高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修二）第27講612

6.1.2向量的加法6.1.3向量的減法TOC\o"13"\h\z\u題型1向量加法 3◆類型1求作圖形 4◆類型2給定圖形 10◆類型3化簡(jiǎn) 13題型2向量的減法 15◆類型1求作圖形 16◆類型2給定圖形 20◆類型3化簡(jiǎn) 23題型3利用已知向量表示未知向量 25題型4向量的模長(zhǎng) 28◆類型1向量的模長(zhǎng) 28◆類型2模長(zhǎng)取值范圍最值問題 33題型5利用向量證明幾何問題 35題型6向量加減法的幾何意義 39原理已知向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．圖示結(jié)論||a||b||≤|a+b|≤|a|+|b|【拓展】當(dāng)a，b同向時(shí)|a+b|=|a|+|b|；當(dāng)a，b反向時(shí)，|a+b|=|a||b|或|b||a|知識(shí)點(diǎn)一.向量加法的三角形法則知識(shí)點(diǎn)二.平行四邊形法則原理已知兩個(gè)不共線向量，作，則三點(diǎn)不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線．這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則．圖示運(yùn)算律知識(shí)點(diǎn)三.多個(gè)向量相加原理已知個(gè)向量，依次把這個(gè)向量首尾相連，以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做這個(gè)向量的和向量．這個(gè)法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當(dāng)與重合，即一個(gè)圖形為封閉圖形時(shí)，有圖示運(yùn)算律注意：對(duì)于零向量與任一向量a的和有a＋0=0+a=a知識(shí)點(diǎn)四.向量的減法定義（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運(yùn)算給出的．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實(shí)質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．向量減法的三角形法則（1）已知向量，，作，則=,即向量等于終點(diǎn)向量（）減去起點(diǎn)向量（）．利用此方法作圖時(shí)，把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為始點(diǎn)的，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個(gè)向量減去另一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．結(jié)論||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|知識(shí)點(diǎn)五.相反向量定義給定一個(gè)向量，我們把與這個(gè)向量方向相反、大小相等的向量稱為它的相反向量，向量a的相反向量記作a.性質(zhì)（1）零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同，所以0=0；（2）任何一個(gè)向量與它的相反向量的和等于零向量，即a十（一a）=0（3）一個(gè)向量減去另一個(gè)向量，等于第一個(gè)向量加上第二個(gè)向量的相反向量題型1向量加法【方法總結(jié)】三角形法則的使用原則（1）用三角形法則求和必須使兩個(gè)向量“首尾相連”，即前一個(gè)向量的終點(diǎn)與后一個(gè)向量的始點(diǎn)重合，其和是第一個(gè)向量的始點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量．簡(jiǎn)述為“加向量，首尾連；和向量，始點(diǎn)到終點(diǎn)”.（2）對(duì)于零向量與任一向量a的和，有a＋0=0+a=a.【方法總結(jié)】平行四邊形法則的使用原則（1）平行四邊形法則的應(yīng)用前提是兩個(gè)向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量．（2）當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，三角形法則和平行四邊形法則的實(shí)質(zhì)是一樣的，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．但當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，平行四邊形法則便不再適用.（3）向量加法的三角形法則和平行四邊形法則就是向量加法的幾何意義.【方法總結(jié)】多個(gè)向量加法（1）解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法的運(yùn)算律和向量加法法則，注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母排列順序，特別注意勿將0寫成0.（2）運(yùn)用向量加法求和時(shí)，在圖中表示“首尾相接”時(shí)，其和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn).◆類型1求作圖形【例題11】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a、b，用向量加法的平行四邊形法則作出向量a+(1)

(2)

【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四邊形法則可作出向量a+【詳解】（1）解：作OA=a，OB=b，以O(shè)A、OB為鄰邊作則OC即為所求作的向量.

（2）解：作OA=a，OB=b，以O(shè)A、OB為鄰邊作則OC即為所求作的向量.

