高考數(shù)學(xué)（文）高分計劃一輪狂刷練第5章數(shù)列5-2a

[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a3＝6，S3＝12，則a10等于()A．18B．20C．16D．22答案B解析由題意得S3＝3a2＝12，解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20.故選B.2．(2018·武漢調(diào)研)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S4＝4，S6＝12，則S2＝()A．－1B．0C．1D．3答案B解析{an}為等差數(shù)列，則S2，S4－S2，S6－S4也是等差數(shù)列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)?S2＝0.故選B.3．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布．則該女最后一天織多少尺布？()A．18B．20C．21D．25答案C解析織女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個等差數(shù)列，設(shè)為{an}，a1＝5，前30項和為390，于是eq\f(305＋a30,2)＝390，解得a30＝21，即該織女最后一天織21尺布．選C.4．(2018·鄭州質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前10項和為30，a6＝8，則a100＝()A．100B．958C．948D．18答案C解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝8，,10a1＋\f(10×9,2)d＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－42，,d＝10，))所以a100＝－42＋99×10＝948.故選C.5．(2018·河南測試)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(Sn,an)＝eq\f(n＋1,2)，則下列結(jié)論中正確的是()A.eq\f(a2,a3)＝2B.eq\f(a2,a3)＝eq\f(3,2)C.eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,3)D.eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,3)答案C解析由已知可得Sn＝eq\f(n＋1,2)an，則Sn－1＝eq\f(n,2)an－1(n≥2)，兩式相減可得an＝eq\f(n＋1,2)an－eq\f(n,2)an－1(n≥2)，化簡得eq\f(an－1,an)＝eq\f(n－1,n)(n≥2)，當(dāng)n＝3時，可得eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,3).故選C.6．(2018·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，且函數(shù)y＝f(x－2)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則數(shù)列{an}的前100項的和為()A．－200B．－100C．0D．－50答案B解析因為函數(shù)y＝f(x－2)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱．又函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝eq\f(100a1＋a100,2)＝50(a50＋a51)＝－100.故選B.7．(2018·湖南湘中名校聯(lián)考)若{an}是等差數(shù)列，首項a1>0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，則使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是()A．2016B．2017C．4032D．4033答案C解析因為a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，所以d＜0，a2016＞0，a2017＜0，所以S4032＝eq\f(4032a1＋a4032,2)＝eq\f(4032a2016＋a2017,2)＞0，S4033＝eq\f(4033a1＋a4033,2)＝4033a2017＜0，所以使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4032.故選C.8．(2017·湖南長沙四縣3月聯(lián)考)中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則．例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的晷(ɡuǐ)影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實(shí)測得到的，其他節(jié)氣的晷影長則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的．下表為《周髀算經(jīng)》對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中115.1eq\f(4,6)寸表示115寸1eq\f(4,6)分(1寸＝10分)．已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長應(yīng)為()A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸答案C解析設(shè)《易經(jīng)》中記錄的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影長依次為a1，a2，…，a13，由題意知它們構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由a1＝130.0,a13＝14.8，得130.0＋12d＝14.8，解得d＝－9.6.∴a6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長是82.0寸．故選C.9．(2017·安徽安師大附中、馬鞍山二中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1＋an,an).若對任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－8，－7) B．[－8，－7)C．(－8，－7] D．