《平面與平面垂直》應(yīng)試拓展_第1頁(yè)
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《平面與平面垂直》應(yīng)試拓展_第3頁(yè)
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高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《平面與平面垂直》應(yīng)試拓展拓展1二面角的平面角的確定方法(1)定義法(點(diǎn)的選擇可以任意,但是實(shí)際問(wèn)題中一般選擇特殊點(diǎn)以便證明和計(jì)算)如圖,在二面角的棱上取一點(diǎn),在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作,則為二面角的平面角.(2)垂面法(直線與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直,實(shí)現(xiàn)立體問(wèn)題平面化,得到二面角的平面角)如圖,已知二面角,過(guò)棱上一點(diǎn)作平面,使直線平面,且,且為二面角的平面角.(3)線面垂直法(借助三垂線定理及其逆定理,將立體問(wèn)題平面化,是確定二面角的平面角的常用方法)如圖,已知二面角,過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接.∵.又∵平面.又∵為二面角的平面角.【例1】如圖所示,在四棱錐中,底面,是的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.(1)證明:因?yàn)榈酌嫫矫?所以.因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面PAC.又平面,所以.由,所以為等邊三角形,可得.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以.又平面平面,所以平面.(2)解:過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),連接,如圖所示.由(1)知,平面,則在平面內(nèi)的射影是,則由三垂線定理可證得,因此是二面角的平面角.由已知可得.設(shè),可得.在Rt中,因?yàn)?所以,則.在Rt中,,所以二面角的正弦值為.拓展2平面與平面垂直的其他性質(zhì)和結(jié)論(1)如果兩個(gè)平面垂直,那么經(jīng)過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于另一個(gè)平面的直線在該點(diǎn)所在平面內(nèi),即.(2)如果兩個(gè)平面垂直,那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面,即.(3)如果兩個(gè)平面垂直,那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi),即或.(4)如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)

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