【變式11】1.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a，b，c，求作a+（1）（2）【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【分析】（1）根據(jù)向量的三角形法則求和（2）平移向量首尾相接，即可由三角形法則求和.【詳解】（1）

由向量加法的三角形法則可得：作圖：（2）作圖：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量加法的三角形法則，屬于中檔題.【變式11】2．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在下列各小題中，已知向量a、b，分別用兩種方法求作向量a+【答案】見解析【解析】將b的起點(diǎn)移到a的終點(diǎn)或?qū)蓚€(gè)向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)A，利用三角形法則或平行四邊形法則作出a+【詳解】將b的起點(diǎn)移到a的終點(diǎn)，再首尾相接，可得a+將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)A，利用平行四邊形法則，以a、b為鄰邊，作出平行四邊形，則過點(diǎn)A的對(duì)角線為向量a+如圖所示，AB=（1）；（2）；（3）；（4）.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量加法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.【變式11】3．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a+

【答案】詳見解析【分析】向量a，b，c不共線中隱含著向量a，b，c均為非零向量，因?yàn)榱阆蛄颗c任何一個(gè)向量都是共線的，利用三角形法則或平行四邊形法則作圖.【詳解】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作AB=a，則AC=a+b，再作CD=

解法二：（平行四邊形法則）因?yàn)橄蛄縜，b，c不共線，如下圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則對(duì)角線OD=再作OC=c，以O(shè)C，OD為鄰邊作平行四邊形OCED，則

【變式11】4.（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a、b，用向量加法的三角形法則作出向量a+(1)

(2)

(3)

【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）（2）（3）利用平面向量加法的三角形法則可作出向量a+【詳解】（1）解：作OA=a，AB=b，

（2）解：作OA=a，AB=b，

（3）解：作OA=a，AB=b，

◆類型2給定圖形【例題12】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，求：(1)a+(2)c+(3)e+(4)c+【答案】(1)DA(2)CB(3)DB(4)CA【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法則直接計(jì)算即可.【詳解】（1）a+（2）c+（3）e+（4）c+【變式12】1.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AD//BC，AC與BD交于點(diǎn)O，則A．CD B．OC C．DA D．CO【答案】B【分析】利用平面向量加法的三角形法則可得結(jié)果.【詳解】OA+故選：B.【變式12】2．（2023下·浙江·高一階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則OA+A．0 B．0 C．AE D．EA【答案】A【解析】根據(jù)向量加法運(yùn)算法則即可求解.【詳解】連接OB.由正六邊形的性質(zhì)，可知△OAB與△OBC都是等邊三角形，∴OA=AB=BC=OC∴四邊形OABC是平行四邊形，∴OA∴OA故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量加法的運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合，屬于容易題.【變式12】3．（2022下·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）如圖為正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則OC+A．OB B．OD C．OF D．OH【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的概念及加法的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由平面向量的運(yùn)算法則，可得OC+故選：A.【變式12】4.（2020·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填一個(gè)向量)：①AB＋DF＝；②AD＋FC＝；③AD＋BC＋FC＝.【答案】ACABAC【解析】根據(jù)四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運(yùn)算法則求解.【詳解】如圖，因?yàn)樗倪呅蜠FCB為平行四邊形，由向量加法的運(yùn)算法則得：①AB＋DF＝AB＋BC＝AC.②AD＋FC＝AD＋DB＝AB.③AD＋BC＋FC＝AD＋DF＋FC＝AC.故答案為：（1）AC（2）AB（3）AC【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的平行四邊形法則運(yùn)算，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.◆類型3化簡(jiǎn)【例題13】化簡(jiǎn)：（1）eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；（2）eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；（3）eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).（4）eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；（5）(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).【答案】（1）eq\o(AC,\s\up10(→))（2）eq\o(AC,\s\up10(→))（3）（4）（5）eq\o(AB,\s\up10(→))【解析】（1）eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).（2）eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).（3）eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝0.（4）eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝0.（5）方法一(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法三(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).【變式13】1.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知a,b,c是非零向量，則a+c+b，b+A．5 B．4C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算律判斷【詳解】因?yàn)橄蛄康募臃M足交換律和結(jié)合律，所以a+c+b，b+a+c，故選：A【變式13】2．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a=AB+①a//b；②a+b=a；③a+正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①⑤ B．②④⑤ C．③⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算可確定a為零向量，由此可判斷得到結(jié)果.【詳解】∵a又b是任一非零向量，∴a//b，a+b=故選：D.【變式13】3．(多選)（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)a→=ABA．a(chǎn)→∥bC．a(chǎn)→+b【答案】AC【分析】先將a→【詳解】由題意，a→故選：AC.【變式13】4.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知下列各式：①AB+BC+CA；②(AB+MB)+BO【答案】①④/④①【分析】利用向量加法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)各項(xiàng)向量的線性表達(dá)式，即可確定結(jié)果是否為0.【詳解】①AB+②(AB③OA+④AB+故答案為：①④.題型2向量的減法【方法總結(jié)】在求作兩個(gè)向量的差向量時(shí)，當(dāng)兩個(gè)向量有共同始點(diǎn)，直接連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，并指向被減向量，就得到兩個(gè)向量的差向量：若兩個(gè)向量的始點(diǎn)不重合，先通過平移使它們的始點(diǎn)重合，再作出差向量◆類型1求作圖形【例題21】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a?

