江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

南通市2018屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)Ⅰ一、選擇題：本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合，.若，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】1【解析】因?yàn)?，所?.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為_________.【答案】【解析】，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為3.已知某校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別為，，.為了解該校學(xué)生的身高情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級的學(xué)生中抽取容量為的樣本，則應(yīng)從高三年級抽取_________名學(xué)生.【答案】25【解析】由分層抽樣得應(yīng)從高三年級抽取名學(xué)生4.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為_________.【答案】10【解析】執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出5.某同學(xué)欲從數(shù)學(xué)建模、航模制作、程序設(shè)計(jì)和機(jī)器人制作個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選擇個(gè)，則數(shù)學(xué)建模社團(tuán)被選中的概率為_________.【答案】【解析】從個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選擇個(gè)，有6種選法，其中數(shù)學(xué)建模社團(tuán)被選中的選法有3種選法，所以概率為6.若實(shí)數(shù)滿足則的最大值為________.【答案】5【解析】作可行域，如圖，則直線過點(diǎn)A(4,3)時(shí)z取最大值5點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為________.【答案】【解析】,雙曲線的漸近線為，距離為8.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則的值為_________.【答案】【解析】由得9.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度.若平移后得到的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_________.【答案】【解析】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得，因?yàn)檫^坐標(biāo)原點(diǎn)，所以點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).10.若曲線在與處的切線互相垂直，則正數(shù)的值為_________.【答案】【解析】因?yàn)椋?................................11.如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛胚是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知正六棱柱的底面邊長、高都為，圓柱的底面積為.若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長為_________.（不計(jì)損耗）【答案】【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，則12.如圖，已知矩形的邊長，.點(diǎn)，分別在邊，上，且，則的最小值為_________.【答案】【解析】以A坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線為x,y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)所以因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以因此點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，從直線上一點(diǎn)向圓引兩條切線，，切點(diǎn)分別為，.設(shè)線段的中點(diǎn)為，則線段長的最大值為_________.【答案】【解析】由射影定理得設(shè)因?yàn)?，所以所以因此線段長的最大值為點(diǎn)睛：求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．④代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．14.已知函數(shù).若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】令當(dāng)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，需當(dāng)時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，，所以函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，舍；當(dāng)時(shí)，由于所以，且，所以綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是點(diǎn)睛：對于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．三、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在三棱錐中，，，是的中點(diǎn).點(diǎn)在棱上，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）由等腰三角形性質(zhì)得，再由已知，以及線面垂直判定定理得平面.最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論試題解析：（1）在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）在中，，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面，平面，，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?16.在中，角，，所對的邊分別是，，，且，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)余弦定理得.再根據(jù)正弦定理得（2）根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系得，再根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系以及兩角差余弦公式得結(jié)果試題解析：（1）在中，根據(jù)余弦定理及得，.又因?yàn)椋?在中，由正弦定理得，.（2）因?yàn)?，所以，即?又，所以.在中，，所以.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，兩條準(zhǔn)線之間的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)在圓上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且的面積是的面積的倍，求直線的方程.【答案】（1）（2），【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩條準(zhǔn)線之間的距離為，聯(lián)立離心率條件解得，，.