高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第13講專題10-1復(fù)數(shù)模長最值問題

專題101復(fù)數(shù)模長最值問題TOC\o"13"\h\u題型1模長公式法 2題型2數(shù)形結(jié)合法 7◆類型1轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 7◆類型2轉(zhuǎn)化成圓上的點(diǎn)與直線的距離問題 12◆類型3直線相關(guān)問題 13◆類型4轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)距離問題 16◆類型5轉(zhuǎn)化成兩種曲線的距離問題 19題型3三角不等式法 25題型4復(fù)數(shù)的三角形式法 28題型5基本不等式法 31題型6兩個模長和問題 34題型7與向量結(jié)合 39題型8與函數(shù)結(jié)合 42知識點(diǎn)一.復(fù)數(shù)的模模長：復(fù)數(shù)a+bi(a,?b∈R)知識點(diǎn)二.復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)z=a+（2）復(fù)數(shù)z=a+（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)z=a+bi(知識點(diǎn)三.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)z1,z2分別對應(yīng)的向量OZ1,OZ2為鄰邊作平行四邊形OZ題型1模長公式法【例題11】（2021·高一單元測試）若z?1=z【答案】1【分析】設(shè)z=a+bi(【詳解】設(shè)z=a+所以(a?1)2+b所以z?1故當(dāng)b=0時，z故答案為：1.【變式11】1．（2021秋·上海浦東新·高三上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log2(1?2x?1A．1<z<5C．1≤z≤5【答案】B【分析】先求出f(x)的定義域A,然后化簡復(fù)數(shù),把|【詳解】由1?2x?1x+1>0因?yàn)閺?fù)數(shù)z所以|因?yàn)閍∈(?1,2),所以故選：B【變式11】2．（2021春·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z+1=z?1?2i，則使【答案】1【分析】設(shè)z=a+bi【詳解】設(shè)z=a+則a+1+即a+12整理可得：a+所以z2所以當(dāng)a=12時z所以當(dāng)a=12時，z所以z取得最小值的復(fù)數(shù)z=故答案為：12【變式11】3．（2021春·陜西渭南·高二校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且z?2(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)m∈R，z1=m【答案】(1)z(2)2【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義設(shè)出復(fù)數(shù)z的表示形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的分類進(jìn)行求解即可；（2）求出z12，結(jié)合在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在象限，求出【詳解】（1）設(shè)z=bi，b則z?2又∵z?21+i為實(shí)數(shù)，∴b=?2（2）由（1）得z1由題知m2?4<0且?4m又∵z1=m∴24<1z1【變式11】4．（2021春·四川涼山·高二統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)z=(1)若z在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)在直線x?(2)求zi【答案】(1)a(2)3【分析】（1）首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，即可得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，最后代入直線方程，即可求出a；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡zi(1)解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=所以z=?2+2i?ai2+ai+2a+4i=3a?2+(2)解：由zi?2i?7=3所以當(dāng)且僅當(dāng)a=110時取得最小值310【變式11】5．（2021秋·江蘇蘇州·高一?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z(1)若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及z的最小值.【答案】(1)?1;(2)?1,12,【分析】（1）利用純虛數(shù)的定義，實(shí)部為零，虛部不等于零即可得出．（2）利用復(fù)數(shù)模的計算公式、幾何意義即可得出．【詳解】（1）∵z∴m+1=0∴（2）z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為(由題意：m+1>02m?1<0，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是?1,1而|z當(dāng)m=15【變式11】6．（2022春·高一單元測試）已知復(fù)數(shù)z=(2x+a)+(2【答案】f【分析】求得z2=2x+【詳解】z2令t=2x因?yàn)閠=2x+2故22所以z2當(dāng)?a≥2，即a≤?2所以fa當(dāng)?a<2，即a>?2所以fa綜上所述：fa【變式11】7．若復(fù)數(shù)z=3+ai滿足條件|z|<5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

