數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析

數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析

本章介紹的內(nèi)容

?。?shù)值計(jì)算方法的含義及其特點(diǎn)；

ⅱ）誤差的來(lái)源；

ⅲ）誤差的有關(guān)概念（絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字）；

ⅳ）誤差的傳播過(guò)程；

ⅴ）算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念；

ⅵ）選用數(shù)值算法的若干原則。第2頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月第一節(jié)數(shù)值計(jì)算方法研究的對(duì)象、內(nèi)容及特點(diǎn)

數(shù)值計(jì)算方法是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,又稱數(shù)值分析或計(jì)算方法,它是研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及其理論的一門學(xué)科,是程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析的依據(jù)和基礎(chǔ)。我們知道，用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題需要經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)過(guò)程：提出具體問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型，選用數(shù)值計(jì)算方法，程序設(shè)計(jì)、上機(jī)調(diào)試直至得出最終數(shù)值結(jié)果?？梢?選用數(shù)值計(jì)算方法是應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算全過(guò)程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

第3頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月數(shù)值計(jì)算方法特點(diǎn)（1）面向計(jì)算機(jī)。根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)提供實(shí)際可行的有效算法。即算法只能包括加、減、乘、除和邏輯運(yùn)算，是計(jì)算機(jī)所能直接處理的。（2）有可靠的理論分析。能任意逼近并達(dá)到精度要求，對(duì)近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，還要對(duì)誤差進(jìn)行分析。有相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論做基礎(chǔ)。（3）有好的計(jì)算復(fù)雜性（包括空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度）。算法需占用的存儲(chǔ)空間要小，運(yùn)算次數(shù)要少。這也是建立算法要研究的問(wèn)題，它關(guān)系到算法能否在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。第4頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月第5頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月第二節(jié)誤差

用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題通常經(jīng)歷以下過(guò)程：

據(jù)此誤差的來(lái)源主要有以下四類。

實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算結(jié)果第6頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月

（一）建模誤差

在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，為了使數(shù)學(xué)模型盡量簡(jiǎn)單，以便于分析或計(jì)算，往往要忽略一些次要的因素，進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化。這樣，實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型之間就產(chǎn)生了誤差，這種誤差稱為模型誤差。由于這類誤差難于作定量分析，所以在計(jì)算方法中，總是假定所研究的數(shù)學(xué)模型是合理的，對(duì)模型誤差不作深入的討論。第7頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月（二）觀測(cè)誤差

在數(shù)學(xué)模型中，一般都含有從觀測(cè)（或?qū)嶒?yàn)）得到的數(shù)據(jù)，如溫度、時(shí)間、速度、距離、電流、電壓等等。但由于儀器本身的精度有限或某些偶然的客觀因素，會(huì)引入一定的誤差，這類誤差叫做觀測(cè)誤差。通常根據(jù)測(cè)量工具或儀器本身的精度，可以知道這類誤差的上限值，所以無(wú)需在數(shù)值分析中作過(guò)多的研究。

第8頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月

當(dāng)數(shù)學(xué)模型得不到精確解時(shí)，要用數(shù)值計(jì)算方法求它的近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差或方法誤差。譬如在數(shù)值計(jì)算中，常用收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)來(lái)代替無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即拋棄了無(wú)窮級(jí)數(shù)的后段，這樣就產(chǎn)生了截?cái)嗾`差。（三）截?cái)嗾`差（方法誤差）

第9頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月（四）舍入誤差

由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限，原始數(shù)據(jù)的輸入及浮點(diǎn)運(yùn)算過(guò)程中都可能產(chǎn)生誤差。而事實(shí)上，無(wú)論用電子計(jì)算器計(jì)算還是筆算，都只能用有限位小數(shù)來(lái)代替無(wú)窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來(lái)代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，這樣產(chǎn)生的誤差叫做舍入誤差。在數(shù)值計(jì)算中，往往要進(jìn)行成千上萬(wàn)次四則運(yùn)算，因而就會(huì)有成千上萬(wàn)個(gè)舍入誤差產(chǎn)生，這些誤差一經(jīng)疊加或傳遞，對(duì)精度可能有較大的影響。所以，作數(shù)值計(jì)算時(shí)，對(duì)舍入誤差應(yīng)予以足夠的重視。

第10頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月小結(jié)

上述四類誤差都會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，但模型誤差和觀測(cè)誤差往往需要會(huì)同各有關(guān)學(xué)科的科學(xué)工作者共同研究,因此在計(jì)算方法課程中,主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。第11頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月一、絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限

