2023-2024學(xué)年陜西省西安市蓮湖區(qū)高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市蓮湖區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)至選擇性必修第二冊(cè)第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，由題意可得：直線的斜率為，則，所以傾斜角.故選：C2.已知為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則的漸近線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，可得，所以的漸近線的方程為，即.故選：B.3.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】由題可得，，，，故是以4為周期的周期數(shù)列，故．故選：A.4.在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.5.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，將代入，故，解得，所以該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為m.故選：B6.若直線與圓相離，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.0或1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由題意直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，即，而，即點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選：D.7.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.8 B.12 C.18 D.24【答案】D【解析】由題意，解得，所以.故選：D.8.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.過的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，且，則的離心率為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】由已知可設(shè)，則，故，由雙曲線的定義有，故，，故，在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，即，解得，即，故的離心率為2.故選：A二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.若非零向量，，滿足，，則B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.若空間向量，，則在上的投影向量為D.已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，則或【答案】BCD【解析】對(duì)于A，非零向量，，滿足，，，的方向不確定，則，不一定平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄繛?，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橹本€l的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以，則或，故D正確．故選：BCD.10.已知圓和圓是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.圓與圓有四條公切線B.兩圓的公共弦所在的直線方程為C.的最大值為12D.若，則過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，圓、的圓心、半徑依次分別為，圓心距滿足，所以兩圓相交，圓與圓有兩條條公切線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩圓、方程相減得，，化簡并整理得兩圓的公共弦所在的直線方程為，故B正確；對(duì)于C，由題意，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，取最大值，故C正確，對(duì)于D，，即點(diǎn)在圓上面，又，所以過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，化簡并整理得，過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，故D正確.故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足，，為的前項(xiàng)和，則（）A.為等比數(shù)列B.的通項(xiàng)公式為C.為遞減數(shù)列D.當(dāng)或時(shí)，取得最大值【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以，即，，又因?yàn)椋?，所以為首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，A正確；，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列，C正確；令，即，解得，所以時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】根據(jù)題意，圖象如圖所示：設(shè)為橢圓C的左焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以由橢圓的對(duì)稱性得，又，于是四邊形為平行四邊形.因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，，平行四邊中,，在中，.因?yàn)橹本€斜率存在，所以A，B兩點(diǎn)不在y軸上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.綜上所述，；因?yàn)?，故A，C錯(cuò)誤；，即，故B正確；，即，故D正確.故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的一般式方程為__________.【答案】【解析】設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對(duì)稱，所以在直線上，即，得到直線的一般式方程為故答案為：14.已知空間中的三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】【解析】由題意得，所以,，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.15.已知，，是拋物線C：上的一點(diǎn)，則周長的最小值為____________．【答案】【解析】由題可知為拋物線C的焦點(diǎn)，C的準(zhǔn)線方程為．設(shè)d為點(diǎn)M到C的準(zhǔn)線的距離，則．又，所以周長的最小值為．故答案為：.16.如圖所示的數(shù)陣由數(shù)字1和2構(gòu)成，將上一行的數(shù)字1變成1個(gè)2，數(shù)字2變成2個(gè)1，得到下一行的數(shù)據(jù)，形成數(shù)陣，設(shè)是第行數(shù)字1的個(gè)數(shù)，是第行數(shù)字2的個(gè)數(shù)，則__________，__________.【答案】；【解析】由題意可知：，且，則，可得，，所以.故答案為：16；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知圓過點(diǎn)和，且圓心直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與垂直，且與圓相交于兩點(diǎn)，求.解：（1）由題意設(shè)圓心，又圓過點(diǎn)和，所以，解得，所以圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意經(jīng)過點(diǎn)且與垂直的直線為，即，又圓心到直線的距離為，，所以.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，所以，又，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由題意，所以.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19.一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．解：（1）依題意得該動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)的距離到直線的距離相等．又點(diǎn)不在直線上，所以根據(jù)拋物線的定義可知該動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，，則，兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，直線與曲線相交，滿足題意，所以直線l的方程為.20.在正三棱柱中，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接，與交于點(diǎn)F，連接，則F為的中點(diǎn)．因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)D，連接，則，．又平面，所以底面，底面，所以，則可以E為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令,則,,，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，即．設(shè)平面的法向量為，則，取，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為．21.已知是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）在中，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在和之間插入k個(gè)，得到一個(gè)新數(shù)列，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，比較與20000的大小關(guān)系．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋瑒t，解得，所以，．