北京市朝陽(yáng)區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題

北京市朝陽(yáng)區(qū)20172018學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷（文史類(lèi)）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則是A.B.C.D.【答案】C【解析】選C2.已知為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則=A.B.C.D.【答案】B【解析】選B3.某便利店記錄了100天某商品的日需求量（單位：件），整理得下表：日需求量n1415161820頻率0．10．20．30．20．2試估計(jì)該商品日平均需求量為A.B.C.D.【答案】D【解析】估計(jì)該商品日平均需求量為選D4.“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由或此時(shí)；但當(dāng)不一定得到，故“”是“”的充分而不必要條件選A5.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在內(nèi)是減函數(shù)的是①②③④A.①③B.①④C.②③D.③④【答案】A【解析】①是奇函數(shù)且在內(nèi)是減函數(shù)②為偶函數(shù)；③是奇函數(shù)且在內(nèi)是減函數(shù)④是奇函數(shù)且在內(nèi)是增函數(shù)故選A6.某四棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該四棱錐的體積為A.B.C.D.【答案】B【解析】由三視圖可知，該四棱錐的底面積為6，高為2，故其體積選B7.阿波羅尼斯（約公元前262190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，距離之比為，當(dāng)不共線時(shí)，面積的最大值是A.B.C.D.【答案】A【解析】如圖，以經(jīng)過(guò)的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系；則：設(shè)，兩邊平方并整理得：，．面積的最大值是選A8.如圖，為等邊三角形，四邊形為正方形，平面平面．若點(diǎn)為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部的軌跡為A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.一段圓弧D.一條線段【答案】D【解析】在空間中，存在過(guò)線段中點(diǎn)且垂直線段的平面，平面上點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等，記此平面為，平面與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．故點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部的軌跡為一條線段選A．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在答題卡上．9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為_(kāi)__________.【答案】48【解析】第1次運(yùn)行，成立第2次運(yùn)行，成立第3次運(yùn)行，成立第3次運(yùn)行，不成立，故輸出的值為4810.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，一條漸近線方程為，則雙曲線的方程是________．【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，所以，所以，

所以雙曲線方程為．11.已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，則________．【答案】2【解析】由題意12.若變量x，y滿(mǎn)足約束條件則的最小值為_(kāi)_______．【答案】8【解析】畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示，根據(jù)題意，的最小值為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的最小值，由圖可知即原點(diǎn)到直線的距離的平方，即即答案為813.高斯說(shuō)過(guò)，他希望能夠借助幾何直觀來(lái)了解自然界的基本問(wèn)題．一位同學(xué)受到啟發(fā)，按以下步驟給出了柯西不等式的“圖形證明”：（1）左圖矩形中白色區(qū)域面積等于右圖矩形中白色區(qū)域面積；（2）左圖陰影區(qū)域面積用表示為_(kāi)_________；（3）右圖中陰影區(qū)域的面積為；（4）則柯西不等式用字母可以表示為．請(qǐng)簡(jiǎn)單表述由步驟（3）到步驟（4）的推導(dǎo)過(guò)程：_______________．【答案】(1).(2).（1）兩圖中的陰影部分面積相等；（2）.【解析】（2）左圖陰影區(qū)域面積用表示為兩個(gè)矩形面積之和；因?yàn)閮蓤D中的陰影部分面積相等即兩邊同時(shí)平方得14.如圖，一位同學(xué)從處觀測(cè)塔頂及旗桿頂，得仰角分別為和.后退(單位m)至點(diǎn)處再觀測(cè)塔頂，仰角變?yōu)樵瓉?lái)的一半，設(shè)塔和旗桿都垂直于地面，且，，三點(diǎn)在同一條水平線上，則塔的高為_(kāi)_____m；旗桿的高為_(kāi)_____m.（用含有和的式子表示）【答案】(1).(2).【解析】設(shè)在中，在中，，，即為等腰三角形，在中，則【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．15.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求出的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．根據(jù)討論的值域，可知其最小值為0，即當(dāng)時(shí)，．試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?所以函數(shù)的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)即時(shí)，取得最小值．所以當(dāng)時(shí)，.16.已知由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列滿(mǎn)足，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（Ⅰ）由題可得.由此解得，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知或，分情況討論即可得到試題解析：（Ⅰ）由可得.由數(shù)列各項(xiàng)為實(shí)數(shù)，解得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.17.2017年，世界乒乓球錦標(biāo)賽在德國(guó)的杜賽爾多夫舉行．