2021年P(guān)CB鵬程杯數(shù)學(xué)決賽6年級(jí)試卷（含答案）

）第第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021（決賽）試題卷六年級(jí)組考試時(shí)間：10:40～12:20 滿(mǎn)分：150分考試說(shuō)明

三角形??????的面積是22.4，則????= .12.圓周上有12個(gè)點(diǎn)，兩兩連出六條弦，這些弦彼此沒(méi)有公共點(diǎn)（既無(wú)公共端點(diǎn)，又不相交）.則有 種連結(jié)方法.二、解答題（13、141215～171466分）13.定義：??!=1×23??，試計(jì)算：

12道填空題、5道解答題。填空題答案不完整則不得分，解答題按評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分。

10!?8! 9!?7! 8!?6! 7!?5! 6!?4! 5!?3! 4!?2! 3!?1!? + ? + ? + ? + ? + ? + 8 7 6 5 4需在答題卡上作答，寫(xiě)在試題卷上不得分。一、填空題（784分）已知5鵬城杯賽好×5=鵬城杯賽好5×4，則五位數(shù)鵬城杯賽好= .蘋(píng)果，如果每人分5個(gè)，就會(huì)剩下4個(gè)蘋(píng)果；這時(shí)走了3個(gè)小朋友，那么每6個(gè)還會(huì)剩4個(gè)蘋(píng)果．那么原來(lái)蘋(píng)果的個(gè)數(shù)是 .某校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，200米賽跑的跑道如右圖.其終點(diǎn)部分及起點(diǎn)部分是直米，那么相鄰兩個(gè)跑道中，外跑道的起點(diǎn)應(yīng)前移 米（??取3.14，結(jié)果保留到百分位）

9+8+7+6+514.??2m1個(gè)瓶中的糖水倒??22個(gè)瓶中的糖水倒??3個(gè)瓶中，…，再然后將第???1個(gè)瓶中的糖水倒??克到第??個(gè)瓶中，最后將第??個(gè)瓶中的糖水倒??1個(gè)瓶中.這樣做過(guò)之后，發(fā)現(xiàn)??個(gè)瓶子中的糖水濃度均相同.試以??=3為例，說(shuō)明最初??個(gè)瓶子中的糖水濃度原本就是相同的.==??????????面積是多少？（請(qǐng)勿用相似形的知識(shí)作答）汽車(chē)由起點(diǎn)站到終點(diǎn)站共行駛6個(gè)車(chē)站.已知起點(diǎn)站起4個(gè)車(chē)則從前4個(gè)車(chē)站上車(chē)而且在終點(diǎn)站下車(chē)的乘客共有 人..

題圖

15題圖16.我們將滿(mǎn)足以下條件的正整數(shù)稱(chēng)為“超常數(shù)”：該整數(shù)的每個(gè)數(shù)碼都不為零且互不相同，并且將其各位數(shù)碼打亂，排成一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，二者之差恰為它本身.例如，4956174都是“超常錢(qián)同學(xué)說(shuō)：乙是1號(hào)，丙是4號(hào)；孫同學(xué)說(shuō)：甲是4號(hào)，丁是3號(hào)；李同學(xué)說(shuō)：甲是1號(hào)，丙是3號(hào).他們每個(gè)人都說(shuō)對(duì)了一半，則丙是 號(hào).6.2021100100個(gè)分?jǐn)?shù)：

數(shù)”，因?yàn)?54459495，764114676174.請(qǐng)問(wèn)：是否存在五位的“超常數(shù)”？若存在，請(qǐng)舉出.11921+1

, 21921+2

?, 1001921+100

，其中最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是 .

右圖是用火柴棒擺成的由若干個(gè)正六邊形組成的一個(gè)圖案，圖案中沒(méi)有空隙. 根火柴棒．連續(xù)自然數(shù)1至??的和是一個(gè)各位數(shù)字相同的三位數(shù)，則??= .

題圖

它上方方格中的數(shù)大.請(qǐng)?jiān)趫D中給出一種填法；共有多少種填法？請(qǐng)說(shuō)明理由.甲每分鐘走70米,乙每分鐘走80米丙每分鐘走60米.甲乙兩人從A地丙從B地同時(shí)出發(fā)，和乙相遇后2分鐘又遇到甲. A地與B地之間的距離是 米.這8個(gè)自然數(shù)中任取4個(gè)相加余下4個(gè)也相加然后將兩個(gè)和相乘能得到 個(gè)不同的乘積.11.??????????=2????=8，??????????4.，

17題圖）第第1頁(yè)（共6頁(yè)）2021（決賽）參考答案六年級(jí)組考試時(shí)間：10:40～12:20 滿(mǎn)分：150分考試說(shuō)明12道填空題、5道解答題。填空題答案不完整則不得分，解答題按評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分。一、填空題（784）已知5鵬城杯賽好×5=鵬城杯賽好5×4，則五位數(shù)鵬城杯賽好= .答案：71428.