A．(?4,4) B．(?5,5) C．(0,5) D．(?3,3)【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)模長|z|=9+a2【詳解】由題設(shè)，9+a2<5故選：A題型2數(shù)形結(jié)合法◆類型1轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例題21】（2021春·陜西西安·高二西安中學(xué)?？计谥校┤魪?fù)數(shù)z1=1+i,z2=cosA．2 B．2 C．2+1 【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，畫出圖形，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，z2對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，z1對應(yīng)的點(diǎn)為z故選:C【變式21】1．（2021秋·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=x+yi(A．2 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，從而可求出z的最小值.【詳解】因?yàn)閦?4i所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(0,4)為圓心，2為半徑的圓，所以|z故選：A【變式21】2．（2021秋·江蘇蘇州·高一?？计谥校┊?dāng)復(fù)數(shù)z滿足z?3+4i=1時，則A．41+1 B．17+1 C．15+1【答案】B【分析】設(shè)z=x+yix,【詳解】設(shè)z=x+所以，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為x?3圓x?32+y+4z?2=x?22因此，z?2的最大值為3?2故選：B【變式21】3．（2021秋·上海浦東新·高三?？茧A段練習(xí)）已知z∈C，且z+i=3，i【答案】8【分析】z表示以(0,?1)為圓心，3為半徑的圓，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義求解即可.【詳解】解：因?yàn)閦∈C且z所以，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，z表示以(0,?1)為圓心，3為半徑的圓，所以，z?3?3i表示圓上的點(diǎn)和點(diǎn)(3,3)因?yàn)閳A心(0,?1)到點(diǎn)(3,3)的距離為0?32z?3?3i故答案為：8【變式21】4．（2021秋·廣東中山·高二中山一中校考期中）已知復(fù)數(shù)z滿足z=1，則z【答案】2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：∵z∴z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，z?1?i的幾何意義為圓上的點(diǎn)到P如圖，∴zOP?1=故答案為：2?1【變式21】5．（2021秋·山西運(yùn)城·高三山西省新絳中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+1?2i|=1，則【答案】1+5/【分析】設(shè)z=a+bi,【詳解】設(shè)z=a+bi,則a+12+復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)的點(diǎn)a而z表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離，所以z的最大值就是OA+故答案為：1+5【變式21】6．（2021春·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)2?i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P，復(fù)數(shù)z滿足|z?i|=1，則P與z對應(yīng)的點(diǎn)【答案】22+1【分析】求出P點(diǎn)到i對應(yīng)點(diǎn)的距離，再加上半徑1可得．【詳解】由題意復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)是以i對應(yīng)點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，2?i?i=所以PZmax故答案為：22【變式21】7．（2022春·高一單元測試）已知z+1?i=1，求【答案】41+1，【分析】由已知可得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的動點(diǎn)的軌跡，根據(jù)定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最大值為圓心與定點(diǎn)距離加上半徑，最小值為圓心與定點(diǎn)距離減去半徑求解．【詳解】設(shè)ω=z?3+4i所以z+1?i=ω+4?5i所以ω+4?5i=1，即可知ω復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以?4,5為圓心，1為半徑的圓，則ωmax=?4所以z?3+4i的最大值和最小值分別為41+1，故答案為：41+1，41【變式21】8．（2022春·高一單元測試）已知z=1?i(1)若z2+az+b(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1=x+yix【答案】(1)a(2)2【分析】（1）復(fù)數(shù)相等時，則實(shí)部相等，虛部相等；（2）由z1?z【詳解】（1）∵z2+az∴?2i+a?a∴a+b=1?（2）設(shè)z1依題意x+yi∴(x即復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(1,?1)為圓心，以1為半徑的圓．則圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑，dmax◆類型2轉(zhuǎn)化成圓上的點(diǎn)與直線的距離問題【例題22】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1和z2滿足z1+1=z1A．13?1 B．2 C．3 【答案】D【分析】設(shè)z1=a+bi，a,b∈R，復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z1a,b，z2=x+yi，【詳解】解：設(shè)z1=a+bi，a,b∈R，復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z因?yàn)閦1+1=z1所以z1=bi，則Z10,b設(shè)z2=x+yi，x,y∈R，復(fù)數(shù)則z2所以z2?2?3i則Z2在以2,3為圓心，r=1所以z1所以z1?z2=因?yàn)閳A心2,3到y(tǒng)軸的距離d=2，所以z1故選：D【變式22】（2021春·重慶南岸·高二重慶市廣益中學(xué)校校考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z1滿足：z1?2+i1+i=1?i（i（1）求z1（2）求z1?z【答案】（1）22；（2）最小值4，此時復(fù)數(shù)z【分析】（1）由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求得z1（2）由復(fù)數(shù)的幾何意義求解，z1對應(yīng)點(diǎn)P(2,?2)，z2對應(yīng)點(diǎn)在直線y=2上，z1?z2表示點(diǎn)【詳解】（1）∵z∴z∴z（2）復(fù)數(shù)z1=2?2i其對應(yīng)的點(diǎn)為：P2,?2，復(fù)數(shù)z2的虛部為2z1?z2表示點(diǎn)P2,?2到直線l故最小值d=2??2◆類型3直線相關(guān)問題【例題23】（2021春·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足|z+1|=|z?1?2i|，則使A．