2024-2025學(xué)年四川省高二上學(xué)期12月學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.考查范圍：必修第二冊第九章和第十章，選擇性必修第一冊全冊.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡指定位置上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某研究所進(jìn)行新型作物種植實(shí)驗(yàn)，已知在第一次的試種中，種植300株植物，存活180株，由此估計(jì)，若試種2000株該植物，則可存活（）A.1000株 B.1200株 C.1500株 D.1800株【答案】B【解析】第一次試種植物的存活率為，故若第一次試種2000株，則可存活2000×0.6=1200株.故選：B2.已知向量，，若，共線，則（）A. B.2 C. D.10【答案】C【解析】依題意可得，解得，，所以.故選：C.3.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C：的面積為，焦距為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，依題意，解得，，則.故選：C.4.已知圓：，圓：，則圓，的公切線條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由已知得，圓：，圓心為，半徑為；圓：，圓心為，半徑為，故，而，故圓，相交，有兩條公切線.故選：.5.已知四面體如圖所示，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的重心，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，.故選：D.6.將一次學(xué)校數(shù)學(xué)模擬競賽的成績統(tǒng)計(jì)如下圖所示，記本次模擬競賽的成績的中位數(shù)為，則（）A. B. C.75 D.【答案】A【解析】由圖可知，解得，所以前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，故在第4組，且.故選：A.7.已知，點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對點(diǎn)P，，消去t可得，，故點(diǎn)P在線段上，對點(diǎn)Q，，消去可得，，故點(diǎn)Q圓C：上，則.故選：B.8.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N分別在C的左、右兩支上，且M，N，三點(diǎn)共線，，且，若，則C的離心率（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】如下圖：由可得，即，又，可得為的中點(diǎn)，故，又，故為等邊三角形，設(shè)的邊長為，由雙曲線定義可知，，，所以，，又，故，故，在中，由余弦定理可得，即，可得故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】依題意，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故，故C正確；，故，故D正確.故選：ACD.10.已知一組樣本數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為，方差為，現(xiàn)由這組數(shù)據(jù)衍生得到新的樣本數(shù)據(jù)：，其中，則（）A.新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為69 B.新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為65C.新的樣本數(shù)據(jù)的方差為270 D.新的樣本數(shù)據(jù)的方差為360【答案】BC【解析】依題意，所求平均數(shù)為，方差為.故選：BC.11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與C交于不同的兩點(diǎn)，，則（）A.B.若，則直線的斜率為C.若的面積為16，則直線的傾斜角為或D.若線段的中點(diǎn)為P，點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上的射影為，則【答案】ACD【解析】依題意直線的斜率不為0，，設(shè)直線：，聯(lián)立，則，則，故A正確；又，，，解得，故直線斜率為，故B錯(cuò)誤；，解得，則直線的斜率為，故直線的傾斜角為或，故C正確；，而，故，當(dāng)時(shí)，易知，當(dāng)時(shí)，，則，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數(shù)據(jù)70，20，30，90，50，120的下四分位數(shù)為_______.【答案】30【解析】將數(shù)據(jù)按照從小到大排列可得20，30，50，70，90，120，因?yàn)?，故下四分位?shù)為30.故答案為：30.13.已知四面體如圖所示，其中為面積為的等邊三角形，，點(diǎn)A在平面上的射影為點(diǎn)B，，的中點(diǎn)分別為M，N，則直線，所成角的余弦值為_______.【答案】【解析】以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為x，y軸，過點(diǎn)N與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以面積為，所以，，則，，，所以，則，，則直線，所成角的余弦值為.故答案為：.14.已知直線：，圓：，若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的取值范圍為______.【答案】【解析】直線：過定點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，設(shè)圓心到直線的距離為，當(dāng)與直線垂直的時(shí)候最大，所以，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，，.（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）已知圓過點(diǎn)，求圓的方程.