大一高數(shù)復(fù)習(xí)

祝大家考出

好成績(jī)贈(zèng)2011級(jí)同學(xué)二、一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用三、一元函數(shù)積分法及其應(yīng)用一、研究函數(shù)連續(xù)與極限的方法（間斷）定積分與不定積分導(dǎo)數(shù)、中值定理導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、函數(shù)極限連續(xù)研究對(duì)象研究橋梁研究工具一個(gè)基本概念、兩個(gè)應(yīng)用、三個(gè)基本運(yùn)算總復(fù)習(xí)一、求極限的方法及舉例(1)利用定義式驗(yàn)證極限(2)利用極限存在準(zhǔn)則求極限(3)利用極限或無窮小的運(yùn)算法則(4)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限(5)利用等價(jià)無窮小與重要的極限求極限的基本方法(6)求未定型的極限(洛必達(dá)法則)(7)利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限(8)利用中值定理求極限(9)利用泰勒公式求極限其它方法二、計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法及常見的題型1、利用導(dǎo)數(shù)的定義求做適用于分段函數(shù)2、利用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則求做要求：基本的公式表導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則參數(shù)方程求導(dǎo)3、利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求做4、高階導(dǎo)數(shù)的求法三、計(jì)算不定積分的方法1、直接積分法2、換元積分法第一類換元積分（湊微分法）第二類換元積分（變量代換法）3、分部積分法（反、對(duì)、冪、指、三）4、微積分基本定理間的關(guān)系積分中值定理微分中值定理牛-萊公式5、常用的公式(1)熟記三角公式及萬能代換(2)(4)(5)(3)若以為周期,則奇偶討論四、微分中值定理共性：函數(shù)滿足一定條件時(shí)，在給定的開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)(中值)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)具有某種性質(zhì)羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理五、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限2、導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用3、導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用對(duì)于實(shí)際問題求解最值，即“用料最省”、“效率最高”、“成本最低”等解決方法：建立目標(biāo)函數(shù)，求做最值討論單調(diào)性、極值、凸凹性、拐點(diǎn)、漸近線、描述函數(shù)的性態(tài)、4、證明不等式或恒等式曲率、相關(guān)變化率六、定積分的應(yīng)用1.定積分的應(yīng)用幾何方面:面積、體積、弧長(zhǎng)物理方面:質(zhì)量、作功、側(cè)壓力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形狀:條、段、帶、片、扇、環(huán)、殼等.解:原式=原式例1.

求極限例2.

求下列極限提示:無窮小有界令～說明:

若則有（4）解：原式=（5）解：原式=解：原式=(6)解利用積分中值定理(7)解利用估值定理思考與練習(xí)填空題

(1～4)5)求極限(1)(2)利用極限的運(yùn)算法則6)求極限利用函數(shù)極限求做解:型例3

已知試確定

a,b.解：此題分母的極限為0，當(dāng)時(shí)可見分子的極限一定為0，則有例4.

求解:例5.

求解:例6

求解:

原式=練習(xí)1:設(shè)連續(xù),求解:原式=練習(xí):

2.求極限解：原式3.

求極限提示：原式左邊=右邊有無窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無窮間斷點(diǎn),即由此得為可去間斷點(diǎn),極限存在,應(yīng)有因此例7.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.例8.確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.解:

間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn);當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故為跳躍間斷點(diǎn).在處連續(xù).例9.

設(shè)解:求例10.

設(shè)求解:思考:若存在,如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí)1：2：設(shè)函數(shù)是由方程所確定求解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)得：11.

設(shè),問a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,12.若且存在,求解:原式=且聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式例13.

設(shè)解：例14.設(shè)解：思考與練習(xí)1.2.提示:

令則3解解：5：解：例5、已知求解：令練習(xí)：（1）（2）6.

求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對(duì)數(shù),化為隱式兩邊對(duì)x

求導(dǎo)例16.

求多項(xiàng)式f(x)使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)兩次,去掉積分號(hào)由此可知f(x)

應(yīng)為二次多項(xiàng)式,設(shè)代入**式比較同次冪系數(shù),得故例17.

設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且證明至少存在一點(diǎn)使上連續(xù),在證:

問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故至使即有少存在一點(diǎn)推廣：求證存在使

設(shè)可導(dǎo)，且在連續(xù)，證：因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,即設(shè)輔助函數(shù)使得18.設(shè)函數(shù)f(x)

在[a,b]上可導(dǎo)，且

試證在開區(qū)間(0,1)內(nèi)至上存在一點(diǎn)

證：例19設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，其中且證在內(nèi)存在，使分析：積分令例20設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且又試證明方程：在內(nèi)必有唯一的實(shí)根證明：由題意滿足拉氏定理令必有（存在性）（唯一性）則函數(shù)單減，故根唯一故根存在例21.

證明證:

設(shè),則故時(shí),單調(diào)增加,從而即思考:

證明時(shí),如何設(shè)輔助函數(shù)?練習(xí)證明:構(gòu)造輔助只要證明例22.

已知求A,B.解:

等式兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得例23.

求解:

方法1方法2兩法結(jié)果僅形式不一樣!24.

求提示:法1.法2.法3.令則25.

求下列積分26、解：原式=27、求解：原式=分部積分思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?例28.

求解:

原式=說明:上述方法為求有理函數(shù)積分的一般方法,有時(shí)根據(jù)被積函數(shù)結(jié)構(gòu)可尋求更簡(jiǎn)便的方法.

例29.求解:

原式技巧例30

求解:

令比較同類項(xiàng)系數(shù),故∴原式說明:

此技巧也適于形為的積分.令例31求下列積分(1)(2)提示:原式提示:原式(3)(4)提示：令提示：例32求解：原式=分析：與以為同期，利用性質(zhì)偶奇解例33求下列積分(1)原式=(2)點(diǎn)例34.解：求的無窮間斷點(diǎn),故I為反常積分.例35:解:原式=例36.

設(shè)非負(fù)函數(shù)且滿足曲線與直線及坐標(biāo)軸所圍圖形面積為2,(1)求函數(shù)(2)a

為何值時(shí),所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉(zhuǎn)體體積最小?解: