第6節(jié)-對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第6節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考綱要求1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用；2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2，10，eq\f(1,2)的對數(shù)函數(shù)的圖象；3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù).知識梳理1.對數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1，N>0).3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限.診斷自測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對數(shù)函數(shù).()(3)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同.()(4)當x>1時，若logax>logbx，則a<b.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)錯誤.(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)為對數(shù)函數(shù)，故(2)錯誤.(4)若0<b<1<a，則當x＞1時，logax＞logbx，故(4)錯誤.2.log29×log34＋2log510＋log50.25＝()A.0 B.2 C.4 D.6答案D解析原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.3.函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過的定點是________.答案(2，2)解析當x＝2時，函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值為2，所以圖象恒過定點(2，2).4.(2020·全國Ⅰ卷)設(shè)alog34＝2，則4－a＝()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,9) C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,6)答案B解析法一因為alog34＝2，所以log34a＝2，則4a＝32＝9，所以4－a＝eq\f(1,4a)＝eq\f(1,9).故選B.法二因為alog34＝2，所以a＝eq\f(2,log34)＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝eq\f(1,9).故選B.5.(2019·天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b答案A解析顯然c＝0.30.2∈(0，1).因為log33<log38<log39，所以1<b<2.因為log27>log24＝2，所以a>2.故c<b<a.6.(2021·陜西名校聯(lián)考)若log2x＋log4y＝1，則()A.x2y＝2 B.x2y＝4 C.xy2＝2 D.xy2＝4答案B解析log2x＋log4y＝log2x＋eq\f(1,2)log2y＝log2x＋log2yeq\s\up6(\f(1,2))＝log2(xyeq\s\up6(\f(1,2)))＝1，所以xyeq\s\up6(\f(1,2))＝2，兩邊平方得x2y＝4.考點一對數(shù)的運算1.設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝()A.eq\r(10)B.10C.20D.100答案A解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.因此m2＝10，m＝eq\r(10).2.(2019·北京卷)在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2).已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10－10.1答案A解析依題意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所給公式得eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lgeq\f(E1,E2)＝25.25×eq\f(2,5)＝10.1，即eq\f(E1,E2)＝1010.1.3.計算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.答案1解析原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.4.已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，則a＝________，b＝________.答案42解析設(shè)logba＝t，則t>1，因為t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，所以t＝2，則a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.感悟升華1.在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應注意互化.考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應用【例1】(1)在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝eq\f(1,ax)，y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)的圖象可能是()(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________.答案(1)D(2)(1，＋∞)解析(1)若a>1，則y＝eq\f(1,ax)單調(diào)遞減，A，B，D不符合，且y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，C項不符合，因此0<a<1.當0<a<1時，函數(shù)y＝ax的圖象過定點(0，1)，在R上單調(diào)遞減，于是函數(shù)y＝eq\f(1,ax)的圖象過定點(0，1)，在R上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的圖象過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減.因此，選項D中的兩個圖象符合.(2)如圖，在同一坐標系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線y＝－x＋a在y軸上的截距.由圖可知，當a>1時，直線y＝－x＋a與y＝f(x)只有一個交點.感悟升華1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【訓練1】(1)已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A.a>1，c>1 B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1 D.0<a<1，0<c<1(2)(2021·西安調(diào)研)設(shè)x1，x2，x3均為實數(shù)，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，則()A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x2<x3<x1 D.x2<x1<x3答案(1)D(2)D解析(1)由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以0<a<1.又當x＝0時，y>0，即logac>0，所以0<c<1.(2)畫出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的圖象，如圖所示：由圖象直觀性，知x2<x1<x3.考點三解決與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題角度1比較對數(shù)值大小【例2】(1)(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)a＝log32，b＝log53，c＝eq\f(2,3)，則()A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b(2)(2021·衡水中學檢測)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.2)，b＝logeq\s\do9(\f(1,2))0.2，c＝ab，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a答案(1)A(2)B解析(1)∵3log32＝log38<2，∴l(xiāng)og32<eq\f(2,3)，即a<c.∵3log53＝log527>2，∴l(xiāng)og53>eq\f(2,3)，即b>c.∴a<c<b.故選A.(2)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)與y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.2)<1<logeq\s\do9(\f(1,2))0.2，∴a<b.又c＝ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.2log\f(1,2)0.2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(log\s\do9(\f(1,2))0.20.2)＝0.20.2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.2)＝a，所以b>a>c.角度2解簡單的對數(shù)不等式【例3】已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(1)＝2，則不等式f(log2x)>2的解集為()A.(2，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))∪(eq\r(2)，＋∞) D.(eq\r(2)，＋∞)答案B解析因為偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)，即|log2x|>1，解得0<x<eq\f(1,2)或x>2.角度3對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應用【例4】(2020·合肥調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)＋a)).(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，求a的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0，∴l(xiāng)og2(1＋a)＝0，∴a＝0.當a＝0時，f(x)＝－x是R上的奇函數(shù).所以a＝0.