《電磁場與電磁波》課件-第6章 靜態(tài)場的解

6.1概述6.2鏡像法6.3分離變量法6.4有限差分法6.1概述6.1.1邊值問題及分類靜態(tài)場即靜電場?恒定電流的電場和沒有傳導(dǎo)電流的空間的磁場,這類場的求解問題可總結(jié)為在給定邊界條件下標(biāo)量位函數(shù)和矢量位函數(shù)所滿足的泊松方程或拉普拉斯方程的求解問題,即邊值問題?根據(jù)邊界的已知條件,通常把邊值問題分為以下三類?(3)給定待求位函數(shù)部分場域邊界上的位函數(shù)值和其余場域邊界上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值,即這類問題稱為第三類邊值問題或稱混合邊值問題?因為根據(jù)已知的邊界條件即可確定邊值問題的類型,所以確定邊值問題類型的關(guān)鍵在于正確提出場域的邊界條件?6.1.2唯一性定理在靜電場的很多求解方法中,有一些間接的方法用于求解非常方便?相同的場使用不同的分析方法,其解的形式可能也不相同,但根據(jù)唯一性定理,只要它們滿足相同的邊界條件,這些不同形式的解就是有效的,而且彼此相等?在說明唯一性定理之前,先討論格林定理?1.格林定理唯一性定理的證明需要借助場理論中的一個重要定理:格林定理?格林定理可由散度定理得出?2.唯一性定理唯一性定理是多種方法求解場邊值問題的理論依據(jù)?該定理表明對于任意靜電場,當(dāng)整個邊界上的邊界條件如位函數(shù)(或邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù))已知時,空間各部分的場就被唯一地確定了,與求解它的方法無關(guān),即拉普拉斯方程有唯一的解?下面用反證法證明第一類邊值問題的解具有唯一性?這說明滿足場域邊界條件的拉氏方程的解是唯一的?利用唯一性定理,在求一些較難的場解時,可以采用靈活的方法,甚至猜測解的形式,只要該解能夠滿足給定邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程,這個解就是正確的?6.2鏡像法鏡像法的實(shí)質(zhì)是把實(shí)際上分布均勻的媒質(zhì)看成是完全均勻的,并對于所研究的場域,用閉合邊界外虛設(shè)的較簡單的場源分布代替實(shí)際邊界上復(fù)雜的場源分布來進(jìn)行計算?根據(jù)唯一性定理,只要虛設(shè)的場源與邊界內(nèi)的實(shí)際場源一起產(chǎn)生的場能滿足給定的邊界條件,這個結(jié)果就是正確的?通常稱虛設(shè)的場源為鏡像源,如鏡像電荷?鏡像源的大小和位置就像人照鏡子時看到的自己一樣,鏡子的形狀不同,像也不同?在有源場域中,鏡像法不僅可用于計算場強(qiáng)和電位,也可用于計算靜電力及感應(yīng)電荷的分布等?6.2.1靜電場中的鏡像法在實(shí)際工程中,許多問題可近似為無限大導(dǎo)體平面?導(dǎo)體球?無限長導(dǎo)體等靜電場的邊值問題,這類問題由于分界面電荷分布比較復(fù)雜,所以直接求解比較困難,此時可使用鏡像法,但它只能用于相當(dāng)狹窄的一類問題,并且使用時應(yīng)該注意應(yīng)用區(qū)域?6.2.2電軸法電軸法屬于鏡像法,是工程中常用的一種間接方法?電軸即為鏡像源?平行雙傳輸線是兩平行帶電圓柱導(dǎo)體,在電力工程中經(jīng)常遇到,分析它的電場具有實(shí)際意義?如果運(yùn)用直接方法分析有困難,可以采用間接方法加以解決?6.3分離變量法分離變量法是直接求解偏微分方程的一種方法,適用于無源空間的求解,在解決電磁場實(shí)際工程問題時被更多采用?分離變量法就是把一個多變量的函數(shù)表示成幾個單變量函數(shù)的乘積,使該函數(shù)的偏微分方程可分解為幾個單變量常微分方程的方法?使用分離變量法的條件是:首先,場域邊界面能夠與一個適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)面結(jié)合,或者分段地與坐標(biāo)面結(jié)合;其次,在此坐標(biāo)系中,所求的偏微分方程的解可以表示為3個函數(shù)的乘積,且每個函數(shù)分別僅是一個坐標(biāo)的函數(shù)?分離變量法的一般步驟如下:(1)按照邊界面的形狀,選擇適合的坐標(biāo)系?(2)將待求位函數(shù)用3個僅含一個坐標(biāo)變量的函數(shù)的乘積表示,即將偏微分方程分離為幾個常微分方程?(3)求出常微分方程的通解,然后根據(jù)給定的邊界條件選擇通解的形式,并確定通解中的待定系數(shù)?由于實(shí)際工程中的位函數(shù)大多是二維場或近似二維場,因此下面討論二維場的分離變量法?6.3.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法由于第(2)種和第(3)種情況只能出現(xiàn)一種,所以式(6.3.5)中的第一項和第二項只能取一項?選擇的方法是:如果某一坐標(biāo)對應(yīng)的邊界條件具有周期性,則該坐標(biāo)的分離常數(shù)一定是實(shí)數(shù),其解只能具有三角函數(shù)形式,而不可能是雙曲函數(shù)?確定解的通式后,再根據(jù)給定的邊界條件,通過確定系數(shù)和取舍函數(shù),便可得到位函數(shù)的準(zhǔn)確解答?6.3.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法實(shí)際工程中的同軸線?