定義1假設(shè)某一量的準(zhǔn)確值為x，近似值為x*,則x與x*之差叫做近似值x*的絕對(duì)誤差（簡(jiǎn)稱誤差），記為ε(x)，即

ε(x)=x－x*|ε(x)︱的大小標(biāo)志著x*的精確度。一般地，在同一量的不同近似值中,︱ε(x)︱越小，x*的精確度越高。當(dāng)︱ε(x)︱較小時(shí)，由微分和增量的關(guān)系知x*的絕對(duì)誤差ε(x)≈dx，故我們可以利用微分估計(jì)誤差。

第12頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月絕對(duì)誤差限的概念

由于準(zhǔn)確值x一般不能得到，于是誤差的準(zhǔn)確值也無(wú)法求得，但在實(shí)際測(cè)量計(jì)算時(shí)，可根據(jù)具體情況估計(jì)出它的大小范圍。也就是指定一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù)ξ，使

|ε(x)|=|x－x*|≤ξ我們稱ξ為近似值x*的絕對(duì)誤差限。有時(shí)也用

x=x*±ξ表示近似值的精度或準(zhǔn)確值的所在范圍。在實(shí)際問(wèn)題中，絕對(duì)誤差一般是有量綱的。例如，測(cè)得某一物體的長(zhǎng)度為5m，其誤差限為0.01m，通常將準(zhǔn)確長(zhǎng)度?記為

?=5±0.01即準(zhǔn)確值在5m左右，其誤差限為0.01m的誤差限。

第13頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月相對(duì)誤差的概念

定義2我們把絕對(duì)誤差與準(zhǔn)確值之比

εr(x)=ε

(x)/x=(x－x*)/x，x≠0稱為x*的相對(duì)誤差。由于準(zhǔn)確值x往往是不知道的，因此在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)|εr(x)|較小時(shí)，常取

εr(x)=ε

(x)/x*

一般地，在同一量或不同量的幾個(gè)近似值中，|εr(x)|小者精確度高。第14頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月相對(duì)誤差限的概念

在實(shí)際計(jì)算中,由于ε(x)與x都不能準(zhǔn)確地求得,因此相對(duì)誤差εr(x)也不可能準(zhǔn)確地得到,我們只能估計(jì)它的大小范圍。即指定一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù)η，使

|εr(x)|=|ε(x)|/|x*|≤η稱η為近似值x*的相對(duì)誤差限。當(dāng)|εr(x)|較小時(shí)，可以用下式來(lái)計(jì)算η：

η=ξ/|x*|第15頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月三、有效數(shù)字

為了既能表示近似數(shù)的大小，又能表示近似數(shù)的精確程度，我們下面介紹有效數(shù)字的概念（注意：有效數(shù)字既能表示近似數(shù)的大小，又能表示近似數(shù)的精確程度）。第16頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月半個(gè)單位的概念

為了理解有效數(shù)字的概念,首先要弄清什么是半個(gè)單位。我們知道，當(dāng)x有很多位數(shù)字時(shí)，常常按照“四舍五入”原則取前幾位數(shù)字作為x的近似值x*。例1設(shè)x=π=3.1415926…取x1*=3作為π的近似值,則|ε1(x)|=0.1415…≤0.5×100；取x2*=3.14，則|ε2(x)|=0.00159…≤0.5×10-2；取x3*=3.1416,則|ε3(x)|=0.0000074…≤0.5×10-4。它們的誤差都不超過(guò)末位數(shù)字的半個(gè)單位。

第17頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月

有效數(shù)字的概念

定義3若近似值x*的絕對(duì)誤差限是某一位上的半個(gè)單位，該位到x*的第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱近似值x*有n位有效數(shù)字，或說(shuō)x*精確到該位。準(zhǔn)確數(shù)本身有無(wú)窮多位有效數(shù)字，即從第一位非零數(shù)字以后的所有數(shù)字都是有效數(shù)字。

第18頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月

有效數(shù)字舉例

如例1中的x*1，x*2,x*3,分別有1,3,5位有效數(shù)字。實(shí)際上，用四舍五入法取準(zhǔn)確值x的前n位（不包括第一位非零數(shù)字前面的零）作為它的近似值x*時(shí)，x*有n位有效數(shù)字。例2設(shè)x=4.26972，則按四舍五入法，取2位，x1*=4.3有效數(shù)字為2位,取3位，x2*=4.27,有效數(shù)字為3位，取4位，x3*=4.270，有效數(shù)字為4位。

