2024-2025學年陜西省安康市高二上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省安康市2024-2025學年高二上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1.答題前?先將自已的姓名?準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3?非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知空間向量，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】空間向量，所以.故選：D2.直線的傾斜角為（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】直線的斜率，所以所求的傾斜角為.故選：A3.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為，第一象限內的點A. B. C. D.3【答案】B【解析】由題意得，故，，由題意結合雙曲線定義知，故.故選：B4.已知是平面的一個法向量，且，則點到平面的距離為（）A2 B. C.4 D.【答案】B【解析】依題意，點到平面的距離.故選：B5.已知等差數(shù)列的公差為，記數(shù)列的前項和為，則（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】D【解析】因為等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以，因，數(shù)列單調遞增，所以數(shù)列前3項為負，所以.故選：D.6.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得..因為，所以，，，，所以可知數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，所以，故選：B.7.已知分別為橢圓的左、右焦點，經(jīng)過坐標原點的直線與交于，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由橢圓方程可知：，即，因為，且，可得，在中，，由橢圓性質可知：，即四邊形為平行四邊形，所以.故選：A.8.數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項為（）A.16 B.28 C.30 D.34【答案】C【解析】，，所以由累加法可得：，，所以，令，則，，令，解得：，解得或（舍去）.令，解得，函數(shù)在上單調遞增；令，解得，函數(shù)在上單調遞減；所以函數(shù)在取得極大值，又因為，當時，，當時，，因此數(shù)列的最大項為30.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則（）A.若，則B.若，則或C.若，則D.若夾角為，則【答案】BC【解析】對于A，當時，直線可能平行也可能重合，故A錯誤；對于B，當時，在平面內一定存在與直線平行的直線，則或，故B正確；對于C，當時，直線與平面的垂線平行或重合，則，故C正確；對于D，當?shù)膴A角為，其法向量的夾角為或，則或，故D錯誤.故選：BC.10.已知拋物線的焦點為，過點作兩條互相平行的直線，其中與切于點與交于兩點，則（）A.的斜率為 B.C. D.的面積為2【答案】ACD【解析】設直線方程為，由消去得，，解得，，點，對于A，的斜率，A正確；對于C，，C正確；對于BD，由對稱性不妨令點，則直線，由消去得，設，則，，點到直線的距離，的面積，B錯誤，D正確.故選：ACD11.已知點到直線的距離與到直線的距離之比為2，記的軌跡為曲線，則（）A.B.直線與存在2個交點C.圓與有且僅有3個交點D.若圓與有4個交點，則【答案】ABD【解析】因為點到直線的距離與到直線的距離分別為，由題意可知：，即，整理可得或，注意到，可知，可知的軌跡方程為直線和直線，原點除外.對于選項A：因或，故A正確；對于選項B：顯然直線不過原點，當直線與直線和直線均不平行時，直線與只有2個交點，故B正確；對于選項C：圓即為，可知圓心為1,0，半徑為，因為圓心1,0到直線、的距離分別為，可知直線、均與圓相交，注意直線、與圓均過坐標原點，所以圓與有且僅有2個交點，故C錯誤；對于選項D：圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線、的距離分別為，可知，可得，即，整理可得，故D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，則__________.【答案】或1【解析】由得，，因為，所以，解得或1，故答案為：或113.空間直角坐標系中，已知，且點在平面上，則__________.【答案】9【解析】依題意，，由點在平面上，得，則，因此，解得，故答案為：914.設數(shù)列滿足，且，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】，則，兩式相減得，所以數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，公差均為6，所以等價于，又，，，所以，解得，故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓過點三點，圓.（1）求的一般方程；（2）若與交于兩點，求.解：（1）設圓的方程為，依題意，，解得，所以的一般方程為.（2）由（1）知，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，即圓與相交，直線方程為，點到直線的距離，所以.16.記公差為的等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）記數(shù)列的前項和為，證明：.解：（1）依題意，，因此，，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由（1）知，則，所以.17.如圖,三棱柱中,是邊長為的正三角形,.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）三棱柱中，取中點，連接，由是邊長為的正三角形，得，由，得，而，則，即，而面，因此面，又平面，所以平面平面.（2）連接，則是平行四邊形對角線的中點，又平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，在中，由余弦定理得，，，，由，得，則，由，得，又，于是，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.設正項等比數(shù)列的公比為（為已知常數(shù)），且數(shù)列滿足.（1）求的值；（2）若，求的前項和.解：（1）因為是公比為的等比數(shù)列，故有，由，可得，則，由此可得，即；（2）由（1）知，且和，當時，，即，當時，設數(shù)列中奇數(shù)項的公比為，偶數(shù)項的公比也為。奇數(shù)項：，形成等比數(shù)列，首項，公比為，因此，奇數(shù)項通項為，其中。偶數(shù)項：，形成等比數(shù)列，首項，公比為，因此，偶數(shù)項通項為，其中。由，且和，則，可解出，所以和。奇數(shù)項和，偶數(shù)項和，因此，前2n項和.19.已知圓經(jīng)過橢圓的右焦點及右頂點.