浙江省杭州市某校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（實驗班）試題

2027屆高一實驗班第一學(xué)期數(shù)學(xué)月考3時間：120分鐘滿分：150分學(xué)號2027姓名____________一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，若集合，則的值為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由集合相等與集合中元素的互異性求出參數(shù)的值，進(jìn)而求出即可.【詳解】，，，，即，，當(dāng)時，或，當(dāng)時，即得集合，不符合元素的互異性，故舍去，當(dāng)時，，即得集合，不符合元素的互異性，故舍去，綜上，，，，故選：B.2.已知，則（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出．【詳解】因為，，即，所以．故選：C.3.已知向量，若與垂直，則實數(shù)（）A.或7 B.或2 C.或2 D.【答案】C【解析】【分析】確定，，根據(jù)垂直得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】，則，，與垂直，則，解得或.故選：C4.函數(shù)的部分圖象形狀大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)解析式可判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用特殊值的符號通過排除法即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，定義域為，而，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，可排除CD；根據(jù)圖象可利用可排除B.故選：A5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則=A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，因此，選C.6.將一直徑為的圓形木板，截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理得，進(jìn)而由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】如圖：不妨設(shè),則,由正弦定理可得,在三角形中，由余弦定理可得,由于,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，在中，,由余弦定理可得,由于,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故這塊四邊形的周長，所以這塊四邊形木板周長最大值為.故選：D7.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，所以，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，則的圖象如圖：在區(qū)間上為減函數(shù)，若，即，又由，且，必有時，，解得，因此不等式的解集是，故選：C【點睛】本題考查了已知函數(shù)奇偶性求解不等式問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)運算能力.8.已知函數(shù)，若在內(nèi)的兩個根為，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的圖象對稱軸，確定的關(guān)系，再結(jié)合誘導(dǎo)公式、同角公式求解作答.【詳解】由，得，則的圖象關(guān)于對稱，而函數(shù)的周期，區(qū)間長度不超過，于是，即，則，而顯然，即有，又，因此，所以．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.設(shè)，，則“”是“”的必要不充分條件B.“”是“二次方程有兩個不等實根”的充分不必要條件C.設(shè)的內(nèi)角，，所對邊分別為，，，則“”是“”的充要條件D.設(shè)平面四邊形的對角線分別為，，則“四邊形為矩形”是“”的既不充分也不必要條件【答案】ABC【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】A.令，滿足，而，不充分；若，當(dāng)時，則，當(dāng)時，因為，則，所以必要，故正確；B.當(dāng)時，，方程有兩個不等實根，故充分；當(dāng)方程方程有兩個不等實根時，，則，故不必要，故正確；C.在中，大角對大邊，大邊對大角，所以“”是“”的充要條件，故正確；D.若四邊形為矩形時，則，所以充分，故錯誤；故選：ABC10.若實數(shù)m，，滿足，以下選項中正確的有（）A.mn的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.最小值為【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式解決條件的最值問題求解和為定值或乘積為定值.【詳解】解：對于A，由m，，得，又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以mn最大值為，選項A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為，選項B錯誤；對于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，又m，，所以，選項C錯誤；對于D，由m，，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為，選項D正確．故選：AD．11.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的取值范圍為C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理將邊化角，由兩角和的正弦公式可得，即可判斷A，再根據(jù)三角形為銳角三角形，即可求出角的范圍，從而判斷B，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷C、D；【詳解】解：因為，又由余弦定理，即，所以，所以，即，由正弦定理可得，又，，即，，，，為銳角，，即，故選項A正確；，，，故選項B錯誤；，故選項C正確；，又，，令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，又，，，故選項D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為，則的值為__________．【答案】1【解析】【分析】將所給函數(shù)分離常數(shù)，根據(jù)奇偶性，可求得M+N=2，代入所求關(guān)系式即可.