2019-2020年高中數(shù)學數(shù)列版塊二等差數(shù)列等差數(shù)列的通項公式與求和完整講義(學生版)

2019-2020年高中數(shù)學數(shù)列版塊二等差數(shù)列等差數(shù)列的通項公式與求和完整講義（學生版）典例分析典例分析等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．數(shù)列的前項和，求它的通項公式．數(shù)列的前項和，，則數(shù)列的前項和_______.數(shù)列的前項和，則_______.設等差數(shù)列的前項的和為，且，，求.設等差數(shù)列的前項的和為，且，，求.有兩個等差數(shù)列，，其前項和分別為，，若對有成立，求．在等差數(shù)列中，，，為前項和，⑴求使的最小的正整數(shù)；⑵求的表達式.等差數(shù)列的前項和為，前項和為，則它的前項和為_______．等差數(shù)列中，，，問數(shù)列的多少項之和最大，并求此最大值．已知二次函數(shù)，其中．⑴設函數(shù)的圖象的頂點的橫坐標構成數(shù)列，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；⑵設函數(shù)的圖象的頂點到軸的距離構成數(shù)列，求數(shù)列的前項和．等差數(shù)列前項的和為，其中，項數(shù)為奇數(shù)的各項的和為，求其第項及公差．設等差數(shù)列的公差為,，且，求當取得最大值時的值．已知等差數(shù)列中，，，，則（）A．B．C．D．已知是等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的通項公式及的前項和．在各項均不為0的等差數(shù)列中，若，則等于（）A．B．C．D．設數(shù)列滿足，，，且數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．已知，⑴設的圖象的頂點的縱坐標構成數(shù)列，求證為等差數(shù)列．⑵設的圖象的頂點到軸的距離構成，求的前項和．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，．⑴求數(shù)列的通項公式；⑵設是正整數(shù)，且，證明．在等差數(shù)列中，，，為前項和，⑴求使的最小的正整數(shù)；⑵求的表達式.有固定項的數(shù)列的前項和，現(xiàn)從中抽取某一項（不包括首相、末項）后，余下的項的平均值是．⑴求數(shù)列的通項；⑵求這個數(shù)列的項數(shù)，抽取的是第幾項．已知，成等差數(shù)列(為正偶數(shù))．又，，⑴求數(shù)列的通項；⑵試比較與的大小，并說明理由．設，為實數(shù)，首項為，公差為的等差數(shù)列的前項和為，滿足則的取值范圍是．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則當取最小值時，等于（）A． B． C． D．在等比數(shù)列中，若公比，且前項之和等于，則該數(shù)列的通項公式．已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．⑴求數(shù)列的通項；⑵求數(shù)列的前項和． 已知數(shù)列滿足，，且對任意，都有⑴求，；⑵設證明：是等差數(shù)列；⑶設，求數(shù)列的前項和．設等差數(shù)列的前項和為，，則等于（）A．10B．12C．15D．30已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，則數(shù)列的公差是（）A．B．C．D．若為等差數(shù)列，是其前項和，且，則的值為（）A． B． C． D．已知等差數(shù)列，等比數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差為（）A．或B．或C．D．已知數(shù)列的通項公式，設其前項和為，則使成立的最小自然數(shù)等于（）A．B．C．D．等差數(shù)列中，，，此數(shù)列的通項公式為，設是數(shù)列的前項和，則等于．設集合由滿足下列兩個條件的數(shù)列構成：①②存在實數(shù)，使．（為正整數(shù)）⑴在只有項的有限數(shù)列，中，其中，，，，，，，，，；試判斷數(shù)列，是否為集合的元素；⑵設是等差數(shù)列，是其前項和，，證明數(shù)列；并寫出的取值范圍；⑶設數(shù)列，且對滿足條件的常數(shù)，存在正整數(shù)，使．求證：．已知數(shù)列滿足：，，．⑴求的值；⑵設，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項公式；⑶對任意的，，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項構成等差數(shù)列？若存在，寫出這項，并證明這項構成等差數(shù)列；若不存在，說明理由．2019-2020年高中數(shù)學數(shù)列的概念與簡單表示”課堂實錄一、教學目標：知識與技能：理解數(shù)列及其有關概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關系；了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式。