信號(hào)與系統(tǒng)第三章1鄭君里

第三章傅立葉變換時(shí)域分析分析變量時(shí)間t系統(tǒng)方程微分方程研究問題輸出信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)特性基本信號(hào)(單元)d(t)

信號(hào)分解的方法f(t)分解為無窮多個(gè)d(t)函數(shù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析頻率

w代數(shù)方程輸出信號(hào)的頻率響應(yīng)特性正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)ej

wtf(t)分解為不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和(或積分)1由積分可知常用的正交函數(shù)集a

三角函數(shù)集23b

復(fù)數(shù)函數(shù)集因?yàn)?第一節(jié)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)f(t)的定義

f(t)=f(t+mT),

m=0,1,2,3...T=2p/W

W表示f(t)的角頻率傅里葉級(jí)數(shù)

周期信號(hào)f(t)在區(qū)間(t0,t0+T)內(nèi)可以展開成在完備正交函數(shù)空間中的無窮級(jí)數(shù)。完備的正交函數(shù)集為三角函數(shù)集時(shí)稱三角形傅里葉級(jí)數(shù)。完備的正交函數(shù)集為指數(shù)函數(shù)集時(shí)稱指數(shù)形傅里葉級(jí)數(shù)。周期信號(hào)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件2)f(t)在一周期內(nèi)有有限個(gè)極大值或極小值3)f(t)在一周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)通常遇到的周期信號(hào)都滿足該條件，不在特別說明。5一、三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)

任意周期信號(hào)f（t)在區(qū)間(t0,t0+T)內(nèi)均可以展開成三角函數(shù)空間中的無窮級(jí)數(shù)。67三角形傅里葉級(jí)數(shù)的兩種表示方法a.兩種表示式傅里葉系數(shù)的關(guān)系8b.傅里葉系數(shù)的性質(zhì)9c.基波和諧波的概念10t0T1-T-1111213上式的物理意義：

表明在實(shí)際應(yīng)用中，可以由一個(gè)周期矩形脈沖信號(hào)得到一個(gè)等幅振蕩的正弦信號(hào)。14只取基波：取基波和三次諧波：取一、三、五次諧波：t01-11.099%基波1，31,3,515以上分析可看出1.09t01-19%基波1，31,3,52）頻率低的分量振幅大組成方波的主體，頻率高的分量振幅小，主要影響方波的邊沿，說明邊沿陡峭的波形含高頻分量豐富，邊沿緩慢的波形含低頻分量豐富。3）所含諧波項(xiàng)越多合成波形越與方波接近，合成波形的尖峰越靠近間斷點(diǎn)，但不明顯減小，可以證明n

時(shí)在間斷點(diǎn)處仍有9%的偏差，但尖峰下面面積趨于零，從方均誤差的意義上認(rèn)為與原波形沒有誤差。（吉布斯現(xiàn)象）16二、信號(hào)的對(duì)稱性與傅立葉系數(shù)的關(guān)系

1)f(t)為t的偶函數(shù)f(t)=f(-t)~

波形對(duì)稱于縱坐標(biāo)tf(t)

0f(t)為偶函數(shù)時(shí)展開成傅里葉級(jí)數(shù)后不含正弦項(xiàng)172)f(t)為t的奇函數(shù)f(t)

=f(t)~

波形對(duì)稱于原點(diǎn)tf(t)

0f(t)為奇函數(shù)時(shí)展開成傅里葉級(jí)數(shù)后不含余弦項(xiàng)183)非奇非偶函數(shù)f(t)分解為偶函數(shù)和奇函數(shù)任意信號(hào)f(t)均可寫成偶分量fev(t)奇分量fod(t)f(t)=fev(t)+fod(t)1921tf(-t)

01-11.5tfev(t)01-1tfod(t)01-10.5tf(t)

0121-1例2：求f(t)的偶分量和奇分量注意：某函數(shù)是否為奇（或偶）函數(shù)不僅與周期函數(shù)的波形有關(guān)，而且與時(shí)間坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)。204)f(t)為半波對(duì)稱信號(hào)滿足f(t)

=f(tT/2)時(shí)稱f(t)半波鏡像對(duì)稱信號(hào)（偶諧函數(shù)）tf(t)

0-T/2T/2T215)f(t)為半波鏡像對(duì)稱信號(hào)滿足f(t)

=-f(tT/2)時(shí)稱f(t)半波鏡像對(duì)稱信號(hào)tf(t)

0-T/2T/2f(t)的波形滿足某種對(duì)稱關(guān)系時(shí)，在傅里葉級(jí)數(shù)中某些項(xiàng)將不出現(xiàn)，利用這些特性可簡(jiǎn)化傅里葉系數(shù)的計(jì)算。（奇諧函數(shù)）22三、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)上式即是f(t)的指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)展開式