【答案】答案見解析【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算法則及幾何意義作圖即可.【詳解】如圖，作OA=a,OB=再作BC=c，則向量CA即為

【變式21】1.（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量a、b，求作a?(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)平面向量的減法法則可作出向量a?【詳解】（1）解：作OA=a，OB=b，則

（2）解：作OA=a，OB=b，則

（3）解：作OA=a，OB=b，則

（4）解：作OA=a，OB=b，則

【變式21】2．（2022下·安徽蕪湖·高一校考期中）作出以下圖形(1)如圖1，已知向量a，b，(2)如圖2，已知向量a，b，【答案】(1)詳見解答(2)詳見解答【分析】（1）根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則及幾何意義作圖即可（2）根據(jù)向量的減法運(yùn)算法則及幾何意義作圖即可【詳解】（1）如圖所示，在平面中取任意一點(diǎn)O作OA=a（2）如圖所示，在平面中取任意一點(diǎn)O作OA=a【變式21】3.（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=a，OB=b，【答案】答案見解析【分析】以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBDC，連接OD，AD，AD即為所求.【詳解】解：以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBDC，連接OD，AD，所以O(shè)D＝OB＋OC＝b+所以AD＝OD?OA＝【變式21】4.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知向量e1、e(1)?2e(2)2.5e【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）作OA=2e1（2）作OC=2.5e1【詳解】（1）解：作OA=2e1，OB=3e（2）解：作OC=2.5e1，CD=1.5e◆類型2給定圖形【例題22】（2022下·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谥校┫铝邢蛄窟\(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（

）A．a(chǎn)+b+C．a(chǎn)=c?【答案】A【分析】根據(jù)向量加減法的線性運(yùn)算，直接判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，a+對(duì)于B，f?對(duì)于C，c?對(duì)于D，c+故選：A【變式22】1.（2021上·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在五邊形ABCDE中（如圖），下列運(yùn)算結(jié)果為AD的是（

）A．AB+BC?C．BC→?DC【答案】A【分析】對(duì)各選項(xiàng)按向量加法、減法運(yùn)算法則進(jìn)行向量加減運(yùn)算即可判斷作答.【詳解】A，AB+B，AB+C，BC?D，AE→故選：A.【變式22】2.（多選）（2021下·海南·高一校考階段練習(xí)）在五邊形ABCDE中(如圖)，下列運(yùn)算結(jié)果為AD的是（

）A．AB+BC?C．BC?DC 【答案】AB【分析】對(duì)各選項(xiàng)按向量加法、減法運(yùn)算法則進(jìn)行向量加減運(yùn)算即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，AB+對(duì)于B，AE+對(duì)于C，BC?對(duì)于D，AE?故選：AB◆類型3化簡(jiǎn)【例題23】（2023下·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）下列向量的運(yùn)算結(jié)果不正確的是（

）A．ABB．ABC．OAD．AB【答案】B【分析】根據(jù)向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，AB+對(duì)于B，AB?對(duì)于C，OA?對(duì)于D，AB?故選：B【變式23】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列各式：①AB+CA+BC，②AB?CD+BD?A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于①，AB+對(duì)于②，AB?對(duì)于③，AD?對(duì)于④，NQ?所以其化簡(jiǎn)結(jié)果為0→故選：A【變式23】2.（多選）（2023下·云南普洱·高一校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)以下各式：①AB+BC+CA；②AB?AC+A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于①，AB+BC+對(duì)于②，AB?AC+對(duì)于③，OA+OD+對(duì)于④，NQ+QP+故選：ABD【變式23】3.（多選）（2022下·河北衡水·高一河北武強(qiáng)中學(xué)?？计谥校┗?jiǎn)以下各式，結(jié)果為0的有（