過程與方法：通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養(yǎng)學生的觀察能力和抽象概括能力．情感、態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣；讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學探索的過程，體驗創(chuàng)造的激情，享受成功的喜悅，感受數(shù)學的魅力。二、設計思路：本節(jié)課是《數(shù)列》的第一節(jié)課，通過引言把這一章的內容作一大概的介紹，能使學生從一開始就對將要學習的知識有一個初步的了解，并為本章的學習研究打下思想基礎。本節(jié)課教學設計力圖體現(xiàn)以學生發(fā)展為本，遵循學生認知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進與啟發(fā)式的教學原則，采用“探究——主體參與型”課堂教學模式，通過問題的提出和解決來培養(yǎng)學生探索問題、解決問題的能力；通過開放題的設置來激發(fā)學生思維，調動學生的積極性。為了立足于學生思維發(fā)展，著力于知識建構；為了把發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的機會還給學生，把成功的體驗讓給學生，本節(jié)課采用的教法是在教師的引導下，創(chuàng)設情景，啟發(fā)學生主動思考，讓學生有觀察、動手、表達、交流、表現(xiàn)的機會，讓學生體會數(shù)學概念形成過程中蘊涵的數(shù)學方法，使學生分享到探索知識的樂趣和方法。本節(jié)課的重點是數(shù)列概念的形成以及數(shù)列的通項公式的建立，在思維訓練方面，注重概念間的聯(lián)系與差異的分析，從特殊到一般的抽象思維的培養(yǎng)，克服難點的辦法是讓學生觀察數(shù)列的前幾項的特點，在觀察與比較中揭示數(shù)列的變化規(guī)律。本節(jié)課的練習安排為嘗試性練習與拓展性練習，其目的在于落實基礎，拓展思維，深化概念的理解。教學環(huán)節(jié)安排：創(chuàng)設情境---分化屬性---形成概念---嘗試練習---拓展練習---深化概念---小結歸納。三、教學重點、難點：重點：理解數(shù)列的概念，認識數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型，探索并掌握數(shù)列的幾種間單的表示法（列表、圖象、通項公式）；難點：了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律找出可能的通項公式。

四、教學資源：多媒體（PowerPoint）、投影儀、尺五、教學過程：問題情境（PowerPoint）大千世界蘊含著無數(shù)的自然規(guī)律，從細胞分裂到放射性物質的衰變，從樹木的生長模式到葵花種子、鸚鵡螺殼花紋的排列……它們各有其消長的方式和特點，如：情境1：樹木生長規(guī)律1，1，2，3，5，8，情境2：彗星每隔83年出現(xiàn)一次1740，1823，1906，1989，2072，情境3：一尺之棰，日取其半，萬世不竭1，，情境4：我國參加6次奧運會獲得金牌總數(shù)15，5，16，16，28，32問題1：上述例子有何共同特點？學生活動通過觀察、小組合作討論、發(fā)現(xiàn)小組1代表：上述問題情境中都有一系列數(shù)；小組2代表：這些數(shù)有一定的次序，前后位置不能顛倒，并且有些數(shù)可以相同，但表示不同的意義，如情境4中，出現(xiàn)了兩個16，但第一個16表示1992年參加奧運會獲得的金牌數(shù)，第二個16表示1996年參加奧運會獲得的金牌數(shù)；老師：通過討論得到，這些問題的共同特點是有一組按照一定次序排列的一列數(shù)。建構數(shù)學通過抽象，形成數(shù)列的概念（教師板書下面的內容）（1）數(shù)列-----按一定次序排列的一列數(shù)項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項一般形式：，其中是數(shù)列的第n項，上面的數(shù)列可簡記為數(shù)列（2）通項公式：如果數(shù)列的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。問題2：數(shù)列的概念與集合的概念有何聯(lián)系、區(qū)別？（學生小組合作討論）學生暢所欲言，教師收集信息，及時歸納學生1：數(shù)列中是一列數(shù)，而集合中的元素不一定是數(shù)；學生2：數(shù)列中的數(shù)是有一定次序的，而集合中的數(shù)沒有次序；學生3：數(shù)列中的數(shù)可以重復，而集合中的數(shù)不能重復。問題3：數(shù)列的概念與函數(shù)的概念有何聯(lián)系？有何區(qū)別？