江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022~2023學(xué)年第一學(xué)期高三期中調(diào)研試卷數(shù)學(xué)2022.11注意事項(xiàng)學(xué)生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：1．本卷共4頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題（第1題~第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）．本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘．答題結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．2．答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效．作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆．請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚．4．請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合的范圍、集合的范圍，最后取它們的交集即可.【詳解】由題意，集合，，所以．故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=（）A. B.C. D.2【答案】C【解析】【分析】求出即得解.【詳解】解：由題意可得，所以，所以.故選：C3.在中，點(diǎn)滿足，記，，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算將分解為，再轉(zhuǎn)化為，表示即可.【詳解】.故選：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式、充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案.【詳解】若，則，即.若，則，則.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，再根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】解：因?yàn)槠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D.6.已知函數(shù)（）的周期為，那么當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)周期求，再根據(jù)函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域.【詳解】，，，，，，所以.故選：B7.古時(shí)候，為了防盜、防火的需要，在兩邊對(duì)峙著高墻深院的“風(fēng)火巷”里常有梯子、銅鑼、繩索等基本裝備．如圖，梯子的長(zhǎng)度為，梯腳落在巷中的點(diǎn)，當(dāng)梯子的頂端放到右邊墻上的點(diǎn)時(shí)，距地面的高度是，梯子的傾斜角正好是，當(dāng)梯子頂端放到左邊墻上的點(diǎn)時(shí)，距地面的高度為6尺（1米=3尺），此時(shí)梯子的傾斜角是．則小巷的寬度等于（）A.6尺 B.尺 C.（）尺 D.尺【答案】A【解析】【分析】連接,過(guò)作于，則且.證明出≌，得到,即可求出.【詳解】連接,過(guò)作于，則且.由題意可得：，所以.因?yàn)榍?，所以為等邊三角?即.因?yàn)?，所?而,所以.因?yàn)?，所?又,所以≌(ASA),所以,即.故選：A.8.已知實(shí)數(shù)，，，那么實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得到，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得到，假設(shè)在中，，，角B的平分線交邊AC于點(diǎn)D，利用長(zhǎng)度關(guān)系和正弦定理可得到，然后利用作差法能得到，即可求解【詳解】由于可得即，又由于，所以，假設(shè)在中，，，角B的平分線交邊AC于點(diǎn)D，所以，，，所以,所以即，所以，所以，所以即，解得，在中，即，所以，由于即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵時(shí)計(jì)算出，需假設(shè)在中，，，角B的平分線交邊AC于點(diǎn)D，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，都有多個(gè)選項(xiàng)是正確的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，選錯(cuò)或不答的得0分．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．9.已知非零實(shí)數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知，利用不等式的性質(zhì)以及特值法進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)榉橇銓?shí)數(shù)滿足且，所以，的正負(fù)不能確定，對(duì)于A，若，則，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取到等號(hào)，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，顯然不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，又，所以，解得；因?yàn)?，，所以，又，所以，解得，所以；綜上，.故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為1 B.C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，先利用余弦的和差公式化得，由此易得的最大值為1；對(duì)于B，代入角易得；對(duì)于C，由得，先判斷在的單調(diào)情況，從而判斷的單調(diào)情況；對(duì)于D，由余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)得到的對(duì)稱(chēng)軸，由此可判斷為的對(duì)稱(chēng)軸.【詳解】，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，即，所以的最大值?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上先減后增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，所以由得，可知的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為，故D正確.故選：ABD.11.在棱長(zhǎng)為2正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，線段上有動(dòng)點(diǎn)，棱上點(diǎn)滿足．以下說(shuō)法中，正確的有（）A.直線與是異面直線B.直線平面C.三棱錐的體積是1D.三棱錐的體積是3【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A選項(xiàng)：可用異面直線的判定方法判斷；對(duì)B選項(xiàng)：可通過(guò)證明面面得到直線平面；對(duì)C、D選項(xiàng)：將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積計(jì)算.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：異面直線的判斷方法：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線，因?yàn)槠矫?，平面，平面，直線，故直線與是異面直線.對(duì)B選項(xiàng)：下面先證明面面，再證直線平面.如圖：連結(jié)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，在正方形中，有，又，故，又面，面，所以面，又，面，面，所以面，面，面，，所以面面.又面，故直線平面，所以B正確.對(duì)選項(xiàng)C：，，故C正確D不正確；故選：ABC12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（）A. B.的最小值是C.圖象與直線相切 D.圖象與直線相切【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性代入特殊值，求，即可判斷A;利用換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可判斷B；聯(lián)立函數(shù)與直線方程，利用方程組解，判斷交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，判斷是否相切，即可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在處的切線方程，即可判斷D.【詳解】因?yàn)閳D象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，于是，當(dāng)時(shí)，，于是，于是，，所以，故A正確；，令，，則，，因?yàn)閳D象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是，所以的最小值為，故B正確；聯(lián)立方程，解得：或或，，，，，所以與直線不能相切，故C不正確；，，，所以函數(shù)在處的切線方程為，故D正確.