2024年高中數(shù)學第三章不等式3.4基本不等式第二課時基本不等式的應用習題課練習含解析新人教A版必修5

PAGE1-其次課時基本不等式的應用習題課1.下列函數(shù)中最小值是4的是(C)(A)y=x+ (B)y=sinx+(C)y=21+x+21-x (D)y=x2++3,x≠0解析:對于A,當x=-2時,y=-4,不符合題意;對于B,當sinx=-1時,y=-5,不符合題意;對于C,21+x>0,21-x>0,所以y=21+x+21-x≥2=4,當且僅當x=0時取等號;由于x2++3≥4,當且僅當x=0時取等號,故D項不符合題意.故選C.2.若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a等于(C)(A)1+ (B)1+ (C)3 (D)4解析:f(x)=x+=x-2++2.因為x>2,所以x-2>0.所以f(x)=x-2++2≥2+2=4,當且僅當x-2=,即x=3時“=”成立.又f(x)在x=a處取最小值.所以a=3.故選C.3.已知x>1,y>1且xy=16,則log2x·log2y(D)(A)有最大值2 (B)等于4(C)有最小值3 (D)有最大值4解析:因為x>1,y>1,所以log2x>0,log2y>0.所以log2x·log2y≤()2=[]2=4,當且僅當x=y=4時取等號.故選D.4.當x>1時,不等式x+≥a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(D)(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)(C)[3,+∞) (D)(-∞,3]解析:由于x>1,所以x-1>0,>0,于是x+=x-1++1≥2+1=3,當=x-1即x=2時等號成立,即x+的最小值為3,要使不等式恒成立,應有a≤3,故選D.5.已知x>0,y>0,且2x+y=1,則xy的最大值是(B)(A) (B) (C)4 (D)8解析:因為x>0,y>0,且2x+y=1,所以xy=×2xy≤()2=,當且僅當2x=y>0,即x=,y=時取等號,此時,xy的最大值是.故選B.6.若直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),則a+b的最小值等于(C)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:法一因為直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(當且僅當a=b=2時取等號),所以≥2.又a+b≥2(當且僅當a=b時取等號),所以a+b≥4(當且僅當a=b=2時取等號),故選C.法二因為直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4(當且僅當a=b=2時取等號),故選C.7.若實數(shù)a,b滿意+=,則ab的最小值為(C)(A) (B)2 (C)2 (D)4解析:法一由已知得+==,且a>0,b>0,所以ab=b+2a≥2,所以ab≥2.法二由題設易知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2.故選C.8.若實數(shù)x,y滿意x2+y2=4,則S=的最小值是(C)(A)-2 (B)- (C)2-2 (D)2(1+)解析:x2+y2=4?(x+y)2-2xy=4?2xy=(x+y)2-4=(x+y+2)·(x+y-2),于是S===x+y+2,而x2+y2=4?(x+y)2-4=2xy≤2·()2?-2≤x+y≤2?S∈[2-2,2+2],當且僅當x2+y2=4,x=y,即x=y=±時等號成立.驗證知x=y=-時,S取得最小值,最小值為2-2.故選C.9.已知x,y>0,且滿意x+y=1,則+的最小值為.

解析:+=(+)(x+y)=1+4++≥5+2=9.當且僅當即x=,y=時取等號.答案:910.設a,b>0,a+b=5,則+的最大值為.

解析:法一(+)2=a+b+4+2·≤9+2·=9+a+b+4=18,所以+≤3,當且僅當a+1=b+3,a+b=5,即a=,b=時等號成立,所以+的最大值為3.法二本題也可利用≤進行求解,即≤=,當且僅當=,a+b=5,即a=,b=時等號成立,所以+的最大值為3.答案:311.若對隨意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是.

解析:因為x>0,所以=≤=.所以要使≤a恒成立,只需a≥.答案:[,+∞)12.在△ABC中,角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,若a=csinA,則的最大值為.

解析:由=,a=csinA,得sinC=1,即△ABC是直角三角形,C為直角,于是a2+b2=c2,從而==1+≤1+=2,即≤,當且僅當a=b=c時等號成立.答案:13.(1)求函數(shù)y=的最小值;(2)求函數(shù)f(x)=2x(5-3x),x∈(0,)的最大值.解:(1)y===+,令t=,則t∈[2,+∞),所以y=t+,t∈[2,+∞).易證y=t+在t∈[2,+∞)上為單調遞增函數(shù),所以y≥2+=.故ymin=.(2)因為x∈(0,),所以2x>0,5-3x>0,f(x)=2x(5-3x)=[]2≤()2=.當且僅當3x=5-3x,即x=∈(0,)時,等號成立,故所求函數(shù)的最大值為.14.已知x+y=-1,且x,y都是負數(shù),求xy+的最小值.解:法一因為x,y都是負數(shù),所以-x>0,-y>0.由x+y=-1,得1=(-x)+(-y)≥2=2,則0<xy≤,當且僅當x=y=-時,等號成立.令xy=t,t∈(0,],則xy+=t+.因為當t∈(0,]時,f(t)=t+為減函數(shù),所以當t=,即x=y=-時,xy+存在最小值,最小值為+=.法二設x=-sin2α(sin2α≠0),y=-cos2α(cos2α≠0),則xy+=sin2αcos2α+=sin22α+=(sin22α+),sin22α∈(0,1].設sin22α=q,因為f(q)=q+在q∈(0,1]上為減函數(shù),所以當q=1時,f(q)取得最小值.所以xy+的最小值為(1+)=.15.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中mn>0,求+的最小值.解:因為函數(shù)y=logax的圖象恒過定點(1,0),所以函數(shù)y=loga(x+3)-1的圖象恒過定點(-2,-1),所以-2m-n+1=0,即2m+n=1,所以+=(+)(2m+n)=2+1++≥3+2,當且僅當m=,n=-1時取等號.所以+的最小值為3+2.16.在下列各函數(shù)中,最小值等于2的函數(shù)是(D)(A)y=x+(B)y=cosx+(0<x<)(C)y=(D)y=ex+-2解析:對于A,若x<0,則y<0,y的最小值不為2.對于B,因為0<cosx<1,所以y=cosx+>2.對于C,由于≥>1,所以y==+>2.對于D,y=ex+-2≥2-2=2,當且僅當x=ln2時取“=”,所以ymin=2.故選D.17.設a,b,c>0,若(a+b+c)·(+)≥k恒成立,則k的最大值是(D)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:要求k的最大值,即求(a+b+c)(+)的最小值.因為a,b,c>0,所以(a+b+c)(+)=2++≥2+2=4,當且僅當=時,等號成立.因為(a+b+c)(+)≥k恒成立,所以k≤4,所以k的最大值是4.故選D.18.若x>1,則函數(shù)y=x++的最小值為.

解析:y=x++=x++≥2=8,當且僅當x=2+時,等號成立.答案:819.設a+b=2,b>0,則當a=時,+取得最小值.

解析:因為a+b=2,所以+=+=++①.當a>0時,①變?yōu)?+≥+1=,當且僅當b2=4a2,即b=2a時取等號.當a<0時,①變?yōu)?++≥-+1=,當且僅當b2=4a2,即b=-2a時取等號.因為>,所以a<0,且b=-2a,又a+b=2,所以a=-2.答案:-220.某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈,第一年須要各種費用12萬元.從其次年起,包括修理費在內,每年所需費用比上一年增加4萬元.該船每年捕撈總收入為50萬元.(1)問捕撈幾年后總盈利最大?最大是多少?(2)問捕撈幾年后的平均