（1）求的方程；（2）過點的直線與交于兩點，求線段的中點的軌跡方程；（3）過點作與軸平行的直線與交于點，直線與軸交于點，證明：點共圓.解：（1）在圓中，令，解得或，則，因此橢圓半焦距，長半軸長，短半軸長，所以橢圓的方程為.（2）點，當直線與軸不重合時，設直線方程為，由消去得：，設，則，，聯(lián)立得，即，當直線與軸重合時，點滿足方程，所以線段的中點的軌跡方程是.（3）由，得，不妨令，直線斜率，則，，因此，∽，則，所以點共圓.陜西省安康市2024-2025學年高二上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1.答題前?先將自已的姓名?準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3?非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知空間向量，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】空間向量，所以.故選：D2.直線的傾斜角為（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】直線的斜率，所以所求的傾斜角為.故選：A3.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為，第一象限內的點A. B. C. D.3【答案】B【解析】由題意得，故，，由題意結合雙曲線定義知，故.故選：B4.已知是平面的一個法向量，且，則點到平面的距離為（）A2 B. C.4 D.【答案】B【解析】依題意，點到平面的距離.故選：B5.已知等差數(shù)列的公差為，記數(shù)列的前項和為，則（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】D【解析】因為等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以，因，數(shù)列單調遞增，所以數(shù)列前3項為負，所以.故選：D.6.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得..因為，所以，，，，所以可知數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，所以，故選：B.7.已知分別為橢圓的左、右焦點，經(jīng)過坐標原點的直線與交于，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由橢圓方程可知：，即，因為，且，可得，在中，，由橢圓性質可知：，即四邊形為平行四邊形，所以.故選：A.8.數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項為（）A.16 B.28 C.30 D.34【答案】C【解析】，，所以由累加法可得：，，所以，令，則，，令，解得：，解得或（舍去）.令，解得，函數(shù)在上單調遞增；令，解得，函數(shù)在上單調遞減；所以函數(shù)在取得極大值，又因為，當時，，當時，，因此數(shù)列的最大項為30.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則（）A.若，則B.若，則或C.若，則D.若夾角為，則【答案】BC【解析】對于A，當時，直線可能平行也可能重合，故A錯誤；對于B，當時，在平面內一定存在與直線平行的直線，則或，故B正確；對于C，當時，直線與平面的垂線平行或重合，則，故C正確；對于D，當?shù)膴A角為，其法向量的夾角為或，則或，故D錯誤.故選：BC.10.已知拋物線的焦點為，過點作兩條互相平行的直線，其中與切于點與交于兩點，則（）A.的斜率為 B.C. D.的面積為2【答案】ACD【解析】設直線方程為，由消去得，，解得，，點，對于A，的斜率，A正確；對于C，，C正確；對于BD，由對稱性不妨令點，則直線，由消去得，設，則，，點到直線的距離，的面積，B錯誤，D正確.故選：ACD11.已知點到直線的距離與到直線的距離之比為2，記的軌跡為曲線，則（）A.B.直線與存在2個交點C.圓與有且僅有3個交點D.若圓與有4個交點，則【答案】ABD【解析】因為點到直線的距離與到直線的距離分別為，由題意可知：，即，整理可得或，注意到，可知，可知的軌跡方程為直線和直線，原點除外.對于選項A：因或，故A正確；對于選項B：顯然直線不過原點，當直線與直線和直線均不平行時，直線與只有2個交點，故B正確；對于選項C：圓即為，可知圓心為1,0，半徑為，因為圓心1,0到直線、的距離分別為，可知直線、均與圓相交，注意直線、與圓均過坐標原點，所以圓與有且僅有2個交點，故C錯誤；對于選項D：圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線、的距離分別為，可知，可得，即，整理可得，故D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，則__________.【答案】或1【解析】由得，，因為，所以，解得或1，故答案為：或113.空間直角坐標系中，已知，且點在平面上，則__________.【答案】9【解析】依題意，，由點在平面上，得，則，因此，解得，故答案為：914.設數(shù)列滿足，且，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】，則，兩式相減得，所以數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，公差均為6，所以等價于，又，，，所以，解得，故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓過點三點，圓.（1）求的一般方程；（2）若與交于兩點，求.解：（1）設圓的方程為，依題意，，解得，所以的一般方程為.（2）由（1）知，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，即圓與相交，直線方程為，點到直線的距離，所以.16.記公差為的等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）記數(shù)列的前項和為，證明：.解：（1）依題意，，因此，，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由（1）知，則，所以.17.如圖,三棱柱中,是邊長為的正三角形,.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）三棱柱中，取中點，連接，由是邊長為的正三角形，得，由，得，而，則，即，而面，因此面，又平面，所以平面平面.（2）連接，則是平行四邊形對角線的中點，又平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，在中，由余弦定理得，，，，由，得，則，由，得，又，于是，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.設正項等比數(shù)列的公比為（為已知常數(shù)），且數(shù)列滿足.（1）求的值；（2）若，求的前項和.解：（1）因為是公比為的等比數(shù)列，故有，由，可得，則，由此可得，即；（2）由（1）知，且和，當時，，即，當時，設數(shù)列中奇數(shù)項的公比為，偶數(shù)項的公比也為。奇數(shù)項：，形成等比數(shù)列，首項，公比為，因此，奇數(shù)項通項為，其中。偶