故選：AD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．13.命題，若“非p”為真命題，則m的取值范圍是_________．【答案】．【解析】【分析】寫(xiě)出命題的否定，由命題的否定全稱(chēng)命題且為真命題，結(jié)合一元二次不等式恒成立可得．【詳解】由題意知，命題為假，即恒成立，所以，所以，所以．故答案為：．14.已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)之積等于__．【答案】【解析】【分析】由題意，表示出函數(shù)解析式，利用零點(diǎn)的定義，建立方程，可得答案.【詳解】求函數(shù)的所有零點(diǎn)，則等價(jià)于求方程的根，當(dāng)時(shí)，，則，解得；當(dāng)且時(shí)，，則，，可得，，即，，解得或或或；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意.綜上，，故答案為：.15.在中，已知，，，那么____________．【答案】【解析】【分析】由題意，根據(jù)三角形內(nèi)角和以及誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)和差公式，建立方程組，可解得答案.【詳解】由，且，則，即得到，由，得到，于是，，故．在中，，于是．再由，解方程組得到或，由于，取．故答案為：.16.侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上．設(shè)外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，往里第二個(gè)正方形為，…，往里第個(gè)正方形為．那么第7個(gè)正方形的周長(zhǎng)是____________，至少需要前____________個(gè)正方形的面積之和超過(guò)2．（參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)已知，利用勾股定理、正方形的周長(zhǎng)公式、面積公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)槊恳粋€(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，且外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，所以，,由勾股定理有：，設(shè)第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，……，，所以，所以第7個(gè)正方形的周長(zhǎng)是，第n個(gè)正方形的面積為，則第1個(gè)正方形的面積為，則第2個(gè)正方形的面積為，則第3個(gè)正方形的面積為，……則第n個(gè)正方形的面積為，前n個(gè)正方形的面積之和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以至少需要前4個(gè)正方形的面積之和超過(guò)2．故答案為：，4.四、解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大?。唬?）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理將邊化為角后即可求出角的大?。?2)已知后可以將全用表示，將表示為的函數(shù)，利用三角恒等變換化為一般式求范圍，注意銳角三角形對(duì)角范圍的限制.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理，，，代入，有，因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，，所以，在銳角中，．【小問(wèn)2詳解】由（1），，，于在銳角中，由于，有，，于是，．所以的取值范圍是．18平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)（其中），將向量逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到向量，記，．（1）求的最大值；（2）試判斷兩向量與的位置關(guān)系．【答案】（1）（2）兩向量與平行【解析】【分析】（1）利用垂直向量的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用模長(zhǎng)公式以及三角函數(shù)恒等變換，可得答案；（2）利用平行向量的坐標(biāo)表示，可得答案.【小問(wèn)1詳解】向量逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則，即，得到點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以最大值為，此時(shí)，．【小問(wèn)2詳解】由題意，，，因?yàn)?，所以，所以?xún)上蛄颗c平行．19.如圖，在三棱錐中，，底面．（1）求證：平面平面；（2）若，是的中點(diǎn)，記與底面所成角為，與平面所成角為，試研究與的等量關(guān)系．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由底面，可得，再結(jié)合，由線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論，（2）取的中點(diǎn)，連接，可得就是直線與底面所成角，在直角中可求得，取的中點(diǎn)，連接，可得就是直線與平面所成角，在直角中可求得，從而可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)榈酌妫酌?，所以．又因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫妫蚁嘟挥邳c(diǎn)，所以直線平面．又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫拘?wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，由于是的中點(diǎn)，有，又因?yàn)榈酌?，底面，所以，所以，因?yàn)榈酌妫缘酌?，所以就是直線與底面所成角．記，則，在直角中，，取的中點(diǎn)，連接，由于，有．由（1）平面，平面，所以．又因?yàn)槠矫?，相交于點(diǎn)，所以平面，所以就是直線與平面所成角．在直角中，，，所以，所以，由于、都是銳角，所以．20.已知首項(xiàng)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意都有．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，有恒成立，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差得到，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用等差數(shù)列求和公式得到，即可得到，利用裂項(xiàng)相消法求出，從而得到的取值范圍，從而得解.【小問(wèn)1詳解】解：由得到，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，有，得到，由于，，因?yàn)?，由上述遞推關(guān)系知所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以．【小問(wèn)2詳解】解：由（1），所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以，又由于，，即恒成立，結(jié)合題設(shè)恒成立，所以，所以的最小值為．21.給定函數(shù)（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）畫(huà)出函數(shù)的大致圖象；（3）求出方程的解的個(gè)數(shù)【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值,；（2）答案見(jiàn)詳解；（3）當(dāng)時(shí)，解為個(gè)；當(dāng)或時(shí)，解為個(gè)；當(dāng)時(shí)，解為個(gè)【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.（2）由函數(shù)的單調(diào)性、極值即可作出圖象.（3）利用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】（1）由，定義域?yàn)椋?，即，令，即，令，即，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，為極小值點(diǎn)，所以函數(shù)的極小值為.（2）函數(shù)的大致圖象，如圖所示：（3）方程解的個(gè)數(shù)等價(jià)于于的交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出與的圖象，由圖可知當(dāng)時(shí)，方程的解為個(gè)；當(dāng)或時(shí)，方程的解為個(gè)；當(dāng)時(shí)，方程的解為個(gè)；22.已知函數(shù)（實(shí)數(shù)）．（1）若實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（2）證明：．【答案】（1）3（2）證明見(jiàn)解