(??1.22)米.內(nèi)圈跑道半圓周長(zhǎng)為????米，外圈跑道半圓周長(zhǎng)為??(??+1.22)米.兩個(gè)半圓的長(zhǎng)度差為??(??+1.22????=??×1.22≈3.83（米）.終點(diǎn)站前4個(gè)車(chē)站（不包括終點(diǎn)站）下車(chē)人數(shù)是47，則從前4個(gè)車(chē)站上車(chē)而且在終點(diǎn)站下車(chē)的乘客共有 人.答案：11.12，3，4，56車(chē)站.上車(chē)的總?cè)藬?shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谙萝?chē)總?cè)藬?shù).14車(chē)站上車(chē)人數(shù)5車(chē)站上車(chē)人數(shù)（終點(diǎn)站無(wú)人上車(chē)）=25車(chē)站下車(chē)人數(shù)+終點(diǎn)站下車(chē)人數(shù)（起始站無(wú)人下車(chē)）則有58+5=47終點(diǎn)站下車(chē)人數(shù)11=5847=終點(diǎn)站下車(chē)人數(shù)?5車(chē)站上車(chē)人數(shù)=??，則則

5(500000+??)=4(10??+5)2500000+5??=40??+2035??=2499980

=4個(gè)車(chē)站上車(chē)而在終點(diǎn)站下車(chē)的乘客人數(shù)411人.說(shuō)明：可用字母解答.5站上車(chē)的人數(shù)分別為??1，??2，??3，??4，??55個(gè)車(chē)站下車(chē)234，561+2+3+4+5=2+3+4+5+658+5=47+6，??6???5=5847=11.411人.??=71428友分一堆蘋(píng)果，如果每人分5個(gè)，就會(huì)剩下4個(gè)蘋(píng)果；這時(shí)走了3個(gè)小朋友，那么每6個(gè)還會(huì)剩4個(gè)蘋(píng)果．那么原來(lái)蘋(píng)果的個(gè)數(shù)是 .答案：94.4315個(gè)蘋(píng)果，給留下的..有1854=94個(gè)蘋(píng)果.解法二：設(shè)小朋友數(shù)為??，則有5??+4=6(???3)+4，得到??=18.所以，原來(lái)一共有5??+4=94個(gè)蘋(píng)果.

是4號(hào)孫學(xué)是4是3號(hào)李學(xué)是1號(hào)，是3號(hào).他們個(gè)都對(duì)一，則丙是 號(hào).答案：4..122號(hào)，既然每個(gè)人都說(shuō)對(duì)134號(hào).3.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，200米賽跑的跑道如右圖.其終點(diǎn)部分及起點(diǎn)部分是直米，那么相鄰兩個(gè)跑道中，外跑道的起點(diǎn)應(yīng)前移 米（??取3.14，結(jié)果保留到百分位）

1 22021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，有100個(gè)分?jǐn)?shù)： ,

?, 100

，其中最答案：3.83

簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是 .

1921+1

1921+2

1921+100）第第3頁(yè)（共6頁(yè)）答案：95.解：對(duì)于最大公約數(shù)，(??+??，??)=(??，??)，所以，(1921??，??)=(1921??).易知，1921=17113（17113都是質(zhì)數(shù)），1100517的約數(shù).5個(gè)，最95個(gè).重疊，從中心僅有一個(gè)正六邊形算起，圖案現(xiàn)有3層.如果再擺1層，那么還需要 答案：60.16126×3+6×2=火柴.=.330根火柴.4層，需要1081830=60根火柴.連續(xù)自然數(shù)1至??的和是一個(gè)各位數(shù)字相同的三位數(shù)，則??= .答案：36.解：11+2+3+?+??= ??(??+1)2設(shè)上述三位數(shù)的各位數(shù)字為??，1≤??≤9，于是，1??(??+1)=?=100×??+10×??+??=111??=3×37??2得到1??(??+1)=3×37×??2??(??+1)=2×3×37×??即由此可知，??或??+137整除.若??=??(37??+1)=≤6×9=??(37??+1)≤==則??(??+1)=703?）2若??+1=37??，則??(37???1)=6??≤54，由此得??=1，此時(shí)，??+1=37，??=36