解：（1）依題意，設(shè)線段的中點(diǎn)為，因，，則，直線的斜率為：,故線段AC的垂直平分線的斜率為，故其直線方程為：，即；（2）仿照（1），同理可求得線段的垂直平分線的方程為,即，由解得：，即圓心為，圓的半徑為：,故圓的方程為：.16.在數(shù)學(xué)課上，唐老師將班級分為男生、女生兩個(gè)陣營，分別選出兩位代表作答相應(yīng)問題，已知男生代表作答正確的概率為，女生代表作答正確的概率為，且兩位代表是否作答正確互不影響.（1）若唐老師給出1個(gè)問題（男生、女生均作答此問題），求僅有一位代表答對問題的概率；（2）若唐老師給出2個(gè)問題（男生、女生均作答這兩個(gè)問題），求女生代表答對問題個(gè)數(shù)多于男生代表的概率.解：（1）記男生答對第個(gè)問題為事件，女生答對第個(gè)問題為事件，僅有一位代表答對問題為事件M，則，故僅有一位代表答對問題的概率為.（2）記女生代表答對問題個(gè)數(shù)多于男生代表為事件N，則，故女生代表答對問題個(gè)數(shù)多于男生代表的概率為.17.已知拋物線C：的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)，求直線的斜率.解：（1）拋物線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線：，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，則，而，故，故雙曲線的方程為.（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與雙曲線無交點(diǎn)；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立則，故，若，解得，此時(shí)直線與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)；若，則，解得.綜上所述，直線的斜率為或.18.如圖，在三棱錐中，，，，二面角為直二面角，M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上（不含端點(diǎn)位置）.（1）若平面，求的值；（2）若，求的值；（3）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值.解：（1）由平面，平面平面，平面，故，又為線段的中點(diǎn)，故為線段的中點(diǎn)，即.（2）由，則，則，由，，則，因?yàn)?，故，又二面角為直二面角，故平面平面，由平面平面，，平面，故平面，又平面，故，即有，，兩兩垂直，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0，，，，，即，，，設(shè)，則，若，則，解得，即，故（3）由（2）得，，，，則，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，則有，，令，則有，，，，即可取，，由平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則有，整理得，解得或，即或，故或.19.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日是18世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間解析幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定義：給定橢圓C：.，則稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓為“橢圓C的伴隨圓”.已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上，且.（1）求橢圓C的方程以及橢圓C的伴隨圓的方程；（2）將向上平移6個(gè)單位長度得到曲線，已知，動(dòng)點(diǎn)E在曲線上，探究：是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）已知不過點(diǎn)A的直線l：與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線AM，AN上，證明：.解：（1）由題意可得，解得，則，即橢圓C的方程為，伴隨圓的方程為；（2）由的方程為，則曲線的方程為，假設(shè)存在該點(diǎn)，其為定值，令，則有，則，，則有，整理得，令，解得或（舍去），故存在，即定點(diǎn)，使得為定值；（3）設(shè)Mx1,由，消去可得，，即，，，，令，則，同理可得，則，即線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故.四川省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.考查范圍：必修第二冊第九章和第十章，選擇性必修第一冊全冊.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡指定位置上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某研究所進(jìn)行新型作物種植實(shí)驗(yàn)，已知在第一次的試種中，種植300株植物，存活180株，由此估計(jì)，若試種2000株該植物，則可存活（）A.1000株 B.1200株 C.1500株 D.1800株【答案】B【解析】第一次試種植物的存活率為，故若第一次試種2000株，則可存活2000×0.6=1200株.故選：B2.已知向量，，若，共線，則（）A. B.2 C. D.10【答案】C【解析】依題意可得，解得，，所以.故選：C.3.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C：的面積為，焦距為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，依題意，解得，，則.故選：C.4.已知圓：，圓：，則圓，的公切線條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由已知得，圓：，圓心為，半徑為；圓：，圓心為，半徑為，故，而，故圓，相交，有兩條公切線.故選：.5.已知四面體如圖所示，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的重心，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，.故選：D.6.