融合STEAM教育理念的高中概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在論及課程內(nèi)容時(shí)強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。在“一元線性回歸模型”一課的教學(xué)中，教師可以開發(fā)融合STEAM教育理念的高中概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。關(guān)鍵詞：STEAM教育理念；概率與統(tǒng)計(jì)；教學(xué)設(shè)計(jì)STEAM教育是基于項(xiàng)目或問題，以跨學(xué)科學(xué)習(xí)的方式培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)與問題解決能力人才的教育。2017年，在第一屆中國STEAM教育發(fā)展大會(huì)上，中國教育科學(xué)研究院和STEAM研究中心聯(lián)合發(fā)布了《2017中國STEAM教育白皮書》，并啟動(dòng)了中國STAEM教育2019創(chuàng)新行動(dòng)計(jì)劃。STEAM教育是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的需要，是智能時(shí)代教育改革的需要?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下通稱“新課標(biāo)”）在“基本理念”部分提出“要加強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。”在“學(xué)科核心素養(yǎng)”部分提出“數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入到科學(xué)、技術(shù)、工程和現(xiàn)代社會(huì)生活的各個(gè)方面?！彪m然新課標(biāo)中沒有直接提出“STEAM教育”概念，但是所提出的跨學(xué)科教學(xué)、提升問題解決能力等都與STEAM教育理念契合。教師在教學(xué)中融合STEAM教育理念能夠更好創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生親身實(shí)踐，通過收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，感悟概念的產(chǎn)生過程，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與實(shí)際生活的聯(lián)系，提高學(xué)生對(duì)概率的理解以及對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力，同時(shí)，積極采用合適的計(jì)算機(jī)軟件輔助教學(xué)，能夠使學(xué)生吃透教材、理解知識(shí)體系，更好運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題。下面，筆者以“一元線性回歸模型”這一課為例，探討融合STEAM教育理念的高中概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)（具體流程如下頁表1所示），以提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。一、課程內(nèi)容與學(xué)情分析根據(jù)新課標(biāo)要求，在“一元線性回歸模型”的教學(xué)中，教師應(yīng)選擇與學(xué)生生活相聯(lián)系的情境，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)據(jù)收集、整理、分析的全過程，并教給學(xué)生使用統(tǒng)計(jì)軟件的方法，進(jìn)而達(dá)到能利用一元線性回歸模型分析與預(yù)測(cè)的要求。本單元統(tǒng)計(jì)模型共包括一元線性回歸模型和獨(dú)立性檢驗(yàn)兩部分?！耙辉€性回歸模型”是人教B版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第二冊(cè)第四章“統(tǒng)計(jì)模型”第二課時(shí)的內(nèi)容。在上一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已能夠推斷兩個(gè)變量是否相關(guān)，但尚未學(xué)習(xí)如何準(zhǔn)確刻畫相關(guān)關(guān)系。由于本節(jié)是學(xué)生首次學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)模型，因此在教學(xué)中教師應(yīng)將統(tǒng)計(jì)模型與學(xué)生之前熟悉的函數(shù)模型進(jìn)行比較，明確統(tǒng)計(jì)模型不同于函數(shù)模型。（一）課程內(nèi)容分析通過對(duì)一元線性回歸模型教材內(nèi)容分析筆者發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課首先通過分析兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系引入一元線性回歸模型的必要性；其次，通過尋求“最好”的直線估計(jì)模型的參數(shù)得到最小二乘法與一元回歸模型；最后，為了評(píng)價(jià)和改進(jìn)模型，引入殘差，分析模型的擬合效果。探究腳長與身高關(guān)系是一個(gè)常見的醫(yī)學(xué)問題，本節(jié)課通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)過程，從而使學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)模型的必要性和合理性，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。此外，在理解殘差平方和最小是“最好”的直線時(shí)，教師在教學(xué)中可以引入物理學(xué)科中力的分解以幫助學(xué)生理解。最后，模型優(yōu)化是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)中教師要聯(lián)系地理、生物學(xué)科知識(shí)幫助學(xué)生分析殘差產(chǎn)生原因，對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)化。（二）學(xué)情分析知識(shí)基礎(chǔ)：在學(xué)習(xí)本堂課內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析的基本方法，知道函數(shù)可以刻畫兩個(gè)變量之間的一種確定性關(guān)系，但不知道怎樣刻畫兩個(gè)變量之間的非確定性關(guān)系。