所以??=36甲每分鐘走70米,乙每分鐘走80米丙每分鐘走60米.甲乙兩人從A地丙從B地同時(shí)出發(fā)，和乙相遇后2分鐘又遇到甲. A地與B地之間的距離是 米.答案：3640.2(6070)=260(米)260米是乙比甲多走的路程.所以，丙和乙相遇時(shí)，甲、乙、丙行走的時(shí)間是260(8070)=26(分)，因此，AB地之間的距離是(806026=3640(米).這8個(gè)自然數(shù)中任取4個(gè)相加余下4個(gè)也相加然后將兩個(gè)和相乘能得到 個(gè)不同的乘積.答案：9.1234=10，最大值=.(10+??)，則其余4個(gè)數(shù)的和是：36?(10+??)=(26???)，??=0，1，2，…，16.依照題目要求，求(10??)(26??)有多少個(gè)不同的積？??+??=16時(shí)，(10+??)×(26???)=(26???)×(10+??)因此，當(dāng)0≤??≤8時(shí)，(10??)×(26??)9個(gè)不同的積.11.右圖中，????????是直角梯形，上底????=2，下底????=8，??是????上一點(diǎn)，三角形??????4.8，三角形??????22.4，則????= .答案：8.解：如圖，過(guò)EACAC交于F點(diǎn).由于??△??????=4.8所以1??(??+1)

36×37=

=666

?????????=4.822 2 又 ????=2 所以 ????=4.8而 解：1 1 1 1 1 1 1??△CDE=2?????????，????=8

分子=(10?)?(9?)+(8?)?(7?)+?+(4?)?(3?)9 8 7 6 3 2所以??△??????=4????

=(10?9+8?7+6?5+4?3)

1?(?9

1 1 1 1 + ? + ?8 7 6 5 1 1 1

1 1+ ?)3 21 1 1 1 1由于??梯形ABCD=??△ABE??△ACE??△CDE

=(10?9+8?7+6?5+4?3+2?1)?(? + ?9 8 7 而

+ ? +5 4

? +)2 1即12(????+????)?(????+????)=??△ABE+??△ACE+??△CDE1(2+8)?(4.8+????)=4.8+22.4+4????2

1 1 ? +9 8 故

1 1 ? + ?6 5

1 1 + ? +3 2

1 1 1 = + + +9 8 7 1 1 1 = + + +9 8 7 1 1 1 = + + +9 8 7

1 1 1 1 + + + + +5 4 3 2 1 1 1 1 + + + + +5 4 3 2 1+5

1 ?(+8 1 ?(+4

1 1+ +)×24 21 1+ +)2 1解得????=3.2從而

1 1分子=5?(+ 9 8又

1 1 1+ +)7 6 5????=8

=(1?

1)+(1?9

1)+(1?8

1)+(1?7

1 1)+(1?)6 512.圓周上有12個(gè)點(diǎn)，兩兩連出六條弦，這些弦彼此沒(méi)有公共點(diǎn)（既無(wú)公共端點(diǎn)，又不相交）.則有 種連結(jié)方法.答案：132.解：考慮圓周上2??個(gè)點(diǎn)的情況，連出??條滿(mǎn)足條件的弦，方法數(shù)記為????.

1 1 1 1 1=5?(+ + + +)9 8 7 6 5=分子故.

2??

，線(xiàn)段??1??2??將圓周分為??1與??2

=1兩部分.對(duì)于??1，有???1對(duì)點(diǎn)，共有?????1種連結(jié)方法；對(duì)于??2，有?????對(duì)點(diǎn)，共有???????中連結(jié)方法.由于定點(diǎn)??1可與??2，??4，??6，…，??2??連成弦.所以????=?????1+??1?????2+??2?????3+??3?????4+?+?????3??2+?????2??1+?????1易知??1=1，??2=2，代入上面遞推式得??3=5，??4=14，??5=42，??6=132132種連結(jié)方法.

??2m1個(gè)瓶中的糖水倒??22個(gè)瓶中的糖水倒??3個(gè)瓶中，…，再然后將第???1個(gè)瓶中的糖水倒??克到第??個(gè)瓶中，最后將第??個(gè)瓶中的糖水倒??1個(gè)瓶中.這樣做過(guò)之后，發(fā)現(xiàn)??個(gè)瓶子中的糖水濃度均相同.試以??=3為例，說(shuō)明最初??個(gè)瓶子中的糖水濃度原本就是相同的.解法一：定量計(jì)算設(shè)這三個(gè)瓶分別為甲、乙、丙，其糖水濃度分別為??、??、??（百分?jǐn)?shù)）二、解答題（13、141215～171466）13.定義：??!=1×23??，試計(jì)算：? + ? + ? + 10!?8! 9!?7! 8!?6! 7!?5! 6!?4! 5!?3! 4!?2! 3!?? + ? + ? + 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2!