第19頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月特別注意

近似值后面的零不能隨便省去，如例2中4.27和4.270，前者精確到4.27,有效數(shù)字為3位，取4位，x3*=4.270,有效數(shù)字為4位。可見,它們的近似程度完全不同,

與準(zhǔn)確值的最大誤差也完全不同。

第20頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月有效數(shù)字和絕對(duì)誤差的關(guān)系

定義3換一種說(shuō)法就是：設(shè)x的近似值

x*=±0.a1a2…an…

×10p若其絕對(duì)誤差

|ε(x)|=|x－x*|≤0.5×10p-n則稱近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字。這里p為整數(shù)，a1,

a2,

…,

an是0到9中的一個(gè)數(shù)字且a1≠0。例如，若x*=0.23156×10-2是x的具有五位有效數(shù)字的近似值，則絕對(duì)誤差是

|x－x*|≤0.5×10-2-5=0.5×10-7

定義3或式

|ε(x)|=|x－x*|≤0.5×10p-n建立了絕對(duì)誤差(限)和有效數(shù)字之間的關(guān)系。由于n越大，10p-n的值越小，所以有效數(shù)字位越多，則絕對(duì)誤差(限)越小。

第21頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系

定理1若近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差為

|εr(x)|≤1/(2×a1)×10-(n-1)其中a1≠0是x*的第一位有效數(shù)字。

定理1說(shuō)明有效數(shù)字位越多,相對(duì)誤差(限)越小。定理2形式如x*=±0.a1a2…an…

×10p的近似數(shù)x*，若其相對(duì)誤差滿足

|εr(x)|≤1/[2×(a1+1)]×10-(n-1)則x*至少有n位有效數(shù)字。由此可知，有效數(shù)字位數(shù)可刻畫近似數(shù)的精確度，相對(duì)誤差(限)與有效數(shù)字的位數(shù)有關(guān)。

第22頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月有效數(shù)字與相對(duì)誤差關(guān)系舉例

注意從并不能保證x*一定具有n位有效數(shù)字。如x=sin29020′=0.4900

設(shè)其近似值x*=0.484,其相對(duì)誤差為我們不能由此推出x*有兩位有效數(shù)字，這是因?yàn)?/p>

x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005即可知近似值x*并不具有兩位有效數(shù)字。實(shí)際上,x*只有一位有效數(shù)字。|εr(x)|≤1/(2×a1)×10-(n-1)第23頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月數(shù)值運(yùn)算中誤差的影響

要分析數(shù)值運(yùn)算中誤差的傳播，首先就要估計(jì)數(shù)值運(yùn)算中的誤差。數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)情況較復(fù)雜,

通常利用微分來(lái)估計(jì)誤差。第24頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月

二元函數(shù)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解y與變量x1,

x2有關(guān),

y=f(x1,x2)。若x1,x2的近似值為x1*,x2*,相應(yīng)解為y*,則當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時(shí)解的絕對(duì)誤差

ε(y)=y－y*=f(x1,x2)－f(x1*,x2*)

≈dy=?f(x1,x2)/?x1*ε(x1)+?f(x1,x2)/?x2*ε(x2)解的相對(duì)誤差

εr(y)≈dy/y=Σ?f(x1,x2)/?xi*xi/

f(x1,x2)*εr(xi)(i=1,2)

利用這兩式可得到兩數(shù)和、差、積、商的誤差估計(jì)。第25頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月一、算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念

所謂算法，是指對(duì)一些數(shù)據(jù)按某種規(guī)定的順序進(jìn)行的運(yùn)算序列。在實(shí)際計(jì)算中，對(duì)于同一問(wèn)題我們選用不同的算法,所得結(jié)果的精度往往大不相同。這是因?yàn)槌跏紨?shù)據(jù)的誤差或計(jì)算中的舍入誤差在計(jì)算過(guò)程中的傳播，因算法不同而異，于是就產(chǎn)生了算法的數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題。一個(gè)算法,如果計(jì)算結(jié)果受誤差的影響小，就稱這個(gè)算法具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。否則，就稱這個(gè)算法的數(shù)值穩(wěn)定性不好。第26頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月