[－8，－7]答案A解析因為{an}是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n＋a－1，因為bn＝eq\f(1＋an,an)，又對任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，所以1＋eq\f(1,an)≥1＋eq\f(1,a8)，即eq\f(1,an)≥eq\f(1,a8)對任意的n∈N*恒成立，因為數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，所以{an}是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a8＜0，,a9＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋a－1＜0，,9＋a－1＞0，))解得－8＜a＜－7.故選A.10．(2018·云南二檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，如果當(dāng)n＝m時，Sn最小，那么m的值為()A．10B．9C．5D．4答案C解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知得eq\f(11a1＋a11,2)＝22，所以11a6＝22，解得a6＝2，所以d＝eq\f(a6－a4,2)＝7，所以an＝a4＋(n－4)d＝7n－40，所以數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，又因為a5＝－5<0，a6＝2>0，所以當(dāng)n＝5時，Sn取得最小值，故選C.二、填空題11．(2014·北京高考)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時，{an}的前n項和最大．答案8解析根據(jù)題意知a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10<0，∴a9<0，∴當(dāng)n＝8時，{an}的前n項和最大．12．(2018·金版原創(chuàng))已知函數(shù)f(x)＝cosx，x∈(0,2π)有兩個不同的零點(diǎn)x1，x2，且方程f(x)＝m有兩個不同的實(shí)根x3，x4，若把這四個數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)m＝________.答案－eq\f(\r(3),2)解析若m>0，則公差d＝eq\f(3π,2)－eq\f(π,2)＝π，顯然不成立，所以m<0，則公差d＝eq\f(\f(3π,2)－\f(π,2),3)＝eq\f(π,3).所以m＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2).13．(2018·青島模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項公式為________．答案bn＝2n－1解析設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因為b1＝1，則n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因為對任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1.14．(2018·安徽安慶模擬)已知數(shù)列{an}是各項均不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且an＝eq\r(S2n－1)(n∈N*)．若不等式eq\f(λ,an)≤eq\f(n＋8,n)對任意n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為________．答案9解析an＝eq\r(S2n－1)?an＝eq\r(\f(2n－1a1＋a2n－1,2))＝eq\r(2n－1an)?aeq\o\al(2,n)＝(2n－1)an?an＝2n－1，n∈N*.因為eq\f(λ,an)≤eq\f(n＋8,n)，所以λ≤eq\f(n＋82n－1,n)，即λ≤2n－eq\f(8,n)＋15.易知y＝2x－eq\f(8,x)(x>0)為增函數(shù)，所以2n－eq\f(8,n)＋15≥2×1－eq\f(8,1)＋15＝9，所以λ≤9，故實(shí)數(shù)λ的最大值為9.三、解答題15．(2017·中衛(wèi)一模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列．(1)若a＝1，b＝eq\r(3)，求sinC；(2)若a，b，c成等差數(shù)列，試判斷△ABC的形狀．解(1)由A＋B＋C＝π，2B＝A＋C，得B＝eq\f(π,3).由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))，得sinA＝eq\f(1,2)，又0＜A＜B，∴A＝eq\f(π,6)，則C＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).∴sinC＝1.(2)由2b＝a＋c，得4b2＝a2＋2ac＋c2，又b2＝a2＋c2－ac，得4a2＋4c2－4ac＝a2＋2ac＋c2，得3(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，又A＋C＝eq\f(2π,3)，∴A＝C＝B＝eq\f(π,3)，∴△ABC是等邊三角形．16．(2018·鄭州模擬)數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1,2－an)(n∈N*)．(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))為等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,an)－1，數(shù)列{bn}的前n項和為Bn，對任意n≥2都有B3n－Bn>eq\f(m,20)成立，求正整數(shù)m的最大值．解(1)證明：因為an＋1＝eq\f(1,2－an)，所以eq\f(1,an＋1－1)＝eq\f(1,\f(1,2－an)－1)＝eq\f(2－an,an－1)＝－1＋eq\f(1,an－1)，即eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝－1，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))是首項為－2，公差為－1的等差數(shù)列，所以eq\f(1,an－1)＝－2＋(n－1)×(－1)＝－(n＋1)，所以an＝eq\f(n,n＋1).(2)bn＝eq\f(n＋1,n)－1＝eq\f(1,n)，令Cn＝B3n－Bn＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n)，所以Cn＋1－Cn＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,3n＋1)－eq\f(1,n＋1)－…－eq\f(1,3n)＝－eq\f(1,n＋1