專題一　第2講　基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考情分析1.基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小、解

不等式是常見題型.2.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷及參數(shù)范圍是常考題型，常以壓軸題的形式出現(xiàn).3.函數(shù)模型及應(yīng)用是近幾年高考的熱點(diǎn)，通?？疾橹笖?shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型.內(nèi)容索引考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)模型及其應(yīng)用專題強(qiáng)化練考點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩種函數(shù)圖象的異同.核心提煉例1

(1)已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數(shù)f(x)＝與g(x)＝logbx的圖象可能是√log2a＋log2b＝0，即為log2ab＝0，即有ab＝1，當(dāng)a＞1時(shí)，0＜b＜1，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，b＞1，(2)(2023·六盤水質(zhì)檢)設(shè)a＝0.70.8，b＝0.80.7，c＝log0.80.7，則a，b，c的大小關(guān)系為A.b>c>a

B.a>c>bC.c>a>b

D.c>b>a√由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得c＝log0.80.7>log0.80.8＝1，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得1>b＝0.80.7>0.80.8，由冪函數(shù)y＝x0.8在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得0.80.8>0.70.8＝a，所以1>b>a，所以log0.80.7>0.80.7>0.70.8，即c>b>a.規(guī)律方法(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，首先要看底數(shù)a的取值范圍.(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化.

(1)(多選)(2023·惠州模擬)若6a＝2,6b＝3，則跟蹤演練1√√√因?yàn)?b＝3,6a＝2，所以b＝log63，a＝log62，則a＋b＝log66＝1，故A正確；選項(xiàng)C，因?yàn)閍>0，b>0，a≠b，(2)(2023·邯鄲模擬)不等式10x－6x－3x≥1的解集為___________.[1，＋∞)由10x－6x－3x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集為[1，＋∞).考點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷.(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根.(3)幾何法：對(duì)于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.核心提煉例2考向1函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷√所以f(x)＝－sin2x，例3考向2求參數(shù)的值或范圍

若關(guān)于x的方程ex＝a|x|恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a＝___.e如圖，顯然a>0.當(dāng)x≤0時(shí)，由單調(diào)性得方程ex＝－ax有且僅有一解.因此當(dāng)x>0時(shí)，方程ex＝ax只有一解.即y＝ax與y＝ex相切，y′＝ex，令y′＝a得x＝lna，故當(dāng)x＝lna時(shí)，ex＝ax，得elna＝alna，即a＝alna，從而a＝e，故當(dāng)a＝e時(shí)，y＝ax與函數(shù)y＝ex相切，此時(shí)方程ex＝ax有一解，若方程ex＝a|x|恰有兩個(gè)不同的解，則a＝e.規(guī)律方法利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法

(1)函數(shù)f(x)＝

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.1

B.2

C.3

D.4跟蹤演練2√當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋3x－4在(0，＋∞)上單調(diào)遞增且f(0)f(1)<0，∴f(x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)x<0時(shí)，令x2＋2x＝0，解得x＝－2(舍x＝0)，故f(x)共有2個(gè)零點(diǎn).(2)(2023·九江模擬)函數(shù)f(x)＝

－|x－1|的所有零點(diǎn)之和為____.6對(duì)稱軸為x＝1＋2k，k∈Z，且h(x)的對(duì)稱軸為x＝1，因?yàn)間(x)與h(x)有6個(gè)交點(diǎn)，所以f(x)在[－3,5]上存在6個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)間(x)和h(x)的函數(shù)圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，則f(x)零點(diǎn)關(guān)于x＝1對(duì)稱，所以f(x)的所有零點(diǎn)之和為6×1＝6.考點(diǎn)三函數(shù)模型及其應(yīng)用解函數(shù)應(yīng)用題的步驟(1)審題：縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系.(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)反饋：將得到的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義.核心提煉

(1)某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010)A.2次

B.3次C.4次

D.5次例4√設(shè)經(jīng)過n(n∈N*)次過濾后，水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則(1－50%)n<5%，不等式兩邊取常用對(duì)數(shù)得nlg2>lg2＋1，故至少需要過濾5次.(2)(多選)(2023·新高考全國Ⅰ)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×

，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則A.p1≥p2

B.p2>10p3C.p3＝100p0

D.p1≤100p2√√√且∈[60,90]，∈[50,60]，所以

，所以p1≥p2，故A正確；因?yàn)椋?0，所以p3＝

＝100p0，故C正確；所以p1≤100p2，故D正確.假設(shè)p2>10p3，則>，所以

>10，所以

>20，不可能成立，故B不正確；易錯(cuò)提醒構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的失分點(diǎn)(1)不能選擇相應(yīng)變量得到函數(shù)模型.(2)構(gòu)建的函數(shù)模型有誤.(3)忽視函數(shù)模型中變量的實(shí)際意義.