算法的數(shù)值穩(wěn)定性概念舉例

例1一元二次方程

X2+2pX+q=0的兩個(gè)根分別是：

x1=–p+(p2–q)0.5，x2=–p–(p2–q)0.5

當(dāng)p=–0.5×105,q=1時(shí)，方程的兩個(gè)根取11位有效數(shù)字為：

x1=99999.999990,x2=0.000010000000001

在高精度的計(jì)算機(jī)(進(jìn)制β=10,字長(zhǎng)t=8,浮點(diǎn)階碼下限L=–50,浮點(diǎn)階碼上限U=50)上直接用上述公式計(jì)算的結(jié)果為：

x1=100000.00,x2=0

可見，結(jié)果x1很好，而x2很不理想，這說(shuō)明直接用上述公式計(jì)算第二個(gè)根是不穩(wěn)定的，其原因在于在計(jì)算x2時(shí)造成相近兩數(shù)相減，從而使有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失。請(qǐng)看下面的求解方法。第27頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月

一元二次方程X2+2pX+q=0的求解方法

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知

x1x2=q=1所以

x2=1/x1因此，如果仍用上述方法算出x1，然后用

x2=1/x1計(jì)算x2，可得

x1=100000.00，x2=0.00001000

該結(jié)果是非常好的。這就說(shuō)明這種算法有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)|p|>>|q|時(shí)，用公式x1=–p–sign(p)?(p2–q)0.5,x2=q/x1來(lái)求解方程X2+2pX+q=0是數(shù)值穩(wěn)定的。從而可知，算法數(shù)值穩(wěn)定性的討論甚為重要。第28頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月二、設(shè)計(jì)算法的若干原則

為防止誤差使計(jì)算結(jié)果失真(失常）現(xiàn)象發(fā)生，要選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，以保證算法的數(shù)值穩(wěn)定性。下面我們給出設(shè)計(jì)算法的若干原則，并給出改善算法的例子，這些原則有助于鑒別算法的可靠性并防止誤差危害的現(xiàn)象產(chǎn)生。

第29頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月（一）要避免相近兩數(shù)相減

下面再舉幾個(gè)例說(shuō)明改善算法的方法。例２x充分大時(shí)

1/x–1/(x+1)=1/[x(x+1)](1+x)1/2–

x1/2=1/[(1+x)1/2+x1/2]

例３對(duì)于小的正數(shù)ε sin(x+ε)–sinx=2cos(x+ε/2)sin(ε/2)(注： sin(x)–sin(y)=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2])

例４對(duì)于絕對(duì)值小的x，可利用泰勒級(jí)數(shù)

ex–1=x+x2/2+x3/6+…取前n項(xiàng)來(lái)計(jì)算。第30頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月（二）要防止大數(shù)“吃掉“小數(shù)，注意保護(hù)重要數(shù)據(jù)

在數(shù)值運(yùn)算中，參加運(yùn)算的數(shù)有時(shí)數(shù)量級(jí)相差很大，而計(jì)算機(jī)位數(shù)有限，如不注意運(yùn)算次序就可能出現(xiàn)大數(shù)“吃掉”小數(shù)的現(xiàn)象，影響計(jì)算結(jié)果的可靠性。

例5

在五位浮點(diǎn)十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上，計(jì)算

y=54321+0.4+0.3+0.4

如果按從左到右的順序進(jìn)行加法運(yùn)算，后三個(gè)數(shù)都在對(duì)階過(guò)程中被當(dāng)作零，得出含有較大絕對(duì)誤差的結(jié)果y=54321。要避免這種大數(shù)“吃掉”小數(shù)的現(xiàn)象，可以調(diào)整計(jì)算順序，采用先小數(shù)后大數(shù)的計(jì)算次序，即先將0.4,0.3,0.4加起來(lái)，然后再加上54321，結(jié)果等于54322。一般情況下，若干數(shù)相加，采用絕對(duì)值較小者先加的算法，結(jié)果的相對(duì)誤差限較小。第31頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月（三）注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟、減少運(yùn)算次數(shù)、避免誤差積累

同一個(gè)計(jì)算問(wèn)題，如果能減少運(yùn)算次數(shù)，不但可以提高計(jì)算速度，而且能減少誤差的積累。第32頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月簡(jiǎn)化計(jì)算步驟、減少運(yùn)算次數(shù)、避免誤差積累的例子

例6計(jì)算多項(xiàng)式

P4(x)=0.0625x4+0.425x3+1.215x2+1.912x+2.1296的值。如果先計(jì)算各項(xiàng)然后相加，需做十次乘法和四次加法。如改用下式計(jì)算