）A．AB+BC+C．OA?OD+【答案】ABC【分析】根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算逐個(gè)判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，AB+BC+對(duì)于B，AB?AC+BD?對(duì)于C，OA?OD+AD對(duì)于D，NQ+QP+NM?MP故選：ABC.【變式23】4.（多選）（2022下·新疆喀什·高一新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各式中結(jié)果為零向量的為（

）A．AB+BC+C．AB?AC+【答案】AC【分析】由向量加法和減法的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】解：對(duì)A：AB+對(duì)B：AB+對(duì)C：AB?對(duì)D：OA+故選：AC.題型3利用已知向量表示未知向量【例題3】（2021下·安徽滁州·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，解答下列各題：(1)用a，d，(2)用b，c表示(3)用a，b，(4)用c，d表示【答案】(1)DB(2)DB(3)EC(4)EC【分析】（1）（2）（3）（4）依據(jù)向量加法法則去求解即可解決；【詳解】（1）DB=（2）DB=（3）EC=（4）EC=【變式31】1.（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)M是△ABC中BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)AB=a,AC=【答案】1【分析】由向量的加法運(yùn)算法則可以直接求出結(jié)果.【詳解】由向量的加法運(yùn)算法則得AM=故答案為：1【變式31】2.（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在△MAB中，C是邊AB上的一點(diǎn)，且AC＝5CB，設(shè)MA=a,MB=b,則【答案】1【分析】利用向量的加減法運(yùn)算求解即可【詳解】MC=故答案為：1【變式31】3.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M為BC的中點(diǎn)，求MN(用a，b表示).【答案】MN=【分析】在平行四邊形ABCD中利用向量加減法的定義進(jìn)行線性運(yùn)算，即得結(jié)果.【詳解】（法一）如圖所示，在?ABCD中，AC交BD于O點(diǎn)，則O平分AC和BD，∵AN＝3NC，∴NC=∴N為OC的中點(diǎn)，又M為BC的中點(diǎn)，∴MN//BO且MN=12∴MN＝12（法二）MN=【變式31】4.（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，試用AB，AC表示AD.【答案】AD【分析】連接CD，OD，用平面幾何知識(shí)得到四邊形ACDO為平行四邊形，再利用平面向量的加法運(yùn)算求解.【詳解】解：連接CD，OD，如圖所示．∵點(diǎn)C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝13∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，∴四邊形ACDO為平行四邊形，∴AD=題型4向量的模長(zhǎng)◆類型1向量的模長(zhǎng)【例題41】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=5,BC=2，則向量AB【答案】6【分析】矩形ABCD中，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則可知AB+AD=AC，則向量AB+【詳解】因?yàn)锳B+所以AB+AD+AC的長(zhǎng)度為所以向量AB+AD+故答案為：6.【變式41】1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，則|a－b|＝．【答案】2【分析】由題意向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，可得a=?b，【詳解】解：由已知得：向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，∴a=?∴|故答案：2【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模及相反向量的定義，得出a=-【變式41】2．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則AB+【答案】2【分析】利用向量的運(yùn)算法則和模的計(jì)算公式即可得出．【詳解】解：解：如圖所示：∵AB+BC=∴AB+故答案為：22【變式41】3.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，AB=a，BC=(1)a+(2)a【答案】(1)做圖見解析，22；(2)做圖見解析，2.【分析】根據(jù)平面向量加法和減法的幾何意義對(duì)（1）（2）進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）a+又AC=c，使|CE=則a+b+所以a（2）作BF=則DB+而DB=所以a?b+所以a?【變式41】4.（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）已知非零向量a,b滿足a=7+1，b【答案】|【解析】利用勾股定理可得ΔOAB是以∠AOB為直角的直角三角形，再根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，從而可求得答案.【詳解】如圖，OA=a，OB=以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則OC=由于(7故|OA所以ΔOAB是以∠AOB為直角的直角三角形，從而OA⊥OB，所以?OACB根據(jù)矩形的對(duì)角線相等有|OC|=|BA【點(diǎn)睛】本題考查向量加法與減法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，求解時(shí)注意勾股定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.【變式41】5．(多選)（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，則以下說法正確的是（