（學生小組合作討論）學生暢所欲言，教師收集信息，及時歸納學生4：數(shù)列中的每一項與其序號之間有對應關系，即在數(shù)列中，對于每一個正整數(shù)n，都有惟一的數(shù)與之對應；學生5：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數(shù)。（四）數(shù)學運用（1）嘗試性練習：（學生自主探究、完成，教師點評）問題1：數(shù)列10，9，8，7，6，5，4與數(shù)列4，5，6，7，8，9，10是否相同學生6：不一樣！根據(jù)數(shù)列的概念，數(shù)列的項不僅是數(shù)還必須與序號相對應。問題2：根據(jù)下面數(shù)列的通項公式，寫出它的前5項：（2）利用投影儀展示學生的答案，并提問學生：怎么得到該答案的？學生7：將通項公式中的n分別用1，2，3，4，5代入計算得到結果。教師：很好！其實就是計算的函數(shù)值。也體現(xiàn)了由一般到特殊的思維方式。若要作出它們的圖象呢？（學生自己完成）利用投影儀展示學生的答案，并讓學生討論：從圖象觀察，數(shù)列的圖象有何特點？引導討論，從圖象上觀察，數(shù)列的圖象都是離散的點。數(shù)列（1）各項的值隨著n的增大而增大，所以數(shù)列（1）是一個遞增的數(shù)列。所以，數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列。根據(jù)數(shù)列中項的多少來分，項數(shù)有限的數(shù)列叫做有限數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做無限數(shù)列。在有限數(shù)列中，項的個數(shù)叫項數(shù)，最后一項叫做末項。問題3：觀察下面數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，并對每一個數(shù)列寫出它的一個通項公式（1）2，4，（），16，32，64……（2）1，4，9，（），25，36……（3）-1，，（），……（4）1，，（），2，，，……利用投影儀展示學生的答案，并提問學生：怎么得到該答案的？學生8：先找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律填數(shù)。教師：是根據(jù)什么找出的規(guī)律？學生8：依據(jù)數(shù)列的概念，找出項與對應的序號之間的規(guī)律。教師：很好，由特殊到一般，再由一般到特殊。（2）拓展性練習問題1：寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：（1）1，3，5，7（2）（3）（學生自主探索，教師引導啟發(fā)，并及時小結）問題2：學生甲說出一個數(shù)列的前4項，讓學生乙說出該數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是上述各數(shù)。（學生自由發(fā)揮，暢所欲言）（3）創(chuàng)新性練習觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學模型．（學生小組合作討論）模型一：自上而下學生9：第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3若用表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7）教師：運用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律建立了數(shù)列模型，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律）模型二：上下層之間的關系學生10：自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。即；；依此類推：（2≤n≤7）教師：對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。（五）回顧小結本節(jié)課學習了以下內容：數(shù)列及有關定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的前幾項求一些簡單數(shù)列的通項公式。（六）課外作業(yè)第32頁練習第3題、第4題、第6題，習題2.1第1題、第2題、第3題。（七）板書設計例題講解數(shù)列的概念與簡單表示例題講解數(shù)列的概念與簡單表示（1）數(shù)列-----按一定次序排列的一列數(shù)項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項一般形式：，其中是數(shù)列的第n項，上面的數(shù)列可簡記為數(shù)列（2）通項公式：如果數(shù)列的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。小結：教學反思對于知識與能力目標的落實，本節(jié)課通過三個層次：情境創(chuàng)設、新知探究、知識應用，但在實際實施過程中知識內化，形成技能方面學生達成不好。所以在教學過程中既要完成鞏固