（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，可知，且，令的前n項(xiàng)和為，則，可得，兩式相減得，即，可得，所以．22.已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)P（異于兩點(diǎn)），直線PA與PB的斜率之積為，橢圓C的長軸長為6．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，直線PT與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，且直線AP與BQ相交于點(diǎn)D，證明點(diǎn)在定直線上.解：（1）由題意可得，且，則.設(shè)，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，所以，代入式得，由代入得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+＝1；（2）設(shè)，，顯然直線PT不垂直于x軸，故可設(shè)直線PT的方程為，由消去y得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C的內(nèi)部，則直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，由（1）知，,所以直線AP的方程為，直線BQ的方程為，由直線AP與BQ相交于點(diǎn)，則，消得①，由（1）知，得，可得，將代入①式得，解得，即點(diǎn)D在直線上．陜西省西安市蓮湖區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)至選擇性必修第二冊(cè)第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，由題意可得：直線的斜率為，則，所以傾斜角.故選：C2.已知為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則的漸近線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，可得，所以的漸近線的方程為，即.故選：B.3.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】由題可得，，，，故是以4為周期的周期數(shù)列，故．故選：A.4.在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.5.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則，將代入，故，解得，所以該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為m.故選：B6.若直線與圓相離，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.0或1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由題意直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，即，而，即點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選：D.7.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.8 B.12 C.18 D.24【答案】D【解析】由題意，解得，所以.故選：D.8.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.過的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，且，則的離心率為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】由已知可設(shè)，則，故，由雙曲線的定義有，故，，故，在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，即，解得，即，故的離心率為2.故選：A二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.若非零向量，，滿足，，則B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.若空間向量，，則在上的投影向量為D.已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，則或【答案】BCD【解析】對(duì)于A，非零向量，，滿足，，，的方向不確定，則，不一定平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橹本€l的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以，則或，故D正確．故選：BCD.10.已知圓和圓是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.圓與圓有四條公切線B.兩圓的公共弦所在的直線方程為C.的最大值為12D.若，則過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，圓、的圓心、半徑依次分別為，圓心距滿足，所以兩圓相交，圓與圓有兩條條公切線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩圓、方程相減得，，化簡并整理得兩圓的公共弦所在的直線方程為，故B正確；對(duì)于C，由題意，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線，取最大值，故C正確，對(duì)于D，，即點(diǎn)在圓上面，又，所以過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，化簡并整理得，過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，故D正確.故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足，，為的前項(xiàng)和，則（）A.為等比數(shù)列B.的通項(xiàng)公式為C.為遞減數(shù)列D.當(dāng)或時(shí)，取得最大值【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以，即，，又因?yàn)?，所以，所以為首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，A正確；，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列，C正確；令，即，解得，所以時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為，的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】根據(jù)題意，圖象如圖所示：設(shè)為橢圓C的左焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以由橢圓的對(duì)稱性得，又，于是四邊形為平行四邊形.因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，所以，，平行四邊中,，在中，.因?yàn)橹本€斜率存在，所以A，B兩點(diǎn)不在y軸上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.綜上所述，；因?yàn)?，故A，C錯(cuò)誤；，即，故B正確；，即，故D正確.故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的一般式方程為__________.【答案】【解析】設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對(duì)稱，所以在直線上，即，得到直線的一般式方程為故答案為：14.已知空間中的三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】【解析】由題意得，所以,，所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.15.已知，，是拋物線C：上的一點(diǎn)，則周長的最小值為____________．【答案】【解析】由題可知為拋物線C的焦點(diǎn)，C的準(zhǔn)線方程為．設(shè)d為點(diǎn)M到C的準(zhǔn)線的距離，則．又，所以周長的最小值為．故答案為：.16.如圖所示的數(shù)陣由數(shù)字1和2構(gòu)成，將上一行的數(shù)字1變成1個(gè)2，數(shù)字2變成2個(gè)1，得到下一行的數(shù)據(jù)，形成數(shù)陣，設(shè)是第行數(shù)字1的個(gè)數(shù)，是第行數(shù)字2的個(gè)數(shù)，則__________，__________.【答案】；【解析】由題意可知：，且，則，可得，，所以.故答案為：16；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知圓過點(diǎn)和，且圓心直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與垂直，且與圓相交于兩點(diǎn)，求.解：（1）由題意設(shè)圓心，又圓過點(diǎn)和，所以，解得，所以圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意經(jīng)過點(diǎn)且與垂直的直線為，即，又圓心到直線的距離為，，所以.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，所以，又，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由題意，所以.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19.一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．解：（1）依題意得該動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)的距離到直線的距離相等．又點(diǎn)不在直線上，所以根據(jù)拋物線的定義可知該動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，，則，兩式相減得，即．因?yàn)榫€段A