2023屆高考數(shù)學特訓營第1節(jié)-導數(shù)的概念及其運算

第三單元第1節(jié)導數(shù)的概念及其運算2023屆1《高考特訓營》·數(shù)學0102知識特訓能力特訓01知識特訓知識必記拓展鏈接對點訓練

2．導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝__________．[注意]

曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，斜率為k＝f′(x0)的切線，是唯一的一條切線．f′(x0)

0αxα－1

cosx

－sinx

exaxln

a

4.導數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；(2)[f(x)?g(x)]′＝_____________________；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5．復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝____________．[注意]

要分清每一步的求導是哪個變量對哪個變量的求導，不能混淆，常出現(xiàn)如下錯誤：(cos2x)′＝－sin2x，實際上應是(cos2x)′＝－2sin2x.yu′?ux′1．[知識拓展]微提醒，大作用(1)f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，且(f(x0))′＝0.(3)曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點．(4)函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．2．[學科融合]導數(shù)的物理意義函數(shù)s＝s(t)在點t0處的導數(shù)s′(t0)是物體在t0時刻的瞬時速度v，即v＝s′(t0)，v＝v(t)在點t0處的導數(shù)v′(t0)是物體在t0的瞬時加速度a，即a＝v′(t0)．3．[思想方法]記住結(jié)論，巧運算奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)．如：觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得，若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝________.解：偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，因此當f(x)是偶函數(shù)時，其導函數(shù)應為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．解：據(jù)歸納猜想可知(2πr4)′＝8πr3，所以四維測度W＝2πr4.1．[易錯診斷]函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間[1，2]上的平均變化率為______，在x＝2處的導數(shù)為______．答案：3

4【易錯點撥】對導數(shù)概念的理解不清致誤．2．[教材改編]若f(x)＝x?ex，則f′(1)＝________．答案：2e解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.3．[模擬演練](2021·四川高三零模)曲線y＝f(x)在x＝1處的切線如圖所示，則f′(1)－f(1)＝(

)

A．0 B．2C．－2 D．－1C所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，故f′(1)－f(1)＝1－3＝－2.故選C.答案：5x－y＋2＝002能力特訓特訓點1特訓點2

特訓點1導數(shù)的計算【自主沖關(guān)類】ABC

2．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，則f(1)＝________．[錦囊·妙法]導數(shù)運算的葵花寶典(1)求導之前，應利用代數(shù)運算、三角恒等式等對函數(shù)進行化簡，然后求導，盡量避免不必要的商的求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度、減少差錯．(2)①若函數(shù)為根式形式，可先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導．②復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時可進行換元．考向1求切線方程典例1

(2020·新課標Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為(

)A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1特訓點2導數(shù)的幾何意義【多維考向類】B解析：由f(x)＝x4－2x3，得f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝4－6＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故選B.考向2求參數(shù)范圍典例2

(2022·四川省內(nèi)江市月考)若函數(shù)f(x)＝lnx＋2x2－ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：[2，＋∞)解析：直線2x－y＝0的斜率k＝2，又曲線f(x)上存在與直線2x－y＝0平行的切線，

利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法：利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍．考向3切線問題典例3

(2021·新高考Ⅰ卷)若過點(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則(

)A．eb<a B．ea<bC．0<a<eb D．0<b<ea[解題指導]畫出函數(shù)的圖象→判斷點(a，b)與函數(shù)圖象的位置關(guān)系→確定選項．答案：D解析：函數(shù)y＝ex是增函數(shù)，y′＝ex>0恒成立，函數(shù)的圖象如圖，y>0，即取得坐標在x軸上方，如果點(a，b)在x軸下方，連線的斜率