圓波導(dǎo)等具有圓柱形邊界,對應(yīng)場域也具有圓柱形邊界,都適合應(yīng)用圓柱坐標(biāo)系?6.3.3球坐標(biāo)系中的分離變量法在求解空間場時,如果場域為球形空間或邊界為球面,最好采用球坐標(biāo)?球坐標(biāo)中電位的拉普拉斯方程為6.4有限差分法6.4.1有限差分法概述設(shè)函數(shù)f(x),當(dāng)其獨(dú)立變量x有一個很小的增量h時,相應(yīng)的函數(shù)f(x)的增量為稱之為函數(shù)f(x)的一階差分?因為差分是有限量的差,所以通常被稱為有限差分?有限差分法是基于差分原理的應(yīng)用,將所求場域離散化為網(wǎng)格離散節(jié)點(diǎn)的集合,以各離散點(diǎn)上函數(shù)的差商近似代替該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù),將偏微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)差分方程組的求解問題?應(yīng)用有限差分法的一般步驟如下:(1)將場域按一定方式離散化,即確定離散點(diǎn)的分布方式,也稱場域的網(wǎng)格剖分方式?為簡化所得差分方程,一般離散點(diǎn)分布采用完全有規(guī)則的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),以便在每個離散點(diǎn)上可以得到相同形式的差分方程?其中,正方形網(wǎng)格剖分是最常用的剖分方法,如圖6.4.1所示?根據(jù)實(shí)際問題,也可以采用矩形?正三角形等網(wǎng)格形式?網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),網(wǎng)格線間的距離h稱為步距?(2)構(gòu)造差分方程,即根據(jù)差分原理,對場域內(nèi)的偏微分方程和定解條件進(jìn)行差分離散化?(3)根據(jù)差分方程,選擇合適的代數(shù)方程的解法,求得離散解,更多的是通過編制程序由計算機(jī)來完成?6.4.2二維泊松方程的差分離散化泊松方程實(shí)際上就是偏微分方程,邊值問題的實(shí)質(zhì)是偏微分方程的定解問題?下面根據(jù)正方形網(wǎng)格剖分方法說明二維泊松方程的離散化方法,即與二維泊松方程和拉普拉斯方程對應(yīng)差分方程的建立過程?1.有限差分法的實(shí)質(zhì)2.偏微分方程離散化設(shè)在以正方形網(wǎng)格剖分的二維場域內(nèi),如圖6.4.1所示,電位函數(shù)φ滿足拉普拉斯方程,各邊界上的電位已知?由圖可知,除場域邊界附近的節(jié)點(diǎn)外,位于場域內(nèi)的其他正方形網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)對于與其相鄰的節(jié)點(diǎn)都具有相同的特征,這種特征稱為對稱星形?設(shè)在對稱星形節(jié)點(diǎn)0上的位函數(shù)為φ0=φ(xi,yi),則周圍相鄰節(jié)點(diǎn)1?2?3?4的位函數(shù)可表示為也就是說,節(jié)點(diǎn)0處的位函數(shù)值等于它周圍4個相鄰節(jié)點(diǎn)的位函數(shù)值的平均值,常稱為五點(diǎn)差分格式?6.4.3邊界條件的離散化求解邊值問題,除了對泊松方程離散差分化外,還需要對邊界條件進(jìn)行差分離散化處理?1.第一類邊值問題的邊界條件的差分離散化第一類邊值問題給出的邊界條件是所有場域邊界的位函數(shù)值,即φ(s)=f(s)?具體可分兩種情況?2.第二類邊值問題的邊界條件的差分離散化(2)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)未落在邊界上?若網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)未落在邊界上,如圖6.4.4(b)所示,則對于邊界節(jié)點(diǎn)0′可以用與其鄰近的節(jié)點(diǎn)0來近似表示?取節(jié)點(diǎn)0′處的外法向作為節(jié)點(diǎn)0處的外法向,節(jié)點(diǎn)0仍按上述所示的方法列出差分格式即可?3.第三類邊值問題的邊界條件的差分離散化4.不同媒質(zhì)分界面上邊界條件的差分離散化在實(shí)際工程中,還會出現(xiàn)不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件等問題,不同媒質(zhì)分界面的邊界條件離散化是邊界條件差分離散化的一個重要部分?這里仍以二維場的情況說明其差分格式的構(gòu)造?2)媒質(zhì)分界面與網(wǎng)格對角線重合6.4.4差分方程組的求解當(dāng)原始的偏微分方程近似地用差分方程代替后,就可以通過解差分方程組來求解場域中任意點(diǎn)的位函數(shù)?下面以第一類邊值問題來說明求解的過程?在具體求解時,由于數(shù)值解的精度要求,希望選取的步距h越小越好,而步距的減小會使網(wǎng)格內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)迅速增加,所以對于大型代數(shù)方程組,應(yīng)該根據(jù)其特點(diǎn),尋求合適的代數(shù)解法?1.同步迭代法同步迭代法是最簡單的迭代方式?因差分格式有較高的規(guī)律性和重復(fù)性,所以用迭代法編制的程序比較簡單,存儲量和運(yùn)算量都比較少?同步迭代法的步驟如下:同步迭代法的特點(diǎn)是收斂速度慢,在每個節(jié)點(diǎn)產(chǎn)