1+i2 B．1?i2 C．1 【答案】A【分析】根據(jù)第一個條件，可以知道復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)的軌跡，為求模的最小值，即求軌跡上到原點(diǎn)距離的最小的點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)閨z+1|=|z?1?2i|，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)到軌跡即在(?1,0)，(1,2)兩點(diǎn)連線的中垂線上，中垂線的方程為y=?為使|z過原點(diǎn)作OZ垂直于中垂線，垂足為Z，于是Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為所求，可得z=故選：A.【變式23】1．（2021·高二課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足|z?1|=|z?i|（其中【答案】3【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得滿足題意的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)P到復(fù)數(shù)1和i對應(yīng)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)距離相等，即軌跡為線段AB的垂直平分線,則z+2?i【詳解】如圖所示,設(shè)復(fù)數(shù)z，1，i對應(yīng)的點(diǎn)分別為Px,y，A由題意z?1=z?i得由平面幾何知識可求得垂直平分線l的方程為:x?由z+2?i所以z+2?i的最小值即為點(diǎn)C(?2,1)到直線l的距離,則由d=CP=故答案為:32【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義,復(fù)數(shù)模的幾何意義及其運(yùn)算,重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力,屬于中檔題．【變式23】2．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)z滿足z?3i+【答案】9【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義及給定等式的特點(diǎn)，z?3【詳解】由復(fù)數(shù)幾何意義知，在復(fù)平面內(nèi)，z?3i與z而|AB|=13z?1表示定點(diǎn)C(1，0)到動點(diǎn)M的距離，△點(diǎn)C到線段AB上動點(diǎn)M的距離最小值即是AB邊上的高CD，|BC|=3，由所以z?1的最小值是9故答案為：913【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：z,z0是兩個復(fù)數(shù)，|z?◆類型4轉(zhuǎn)化成點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)距離問題【例題24】（2022·江蘇省如皋中學(xué)高三階段練習(xí)）對于給定的復(fù)數(shù)z0，若滿足z?4i+z?z0=2的復(fù)數(shù)A．17?2,17+2C．3?2,3+2【答案】A【解析】根據(jù)條件可得z0?4i<2，即復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點(diǎn)在以0,4為圓心，2為半徑的圓內(nèi)部.z0【詳解】因?yàn)閦?4i+z?z所以z由復(fù)數(shù)的幾何意義可知z0?4i<2表示復(fù)數(shù)z即復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點(diǎn)在以0,4z0?1表示復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點(diǎn)到1,0的距離.如圖，設(shè)AC則AC?2<z故選：A【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義的應(yīng)用，考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用和利用圓的性質(zhì)求范圍，屬于中檔題.【變式24】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足|z?1|+|z+1|=4，則|z|的取值范圍是（

）A．[3,2] B．[1,2] C．[2,3] 【答案】A【分析】復(fù)數(shù)z滿足|z?1|+|z+1|=4，表示橢圓，求出它的長半軸長，短半軸長，可以利用|z|的幾何意義求出它的范圍.【詳解】復(fù)數(shù)|z?1|+|z+1|=4表示復(fù)平面上的點(diǎn)z到1,0和?1,0的距離之和是4的軌跡是橢圓，則a=2,c=1,b=a2?c2故選：A.【變式24】2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（）A．1 B．12 C．2 D．【答案】A【分析】直接利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求出z的軌跡．然后利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】解：∵|Z+∴點(diǎn)Z到點(diǎn)A(0,?1)與到點(diǎn)B(0,1)的距離之和為2．∴點(diǎn)Z的軌跡為線段AB．而|Z+i+1|表示為點(diǎn)Z到點(diǎn)C數(shù)形結(jié)合，得最小距離為1所以|z＋i＋1|min＝1.故選：A【變式24】3．