數(shù)學(xué)思維：通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)解決統(tǒng)計(jì)問題的思路，處理方式進(jìn)行了初步學(xué)習(xí)，對(duì)解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法（如化歸思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等）已經(jīng)有了初步的體驗(yàn)，但有待于繼續(xù)提高認(rèn)識(shí)。情感態(tài)度價(jià)值觀：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一定的興趣，并且形成了一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神與實(shí)踐能力。教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，以“探究腳長與身高的關(guān)系”醫(yī)學(xué)問題為情境設(shè)置活動(dòng)，通過引導(dǎo)學(xué)生收集小組同學(xué)的腳長與身高，探究兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。這樣，能促使學(xué)生在參與數(shù)據(jù)分析的全過程中，掌握一元線性回歸分析方法。二、教學(xué)重難點(diǎn)與教學(xué)方法分析根據(jù)基礎(chǔ)階段的分析，教師確定本節(jié)課的核心知識(shí)目標(biāo)為“了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，掌握求解一元線性回歸模型的方法并進(jìn)行預(yù)測(cè)”；關(guān)鍵能力目標(biāo)為“通過參與對(duì)實(shí)際問題中數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、判斷、預(yù)測(cè)等活動(dòng)，理解數(shù)據(jù)分析的思路和方法，提高數(shù)學(xué)建模能力”；情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)為“經(jīng)歷解決實(shí)際問題的過程中，體會(huì)‘統(tǒng)計(jì)源于生活，服務(wù)于生活’的理念”。（一）教學(xué)重點(diǎn)分析結(jié)合基礎(chǔ)分析筆者發(fā)現(xiàn)，在日常生活中研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系問題十分常見，但學(xué)生未能夠從量化的角度進(jìn)行分析。因此，構(gòu)建一元線性回歸模型對(duì)人們科學(xué)決策、提高統(tǒng)計(jì)意識(shí)和能力具有重要意義?；诖?，筆者確定該節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為“掌握用最小二乘法建立一元線性回歸模型的方法”。（二）教學(xué)難點(diǎn)分析結(jié)合學(xué)習(xí)者分析與任課教師訪談以及學(xué)者對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)學(xué)習(xí)障礙的調(diào)查發(fā)現(xiàn)研究，筆者認(rèn)為理解參數(shù)估計(jì)值公式的推導(dǎo)是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的難點(diǎn)?；诖?，教師應(yīng)確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：理解參數(shù)估計(jì)值公式的推導(dǎo)。為了更好地突破難點(diǎn)，該教案設(shè)計(jì)基于STEAM教育理念的跨學(xué)科性，通過類比物理學(xué)科中力的分解，使學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上擬合“最好”的直線是殘差平方和最小的直線，從而求出參數(shù)的估計(jì)值。（三）教學(xué)方法設(shè)計(jì)分析基于建構(gòu)主義理論提出的社會(huì)互動(dòng)性和STEAM教育理念提出的協(xié)作性以及新課標(biāo)在“基本理念”部分提出的“提倡合作交流的學(xué)習(xí)方式”，筆者結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容分析，設(shè)置小組合作的學(xué)習(xí)方式，通過小組合作收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，建立一元線性回歸模型。同時(shí)，采用討論法組織師生之間相互交流、突破難點(diǎn)?；诖?，該節(jié)課的教學(xué)方法采用講授法、小組合作法、討論法。對(duì)于真實(shí)統(tǒng)計(jì)問題中的繁雜數(shù)據(jù)處理是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，該教案設(shè)計(jì)基于STEAM教育理念提出的跨學(xué)科性和新課標(biāo)中“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的時(shí)效性”的要求，發(fā)現(xiàn)信息技術(shù)中的GeoGebra軟件能夠快速進(jìn)行繁雜計(jì)算和繪制圖像等活動(dòng)處理?；谏鲜龇治?，筆者在傳統(tǒng)黑板、粉筆、PPT之外，增加GeoGebra軟件作為教學(xué)手段。三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)分析基于STEAM教育理念的內(nèi)涵，結(jié)合國際ITEEA協(xié)會(huì)的6E教學(xué)模式，筆者將融合STEAM教育理念的“一元線性回歸模型”教學(xué)過程分為引入、探索、解釋、設(shè)計(jì)、深化、評(píng)價(jià)六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。（一）引入環(huán)節(jié)的具體分析結(jié)合基礎(chǔ)分析階段筆者發(fā)現(xiàn)，新課標(biāo)在一元線性回歸模型教學(xué)中明確提出“應(yīng)通過具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)據(jù)分析的全過程”。引入環(huán)節(jié)基于STEAM教育理念提出的情境性，以醫(yī)學(xué)中的腳長與身高關(guān)系為背景，建立“S”與“M”的聯(lián)系。教師活動(dòng)：播放偵探學(xué)家貝蒂榮利用足跡確定罪犯的身高、體重的視頻，并提問“腳長與身高之間存在怎樣的關(guān)系呢？”學(xué)生活動(dòng)：觀看視頻，思考教師提出的問題?！驹O(shè)計(jì)意圖】引入環(huán)節(jié)旨在通過創(chuàng)設(shè)的問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。該節(jié)課以貝蒂榮用足跡確定犯罪的身高為情境，融合醫(yī)學(xué)知識(shí)于數(shù)學(xué)課堂，體現(xiàn)了STEAM教育理念中提出的“S”及跨學(xué)科性。