）A．與AB相等的向量(不含AB)只有一個(gè)B．與AB的模相等的向量(不含AB)有9個(gè)C．BD的模是DA的模的3倍D．CB與DA不共線【答案】ABC【分析】根據(jù)向量及相等向量的概念，以及向量模的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)锳B=DC，所以與AB相等的向量只有與向量AB的模相等的向量有：DA,在直角△AOD中，因?yàn)椤螦DO=30°，所以DO=所以C正確；因?yàn)镃B=DA，所以CB與故選：ABC.◆類型2模長(zhǎng)取值范圍最值問題【方法總結(jié)】|–|、||–||、||+||三者的大小關(guān)系（1）當(dāng)向量與共線時(shí)，當(dāng)兩非零向量與同向時(shí)，|–|=||–||<||+||；當(dāng)兩非零向量與反向時(shí)，|–b|=||+||>||–||；當(dāng)與中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，|–b|=||–||=||+||．（2）當(dāng)兩非零向量與不共線時(shí)，如在△ABC中，AC=，AB=，則BC=AC–AB=–，根據(jù)三角形中任意兩邊之差總小于第三邊，任意兩邊之和總大于第三邊，可得|||–|||<|–|<||+||．綜合可知，對(duì)任意的向量與都有|||–|||≤|–|≤||+||．只當(dāng)與同向或與中至少有一個(gè)為零向量時(shí)|||–|||≤|–|中的等號(hào)成立；當(dāng)與反向或與中至少有一個(gè)為零向量時(shí)|–|≤||+||中的等號(hào)成立．【例題42】（2021上·高一專題）已知|a|=6，|【答案】[2,10]【分析】根據(jù)向量的三角形不等式可得.【詳解】解：∵a=6∴∴即a故答案為：2,10【點(diǎn)睛】本題考查向量的三角形不等式，屬于基礎(chǔ)題.【變式42】1.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=1，b=2，則【答案】2【分析】根據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)可得a+【詳解】因?yàn)閍=1，b=2，所以當(dāng)且僅當(dāng)a+b=故答案為：25【變式42】2．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）填空：（1）若a,b滿足a=2,b=3（2）當(dāng)非零向量a,b滿足時(shí)，a+b平分a與【答案】51a【解析】利用a?【詳解】（1）a+b≤a+∴又a+b≥a?∴a（2）當(dāng)a=b時(shí)，a+b為以a,b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線，此時(shí)的平行四邊形為菱形，對(duì)角線恰好平分答案：（1）5，1;（2）a【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.【變式42】3．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）若向量a，b滿足|a|=6，|b【答案】最大值是18，最小值是6.【分析】根據(jù)向量的三角不等式即可求解.【詳解】因?yàn)閨a|=6，所以|a+b|≤|a|a+b|≥||a所以|a【變式42】4．如圖所示，單位圓上有動(dòng)點(diǎn)A，B，當(dāng)OA-OB取得最大值時(shí)，A．0 B．-1 C．1 D．2【答案】D【分析】由題可得|OA-OB【詳解】因?yàn)閨OA所以O(shè)A-OB的最大值為2，此時(shí)OA與故選：D.題型5利用向量證明幾何問題【方法總結(jié)】用向量證明幾何問題的一般步驟：要把幾何問題中的邊轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的向量.（2）通過向量的運(yùn)算及其幾何意義得到向量間的關(guān)系.【例題5】（2023·高一單元測(cè)試）如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且BP+CQ=【答案】證明見解析【分析】表示出AP，AQ，相加結(jié)合已知，即可得出證明.【詳解】因?yàn)锳P=AQ=所以AP+又因?yàn)锽P+CQ=【變式51】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知M，N分別是四邊形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，求證：MN=【答案】證明過程見詳解【分析】把MN運(yùn)用不同的加法表示出來，MN=MA+【詳解】∵M(jìn)N=MN=MB∴①+②,得2MN∵M(jìn),N分別是AB,CD的中點(diǎn),∴MA∴2MN【變式51】2.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是?ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，AB=a，DA=b