（2021·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)A3,0，又點(diǎn)B在焦點(diǎn)為?1,0點(diǎn)和1,0點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上運(yùn)動，以AB為邊作一正△【答案】以點(diǎn)1,23與點(diǎn)2,【分析】先寫出橢圓的復(fù)數(shù)方程，設(shè)出B，P，A對應(yīng)的復(fù)數(shù)，進(jìn)而得到向量AP，AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)，就把原問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)入關(guān)于復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)了.再由向量的運(yùn)算與復(fù)數(shù)模的幾何意義反演幾何結(jié)論，即可求解【詳解】先寫出橢圓的復(fù)數(shù)方程：z+1并假設(shè)點(diǎn)B對應(yīng)復(fù)數(shù)z0于是向量AP對應(yīng)復(fù)數(shù)z?3，而向量AB對應(yīng)復(fù)數(shù)z如此，就把原問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)入關(guān)于復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)了.接下來，進(jìn)行向量與復(fù)數(shù)的運(yùn)算：AB=因而有z0所以z0由于z0滿足方程zz?3整理得z?最后，根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義反演為幾何結(jié)論可知，P點(diǎn)軌跡為以點(diǎn)1,23與點(diǎn)2,◆類型5轉(zhuǎn)化成兩種曲線的距離問題【例題25】（2022·上海市松江二中高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1+1+z1A．3 B．5 C．25 D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化橢圓與圓上的動點(diǎn)的距離的最大值即可【詳解】復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)分別在?1,0，1,0的橢圓，方程為x復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓心在0,2，半徑為2的圓，方程為xz1?z2即為橢圓x22+y2=1上的點(diǎn)A與圓設(shè)A(2|OC=6?所以|OC|∈[1,3].z故選：B【變式25】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1和z2滿足|z1?8?14i|=5|A．[0,13] B．[3,9] C．[0,10] D．[3,13]【答案】A【分析】設(shè)z1=x+yi,x,y∈R，由z1?8?14i=5z1?4?6i【詳解】設(shè)z1則z1?8?14i=5z1?4?6i表示點(diǎn)(x,y)則(x?8)2化簡得：(x?3)2即復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面對應(yīng)得點(diǎn)為以(3,4)設(shè)z2=m+ni,m,n∈R，因?yàn)閦1?z所以復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面對應(yīng)得點(diǎn)為以(3,4)為圓心，2為半徑的圓即以(3,4)z2表示點(diǎn)(m,n)和原點(diǎn)(0,0)的距離，由圖可知z2的最小為0，最大為故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)得幾何意義，坐標(biāo)化，設(shè)z1=x+yi,x,y∈R，得【變式25】2．（2021春·上海·高二專題練習(xí)）在復(fù)數(shù)列zn中，z1=8+16i，znA．存在點(diǎn)M，對任意的正整數(shù)n，都滿足MB．不存在點(diǎn)M，對任意的正整數(shù)n，都滿足MC．存在無數(shù)個點(diǎn)M，對任意的正整數(shù)n，都滿足MD．存在唯一的點(diǎn)M，對任意的正整數(shù)n，都滿足M【答案】C【分析】由zn+1=i2?z【詳解】因?yàn)閦1=8+16i，故Z18,16Z3?2,?4，對應(yīng)A，MZ1≤10同理MZ2≤10但是Z1Z2=10，故存在唯一的點(diǎn)M0,10但是MZ對應(yīng)B，MZ1≤55表示到以同理MZ2≤55表示到以同理MZ3≤55表示到以但是Z1Z3=55此時MZ2=55，且故存在M3,6，使得M對于C，如圖（3），以Z1,Z2,Z3故此時存在無數(shù)個點(diǎn)M，對任意的正整數(shù)n，都滿足MZ故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法的幾何意義是向量的旋轉(zhuǎn)，而模的范圍則表示圓面，因此根據(jù)圓面的關(guān)系來尋找點(diǎn)M的存在性是關(guān)鍵.【變式25】3．（2023·高一課時練習(xí)）若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足1≤z+1+i≤【答案】3【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)C(?1,?1)的距離d滿足1≤d≤2，z?1?i表示復(fù)數(shù)z【詳解】復(fù)數(shù)z滿足1≤z+1+即復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)C(?1,?1)的距離d滿足設(shè)P(1,1)，z?1?i表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)數(shù)形結(jié)合可知z?1?i的最大值|故答案為：3【變式25】4．（2021春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z1=?1+i,z2=3?i（i是虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z【答案】2【分析】依題意可知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以Z1,Z2為焦點(diǎn)，實(shí)半軸【詳解】因?yàn)閦1=?1+i，z2=3?i，所以復(fù)數(shù)z1,z因?yàn)閦?z1?z?z2=4，故z而z1+z22所以z?z1+z故答案為：2.題型3三角不等式法【例題3】（2021春·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z=2，則z【答案】3【分析】利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可求得z+3?4【詳解】因?yàn)閕2021=i當(dāng)且僅當(dāng)z=?故z+3?4i2021故答案為：3.