（二）探索環(huán)節(jié)的具體分析結(jié)合學(xué)習(xí)者分析筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生知道函數(shù)可以刻畫兩個(gè)變量之間的一種關(guān)系，但不知道怎樣刻畫兩個(gè)變量之間的非確定性關(guān)系?；诖?，該環(huán)節(jié)教師基于STEAM教育理念提出的協(xié)作性與體驗(yàn)性，引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位收集本組同學(xué)的腳長與身高，從實(shí)踐中體會(huì)兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。教師活動(dòng)：教師組織同學(xué)以小組為單位收集本組同學(xué)的腳長與身高。學(xué)生活動(dòng)：收集數(shù)據(jù)，填寫表格。教師總結(jié)：展示小組同學(xué)的數(shù)據(jù)，得出“當(dāng)鞋碼增加時(shí)，身高也在增加”的結(jié)論?！驹O(shè)計(jì)意圖】探索環(huán)節(jié)旨在通過小組合作收集數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)腳長與身高之間的關(guān)系，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想，感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體現(xiàn)STEAM教育理念中提出的情境性。（三）解釋環(huán)節(jié)的具體分析在統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，圖表的繪制是數(shù)據(jù)分析的方法之一?；赟TEAM教育理念中提出的設(shè)計(jì)性，教師引導(dǎo)學(xué)生以腳長x為橫坐標(biāo)、身高y為縱坐標(biāo)繪制散點(diǎn)圖，通過從圖形角度分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系，需要引入新的模型解決如何刻畫問題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考畫出“最好的”直線。教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生以鞋碼x為橫坐標(biāo)、身高y為縱坐標(biāo)，利用散點(diǎn)圖在坐標(biāo)系中將每一對(duì)數(shù)據(jù)都表示出來。學(xué)生活動(dòng)：在練習(xí)本上畫出圖象。教師活動(dòng)：展示學(xué)生作業(yè)并提問“圖象具有怎樣的特點(diǎn)？”學(xué)生活動(dòng)：圖象分布在一條直線的附近。教師總結(jié)：若都在直線附近，則鞋碼與身高存在相關(guān)關(guān)系。這表明我們腳長與身高之間的相關(guān)關(guān)系可以用一條直線來近似表示。那么，怎樣畫出這條直線呢？請(qǐng)同學(xué)們小組之間相互交流。學(xué)生活動(dòng)：小組成員之間相互交流?！驹O(shè)計(jì)意圖】解釋環(huán)節(jié)重在闡述原因，理解問題，體會(huì)STEAM教育理念中提出的“S”。為學(xué)生工程設(shè)計(jì)、建立模型作鋪墊，由學(xué)生共同收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，充分體現(xiàn)STEAM教育理念中提出的協(xié)作性。（四）設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)的具體分析該環(huán)節(jié)是建立統(tǒng)計(jì)模型的重要環(huán)節(jié)，筆者基于STEAM教育理念中提出的跨學(xué)科性，為理解統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上“最好”的直線是殘差平方和最小的直線。在教學(xué)中引入物理學(xué)科中“力的分解”內(nèi)容，幫助學(xué)生分析豎直距離和垂直距離二者的等效性，得到最小二乘法。學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立思考后，與小組其他同學(xué)交流想法，得到方案。方案1：找兩個(gè)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式給出直線方程。方案2：計(jì)算所有已知點(diǎn)的平均數(shù)x，y，再計(jì)算相鄰兩點(diǎn)斜率的平均數(shù)k，給出直線方程。方案3：經(jīng)過點(diǎn)最多的直線。教師總結(jié)：我們可以找到很多條直線，哪一條是最恰當(dāng)?shù)闹本€呢，用什么樣的標(biāo)準(zhǔn)來衡量呢？【設(shè)計(jì)意圖】在設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過小組討論，思考如何畫出“最好”的直線。感受不同方案時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn)與直線的接近程度，為引入豎直距離偏差和最小時(shí)為“最好”直線作鋪墊。教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生思考點(diǎn)到直線的距離如何刻畫，以及怎么刻畫計(jì)算更簡(jiǎn)便。學(xué)生活動(dòng)：討論得出，“最好”的直線為殘差平方和最小的直線。教師總結(jié)：若存在兩個(gè)變量x，y，回歸直線方程y=bx+a總是存在的，這樣的方法叫做最小二乘法。學(xué)生活動(dòng)：交換各組數(shù)據(jù)，計(jì)算腳長與身高之間的關(guān)系，得到回歸線性方程。學(xué)生活動(dòng)：匯總?cè)嗤瑢W(xué)數(shù)據(jù)，對(duì)比當(dāng)樣本數(shù)量增加時(shí)，回歸直線方程的變化。教師活動(dòng)：將數(shù)據(jù)輸入GeoGebra軟件，求出回歸直線方程，展示散點(diǎn)圖，播放中國青少年近年來身高變化視頻。（五）深化環(huán)節(jié)的具體分析在深化環(huán)節(jié)，基于STEAM教育理念中提出的跨學(xué)科性與情境性和新課標(biāo)中“教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問題是多樣的、多層次”的要求，為有效突破重難點(diǎn)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，筆者共設(shè)置兩道例題：例1，通過呈現(xiàn)1996年以來世界100米賽跑世界紀(jì)錄，預(yù)測(cè)若紀(jì)錄達(dá)到9s，大約要等多少年？例2，呈現(xiàn)兒子與父親身高數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)兒子的身高，解釋生物中的回歸現(xiàn)象，體會(huì)