(1)(2023·合肥模擬)Malthus模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型.某研究人員在研究一種細(xì)菌繁殖數(shù)量N(t)與時(shí)間t的關(guān)系時(shí)，得到的Malthus模型是N(t)＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0時(shí)刻的細(xì)菌數(shù)量，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若t時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量是t0時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量的6.3倍，則t約為(ln6.3≈1.84)A.2 B.3C.4 D.5跟蹤演練3√由題意得，N(t)＝N0e0.46t＝6.3N0，即e0.46t＝6.3，則0.46t＝ln6.3≈1.84，得t≈4.(2)金針菇采摘后會(huì)很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時(shí)需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度h與其采摘后時(shí)間t(天)滿足的函數(shù)解析式為h＝mln(t＋a)(a>0).若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%，采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%.那么若不及時(shí)處理，采摘下來的金針菇在多長時(shí)間后開始失去全部新鮮度(已知

≈1.414，結(jié)果取一位小數(shù))A.4.0天

B.4.3天C.4.7天

D.5.1天√ln(3＋a)＝2ln(1＋a)，(1＋a)2＝3＋a，因?yàn)閍>0，故解得a＝1，設(shè)t天后開始失去全部新鮮度，則mln(t＋1)＝1，又mln(1＋1)＝0.4，2ln(t＋1)＝5ln2＝ln32，專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(8,

)，則f(9)的值為A.2 B.3C.4 D.912345678910111213141516√12345678910111213141516√2.(2023·南昌模擬)已知a＝log40.4，b＝log0.40.2，c＝0.40.2，則A.c>a>b

B.c>b>aC.b>c>a

D.a>c>b因?yàn)閍＝log40.4<log41＝0，b＝log0.40.2>log0.40.4＝1，0<c＝0.40.2<0.40＝1，所以b>c>a.12345678910111213141516√因?yàn)?a＝9，所以a＝log29＝log232＝2log23，4.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是A.a>1，c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1,0<c<112345678910111213141516√12345678910111213141516由題圖可知函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合y＝loga(x＋c)可知0<a<1，當(dāng)x＝1時(shí)，loga(1＋c)<0，∴1＋c>1，∴c>0，當(dāng)x＝0時(shí)，logac>0，∴0<c<1，故0<c<1.5.(2023·銀川模擬)函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在區(qū)間(2,4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(－∞，－18) B.(5，＋∞)C.(5,18) D.(－18，－5)√1234567891011121314151612345678910111213141516由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，若函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在區(qū)間(2,4)上存在零點(diǎn)，顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－18，－5).12345678910111213141516A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.a>c>b√12345678910111213141516在同一坐標(biāo)系中，作出y＝2x，y＝

，y＝log2x，y＝log3x的圖象，由圖象得c>b>a.123456789101112131415167.(2023·鄭州模擬)某中學(xué)堅(jiān)持“五育”并舉，全面推進(jìn)素質(zhì)教育.為了更好地增強(qiáng)學(xué)生們的身體素質(zhì)，校長帶領(lǐng)同學(xué)們一起做俯臥撐鍛煉.鍛煉是否達(dá)到中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)，簡單測量方法為f(t)＝ket，其中t為運(yùn)動(dòng)后心率(單位：次/分)與正常時(shí)心率的比值，k為每個(gè)個(gè)體的體質(zhì)健康系數(shù).若f(t)介于[28,34]之間，則達(dá)到了中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)；若低于28，則運(yùn)動(dòng)不足；若高于34，則運(yùn)動(dòng)過量.已知某同學(xué)正常時(shí)心率為80，體質(zhì)健康系數(shù)k＝7，經(jīng)過俯臥撐后心率y(單位：次/分)滿足y＝

，x為俯臥撐個(gè)數(shù).已知俯臥撐每組12個(gè)，若該同學(xué)要達(dá)到中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)，則較合適的俯臥撐組數(shù)為(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.718)A.2

B.3

C.4

D.5√12345678910111213141516由題意，設(shè)俯臥撐組數(shù)為a(a∈N*)，則x＝12a，123456789101112131415168.(2023·銅陵模擬)已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，則A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.c<b<a√12345678910111213141516所以log75－log97<0，即a<b；12345678910111213141516所以log97－log119<0，即b<c，所以a<b<c.二、多項(xiàng)選擇題9.(2023·紅河模擬)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點(diǎn)的是12345678910111213141516√√12345678910111213141516對(duì)于B，設(shè)f(x)＝x3＋x，x∈R，則f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)，得y＝x3＋x為奇函數(shù)，令x3＋x＝0，得x＝0，即函數(shù)存在零點(diǎn)，B符合；1234567891011121314151612345678910111213141516√√√12345678910111213141516當(dāng)a>b>0時(shí)，A正確；當(dāng)2a>b>a>0時(shí)，B正確；當(dāng)0>a>b>2a時(shí)，D正確；12345678910111213141516√√√12345678910111213141516設(shè)2a＝3b＝6c＝t，12345678910111213141516√12345678910111213141516√因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，12345678910111213141516所以f(－x)＝log4(2x＋2－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，B正確；12345678910111213141516又t＝2x為增函數(shù)，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.又f(x)為R上的偶函數(shù)，12345678910111213141516所以C錯(cuò)誤，D正確.12345678910111213141516三、填空題13.(2023·深圳模擬)若函數(shù)f(x)＝

－

的零點(diǎn)屬于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)，則n＝_____.0所以函數(shù)在(0,1)上有唯一零點(diǎn)，所以n＝0.12345678910111213141516712345678910111213141516函數(shù)y＝4[f(x)]2－8f(x)＋3的零點(diǎn)即為方程4[f(x)]2－8f(x)＋3＝0的根，作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖所示.因此函數(shù)y＝4[f(x)]2－8f(x)＋3的零點(diǎn)有7個(gè).123456789101112131415