【變式31】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1，z2和z滿足z1=zA．23 B．3 C．3 【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)的模與加減法的幾何意義，及三角形兩邊之和大于第三邊得到z≤3，再將z=3時各復(fù)數(shù)的取值取出，即可得到【詳解】根據(jù)題意，得z=當(dāng)z1=?1，z2=1，z=3所以zmax故選：B.【變式31】2．（2021春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知點(diǎn)Ps,t，Qu,v，s+t≤2，u2+v2【答案】3【分析】由題意可知，點(diǎn)P在曲線x+y≤2內(nèi)，點(diǎn)Q在圓x2+y2【詳解】由題意知，點(diǎn)P在曲線x+y≤2內(nèi)，點(diǎn)Q由三角不等式得z=當(dāng)點(diǎn)P為正方形的頂點(diǎn)，且點(diǎn)OP、OQ方向相反時，z取最大值3，故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的最值，解題時充分利用三角不等式與數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解，能簡化計算，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.【變式31】3．（2021·全國·高三專題練習(xí)）求證1+sin【答案】證明見解析【分析】由不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到復(fù)數(shù)模的不等式z1+z【詳解】證明：設(shè)z1=1+isinx，z∵z1+z2≥z∴1+【變式31】4．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，證明：tan2【答案】證明見解析【分析】由題意注意到左邊三個根號，尤其根號里面都是平方和的形式，由此構(gòu)造復(fù)數(shù)：z1=tanA+itanB，z2=tan【詳解】i注意到左邊三個根號，尤其根號里面都是平方和的形式，由此構(gòu)造復(fù)數(shù)：z1=tanA+itanBtan==(tan我們知道在銳角三角形ABC中恒有tanA結(jié)合基本不等式可得tan?tanAtan=2(tanA+tanB+tan綜上所述得證.【變式31】5．（2018·高三課時練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z1=x+yi【答案】[【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)乘法以及共軛復(fù)數(shù)概念化簡z12+2z1【詳解】因?yàn)閦所以2xy因?yàn)閦1在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在直線y=x上，所以y因此|z1|z1即|z1【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算、復(fù)數(shù)有關(guān)概念以及復(fù)數(shù)幾何意義及其應(yīng)用，考查基本分析求解能力與簡單應(yīng)用能力.題型4復(fù)數(shù)的三角形式法【例題4】（2021春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ（【答案】3【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式以及三角函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】由題意可得z?2=cosθ由于cosθ∈?1,1，所以5?4cos故z?2故答案為：3【變式41】1．（2022春·高一單元測試）已知復(fù)數(shù)z1，z2，【答案】1【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的三角形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)閦1可設(shè)z1所以：z1所cosα?β=1故答案為：1【變式41】2．（2021秋·北京·高一校考階段練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z?2=2則【答案】7【分析】用代數(shù)形式表示出復(fù)數(shù)z，然后采用三角代換可得最大值.【詳解】設(shè)z=x+yi,設(shè)x=2cosθ=29+12cosθ?16sinθ=故答案為：7【變式41】3．（2021秋·福建三明·高三三明市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)z=11+i【答案】1+【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、模長公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出答案.【詳解】z|z?cosθ+isin故答案為：1+【變式41】4．（2021·高一課時練習(xí)）設(shè)z=a+bi(a,b∈R)【答案】z=32+12i;[0,2]【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和相等復(fù)數(shù)的概念可得a=32b=【詳解】因?yàn)?(a所以6a所以6a=33所以z=所以z?所以z?ω=2?2(因?yàn)?1≤sin(θ?π6)≤1故z=32+1【變式41】5．（多選）（2021·北京·高三?？紡?qiáng)基計劃）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則A．最大值為2 B．最大值為13C．最小值為2 D．最小值為2【答案】BD【分析】設(shè)z=cost+i?sint，利用復(fù)數(shù)的三角形式可得【詳解】cos3=4cos設(shè)z=cost+i?sin故z====16其中x=cos設(shè)右側(cè)根號內(nèi)的函數(shù)為f(x)于是:x?1?1,???221f4↗13↘8↗4因此原式的最大值為13，最小值為26故選：BD.題型5基本不等式法【例題5】（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)z1，zA．最小值為2 B．沒有最小值 C．最大值為2 D．沒有最大值【答案】AD【分析】在復(fù)平面內(nèi)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2,z1【詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)復(fù)數(shù)z1,z因?yàn)閦1所以θ∈0,π所以z=OA2+又由均值不等式有OAOB+OB所以O(shè)AOB+OBOA+2cosθ≥故選：AD.