????+???2??=??+2????+2??

??+3

??+2??+6??8 7 6 5 4

( ???+???2??)÷(??+2??)=9+8+7+6+5 3 9③第三次操作后，甲瓶中糖水的濃度變?yōu)?解法三：倒推法??+2??+6??( ???+?????)÷(??+??)=9

10??+2??+6??=18

5??+??+3??9

經(jīng)過(guò)三次操作后，甲、乙、丙三個(gè)瓶中都有2??克糖水，并且濃度相同，不妨設(shè)其中水為??克，糖為(2?????)克.依題意，甲、乙、丙中糖水濃度相同，即5??+??+3?? ??+2?? ??+2??+6??= =9 3 9即

由于每次操作只有兩個(gè)瓶中的糖水發(fā)生改變，而三個(gè)瓶含水總量為3??克，含糖總量為(6???3??)克，所以當(dāng)計(jì)算出一個(gè)瓶中糖和水的量之后，總是由總量去減已知瓶中糖和水的量，去計(jì)算另一個(gè)瓶中糖和水的量.①第三次操作是從丙中倒入1的糖水到甲瓶，則丙瓶中原有水：35??+??+3??=3??+6??=??+2??+6??1 3由5??+??+3??=3??+6??得由3??+6??=??+2??+6??得

5???2??=3??，即10???4??=6?? ①

??1?)= ??(克)3 23對(duì)照①和②得

4??+2??=6?? ②

而甲瓶中原有水：

3

??(克)21 ??10???4??=4??+2??所以=6??，??=??

??× 2 3??

(克)2進(jìn)一步

(克)2解法二：定性分析

??=??=??

1的糖水到丙瓶，則乙瓶中原有水：3??%、??%、??%，而經(jīng)三次操作最后的糖水濃度均

1 3??1?)= ??(克)為??%.易知，兩個(gè)濃度相同的糖水混合在一起，濃度當(dāng)然不變；兩個(gè)濃度不同的糖水混合在一起，新溶液的濃度必介于原溶液的濃度之間.??%；第二次操作后，將乙瓶中??%m克到丙瓶中，丙瓶中糖水濃度必須也變?yōu)??%，則??=??；

而丙瓶中原有水：

333???2

2??(克)??.

第三次操作后，將丙瓶中??%m克到甲瓶中，甲瓶中糖水濃度還得是??%，則??=??；??%m克到乙瓶中，乙瓶中糖水濃度仍為??%，所以，??=

原有糖：

?? ?????? ? ??=??(克)?? ???? ??所以 (?????????)?(???)?(????? ??)=???????(克).

??=??=??=??

?? ??1的糖水到乙瓶，2從以上分析可知，本題的結(jié)論與每次倒出的糖水的量無(wú)關(guān). 則甲瓶中原有水：原有糖：

????

??)=??(克)??

令

=??，則??△??????

=

??△??????=2??△??????乙瓶中原有水：

???????(克)

由圖形的對(duì)稱(chēng)性，??△??????=??△??????=3??所以 3??+??=6，??=1.5同理可得：??△??????=4.8原有糖：

??????????=??(克)

所以，五邊形??????????=??△??????

?

?

=18?1.5?4.8=11.7(?????????(??????)?(??????)=??????(克).==面積是多少？（請(qǐng)勿用相似形的知識(shí)作答）答案：五邊形??????????11.7.解法一：從已知條件可知：????=2，????=4，直角三角形??????的面積是：??????和三角形??????的面積，即可得到五邊形??????????面積.如圖，連接????，在四邊形????????中，??△??????=??△??????=6×2÷2=6，??△??????=18高相等的三角形面積之比等于底之比

我們將滿(mǎn)足以下條件的正整數(shù)稱(chēng)為“超常數(shù)”：該整數(shù)的每個(gè)數(shù)碼都不為零且互不相同，并且將其各位數(shù)碼打亂，排成一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，二者之差恰為它本身.例如，4956174都是“超常數(shù)”，因?yàn)?54459495，764114676174.請(qǐng)問(wèn)：是否存在五位的“超常數(shù)”？若存在，請(qǐng)舉出一個(gè)例子；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由..，，，，??.??=???.，，????N的五位數(shù)碼依次是?????，?????1，9，9??