(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，則eq\f(1,2x)＋a>0恒成立.即a>－eq\f(1,2x)恒成立，由于－eq\f(1,2x)∈(－∞，0)，故只要a≥0，則a的取值范圍是[0，＋∞).(3)由已知得函數(shù)f(x)是減函數(shù)，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋a)).由題設(shè)得log2(1＋a)－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋a))≥2，則log2(1＋a)≥log2(4a＋2).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a≥4a＋2，,4a＋2>0，))解得－eq\f(1,2)<a≤－eq\f(1,3).故實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3))).感悟升華1.比較對數(shù)值的大小與解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是應用函數(shù)的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需要分a>1與0<a<1兩種情況討論.2.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的.【訓練2】(1)已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a＝b<c B.a＝b>c C.a<b<c D.a>b>c(2)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.答案(1)B(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))解析(1)因為a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝eq\f(3,2)log23>1，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝a，c＝log32<log33＝1.所以a＝b>c.(2)當a>1時，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是減函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，則f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，即8－2a>a，且8－2a>0，解得1<a<eq\f(8,3).當0<a<1時，f(x)在[1，2]上是增函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1，2]上恒成立，知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.∴8－a<a且8－2a>0，此時解集為?.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))).A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則()A.a＋b<ab<0 B.ab<a＋b<0C.a＋b<0<ab D.ab<0<a＋b答案B解析由題設(shè)，得eq\f(1,a)＝log0.30.2>0，eq\f(1,b)＝log0.32<0.∴0<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log0.30.4<1，即0<eq\f(a＋b,ab)<1.又a>0，b<0，故ab<a＋b<0.2.(2021·濮陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4,3x)＋m))的值域是全體實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4) D.(－∞，－4]答案D解析由題意可知3x＋eq\f(4,3x)＋m能取遍所有正實數(shù).又3x＋eq\f(4,3x)＋m≥m＋4，所以m＋4≤0，即m≤－4.∴實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－4].3.已知lga＋lgb＝0，則函數(shù)f(x)＝a－x與函數(shù)g(x)＝logbx的圖象可能是()答案C解析由lga＋lgb＝0，得ab＝1.∴f(x)＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))eq\s\up12(－x)＝bx，因此f(x)＝bx與g(x)＝logbx單調(diào)性相同.A，B，D中的函數(shù)單調(diào)性相反，只有C的函數(shù)單調(diào)性相同.4.若函數(shù)f(x)＝|x|＋x3，則f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＋f(lg5)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,5)))＝()A.2 B.4 C.6 D.8答案A解析由于f(x)＝|x|＋x3，得f(－x)＋f(x)＝2|x|.又lgeq\f(1,2)＝－lg2，lgeq\f(1,5)＝－lg5.所以原式＝2|lg2|＋2|lg5|＝2(lg2＋lg5)＝2.5.已知a＝log3eq\f(7,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,3))，c＝logeq\f(1,3)eq\f(1,5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b答案D解析logeq\f(1,3)eq\f(1,5)＝log3－15－1＝log35，因為函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以log35>log3eq\f(7,2)>log33＝1，因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)在R上為減函數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(0)＝1，故c>a>b.6.若函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a>0，且a≠1)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(0，＋∞) B.(2，＋∞) C.(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案A解析令M＝x2＋eq\f(3,2)x，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))時，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)，又M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(9,16)，因為M的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞)).又x2＋eq\f(3,2)x>0，所以x>0或x<－eq\f(3,2)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞).二、填空題7.若log43＝mlog23，則logeq\r(2)m＝________.答案－2解析∵log43＝eq\f(1,2)log23，∴m＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)ogeq\r(2)m＝－2.8.(2021·濟南一中檢測)已知函數(shù)y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A也在函數(shù)f(x)＝3x＋b的圖象上，則b＝________.答案－7解析令2x－3＝1，得x＝2，∴定點為A(2，2)，將定點A的坐標代入函數(shù)f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.9.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________.答案[0，＋∞)解析當x≤1時，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；當x>1時，由1－log2x≤2，解得x≥eq\f(1,2)，所以x>1.綜上可知，x≥0.三、解答題10.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若－1<f(1)<1，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)當x<0時，－x>0，由題意知f(－x)＝loga(－x＋1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x).所以當x<0時，f(x)＝loga(－x＋1)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga（x＋1），x≥0，,loga（－x＋1），x<0.))(2)因為－1<f(1)<1，所以－1<loga2<1，所以logaeq\f(1,a)<loga2<logaa.①當a>1時，原不等式等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<2，,a>2，))解得a>2；②當0<a<1時，原不等式等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>2，,a<2，))解得0<a<eq\f(1,2).綜上，實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞).11.已知函數(shù)f(x)＝log2eq\f(1＋ax,x－1)(a為常數(shù))是奇函數(shù).(1)求a的值與函數(shù)f(x)的定義域；(2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解(1)因為函數(shù)f(x)＝log2eq\f(1＋ax,x－1)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2eq\f(1－ax,－x－1)＝－log2eq\f(1＋ax,x－1)，即log2eq\f(ax－1,x＋1)＝log2eq\f(x－1,1＋ax)，所以a＝1，f(x)＝log2eq\f(1＋x,x－1)，令eq\f(1＋x,x－1)>0，解得x<－1或x>1，所以函數(shù)的定義域為{x|x<－1或x>1}.(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，當x>1時，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因為x∈(1，＋∞)時，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范圍是(－∞，1].B級能力提升12.(2021·西安調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在[m，n]?D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域為[m，n]，那么就稱y＝f(x)是定義域為D的“成功函數(shù)”.若函數(shù)g(x