【變式51】1．（2023春·福建·高一福建師大附中?？计谥校┮阎獄為虛數(shù)，若ω=z+(1)求z的實(shí)部的取值范圍；(2)設(shè)μ=1?z【答案】(1)?(2)1【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合基本不等式可得最小值.【詳解】（1）設(shè)z=a則ω=又ω∈R，則所以a2所以ω=2a，即解得?1（2）μ=由（1）得a2+所以μ=所以ω?又?1所以a+1>0所以2a+2+21+a所以ω?即ω?μ2【變式51】2.（2020春·廣東廣州·高二廣州市禺山高級中學(xué)?？计谥校?fù)數(shù)z=x+yi(A．2 B．4 C．82 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義，求出復(fù)數(shù)z滿足的條件，利用基本不等式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵|z∴|x即x2整理得x+2則2x當(dāng)且僅當(dāng)2x=4故2x+4故選：D．【變式51】3．（2021春·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）設(shè)z1是虛數(shù)，z2=（1）求z1（2）若ω=z1【答案】（1）?1,12；（2）【分析】（1）設(shè)z1=a+bi，（a，b∈R，（2）先求出ω=bi【詳解】解：（1）設(shè)z1=a+bi，（則z因?yàn)閦2是實(shí)數(shù)，b所以a2+b由?2<z2≤1所以z1的實(shí)部的取值范圍是?1,（2）ω=z2因?yàn)閍2所以z2因?yàn)閍∈?1,1所以z當(dāng)且僅當(dāng)42+a=2a+2，即a題型6兩個模長和問題【例題6】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z1=?1?i，z【答案】4【分析】根據(jù)題意,將z?z1【詳解】因?yàn)閦1=?1?則z==設(shè)A?1,?3由參數(shù)方程可知,動點(diǎn)P的軌跡方程為x所以z?z1設(shè)直線AB的方程為y=kx+?3=?k+所以直線AB的方程為x圓心0,0到直線AB的距離為d=因?yàn)閐所以直線AB與圓相切,設(shè)切點(diǎn)為M則當(dāng)P與M重合時,AP+所以z=故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義,將模長轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離公式,利用數(shù)形結(jié)合的思想解決最短距離,屬于中檔題．【變式61】1．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z?2=z?1?iA．2 B．5 C．3 D．10【答案】D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得點(diǎn)Z的軌跡方程，然后將z?2i+z轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Z到點(diǎn)【詳解】設(shè)z=x+yi，則Zx,y的軌跡為點(diǎn)2,0和1,1的中垂線，方程為y=x?1，則z?2i+z表示點(diǎn)Z到點(diǎn)A0,2故選：D.【變式61】2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z1,z2,A．217?2 B．25 C．2【答案】A【分析】先求出復(fù)數(shù)z1【詳解】|z1+4?2i|=1,表示z|z2?4i|=1,表示z|z3?1|=|z3|z3?z1|+|z3?先作出點(diǎn)B(0,4)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)D(4,0)，連接AD,與直線y=|z3?故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是能由復(fù)數(shù)方程得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，通過數(shù)形結(jié)合分析得到動點(diǎn)處于何位置時，|z【變式61】3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z?1=z【答案】2【分析】首先求出復(fù)數(shù)z的軌跡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義計算可得；【詳解】解：設(shè)z=x+yix,y∈R，因?yàn)閦?1=z+1+t(t∈R)，所以x顯然當(dāng)1≤?t2≤2，即?4≤故答案為：2【變式61】4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）著名的費(fèi)馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德費(fèi)馬（16011665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小.”費(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對于每個給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，則使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°A．23?2 B．23+2 C．【答案】B【分析】依題意確定出費(fèi)馬點(diǎn)的位置，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，則z?2+依題意結(jié)合對稱性可知△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P位于虛軸的負(fù)半軸上，且∠APB=此時PA+故選：B.題型7與向量結(jié)合【例題7】（2022春·上海閔行·高一上海市七寶中學(xué)校考期末）在△ABC中，BC=4BD，E為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N．設(shè)AB=mAM，【答案】4105【分析】先利用平面向量基本定理及M、E、N三點(diǎn)共線，判斷出38m+18【詳解】在△ABC中，因?yàn)锽C所以AD=又AB=mAM，AC因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以AE=因?yàn)镸、E、N三點(diǎn)共線，所以38m+復(fù)數(shù)z=m+令y=10故當(dāng)m=125