學生書-§14-2-排列與組合VIP

§14.2排列與組合(對應答案分冊第53頁)1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用Anm(2)組合數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用Cnm3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(2)Cnm=A=n性質(zhì)(1)0!=1;Ann=n(2)Cnm=Cnn-m1.“排列”與“組合”的辨析排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”.取出元素后交換順序,若與順序有關(guān),則是排列;若與順序無關(guān),則是組合.2.解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準確分步.(3)排列、組合混合問題要先選后排.(4)相鄰問題捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.(6)定序問題倍縮法處理.(7)分排問題直排處理.(8)“小集團”排列問題先整體后局部.(9)構(gòu)造模型.(10)正難則反,等價轉(zhuǎn)化.3.①Cnm=nmCn-1③Crr+Cr+1r+Cr+2【概念辨析】1.判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打“√”,錯的打“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.()(2)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m).((3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()(4)若組合式Cnx=Cnm,則x=m成立.【對接教材】2.從4本不同的課外讀物中,買3本送給3名同學,每人各1本,則不同的送法種數(shù)是().A.12 B.24 C.64 D.813.從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動,則男、女生都有的選法種數(shù)是().A.18 B.24 C.30 D.36【易錯自糾】4.(2022·河南鄭州高三模擬)已知1C5m-1C6m=5.從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝計算機和組裝計算機各2臺,則不同的取法有種.

排列問題【典例遷移】7塊標有A,B,C,D,E,F,G的積木排成一排.(1)A在中間的位置,共有多少種不同的排法?(2)A,B只能在兩端的排法共有多少種?(3)A不在排頭、B不在排尾的排法共有多少種?(4)A,B兩積木必須相鄰的排法共有多少種?(5)A,B兩積木必須相鄰,而且C不在排頭和排尾的排法有多少種?(6)A,B兩積木不能相鄰的排法共有多少種?(7)A總在B的前面的排法有多少種?

點撥求解排列應用問題的六種主要方法:(1)直接法,求出符合條件的排列,直接列式計算;(2)優(yōu)先法,優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置;(3)捆綁法,把相鄰元素看作一個整體,與其他元素一起排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列;(4)插空法,對不相鄰問題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空格中;(5)對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列數(shù);(6)間接法,正難則反、等價轉(zhuǎn)化.【追蹤訓練1】有3名男生、4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法總數(shù).(1)選5人排成一排;(2)排成前后兩排,前排3人,后排4人;(3)全體排成一排,女生必須站在一起;(4)全體排成一排,男生互不相鄰;(5)全體排成一排,其中甲不站最左邊,也不站最右邊;(6)全體排成一排,其中甲不站最左邊,乙不站最右邊.

組合問題【典例遷移】(2022·吉林高三月考)某課外活動小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名隊長,現(xiàn)從中選5人主持某項活動,在下列不同條件下,各有多少種選法?(用數(shù)字作答)(1)至少有一名隊長當選;(2)至多有兩名女生當選;(3)既要有隊長,又要有女生當選.

點撥組合問題的常見題型及解題思路:(1)常見題型:一般有選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題等.(2)解題思路:①分清問題是否為組合問題;②對較復雜的組合問題,要搞清是“分類”還是“分步”,一般是先整體分類,然后局部分步,將復雜問題通過兩個原理化歸為簡單問題.【追蹤訓練2】某市工商局對35種商品進行抽樣檢查,已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi),不同的取法有多少種?(2)其中某一種假貨不能在內(nèi),不同的取法有多少種?(3)恰有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?(4)至少有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?(5)至多有2種假貨在內(nèi),不同的取法有多少種?

分組分配問題【考向變換】考向1整體均勻分配(2022·四川達州月考)2020年年初疫情爆發(fā),為了抗擊疫情,中國上下眾志成城,紛紛馳援武漢.達州市決定派出6個醫(yī)療小組馳援武漢市甲、乙、丙三個地區(qū),每個地區(qū)分配2個醫(yī)療小組,其中A醫(yī)療小組必須去甲地,則不同的安排方法種數(shù)為().A.30 B.60 C.90 D.180點撥對于整體均分,解題時要注意分組后不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以Ann(n為均分的組數(shù)),【追蹤訓練3】(2022·山東聊城模擬)2020年是脫貧攻堅年,為順利完成“兩不愁,三保障”,即農(nóng)村貧困人口不愁吃、不愁穿,農(nóng)村貧困人口義務教育、基本醫(yī)療、住房安全有保障,某市擬派出6人組成三個幫扶隊,每隊兩人,對脫貧任務較重的甲、乙、丙三縣進行幫扶,則不同的派出方法種數(shù)為().A.15 B.60 C.90 D.540考向2部分均分問題2019年全國兩會期間某天的“部長通道”上,中國教育報等9家新聞媒體“圍堵”住教育部陳寶生部長在內(nèi)的3位部長.且擬定每位部長接受3家媒體采訪,每家媒體只能采訪1位部長,同時指定中國教育報記者采訪陳寶生部長,則不同的采訪方式共有種.

點撥本題屬于部分均分,解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個數(shù)相等,則分組時應除以m!,一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù).【追蹤訓練4】(2022·西安月考)某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的3所中學進行教學交流,每所中學至少派1名教師,則不同的分派方法有().A.80種 B.90種C.120種 D.150種考向3不等分問題將6個不同的桃子給甲、乙、丙三只猴子,其中一只猴子得1個,一只猴子得2個,一只猴子得3個,則有種不同的分法.

點撥對于不等分組問題,只需先分組,后排列,注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等,所以不需要除以全排列數(shù).總之,在解答分組問題時,一定要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別,均勻分組不要重復計數(shù).對于平均分組問題更要注意順序,避免計數(shù)的重復或遺漏,抓住了以上關(guān)鍵點,就能避免掉進陷阱.【追蹤訓練5】(2022·遼寧大連月考)為了促進西部某地區(qū)醫(yī)療事業(yè)的發(fā)展,某市準備派6名醫(yī)生支援當?shù)氐?所醫(yī)院,若向每所醫(yī)院至少派1名醫(yī)生且不多于3名醫(yī)生,則不同的安排方法有().A.450種 B.540種C.900種 D.1080種排列與組合的綜合問題【典例遷移】(2021年全國乙卷)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓,每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有().A.60種 B.120種C.240種 D.480種點撥解決排列、組合綜合問題的方法(1)仔細審題,判斷是組合問題還是排列問題,要按元素的性質(zhì)分類,按事件發(fā)生的過程進行分步.(2)以元素為主時,先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素;以位置為主時,先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置.(3)對于有附加條件的比較復雜的排列、組合問題,要周密分析,設(shè)計出合理的方案,一般先把復雜問題分解成若干個簡單的基本問題,然后應用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理來解決,一般遵循先選后排的原則.【追蹤訓練6】(1)將標號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友,每位小朋友至少分到一個籃球,且標號為1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友,則不同的分法種數(shù)為().A.15 B.20 C.30 D.42(2)從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為().A.24 B.18 C.12 D.6隔板法對于相同元素的“分配”問題,常用方法是“隔板法”.將20個相同的小球放入編號分別為1,2,3,4的四個盒子中,要求每個盒子中的球數(shù)不少于它的編號數(shù),求放法總數(shù).