（2）由面積關(guān)系得M為AB中點(diǎn)，由直線AB點(diǎn)斜式方程與橢圓方程聯(lián)立解得B坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M坐標(biāo)，代入圓方程解得直線AB斜率試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意得，，解得，，所以.所以橢圓的方程為.（2）方法一：因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).因?yàn)闄E圓的方程為，所以.設(shè)，則.所以①，②，由①②得，解得，（舍去）.把代入①，得，所以，因此，直線的方程為即，.方法二：因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).設(shè)直線的方程為.由得，所以，解得，所以，，代入得，化簡得，即，解得，所以，直線的方程為即，.18.如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的條直道，，將廣場分割為個(gè)區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點(diǎn)在半圓弧上，分別與，相交于點(diǎn)，.（道路寬度忽略不計(jì)）（1）若經(jīng)過圓心，求點(diǎn)到的距離；（2）設(shè)，.①試用表示的長度；②當(dāng)為何值時(shí)，綠化區(qū)域面積之和最大.【答案】（1）（2）①最小值為②當(dāng)時(shí)，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大【解析】試題分析：（1）先建立直角坐標(biāo)系，聯(lián)立直線OB方程與圓方程解得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，即得點(diǎn)到的距離；（2）①先求點(diǎn)到的距離為，再根據(jù)三角形相似得的長度；②根據(jù)三角形面積公式求三個(gè)三角形面積，再用總面積相減得綠化區(qū)域面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值試題解析：以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.（1）直線的方程為，半圓的方程為，由得.所以，點(diǎn)到的距離為.（2）①由題意，得.直線的方程為，令，得.直線的方程為，令，得.所以，的長度為，.②區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為，區(qū)域Ⅱ的面積為，所以.設(shè)，則，..當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.答：當(dāng)時(shí)，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大.19.已知函數(shù)有極值，且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值）（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最小值為，證明：.【答案】（1），（2）見解析【解析】試題分析：（1）先分別求兩函數(shù)極值點(diǎn)，再根據(jù)條件得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；最后求自變量取值范圍（2）先研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況，僅有一個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定最小值，最后再利用導(dǎo)數(shù)求最小值函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明不等式試題解析：（1）因?yàn)?，令，解?列表如下.極小值所以時(shí)，取得極小值.因?yàn)?，由題意可知，且所以，化簡得，由，得.所以，.（2）因?yàn)?，所以記，則，令，解得.列表如下.極小值所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，此時(shí)，.令，解得.列表如下.極小值所以時(shí)，取得極小值，也是最小值.所以.令，則，記，，則，.因?yàn)椋?，所以，所以單調(diào)遞增.所以，所以.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).20.若數(shù)列同時(shí)滿足：①對于任意的正整數(shù)，恒成立；②對于給定的正整數(shù)，對于任意的正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）已知數(shù)列是“數(shù)列”，且存在整數(shù)，使得，，，成等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】（1）是（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義驗(yàn)證兩個(gè)條件是否成立，由于函數(shù)為分段函數(shù)，所以分奇偶分別驗(yàn)證（2）根據(jù)定義數(shù)列隔項(xiàng)成等差，再根據(jù)單調(diào)性確定公差相等，最后求各項(xiàng)通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)關(guān)系得數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列證結(jié)論試題解析：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以..當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以..所以，數(shù)列是“數(shù)列”.（2）由題意可得：，則數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，數(shù)列，，，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.因?yàn)?，所以，所以，所以①，?若，則當(dāng)時(shí)，①不成立；若，則當(dāng)時(shí)，②不成立；若，則①和②都成立，所以.同理得：，所以，記.設(shè)，則.同理可得：，所以.所以是等差數(shù)列.【另解】，，，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以，數(shù)列是等差數(shù)列.21.已知，，求的最小值.【答案】8【解析】試題分析：根據(jù)基本不等式得，，再兩式相加即得.即可得最小值試題解析：因?yàn)?，，所以?兩式相加：，所以.當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)“”成立.即時(shí)，取得最小值.22.如圖，在四棱錐中，，，兩兩垂直，，且，.（1）求二面角的余弦值；（2）已知點(diǎn)為線段上異于的點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得各面法向量，利用向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求結(jié)果（2）設(shè)，根據(jù)向量坐標(biāo)表示距離，再根據(jù)距離相等解得，即為的值.試題解析：以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，（1）由題意可知，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，.所以.平面的法向量為，所以，所以二面角的余弦值.（2）由題意可知，，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，化簡得，所以?又因?yàn)辄c(diǎn)異于點(diǎn)，所以.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)