍起來半個(gè)地球總夠大的了。數(shù)學(xué)家好好嘲笑了他們一番，他用很少的籬笆把自己圍了起來，然后說：“我現(xiàn)在是站在外面。第43頁,共46頁，星期六，2024年，5月天文學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家會(huì)怎么表達(dá)觀點(diǎn)

天文學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家坐著火車在蘇格蘭的大地上奔馳。他們往外眺望，看到田野里有一只黑色的羊。天文學(xué)家說：“多么有趣，所有的蘇格蘭羊都是黑色的?！蔽锢韺W(xué)家反駁道：“不！某些蘇格蘭羊是黑色的?！?/p>