《函數(shù)的單調(diào)性和最值》教學設計一

2/2《函數(shù)的單調(diào)性和最值》教學設計一教學設計一、創(chuàng)設情境，引入課題實例：科考隊對沙漠氣候進行科學考察，下圖是某天氣溫隨時間的變化曲線請你根據(jù)曲線圖說說氣溫的變化情況.預設：學生的關注點不同，如氣溫的最值，某時刻的氣溫，某時間段氣溫的升降變化（若學生沒指明時間段，可追問）等.圖象在某區(qū)間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)——單調(diào)性（板書課題）.設計意圖：從科考情境導入新課，了解“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候，直觀形象感知氣溫變化，自然引入函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學模型.如果清楚了函數(shù)的變化規(guī)律，那么就基本把握了相應事物的變化規(guī)律.在事物變化過程中，保持不變的特征就是這個事物的性質(zhì).因此，研究函數(shù)的變化規(guī)律是非常有意義的.觀察下列函數(shù)圖象，請你說說這些函數(shù)有什么變化趨勢.設函數(shù)的定義域為I，區(qū)間在區(qū)間D上，若函數(shù)的圖象（從左向右）總是上升的，即y隨x的增大而增大，則稱函數(shù)在區(qū)間D上是遞增的，區(qū)間D稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.引導學生類比定義“遞減”，接著給出下圖，讓學生準確回答單調(diào)性的變化情況.設計意圖：從圖象直觀感知到文字描述，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認知，明確相關概念，準確表述單調(diào)性.二、引導探索，生成概念問題1：（1）下圖是函數(shù)的圖象（以為例），它在定義域R上是遞增的嗎？（2）函數(shù)在區(qū)間上有何單調(diào)性？預設：學生會不置可否，或者憑感覺猜測，可追問判定依據(jù).設計意圖：函數(shù)圖象雖然直觀，但是缺乏精確性，必須結(jié)合函數(shù)解析式，但僅憑函數(shù)解析式常常也難以判斷其單調(diào)性.借此認知沖突，讓學生意識到學習符號化定義的必要性.問題2：（1）如何用數(shù)學符號描述函數(shù)圖象的“上升”特征，即“y隨x的增大而增大”？以二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為例，用幾何畫板動畫演示“y隨x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一對數(shù)據(jù)）.設計意圖：先借助圖形、動畫和表格等直觀感受“y隨x的增大而增大”，然后讓學生思考、討論得出：若，則必須有.（2）已知，若，則能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？拖動“拖動點”，改變函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可以遞增，可以先增后減，也可以先減后增.（3）已知，若，則能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？拖動“拖動點”，觀察函數(shù)在區(qū)間上的圖象變化.設計意圖：先讓學生討論交流、舉反例，然后借助幾何畫板動態(tài)說明驗證兩個定點不能確定函數(shù)的單調(diào)性，三個點也不行，引導學生過渡到符號化表示，呈現(xiàn)知識的自然生成.（4）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？可先請持贊同觀點的同學說明理由，再請持反對意見的學生進行反駁，然后追問：無數(shù)個x也不能保證函數(shù)遞增，那該怎么辦呢？若學生回答全部取完或任取，追問“總不能一個一個驗證吧？”.緊接著師生一起回顧子集的概念（課件展示教材上子集的定義），再次體驗對“任意一個”進行操作，實現(xiàn)“無限”目標的數(shù)學方法，體會用“任意”來處理“無限”的數(shù)學思想.問題3：如何用數(shù)學語言準確刻畫函數(shù)在區(qū)間D上遞增呢？預設：請學生自愿嘗試概括定義板書“任意，當時，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間D上遞增”，要突出關鍵詞“任意”和“都有”；若缺少關鍵詞“任取”或“任意”，則追問“驗證兩個點就能保證函數(shù)在區(qū)間D上遞增嗎？”.問題4：請你試著用數(shù)學語言定義函數(shù)在區(qū)間D上是遞減的.預設：為表達準確規(guī)范，要求學生先寫下來，然后展示，并有意引導使用“任意，當時，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間D上遞減”，以此打破必須“”的思維定式.抽象概括：設函數(shù)的定義域為D：如果對于任意的，當時，都有，那么就稱函數(shù)是增函數(shù).特別地，當Ⅰ是定義域D上的一個區(qū)間時，也稱函數(shù)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)遞增.如果對于任意的，當時，都有，那么就稱函數(shù)是減函數(shù).特別地，當Ⅰ是定義域D上的一個區(qū)間時，也稱函數(shù)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)遞減.如果函數(shù)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就稱函數(shù)在區(qū)間Ⅰ上具有單調(diào)性.此時，區(qū)間Ⅰ為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.若存在實數(shù)M，對所有的，都有，且存在，使得，則稱M為函數(shù)的最大值.同樣地，可以定義函數(shù)的最小值，函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.三、學以致用，理解感悟判斷題：你認為下列說法是否正確，請說明理由（舉例或者畫圖）（1）設函數(shù)的定義域為，若對任意，都有，則在區(qū)間上遞增.（2）設函數(shù)的定義域為R，若對任意，且，都有，則是遞增的.（3）反比例函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.讓學生分組討論，然后進行展示性回答.若學生認為正確，則要求說明理由；若學生認為錯誤，則要求學生到黑板上畫出反例（3）可追問怎么修改）.通過構造反例，逐步完善和加深對函數(shù)單調(diào)性的理解.例1、設，畫出的圖象，并通過圖象直觀判斷它的單調(diào)性.提出問題：1.你能用幾種方法畫出函數(shù)的圖象？（描點法、平移法）哪種方法更好？讓學生用兩種方法畫出函數(shù)的圖象，體會兩種方法的優(yōu)劣.