【詳解】由題意知，，設(shè)，則，因為，所以為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以．故答案為：1.13.已知的角，，所對的邊分別是，，，且，若的外接圓半徑為，則面積的最大值為__________．【答案】【解析】【詳解】∵，即，∴．∴．又的外接圓半徑為，∴．由余弦定理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．∴故答案為：點睛：解三角形時，余弦定理、三角形的面積公式經(jīng)常結(jié)合在一起考查，解題時要注意公式的變形，如，經(jīng)過變形便出現(xiàn)了和的形式，為整體代換創(chuàng)造了條件．另外對于三角形面積最值的問題要注意基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)便可得到的最大值，然后根據(jù)面積公式求解即可，不過解題時要注意不等式中等號成立的條件．14.在中，在的三邊上運動，是外接圓的直徑，若，，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)外接圓圓心為，半徑為，利用平面向量的線性運算與數(shù)量積可得，再結(jié)合圓的幾何性質(zhì)確定其最大最小值可得結(jié)論.【詳解】設(shè)外接圓圓心為，半徑為，由余弦定理有，所以，由正弦定理有，即，，設(shè)到三邊，，的距離分別為，則，，.所以的最小值為，最大值為，即的最小值為，最大值為，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的值域；（2）若對，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域即可解決；（2）分離參數(shù)后，再構(gòu)造函數(shù)，并求其值域，即可解決.【小問1詳解】令，當(dāng)時，，則可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上的值域為.【小問2詳解】令，當(dāng)時，，則關(guān)于x的不等式對恒成立，可化為對恒成立，所以，即，又在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上的最大值為.因此實數(shù)m的取值范圍為.16.已知向量，滿足，且.（1）試用表示，并求出的最大值及此時與的夾角的值.（2）當(dāng)，取得最大值時，求實數(shù)，使的值最小，并對這一結(jié)果做出幾何解釋.【答案】（1），最大值為，；（2），幾何解釋見解析.【解析】【分析】（1）由，得到，整理得，再結(jié)合基本不等式和向量的夾角公式，即可求解.（2）由（2）知的最大值為，化簡，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得取得最小值，再根據(jù)向量的線性運算，即可求得幾何解釋.【詳解】（1）由題意，向量，滿足，且，可得，整理得，即，可得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以最大值為，又由，所以.（2）由（2）知的最大值為，所以，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為,這一結(jié)果的幾何解釋：平行四邊形中，，當(dāng)且僅當(dāng)時，對角線最短為.【點睛】對于向量的數(shù)量積和向量的模的運算方法：1、定義法：已知或可求得兩個向量的模和夾角；2、基底法：直接利用定義法求得數(shù)量積不可行時，可選取合適的一組基底，利用平面向量的基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別表示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義求解；3、坐標(biāo)法：已知條件中（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求解數(shù)量積；4、利用及，把向量模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算；5、利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.17.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角變換與三角函數(shù)的和差公式求解即可；（2）法一：利用正弦定理邊角變換與三角函數(shù)的和差公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解；法二：利用余弦定理與基本不等式即可得解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，又，所以，又，所以，而，所以.【小問2詳解】法一：因為，所以，因為，所以當(dāng)，即時，的最大值為1，故的最小值為.法二：因為，，所以，又因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，故的最小值為.18.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若的面積為，求；（3）若，當(dāng)角最大時，求的面積【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合得到，推導(dǎo)出；（2）方法：由三角形的面積可得，結(jié)合正弦定理和三角恒等變換可得，結(jié)合（1）可求；方法：同方法1可得，結(jié)合（1），可得，進(jìn)而可得，結(jié)合（1）可得，可求；（3）方法一：由余弦定理可得，可得，利用基本不等式可求的最大值，進(jìn)而可求；方法二：結(jié)合（1）可得，結(jié)合基本不等式求出的最大值，進(jìn)而可求.【小問1詳解】，由正弦定理可得：，，，兩邊同時除以，可得：.【小問2詳解】方法1：，則，結(jié)合正弦定理得，，即，則，所以，即，解得，又，所以.方法2：同方法可得，由（1）可得，所以，即，又，所以，解得，，所以.【小問3詳解】方法1：，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時取到最大值，，當(dāng)最大時，.方法2：由（1）知，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“=”，此時，則，.19.對于四個正數(shù)，如果，那么稱是的"下位序列"（1）對于，試求的"下位序列";（2）設(shè)均為正數(shù)，且是的"下位序列"，試判斷：之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)正整數(shù)滿足條件：對集合內(nèi)的每個，總存在正整數(shù)，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2），證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由“下位序列”的定義，代入計算