整個(gè)比賽精彩紛呈，參賽選手展現(xiàn)出很高的競(jìng)技水平，為觀眾奉獻(xiàn)了多場(chǎng)精彩對(duì)決．圖1（扇形圖）和表1是其中一場(chǎng)關(guān)鍵比賽的部分?jǐn)?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)．兩位選手在此次比賽中擊球所使用的各項(xiàng)技術(shù)的比例統(tǒng)計(jì)如圖1．在乒乓球比賽中，接發(fā)球技術(shù)是指回接對(duì)方發(fā)球時(shí)使用的各種方法．選手乙在比賽中的接發(fā)球技術(shù)統(tǒng)計(jì)如表1，其中的前4項(xiàng)技術(shù)統(tǒng)稱(chēng)反手技術(shù)，后3項(xiàng)技術(shù)統(tǒng)稱(chēng)為正手技術(shù)．圖1選手乙的接發(fā)球技術(shù)統(tǒng)計(jì)表技術(shù)反手?jǐn)Q球反手搓球反手拉球反手撥球正手搓球正手拉球正手挑球使用次數(shù)202241241得分率55%50%0%75%41．7%75%100%表1（Ⅰ）觀察圖1，在兩位選手共同使用的8項(xiàng)技術(shù)中，差異最為顯著的是哪兩項(xiàng)技術(shù)？（Ⅱ）乒乓球接發(fā)球技術(shù)中的拉球技術(shù)包括正手拉球和反手拉球．從表1統(tǒng)計(jì)的選手乙的所有拉球中任取兩次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果僅從表1中選手乙接發(fā)球得分率的穩(wěn)定性來(lái)看（不考慮使用次數(shù)），你認(rèn)為選手乙的反手技術(shù)更穩(wěn)定還是正手技術(shù)更穩(wěn)定？（結(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）正手搓球和反手?jǐn)Q球（Ⅱ）（Ⅲ）正手技術(shù)更穩(wěn)定.【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)所給扇形圖的數(shù)據(jù)可知，差異最為顯著的是正手搓球和反手?jǐn)Q球兩項(xiàng)技術(shù).（Ⅲ）正手技術(shù)更穩(wěn)定. 試題解析：（Ⅰ）根據(jù)所給扇形圖的數(shù)據(jù)可知，差異最為顯著的是正手搓球和反手?jǐn)Q球兩項(xiàng)技術(shù).（Ⅱ）根據(jù)表1的數(shù)據(jù)可知，選手乙的反手拉球2次，分別記為A,B,正手拉球4次，分別記為a,b,c,d.則從這六次拉球中任取兩次，共15種結(jié)果，分別是:AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb，Bc,Bd,ab，ac,ad,bc,bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9種，分別是:AB,Aa，Ab，Ac,Ad,Ba,Bb，Bc,Bd.則從表1統(tǒng)計(jì)的選手乙的所有拉球中任取兩次，至少抽出一次反手拉球的概率.（Ⅲ）正手技術(shù)更穩(wěn)定.18.如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱底面．已知是的中點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積．【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）【解析】試題分析：（Ⅰ）由，及,可證平面．即可證明平面平面；（Ⅱ）證明．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面（Ⅲ）由即可求得三棱錐的體積．試題解析：（Ⅰ）證明：由已知為正三角形，且D是BC的中點(diǎn)，所以．因?yàn)閭?cè)棱底面，，所以底面．又因?yàn)榈酌妫?而,所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．（Ⅱ）證明：連接，設(shè)，連接．由已知得，四邊形為正方形，則為的中點(diǎn).因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，所以與到平面的距離相等，所以．由題設(shè)及，得，且．所以，所以三棱錐的體積為．19.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，試證明：直線與軸平行．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可知所以，即可得到求橢圓的方程；（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易證直線與軸平行②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的方程為.令，所以.由消去得.顯然恒成立.所以這時(shí)可證，即.所以直線軸.試題解析：（Ⅰ）由題意可知所以.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)軸.設(shè)，直線與軸相交于點(diǎn)，易得點(diǎn)是點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，所以直線軸.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的方程為.令，所以.由消去得.顯然恒成立.所以因?yàn)?，所?所以直線軸.綜上所述，所以直線軸.20.已知函數(shù)，．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；（Ⅱ）判斷方程（為的導(dǎo)數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)，說(shuō)明理由；（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得.（Ⅱ）設(shè)，.由的單調(diào)性及因?yàn)椋?可知有且只有一個(gè)，使成立.即方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，由于，即在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在兩側(cè)異號(hào).由的單調(diào)性可知函數(shù)在處取得極大值.當(dāng)時(shí)，雖然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，但在兩側(cè)同號(hào)，不滿(mǎn)足在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)的要求.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在兩側(cè)異號(hào)，則只需滿(mǎn)足：.即可得到的取值范圍試題解析：（Ⅰ）..（Ⅱ）設(shè)，.當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)為減函數(shù).又因?yàn)椋?所以有且只有一個(gè)，使成立.所以函數(shù)在區(qū)