解：依題意知，其圖象可由的圖象向左平移3個單位長度得到（如圖）該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.2.如果把后面設定的范圍去掉，函數(shù)的定義域是什么？你能畫出它的圖象并直觀判斷它的單調(diào)性嗎？解：函數(shù)的定義域是.其圖象如圖所示.函數(shù)有兩個單調(diào)遞減區(qū)間，分別為，但不能說函數(shù)在定義域上遞減.例2、根據(jù)函數(shù)的圖象直觀判斷的單調(diào)性，并求出最小值.提出問題：1.你能用幾種方法畫出函數(shù)的圖象？方法一：描點法.方法二：先把函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式然后畫出其圖象.方法三：利用圖象變換，先畫出函數(shù)的圖象，然后把x軸下方的部分對稱到x軸的上方.解：函數(shù)可以表示為畫出該函數(shù)的圖象（如圖），由圖象可知該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當時，取得最小值，最小值為0.2.拓展：你能說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？（減區(qū)間為，增區(qū)間為）例3、判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明.提出問題：1.這個函數(shù)是什么函數(shù)類型？（一次函數(shù)）追問：如何判斷一次函數(shù)的單調(diào)性？（方法一：一次項系數(shù)的正負；方法二：利用圖象）2.你能用單調(diào)性的定義證明它的單調(diào)性嗎？教師引導學生分析證明方法并給出規(guī)范板書.解：畫出函數(shù)的圖象（如圖）.由圖象可以看出，函數(shù)在定義域R上可能是減函數(shù).下面利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明這一結(jié)論.任取，且，則.所以，即.由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).通過教師規(guī)范板書本例題，給學生以示范，并給合例題的證明過程，總結(jié)歸納用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）設元（要指出任意性）；（2）作差；（3）變形（因式分解、配方、不等式等）；（4）斷號；（5）定論.例4、判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明.學生結(jié)合例3的示范，獨立完成本例題，教師找兩名學生板演.解：畫出函數(shù)的圖象（如圖）.由圖象可以看出函數(shù)在定義域上可能是增函數(shù).任取，且，則.所以.由，可知，即.由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，函數(shù)在定義域上是增函數(shù).這個證明是在定義域內(nèi)任取，通過計算與的差，得到，從而由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在定義域上是增函數(shù).例5、試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明：任取，且.因為，所以，則，即.這表明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.同理可證，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.思考題：物理學中的玻意耳定律（為正常數(shù)）告訴我們，一定質(zhì)量的某種氣體，在溫度不變的情況下，當其體積V減小時，壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明這個結(jié)論.設計意圖：引導學生用數(shù)學知識解釋其他學科的規(guī)律，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力.四、回顧反思，深化認識課堂小結(jié)：通過本節(jié)課的學習，你的主要收獲有哪些？1.概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.2.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.3.數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、類比等.五、布置作業(yè)1.教材第62頁練習.2.判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性.3.向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多，糖水越甜.請你運用所學的數(shù)學知識解釋這一現(xiàn)象.板書設計3函數(shù)的單調(diào)性和最值一、創(chuàng)設情境，引入課題二、引導探索，生成概念增函數(shù)減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、最值設函數(shù)的定義域為D：如果對于任意的，當時，都有，那么就稱函數(shù)是增函數(shù).特別地，當Ⅰ是定義域D上的一個區(qū)間時，也稱函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.如果對于任意的，當時，都有，那么就稱函數(shù)是減函數(shù).特別地，當Ⅰ是定義域D上的一個區(qū)間時，也稱函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.三、學以致用，理解感悟例1例2例3例4例5四、回顧反思，深化認識五、布置作業(yè)教學研討本案例采用教師啟發(fā)引導，學生探究學習的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法.課堂上使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識.考慮到部分學生數(shù)學基礎較好、思維較為活躍的特點，可以對判斷方法進行適當?shù)难诱?，加深對定義的理解.如何將圖形特征用嚴謹?shù)臄?shù)學語言來刻畫是本節(jié)課的難點之一，另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數(shù)證明，要思考如何讓學生進行嚴格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達.重點是讓學生領會函數(shù)單調(diào)性的實質(zhì)，明確單調(diào)性是一個局部概念，并能利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性.教學設計很有必要從以下幾個方面進行改進：在新授課上，應從學生的已有知