(((0.0625x+0.425)x+1.215)x+1.912)x+2.1296則只需做四次乘法和四次加法。

第33頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月簡(jiǎn)化計(jì)算步驟、減少運(yùn)算次數(shù)、避免誤差積累的例子

又如計(jì)算

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(1000*1001)

的值。若一項(xiàng)一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，不僅計(jì)算次數(shù)多，而且誤差積累也很大。若簡(jiǎn)化成1－1/1001進(jìn)行計(jì)算，則整個(gè)計(jì)算只要一次求倒數(shù)和一次減法。第34頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月（四）要避免絕對(duì)值小的數(shù)作除數(shù)

由式

ε(x1/x2)≈d(x1/x2)≈[x2ε(x1)－x1ε(x2)]/x22,(x2≠0)可知，當(dāng)除數(shù)x2接近于零時(shí)，商的絕對(duì)誤差就可能很大。因此,在數(shù)值計(jì)算中要盡量避免絕對(duì)值小的數(shù)作除數(shù),避免的方法是把算式變形或改變計(jì)算順序。例8當(dāng)x接近于0時(shí)

(1-cosx)/sinx的分子、分母都接近0，為避免絕對(duì)值小的數(shù)作除數(shù)，可將原式化為

(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx)

例9當(dāng)x很大時(shí)，可化

x/[(x+1)0.5－x0.5]=x[(x+1)0.5+

x0.5]

第35頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月控制誤差傳播的例子

例10計(jì)算積分

In=∫01xnex-1dx，n=0,1,2,…,9利用分部積分法，可得

In=

xnex-1|01–∫01ex-1dxn

=1–n∫01xn-1ex-1dx

=1–nIn-1從而有遞推公式

I0=∫01ex-1dx=ex-1|01=

1-e-1≈0.6321In=1–nIn-1（n=0,1,2,…,9）

第36頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月計(jì)算積分In=∫01xnex-1dx的過(guò)程

如果直接應(yīng)用遞推公式

I0=∫01ex-1dx=ex-1|01=

1-e-1≈0.6321In=1–nIn-1（n=1,2,…,

9）用四位小數(shù)計(jì)算依次得到：

0.6321,0.3679,0.2642,0.2074,0.17040.1480,0.1120,0.2160,-0.7280,7.5520由此看到I8為負(fù)值、I9>1，顯然與一切0<In<1（由于e-1/(n+1)=min(ex-1)∫01xndx<In(0≤x≤1)

<max(ex-1)∫01xndx=1/(n+1))矛盾。事實(shí)上，從I7開始已經(jīng)連一位有效數(shù)字也沒有了（I7<1/8=0.125,而上面算得I7=0.2160）。是什么原因造成這種結(jié)果呢？第37頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月計(jì)算積分In=∫01xnex-1dx的誤差分析

根據(jù)

I0=∫01ex-1dx=ex-1|01=

1-e-1≈0.6321In=1–nIn-1（n=1,2,…,

9）計(jì)算In,假定I0與準(zhǔn)確值的誤差為ε(I0)。容易看出誤差傳遞規(guī)律是:ε(In)=–nε(In-1)=…=(-1)nn!ε(I0)

（如：I4=1-4I3=1-4(1-3I2)=1-4(1-3(1-2I1))=1-4(1-3(1-2(1-I0))=1-4+12-24+4!I0）這說(shuō)明由初始值I0的舍入而產(chǎn)生的誤差在計(jì)算過(guò)程中絕對(duì)值會(huì)迅速擴(kuò)大。若

|ε(I0)|=5

×10-5則|ε(I9)|=9!×5×10-5>15|εr(I9)|=|ε(I9)|/I9>1500%(0<I9<1)

這樣求得的結(jié)果是完全不可靠的，因此這個(gè)算法是不穩(wěn)定的。第38頁(yè),共40頁(yè)，星期六，2024年，5月計(jì)算積分In=∫01xnex-1dx的改進(jìn)方法

根據(jù)In=1–nIn-1可知

In-1=(1–In)/n

再由e-1/10<I9<1/10取I9≈

(e-1/10+1/10)/2=0.0684按I9≈

(e-1/10+1/10)/2=0.0684In-1=(1–In)/n（n=9,8,7,…,1)計(jì)算，保留四位小數(shù)依次得I9,

I8,

I7,