2024-2025學年高中數(shù)學第一章計數(shù)原理章末演練輕松闖關含解析新人教A版選修2-3

PAGE1-第一章計數(shù)原理[A基礎達標]1.5位同學報名參與兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．10種 B．20種C．25種 D．32種解析：選D．5位同學報名參與兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有25＝32種，選D．2.從甲、乙、丙、丁四名同學中選出三名同學，分別參與三個不同科目的競賽，其中甲同學必需參賽，則不同的參賽方案共有()A．24種 B．18種C．21種 D．9種解析：選B．從除甲外的乙、丙、丁三名同學中選出2人，有Ceq\o\al(2,3)種選法，再將3人支配到3個科目，有Aeq\o\al(3,3)種，故共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種).3.在(1＋ax)7的綻開式中，x3項的系數(shù)是x2項的系數(shù)與x5項的系數(shù)的等比中項，則a的值為()A．eq\f(\r(10),5) B．eq\f(5,3)C．eq\f(25,9) D．eq\f(25,3)解析：選C．綻開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,7)akxk(k＝0，1，…，7)，由題意得，(Ceq\o\al(3,7)a3)2＝Ceq\o\al(2,7)a2·Ceq\o\al(5,7)a5，所以a＝eq\f(25,9).4.(2x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的綻開式的常數(shù)項是()A．－10 B．－9C．11 D．9解析：選B．(2x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))eq\s\up12(5)＝(2x＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,x)＋10·\f(1,x2)－10·\f(1,x3)＋5·\f(1,x4)－\f(1,x5)))，故綻開式中的常數(shù)項是2×(－5)＋1＝－9.故選B．5.將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有()A．10種 B．20種C．36種 D．52種解析：選A．分為兩類：①1號盒子放入1個球，2號盒子放入3個球，有Ceq\o\al(1,4)＝4種放球方法；②1號盒子放入2個球，2號盒子放入2個球，有Ceq\o\al(2,4)＝6種放球方法.所以共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10種不同的放球方法.6.已知(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，若a1＋a2＋…＋a6＝63，則實數(shù)m＝________.解析：由題設知，a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝(1＋m)6，即(1＋m)6＝64，故1＋m＝±2，m＝1或－3.答案：1或－37.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3,y)－4))eq\s\up12(9)的綻開式中，不含x的各項系數(shù)之和為________.解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3,y)－4))eq\s\up12(9)的綻開式中，不含x的各項系數(shù)之和，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,y)－4))eq\s\up12(9)的各項系數(shù)之和．令y＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,y)－4))eq\s\up12(9)的各項系數(shù)之和為(－1)9＝－1.答案：－18.如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂1種顏色，要求最多運用3種顏色，且相鄰的2個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種.解析：如圖，將4個區(qū)域標上A，B，C，D，當運用2種顏色時，涂色種數(shù)為Ceq\o\al(2,6)×2＝30種.ABCD當運用3種顏色時，可能(A，C)或(A，D)或(B，D)涂同一顏色，涂色方案有Ceq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(3,3)·3＝360種．所以涂色方案共有360＋30＝390種．答案：3909．在二項式(1－2x)9的綻開式中．(1)求綻開式中的第四項；(2)求綻開式中的常數(shù)項．解：(1)在二項式(1－2x)9的綻開式中，綻開式的第四項為T4＝Ceq\o\al(3,9)·(－2x)3＝－672x3.(2)二項式(1－2x)9的綻開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(－2x)r，由r＝0，可得常數(shù)項為1.[B實力提升]10．把座位編號為1，2，3，4，5，6的6張電影票分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少分一張，至多分兩張，且分得的兩張票必需是連號的，那么不同分法種數(shù)為()A．240 B．144C．196 D．288解析：選B．依據(jù)題意，分2步進行分析：①先將票分為符合條件的4份；由題意，4人分6張票，且每人至少一張，至多兩張，則兩人一張，2人2張，且分得的票必需是連號的，相當于將1、2、3、4、5、6這六個數(shù)用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號，易得在5個空位插3個板子，共有Ceq\o\al(3,5)＝10種狀況，但其中有4種是1人3張票的，故有10－4＝6種狀況符合題意，②將分好的4份對應到4個人，進行全排列即可，有Aeq\o\al(4,4)＝24種狀況；則有6×24＝144種狀況．11．現(xiàn)有5名老師要帶3個愛好小組外出學習考察，要求每個愛好小組的帶隊老師至多2人，但其中甲老師和乙老師均不能單獨帶隊，則不同的帶隊方案有________種．(用數(shù)字作答)解析：第一類，把甲，乙看作一個復合元素，和另外的3人安排到3個小組中，Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18種．其次類，先把另外的3人安排到3個小組，再把甲，乙安排到其中2個小組，Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)＝36種，依據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有36＋18＝54(種)．答案：5412．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\s\up12(n)綻開式的二項式系數(shù)之和為256.(1)求n；(2)若綻開式中常數(shù)項為eq\f(35,8)，求m的值；(3)若(x＋m)n綻開式中系數(shù)最大項只有第6項和第7項，求m的取值狀況．解：(1)二項式系數(shù)之和為2n＝256，可得n＝8.(2)設常數(shù)項為第r＋1項，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,8)mrx8－2r，故8－2r＝0，即r＝4，則Ceq\o\al(4,8)m4＝eq\f(35,8)，解得m＝±eq\f(1,2).(3)易知m>0，設第r＋1項系數(shù)最大．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(r,8)mr≥Ceq\o\al(r－1,8)mr－1,Ceq\o\al(r,8)mr≥Ceq\o\al(r＋1,8)mr＋1))，化簡可得eq\f(8m－1,m＋1)≤r≤eq\f(9m,m＋1).由于只有第6項和第7項系數(shù)最大，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4<\f(8m－1,m＋1)≤5，,6≤\f(9m,m＋1)<7.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)<m≤2，,2≤m<\f(7,2).))所以m只能等于2.13．(選做題)用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù)．(1)在組成的三位數(shù)中，求全部偶數(shù)的個數(shù)；(2)在組成的三位數(shù)中，假如十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個數(shù)；(3)在組成的五位數(shù)中，求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù)．解：(1)將全部的三位偶數(shù)分為兩類：①若個位數(shù)為0，則共有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)；②若個位數(shù)為2或4，則共有2×3×3＝18(種)．所以共有30個符合題意的三位偶數(shù)．(2)將這些“凹數(shù)”分為三類：①若十位數(shù)字為0，則共有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)；②若十位數(shù)字為1，則共有Aeq\o\al(2,3)＝6(種)；③若十位數(shù)字為2，則共有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)．所以共有20個符合題意的“凹數(shù)”．(3)將符合題意的五位數(shù)分為三類：①若兩個奇數(shù)數(shù)字在一、三位置，