將一次學(xué)校數(shù)學(xué)模擬競賽的成績統(tǒng)計(jì)如下圖所示，記本次模擬競賽的成績的中位數(shù)為，則（）A. B. C.75 D.【答案】A【解析】由圖可知，解得，所以前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，故在第4組，且.故選：A.7.已知，點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對點(diǎn)P，，消去t可得，，故點(diǎn)P在線段上，對點(diǎn)Q，，消去可得，，故點(diǎn)Q圓C：上，則.故選：B.8.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N分別在C的左、右兩支上，且M，N，三點(diǎn)共線，，且，若，則C的離心率（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】如下圖：由可得，即，又，可得為的中點(diǎn)，故，又，故為等邊三角形，設(shè)的邊長為，由雙曲線定義可知，，，所以，，又，故，故，在中，由余弦定理可得，即，可得故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】依題意，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故，故C正確；，故，故D正確.故選：ACD.10.已知一組樣本數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為，方差為，現(xiàn)由這組數(shù)據(jù)衍生得到新的樣本數(shù)據(jù)：，其中，則（）A.新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為69 B.新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為65C.新的樣本數(shù)據(jù)的方差為270 D.新的樣本數(shù)據(jù)的方差為360【答案】BC【解析】依題意，所求平均數(shù)為，方差為.故選：BC.11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與C交于不同的兩點(diǎn)，，則（）A.B.若，則直線的斜率為C.若的面積為16，則直線的傾斜角為或D.若線段的中點(diǎn)為P，點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上的射影為，則【答案】ACD【解析】依題意直線的斜率不為0，，設(shè)直線：，聯(lián)立，則，則，故A正確；又，，，解得，故直線斜率為，故B錯(cuò)誤；，解得，則直線的斜率為，故直線的傾斜角為或，故C正確；，而，故，當(dāng)時(shí)，易知，當(dāng)時(shí)，，則，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數(shù)據(jù)70，20，30，90，50，120的下四分位數(shù)為_______.【答案】30【解析】將數(shù)據(jù)按照從小到大排列可得20，30，50，70，90，120，因?yàn)?，故下四分位?shù)為30.故答案為：30.13.已知四面體如圖所示，其中為面積為的等邊三角形，，點(diǎn)A在平面上的射影為點(diǎn)B，，的中點(diǎn)分別為M，N，則直線，所成角的余弦值為_______.【答案】【解析】以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為x，y軸，過點(diǎn)N與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈冗吶切危悦娣e為，所以，，則，，，所以，則，，則直線，所成角的余弦值為.故答案為：.14.已知直線：，圓：，若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的取值范圍為______.【答案】【解析】直線：過定點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，設(shè)圓心到直線的距離為，當(dāng)與直線垂直的時(shí)候最大，所以，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，，.（1）求線段的垂直平分線的方程；（2）已知圓過點(diǎn)，求圓的方程.解：（1）依題意，設(shè)線段的中點(diǎn)為，因，，則，直線的斜率為：,故線段AC的垂直平分線的斜率為，故其直線方程為：，即；（2）仿照（1），同理可求得線段的垂直平分線的方程為,即，由解得：，即圓心為，圓的半徑為：,故圓的方程為：.16.在數(shù)學(xué)課上，唐老師將班級分為男生、女生兩個(gè)陣營，分別選出兩位代表作答相應(yīng)問題，已知男生代表作答正確的概率為，女生代表作答正確的概率為，且兩位代表是否作答正確互不影響.（1）若唐老師給出1個(gè)問題（男生、女生均作答此問題），求僅有一位代表答對問題的概率；（2）若唐老師給出2個(gè)問題（男生、女生均作答這兩個(gè)問題），求女生代表答對問題個(gè)數(shù)多于男生代表的概率.解：（1）記男生答對第個(gè)問題為事件，女生答對第個(gè)問題為事件，僅有一位代表答對問題為事件M，則，故僅有一位代表答對問題的概率為.（2）記女生代表答對問題個(gè)數(shù)多于男生代表為事件N，則，故女生代表答對問題個(gè)數(shù)多于男生代表的概率為.17.已知拋物線C：的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)，求直線的斜率.解：（1）拋物線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線：，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，則，而，故，故雙曲線的方程為.（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與雙曲線無交點(diǎn)；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立則，故，若，解得，此時(shí)直線與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)；若，則，解得.綜上所述，直線的斜率為或.18.如圖，在三棱錐中，，，，二面角為直二面角，M為線段的中點(diǎn)